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Hopf代数的双交叉积

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391Vol.39,No.1 19961ACTA MATHEMATICA SINICA Jan.,1996Hopf(100083):HopfYang-Baxter Hopf Drinfeld D(H)[8]D(H)S.Majid D(H)Smash S.Majid Smash Smash ()“”Smashk Hopf1HopfHopf Hopf.H Hopf C H Cβ:C→H⊗C;β(c)=Σc(1)⊗c(2),∀c∈C(1)Σc(1)⊗(c(2))1⊗(c(2))2=Σc(1)1c(1)2⊗c(2)1⊗c(2)2;(2)Σc(1)ε(c(2))=ε(c)1;(3)Σε(c(1))c(2)=c.ψ:C→H⊗Hψ(c)=Σc ⊗c ,C⊗H∆(c⊗h)=Σc1⊗c(1)2c 3h1⊗c(2)2⊗c 3h2,ε(c⊗h)=ε(c)ε(h).1.1H Cβ,ψ,∆,ε(C⊗H,∆,ε)β,ψ∀c∈C(i)(1⊗ε)ψ(c)=(ε⊗1)ψ(c)=ε(c)1;(ii)Σc(1)1c 2⊗c(2)(1)1c 2⊗c(2)(2)1=Σc 1c(1)21⊗c 1c(1)22⊗c(2)2;(iii)Σc(1)1c 2⊗c(2)1(c 2)1⊗c(2)1(c 2)2=Σc 1(c 2)1⊗c 1(c 2)2⊗c 2.199365199411281Hopf109(C ⊗H,∆,ε)C β[ψ] H .(C ⊗H,∆,ε)(1⊗ε)∆(c ⊗1)=c ⊗1=(ε⊗1)∆(c ⊗1).ε⊗1(i).(1⊗∆)∆(c ⊗1)=(∆⊗1)∆(c ⊗1),ε⊗1⊗ε⊗1⊗1⊗ε,ε⊗1⊗ε⊗1⊗ε⊗1(ii)(iii).(i),(ii)(iii)∀c ∈C ,h ∈H ,(1⊗∆)∆(c ⊗h )=Σc 1⊗c (1)2c 3h 1⊗∆ c (2)2⊗c3h 2 =Σc 1⊗c (1)2c 3h 1⊗ c (2)2 1⊗ c (2)2 (1)2 c (2)2 3 c3 1h 2⊗ c (2)2 (2)2⊗ c (2)2 3(c 3)2h 3=Σc 1⊗c (1)2c (1)3c 4h 1⊗ c (2)2 1⊗ c (2)2 (1)2 c (2)3 (c 4)1h 2⊗ c (2)2 (2)2⊗ c (2)3 2(c 4)2h 3=Σc 1⊗c (1)2c 3(c4)1h 1⊗ c (2)2 1⊗ c (2)2 (1)2c 3(c 4)2h 2⊗ c (2)2 (2)2⊗c 4h 3=Σc 1⊗c (1)2c (1)3c 4(c5)1h 1⊗c (2)2⊗ c (2)3(1)c 4(c 5)2h 2⊗ c (2)3 (2)⊗c 5h 3=Σc 1⊗c (1)2c 3 c (1)4 1(c 5)1h 1⊗c (2)2⊗c 3 c (1)4 2(c 5)2h 2⊗c (2)4⊗c 5h 3=(∆⊗1)∆(c ⊗h ).(ii)(iii),1.1GkGG“group-like”(∆(g )=g ⊗g,∀g ∈G ).HHopfβ:kG →H ⊗kG ;β(g )=Σg (1)⊗g (2);ψ:G →H ⊗H ;ψ(g )=Σg ⊗g .β,ψkG ⊗H(1)Σg (1)⊗(g (2))1⊗(g (2))2=Σg (1)g (1)⊗g (2)⊗g (2);(2)Σg (1)ε(g (2))=1;(3)Σε(g (1))g (2)=g .(i)(1⊗ε)ψ(g )=(ε⊗1)ψ(g )=1;(ii)Σg (1)g ⊗g (2)(1)g ⊗g (2)(2)=Σg (g (1))1⊗g (g (1))2⊗g (2);(iii)Σg (1)g ⊗(g (2)) (g )1⊗(g (2)) (g )2=Σg (g )1⊗g (g )2⊗g .