拉氏变换对照表

1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk kn nnndtt f dt ffss F s dtt f dL f sf s F s dt t f dL f s sF dt t df L ）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f dL nnn=3 积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t nn k n nnn t t t dt t f sss F dt t f L sdt t f sdt t f ss F dt t f L s dt t f ss F dt t f L 112222]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时nnn ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts-=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Tse--11∑∞=-=)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21st2)1(-z Tz5 31s22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n tn)(!)1(limaTnn na ez zan -→-∂∂-7 as +1 ate- aTez z -- 8 2)(1a s + atte- 2)(aTaT ez Tze --- 9 )(a s s a + ate--1 ))(1()1(aTaTez z ze-----10 ))((b s a s ab ++- btatee---bTaTez z ez z ----- 11 22ωω+s tωsin 1cos 2sin 2+-T z z T z ωω12 22ω+s s tωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aTeT zez T ze22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaTaTeT ze zTzez 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1-Tt a/az z-33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。

2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。

3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。

4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。

5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。

6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。

7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。

8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。

9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。

10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。

12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n nn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn = 3积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时n n n ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t) 12 Tse --11∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21s t2)1(-z Tz5 31s 22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n t n)(!)1(lim 0aT n n n a ez z a n -→-∂∂- 7 as +1 at e - aTe z z-- 8 2)(1a s +atte- 2)(aT aT e z Tze ---9 )(a s s a+ ate--1))(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ))((b s a s ab ++-bt at e e --- bTaT e z ze z z ----- 11 22ωω+s t ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω 12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t e atωsin - aTaT aT eT ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1- T t a /az z -33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：4)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。