∆(g ⊗h )=Σg ⊗g (1)g h 1⊗g (2)⊗g h 2,ε(g ⊗h )=ε(h )1.2ψψ(c )=ε(c )(1⊗1),∀c ∈C ,(iii)(ii)CH -C β[ψ] H Smash1.3HCβ(c )=1⊗c ,∀c ∈C ,(ii)Σψ(c 1)⊗c 2=Σψ(c 2)⊗c 1,(i)(iii)∆(c ⊗h )=Σc 1⊗c 3h 1⊗c 2⊗c3h 2.110391.4u∈Hom k(C,H)(convolution)u−1=v.εu=ε,∀c∈Cβ:C→H⊗C;β(c)=Σu(c1)v(c3)⊗c2;ψ:C→H⊗H;ψ(c)=Σ(u(c1)⊗u(c2))∆v(c3).1.1Cβ[ψ] H.u u−1=su,ψ(c)=Σ(u(c1)⊗u(c2))∆su(c3)=ε(c)(1⊗1).1.2Smash C H,C H∼=C⊗H(C⊗H).Φ:C H→C⊗H;Φ(c⊗h)=Σc1⊗v(c2)h,ΦΦ (c⊗h)=Σc1⊗u(c2)h,Φ Φ()ΦC H∼=C⊗H, 1.1Cβ[ψ] H∼=C⊗H.H Cu∈Hom k(C,H)u−1=v,εu=ε,ψ,ϕC H⊗H ψ(c)=Σ(u(c1)⊗u(c2))ϕ(c3)∆v(c4),c∈C,uϕ(c)=Σ(v(c2)⊗v(c1))ψ(c3)∆u(c4).β:C→H⊗Cβ(c)=Σu(c1)v(c3)⊗c2β :C→H⊗C;β (c)=1⊗c1.2H,C,ϕ,ψ,β,β(1)ψ(i)ϕ(i).(2)β,ψ(ii)β ,ϕ(ii).(3)β,ψ(ii),β,ψ(iii)β ,ϕ(iii).(4)Cβ[ψ] H Cβ [ϕ] H Cβ[ψ] H∼= Cβ [ϕ] H.1.21.1H Hopf C u∈Hom k(C,H)u−1,εu=ε.ψ(c)=Σ(u(c1)⊗u(c2))∆u−1(c3),β(c)=Σu(c1)u−1(c3)⊗c2,Cβ[ψ] H∼=C⊗H().1.2ϕ1Hopf1111.2H,C,u1.1,ϕ(c )=Σ u −1(c 2)⊗u −1(c 1)∆u (c 3).C β H ∼=C β[ϕ] H ,C β[ϕ]H ∼=C ⊗Huβ1.2ψψ(c )=ε(c )(1⊗1)2HopfHopfHAHopfSmashH,AHopfHA[6]α,A Hβ,α:A ⊗H →A ;α(a ⊗h )=a ·h,∀a ∈A,h ∈H,β:H →A ⊗H ;β(b )=Σh (1)⊗h (2).ψ:H →A ⊗A ,ψ(h )=Σh ⊗h X :H ⊗H →Aψ(1)=1⊗1,ε(X (h,l ))=ε(h )ε(l ).∀h,l ∈H ,(h ⊗a )(g ⊗b )=Σh 1g 1⊗X (h 2,g 2)(a ·g 3)b,∆(h ⊗a )=Σh 1⊗h (1)2h 3a 1⊗h (2)2⊗h3a 2,ε(h ⊗a )=ε(h )ε(a ).a,b ∈A ,g,h ∈H .(H ⊗A,∆,ε)(H ⊗A,·,1⊗1)(H ⊗A,∆,ε,·,1⊗1)2.1H,AHopfα,β,ψ,X(H ⊗A,∆,ε,·,1⊗1)∀a ∈A ,h,g,k ∈HX (1,h )=X (h,1)=ε(h )1,(a)Σ(a ·(h 1k 1))X (h 2,k 2)=ΣX (h 1,k 1)((a ·h 2)·k 2),(b)ΣX (h 1g 1,k 1)(X (h 2,g 2)·k 2)=ΣX (h,g 1k 1)X (g 2,k 2),(c)(1⊗ε)ψ(h )=(ε⊗1)ψ(h )=ε(h )(1⊗1),(d)Σh (1)1h 2⊗h (2)(1)1h 2⊗h (2)(2)1=Σh 1 h (1)2 1⊗h1 h (1)2 2⊗h (2)2,(e)Σh (1)1h 2⊗ h (2)1 (h 2)1⊗ h (2)1 (h 2)2=Σh 1(h 2)1⊗h 1(h 2)2⊗h2,(f)ε(a ·h )=ε(a )ε(h ),(A1)Σh 1(a ·h 2)1⊗h 1(a ·h 2)2=Σ(a 1·h 1)h (1)2h 3⊗ a 2·h (2)2 h 3,(A2)β(1)=1⊗1,(B1)Σβ(h 1k 1)(X (h 2,k 2)⊗1)=ΣX (h 1,k 1) h (1)2·k 2 k (1)3⊗h (2)2k (2)3,(B2)11239Σh (1)1(a ·h 2)⊗h (2)1=Σ(a ·h 1)h (1)2⊗h (2)2,(C)Σψ(h 1k 1)∆X (h 2,k 2)=ΣX (h 1,k 1) h (1)2·k 2 k (1)3(h 3·k 4)k (1)5k6⊗X h (2)2,k (2)3 h 3·k (2)5 k 6.(D)(H ⊗A,∆,ε,·,1⊗1)H A H β[ψ] α[X ]A .H β[ψ] α[X ]A ε((1⊗a )(g ⊗1))=ε(1⊗a )ε(g ⊗1)(A1),∆(1⊗1)=1⊗1⊗1⊗1(B1).(a),(b)(c)[6]4.6(d),(e)(f)1.1∆((1⊗a )(g ⊗1))=∆(Σg 1⊗(a ·g 2))=Σg 1⊗g (1)2g 3(a ·g 4)1⊗g (2)2⊗g3(a ·g 4)2,∆(1⊗a )∆(g ⊗1)=Σg 1⊗(a 1·g 2)g (1)3g4⊗ g (2)3 1⊗ a 2· g (2)3 2 g 4=Σg 1⊗(a 1·g 2)g (1)3g (1)4g 5⊗g (2)3⊗ a 2·g (2)4 g5.∆((1⊗a )(g ⊗1))=∆(1⊗a )∆(g ⊗1),ε⊗1⊗ε⊗1,ε⊗1⊗1⊗ε(A2),(C).∆((h ⊗1)(g ⊗1)=∆(h ⊗1)∆(g ⊗1),ε⊗1⊗1⊗ε,ε⊗1⊗ε⊗1(C)(B2),(D).(H ⊗A,∆,ε,·,1⊗1)1.1,(H ⊗A,∆,ε)[6]4.6(H ⊗A,·,1⊗1)∆εε((h ⊗a )(g ⊗b ))=ε(Σh 1g 1⊗X (h 2,g 2)(a ·g 3)b )=ε(h 1)·ε(g 1)ε(X (h 2,g 2))ε(a )ε(b )=ε(h ⊗a )ε(g ⊗b ),ε(1⊗1)=ε(1)ε(1)=1,ε.ψ(1)=1⊗1,∆(1⊗1)=1⊗1⊗1⊗1.∆((h ⊗a )(g ⊗b ))=∆(Σh 1g 1⊗X (h 2,g 2)(a ·g 3)b )=Σh 1g 1⊗(h 2g 2)(1)(h 3g 3) (X (h 4,g 4)(a ·g 5)b )1⊗(h 2g 2)(2)⊗(h 3g 3) (X (h 4,g 4)(a ·g 5)b )2=Σh 1g 1⊗(h 2g 2)(1)X (h 3,g 3) h (1)4·g 4 g (1)5(h 5·g 6)g (1)7g 8(a ·g 9)1b 1⊗(h 2g 2)(2)⊗X h (2)4,g (2)5 (h 5·g (2)7g8(a ·g 9)2b 2=Σh 1g 1⊗(h 2g 2)(1)X (h 3,g 3) h (1)4·g 4 g (1)5(h 5·g 6)g (1)7(a 1·g 8)g (1)9g 10b 1⊗(h 2g 2)(2)⊗X h (2)4,g (2)5 (h 5·g (2)7 a 2·g (2)9g10b 2=Σh 1g 1⊗X (h 2,g 2) h (1)3·g 3 g (1)4 h (1)4·g 5 g (1)6(h 5·g 7)g (1)8(a 1·g 9)g (1)10g11b 1⊗h (2)3g (2)4⊗X h (2)4,g (2)6 h 5·g (2)8 a 2·g (2)10 g11b 2=Σh 1g 1⊗X (h 2,g 2) h (1)3·g 3 h (1)4·g 4 h (1)4·g 4 g (1)5(h 5·g 6)g (1)7(a 1·g 8)g (1)9g (1)10g11b 11Hopf113⊗h(2)3g(2)5⊗Xh(2)4,g(2)7h 5·g(2)4a2·g(2)10g 11b2=Σh1g1⊗X(h2,g2)h(1)3·g3(h 5·g5)g(1)6(a1·g7)g(1)8g(1)9g(1)10g 11b1⊗h(2)3g(2)6⊗Xh(2)9,g(2)8(h 5·g(2)9a2·g(2)10g 11b2=Σh1g1⊗X(h2,g2)h(1)3·g3h(1)4·g4(h 5·g5)(a1·g6)g(1)7g(1)8g(1)9g(1)10g 11b1⊗h(2)3g(2)7⊗Xh(2)4,g(2)8h 5·g(2)9a2·g(2)10g 11b2=Σh1g1⊗X(h2,g2)h(1)3h(1)4h 5a1·g3g(1)4g(1)5g(1)6g(1)7g 8b1⊗h(2)3g(2)4⊗Xh(2)4,g(2)5h 5·g(2)6a2·g(2)7g 8b2=Σh1g1⊗X(h2,g2)h(1)3h(1)4h 5a1·g3g(1)4g(1)5g(1)6g 7b1⊗h(2)3g(2)4⊗Xh(2)4,g(2)5(h 5a2)·a(2)6g 7b2=Σh1g1⊗X(h2,g2)h(1)3h 4a1·g3g(1)4g 5b1⊗h231g(2)41⊗Xh(2)32,g(2)42(h 4a2)·g(2)43g 5b2=Σh1⊗h(1)2h 3a1⊗h(2)2⊗h 3a2g1⊗g(1)2g 3b1⊗g(2)2⊗g 3b2=∆(h⊗a)∆(g⊗b).(D)(C),(A),(B),(H⊗A,∆,ε,·,1⊗1)2.1 2.1ψ,Xψ(h)=ε(h)(1⊗1),X(h,l)=ε(h)ε(l),(C),(f),(D)(b)A H-(e)H A-(A1), (A2),(B1),(B2)ε(a·h)=ε(a)ε(h),∆(a·h)=Σa1·h1h(1)2⊗a2·h(2)2,β(1)=1⊗1,β(hg)=Σh(1)g1g(1)2⊗h(2)g(2)2,Σh(1)1(a·h2)⊗h(2)1=Σ(a1·h1)h(1)2⊗h(2)2.(h⊗a)(g⊗b)=Σhg1⊗(a·g2)b,∆(h⊗a)=Σh1⊗h(1)2a1⊗h(2)2⊗a2.ε(h⊗a)=ε(h)ε(a)Hβ[ψ] α[X]A Hβ αA,Smash([8], 3.3).Smash2.2H A A Hα(a⊗h)=a·h=ε(h)a,β(h)=1⊗h,(b)X(h,l)∈Z(A)(A),(e)Σψ(h1)⊗h2=Σψ(h2)⊗h1,114392.1Hβ[ψ] α[X]A(h⊗a)(g⊗b)=Σh1g1⊗X(h2,g2)ab,∆(h⊗a)=Σh1⊗h 3a1⊗h2⊗h 3a2,ε(h⊗a)=ε(h)ε(a).2.3u∈Hom k(H,A)u(1)=1,εu=ε.α:A⊗H→A;α(a⊗h)=Σu(h1)au−1(h2),β:H→A⊗H;β(h)=Σu(h1)u−1(h3)⊗h2,X:H⊗H→A;X(h,k)=Σu(h1k1)u−1(h2)u−1(k2),ψ:H→A⊗A;ψ(h)=Σ(u(h1)⊗u(h2))∆u−1(h3).u−1u() 2.1Hβ[ψ] α[X]A2.2Hβ[ψ] α[X]A H⊗A.2.4Hβ[ψ] α[X]Ai:A→Hβ[ψ] α[X]A;i(a)=1⊗a,j:H→Hβ[ψ] α[X]A;j(h)=h⊗1,p:Hβ[ψ] α[X]A→H;p(h⊗a)=ε(a)h,q:Hβ[ψ] α[X]A→A;q(h⊗a)=ε(h)a.A i→Hβ[ψ] α[X]A p→H Hopf()qi=1,pj=1,q(1)=1, j(1)=1,εq=ε,εj=ε,q(ki(a))=q(k)a,(1⊗j)∆=(p⊗1)∆j.2.2A i→K p→H Hopf()q:K→A; j:H→K qi=1,pj=1,q(1)=1,j(1)=1,εq=ε,εj=ε,(1⊗j)∆=(p⊗1)∆j, q(ki(a))=q(k)a.q∈Hom k(K,A)j∈Hom k(H,K)Hopf K∼=Hβ[ψ] α[X]A.Hβ[ψ] α[X]Aβ:H→A⊗H;β(h)=Σq(k1)q−1(k3)⊗p(k2),p(k)=h,ψ:H→A⊗A;ψ(h)=Σ(q(k1)⊗q(k2))∆q−1(k3),α:A⊗H→A;α(a⊗h)=a·h=Σj−1(h1)i(a)j(h2),X:H⊗H→A;X(h,g)=Σj−1p(k1r1)jp(k2)jp(r2),p(k)=h,p(r)=g.A i(A),a i(a)(a∈A)q−1,j−1q,j()k.a=ki(a),∀a∈A,k∈K,K A-q(ki(a))=q(k)a,∀a∈A,k∈K,q A-εq=ε,q K A-[9]2,K∼=Hβ[ψ] A.β:H→A⊗H;β(h)=Σq(k1)q−1(k3)⊗p(k2),p(k)=h,1Hopf115ψ:H →A ⊗A ;ψ(h )=Σ(q (k 1)⊗q (k 2))∆q −1(k 3),f :K →H β[ψ] A ;f (k )=Σp (k 1)⊗q (k 2).ff()ff :H β[ψ] H →K ;f (h ⊗a )=Σk 1i q −1(k 2)a,p (k )=hρ=(p ⊗1)∆:K →H ⊗K ,KH -(1⊗j )∆=(p ⊗1)∆j ,j :H →KH -jKH -K ∼=H α[X ]A[2],iHopfA i (A )α:A ⊗H →A ;α(a ⊗h )=a ·h =Σj −1(h 1)i (a )j (h 2),X :H ⊗H ⊗A ;X (h,g )=Σj −1p (k 1r 1)jp (k 1)jp (r 2),h =p (k ),g =p (r ).Φ:H α[X ]A →K ;Φ(h ⊗a )=j (h )i (a )Φ()Φ ,Φ (k )=Σp (k 1)⊗j −1(p (k 2))k 3.f Φ(h ⊗a )=f (j (h )i (a ))=Σp ((j (h )i (a ))1)⊗q ((j (h )i (a ))2)=Σp ((j (h ))1i (a 1))⊗q ((j (h ))2i (a 2))=Σp ((j (h ))1)pi (a 1)⊗q ((j (h ))2)qi (a 2)=Σp ((j (h ))1)ε(a 1)⊗q ((j (h ))2)a 2=Σp ((j (h ))1)⊗q ((j (h ))2)a =Σh 1⊗qj (h 2)a ((1⊗j )∆=(p ⊗1)∆j )=h ⊗a.f Φ=1,f =Φ,Φ =f .f =Φk =Σjp (k 1)iq (k 2),∀k ∈K .Φ =fΣp (k 1)⊗iq (k 2)=Σp (k 1)⊗j −1(p (k 2))k 3,∀k ∈K .ε⊗1iq (k )=Σj −1(p (k 1))k 2,f (k )f (g )=Σ(p (k 1)⊗q (k 2))(p (g 1)⊗q (g 2)),∀k,g ∈K=Σp (k 1)p (g 1)⊗X (p (k 2),p (g 2))(q (k 3),p (g 3))iq (g 4)=Σp (k 1g 1)⊗X (p (k 2),p (g 2))j −1p (g 3)iq (k 4)g 4=Σp (k 1g 1)⊗j −1p (k 2g 2)jp (k 3)iq (k 4)g 4=Σp (k 1g 1)⊗j −1p (k 2g 2)k 3g 3=Σp (k 1g 1)⊗iq (k 2g 2)=f (kg ),f (1)=p (1)⊗q (1)=1⊗1.ffHopfHopfK ∼=H β[ψ] α[X ]A .116392.1A i→K p→H Hopf q:K→Aj:H→K qi=1,pj=1,q(1)=1,εj=ε,(1⊗j)∆=(p⊗1)∆j,q(ki(a))=q(k)a (∀a∈A,k∈K).Hopf K∼=Hβ αA,Hβ αA Smashβ(h)=Σq(k1)sq(k3)⊗p(k2),p(k)=h,α(a⊗h)=a·h=Σjsh1i(a)j(h2).A i(A)q jψ,X2.1SmashH,A Hopf u∈Hom k(H,A)u−1=v.u(1)=1,εu=ε.ψ,ϕH A⊗A X,σH⊗H AX(h,g)=Σu(h1g1)σ(h2,g2)v(h3)v(g3),ψ(h)=Σ(u(h1)⊗u(h2))ϕ(h3)∆v(h4).α,βα(a⊗h)=a·h=Σu(h1)av(h2),β(h)=Σu(h1)v(h3)⊗h2.α ,βα (a⊗h)=ε(h)a,β (h)=1⊗h.2.3H,A Hopfα,β,ψ,X,α ,β ,ϕ,σHβ[ψ] α[X]AHβ [ϕ] α [σ]A Hβ[ψ] α[X]A∼=Hβ [ϕ] α [σ]A.2.32.2H,A Hopf u∈Hom k(H,A)εu=ε,u(1)=1.ψ(h)=Σ(u(h1)⊗u(h2))∆u−1(h3),X(h,g)=Σu(h1g1)u−1(h2)u−1(g2),∀h,g∈H.Hβ[ψ] α[X]A∼=H⊗A.2.3ϕ,σ2.3H,A,u 2.2ϕ(h)=Σu−1(h2)⊗u−1(h1)∆u(h3),σ(h,g)=Σu−1(h1g1)u(g2)u(h2),∀h,g∈H.Hβ αA∼=Hβ [ϕ] α [σ]A,Hβ [ϕ] α [σ]A∼=H⊗A u α ,β1Hopf117[1]Doi,Y.,On the structure of relative Hopf module,Comm.Algebra,11(1983),243–255.[2]Doi,Y.and Takeuchi,M.,Cleft comodule algebras for a bialgebra,Comm.Algebra,14(1986),801–817.[3]Doi,Y.,Equivalent crossed product for a Hopf algebra,Comm.Algebra,17(1989),3053–3085.[4]Blattner,R.J.and Montgomery,S.,Crossed products and Galois extensions of Hopf algebras,Pacific,J.Math.,137(1989),37–54.[5]Molnar,R.K.,Semi-direct products of Hopf algebras,J.Algebra,47(1977),29–51.[6]Blattner R.J.,Cohen,M.and Montgomery,S.,Crossed products and inner action of Hopf algebras,Trans.A.M.S.,298(1986),671–710.[7]Majid,S.,More examples of bicrossproduct and double crossproduct Hopf algebra,Isr.J.Math.,72(1990),133–148.[8]Majid,S.,Physics for algebraists,non-commutative and non-cocommutative Hopf algebra by a bicrossprod-uct construction,J.Algebra,130(1990),17–64.[9]H-38(1993),1449–1452.The Bicrossed Products of Hopf AlgebrasLiu Guilong(Department of Mathematics,China University of Geosciences,Beijing100083,China)Abstract:The purpose of this paper is to begin to lay the foundation of bicrossed products of Hopf algebra.The theory is motivated by asking that crossed product and crossed coproductfit together to form a bialgebra.It is the further generalization of bismash product of Hopf algebra. We investigate the basic properties of these notions and give the exact sequence characterization of bicrossed product.We will see that any bicrossed product Hβ[ψ] α[X]A with weakly inner action and inner coaction is isomorphic to a bicrossed product Hβ [ϕ] α [σ]A with trivial action α and trivial coactionβ .Keywords:crossed coproduct,exact sequence of Hopf algebra,bicrossed product。

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双扭Hopf代数分次对偶完备性

双扭Hopf代数分次对偶完备性


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第３ ０卷
第 ３期
江
西
科
学
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ３ １３ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
２１ ０ ２年 ６月
ＪＡＮＧＸＩ Ｓ Ｅ Ｉ ＣＩ ＮＣＥ
Ｊｎ ２ １ ｕ．０２
文 章 编 号 ：０ １— ６ ９ ２ １ ）３— ２ ６— ３ １０ ３７ （ ０２ ０ ０ ８ ０
双扭 Ｈ ｐ 数 分 次对偶 完备 性 ｏ ｆ代
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根树上一族Hopf代数的构造

根树上一族Hopf代数的构造

关键词： Hopf operad, Hopf P-代数, 初始代数.
I
Construction of a family of Hopf algebras on rooted trees
Abstract
Hopf algebraic theory has important applications in many mathematical fields, such as algebraic topology, group theory, quantum group and so on. In 1999, Moerdijk constructed a family of Hopf P-algebras through the initial P[ ]-algebra in which P is a given Hopf operad. In particular, Connes-Kreimer Hopf algebra is one of this family of Hopf P-algebras. In 2004, Laan, inspired by Moerdijk, constructed a family of Hopf P-algebras through the initial P[ n]-algebra in which P is a given Hopf operad. This family of Hopf P-algebras contains n-edge-colored Connes-Kreimer Hopf algebras. Based on the research of Moerdijk and Laan, this paper constructs a more extensive family of Hopf P-algebras through the initial P[( !,n)!2⌦]-algebra, and further generalizes the study of Moerdijk and Laan: the conclusion of Laan can be obtained by taking |⌦| = 1, and the conclusion of Moerdijk can be obtained by taken n = 1 and |⌦| = 1. Specifically, as an application, a family of Hopf algebras on the n-edge dyed root trees with dot decoration are constructed.
双积hopf代数上的余拟三角结构

双积hopf代数上的余拟三角结构

双积hopf代数上的余拟三角结构双积Hopf代数（bicategory Hopf algebras）是一种在数学和物理学中使用的代数结构，它兼具双积代数和Hopf代数的特性。

余拟三角结构（quasi-triangular structure）是一种使得Hopf代数可以在不同表示之间进行配对的额外结构。

在本文中，我们将介绍双积Hopf代数上的余拟三角结构。

首先，让我们回顾一下双积代数和Hopf代数的概念。

双积代数是一种具有两个二进制运算的代数结构，分别称为乘法（multiplication）和乘逆（multiplicative inverse）。

乘法满足结合律和单位元，并且对于任意元素a，存在唯一的乘逆元素b，使得a和b 的乘积等于单位元。

通常用（A, μ, η, δ, ε）表示双积代数，其中A是基本集合，μ是乘法运算，η是单位元，δ是乘逆运算，ε是乘逆单位元。

为了引入余拟三角结构，我们需要先了解拟三角结构（quasi-triangular structure）的概念。

拟三角结构是一种引入在Hopf代数的张量积中的额外结构，可以用来描述不同表示之间的配对关系。

通常用（R, c）表示拟三角结构，其中R是一个代数结构，称为r-矩阵（r-matrix），c是一个从A张量A到R的线性映射，称为交换因子。

余拟三角结构是在拟三角结构的基础上加上了额外的对称性条件。

对于双积Hopf代数来说，余拟三角结构可以表示为（R, c, γ），其中R 是r-矩阵，c是交换因子，γ是一个从A到R的线性映射，称为交换映射。

交换映射γ将Hopf代数A中的元素a与r-矩阵R中的元素γ(a)配对。

余拟三角结构还需要满足一些额外条件，包括共轭对称性和相容性。

共轭对称性要求交换映射γ满足γ(S(a))=γ(a)^*，其中S是余逆运算，^*表示共轭。

相容性要求拟三角结构（R,c）和交换映射γ满足下面的关系：Σ(R_1(a)⊗γ(R_2(a)))=Σ(γ(a_1)⊗R_2(a_2))，其中Σ表示求和，R_1和R_2是r-矩阵的分解。

是双代数而非hopf代数的例子

是双代数而非hopf代数的例子

双代数和Hopf代数是数学中重要的概念，它们在代数结构和表示理论中有着广泛的应用。

在代数学中，双代数和Hopf代数都是代数结构的一种，它们分别具有特定的定义和性质。

而本文将重点介绍双代数和Hopf代数的区别，并且给出一个例子，说明它是双代数而非Hopf代数。

1. 双代数的定义双代数是一种代数结构，它具有两个乘法运算：左乘和右乘。

定义一个双代数需要满足以下条件：- 对于任意的元素a、b、c，满足结合律：a*(b*c)=(a*b)*c 和c*(b*a)=(c*b)*a；- 存在一个单位元1，对于任意元素a，满足：1*a=a*1=a；- 左乘和右乘满足分配律：a*(b+c)=a*b+a*c 和 (a+b)*c=a*c+b*c。

2. Hopf代数的定义Hopf代数也是一种代数结构，它具有代数乘法、单位元、结合性等性质。

它还具有与代数结构相关联的一个对合（反变换）和一个共轭乘法（co-multiplication）。

定义一个Hopf代数需要满足以下条件：- 对于代数结构，满足代数乘法和单位元的性质；- 对于对合，满足：对于任意元素a，有一个对合元素S(a)，使得S(S(a))=a；- 对于共轭乘法，满足：对于任意元素a，有一个共轭乘法元素Δ(a)，使得Δ(a)=a(1⊗a)和Δ(a)=a(a⊗1)；3. 例子分析现在我们来考虑一个具体的例子，例如二维实数空间R^2上的向量空间。

定义R^2上的双代数结构，我们可以考虑如下的“叉积”运算：a* b = a× b；其中×表示R^2上的向量叉积运算。

那么可以验证R^2上的叉积满足双代数定义中的所有条件，因此R^2上的向量空间R^2是一个双代数。

但是，我们发现R^2上的向量空间并不满足Hopf代数的定义。

因为Hopf代数中要求存在对合和共轭乘法，而R^2上的向量空间并不满足这两个条件。

4. 结论通过上述例子，我们可以看出R^2上的向量空间满足双代数的定义，但不满足Hopf代数的定义。