高考数学一轮复习 专题9.3 圆的方程(练)

第3讲圆的方程基础巩固22-46=0的圆心坐标是A2,3B-2,3C-2,-3D2,-3【答案】D【解析】圆的方程可化为-2232=13,所以圆心坐标是2,-3轴上,半径为1,且过点1,2的圆的方程是-22=122=1C-12-32=1-32=1【答案】A【解析】设圆的圆心为C0,b,则=1,∴b=2∴圆的标准方程是2-22=12a222aa=0表示圆,则a的值是.2或2【答案】A【解析】当方程a22a222aa=0表示圆时,a≠0故方程可转化为22=0若方程表示圆,则有即也即a=-1时方程表示圆4△ABC三个顶点的坐标分别是A1,0,B3,0,C3,4,则该三角形外接圆方程是A-22-22=20B-22-22=10C-22-22=5D-22-22=【答案】C【解析】易知△ABC是直角三角形,B=90°,圆心是斜边AC的中点2,2,半径是斜边长的一半,即r=,故外接圆的方程为-22-22=5-1,0,B0,2,点2a3a3a N的中点0,0,则0=2-2,0=2, ∵=1,∴点P的轨迹方程是-122=:222a-3=0a为实数上任意一点关于直线:-2=0的对称点都在圆C上,则a=【答案】 -2【解析】由题意,知直线-2=0需经过圆心,所以-12=0,从而有a=-21:4=0,直线2:-1=0以及2上一点P3,-2求圆心C在1上且与直线2相切于点P的圆的方程【解】设圆心为Ca,b,半径为r,依题意,得b=-4a又PC⊥2,直线2的斜率2=-1,∴过P,C两点的直线的斜率PC==1,解得a=1,b=-4,r=|PC|=2故所求圆的方程为-1242=8-1,0和B3,4,线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4 1求直线CD的方程;2求圆P的方程【解】1直线AB的斜率=1,AB的中点坐标为1,2,∴直线CD的方程为-2=--1,即-3=02设圆心Pa,b,则由P在CD上得ab-3=0①又∵直径|CD|=4,∴|PA|=2∴a12b2=40②由①②解得即圆心P-3,6或P5,-2故圆P的方程为32-62=40或-5222=4013如图,已知点A-1,0与点B1,0,C是圆22=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC 与OD的交点P的轨迹方程【解】设动点P,,由题意可知P是△ABD的重心由A-1,0,B1,0,令动点C0,0,则D20-1,20,由重心坐标公式:则代入22=1,整理得所求轨迹方程为2=≠0拓展延伸22-2t321-4t216t49=0表示一个圆1求t的取值范围;2求该圆半径的取值范围;3当t在上述范围内变化时,求该圆圆心的轨迹方程【解】1方程表示圆的充要条件是D2E2-4F=4t3241-4t22-416t49>0,解得-<t<1,即t的取值范围是2圆的方程可化为[-t3]2[-4t2-1]2=-7,所以r=因此0<r≤3设圆心P的坐标为0,0,则消去参数t得0=40-32-1因此圆心P的轨迹方程为=4-32-1。

高考数学一轮复习《圆与方程》练习题（含答案）一、单项选择题1．已知圆221:1C x y +=与圆()()222:121C x y -++=，则圆1C 与2C 的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．外切D ．外离2．已知点（1，1）在圆（x ﹣a ）2+（y +a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．{1，﹣1}3．以点A （-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是 A ． B ． C ．D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线l 与圆O ：221x y +=相切，且直线l 与圆C ：()(22433x y -+=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）A 5B 3C ．2D 25．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，(),0B m ，()0m >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值和最大值分别为（ ） A ．4，7B ．4，6C ．5，7D ．5，66．若虚数．．i,,z x y x y R =+∈，且1|1|2z -=，则yx的取值范围为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦B ．330,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C ．[3,3]D ．[3,0)3]-⋃7．已知两定点(3,0),(3,0)A B -，点P 在直线230x y --=上，使得PA PB ⊥，则这样的P 点个数有（ ）A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个8．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且 4.,AB C D =是圆O 上的任意两点，2CD =，点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．3,2⎡⎤⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]3,4D ．[]1,29．已知直线20x y ++=和圆22220x y x y a ++-+=相交于,A B 两点．若||4AB =，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-810．设过点1,0A 的直线l 与圆()()22:344C x y -+-=交于,E F 两点，线段EF 的中点为M .若l 与y 轴的交点为N ，则AM AN的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．160,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．162,5⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．162,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．圆221:(1)(1)28O x y -+-=与222:(4)18O x y +-=的公共弦长为（ ）A ．23B ．26C ．32D ．6212．平面直角坐标系中，动圆T 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于两点C ，D ，若|AB |和CD 均为定值，则T 的圆心轨迹一定是（ ） A ．椭圆（或圆）B ．双曲线C ．抛物线D ．前三个答案都不对二、填空题13．以双曲线C ：()222103x y a a -=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________．14．过点()1,2M -作圆225x y +=圆的切线l ，则l 的方程是___________.15．若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个，则实数a 的值为___________.16．已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:4M x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00(,)P x y为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为________.三、解答题17．求经过三点()0,0A ，()3,0B ，()1,2C -的圆的方程.18320x y +-=与圆2220x y y =++的位置关系．19．已知圆C ：22230x y y ++-=，直线l ：30x y ++=. (1)求圆C 的圆心及半径；(2)求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度.20．已知圆221:(6)(7)25C x y -+-=及其上一点()2,4A .(1)设平行于OA 的直线l 与圆1C 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程； (2)设圆2C 与圆1C 外切于点A ，且经过点()3,1P ，求圆2C 的方程.21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=的圆心在直线10x y ++=上，且圆心C 在第四象限，半径为1.(1)求圆C 的标准方程；(2)是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.22．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +-=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点． （1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若直线MN 的斜率为3-P 的坐标．23．已知椭圆E ：2213x y +=上任意一点P ，过点P 作PQ y ⊥轴，Q 为垂足，且33QM QP =.(1)求动点M 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与曲线Γ相切，且与椭圆E 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点）.24．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>330x y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN面积的最大值，并求出此时直线l 的方程。

9-3圆的方程基 础 巩 固一、选择题1．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±1[答案] A[解析] 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1.2．(2012·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4[答案] A[解析] AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5[答案] D[解析] 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5.4．(文)若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2＋y 2＝5[答案] D[解析] 考查了圆的标准方程及点到直线的距离． 设圆心为(a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，a <0，∴a ＝－5，∴方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.(理)(2012·西安模拟)圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0[答案] B[解析] 设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2， ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2[答案] D[解析] 由条件知直线kx ＋2y －4＝0是线段PQ 的中垂线．∴直线过圆心(－1,3)，∴k ＝2.6．已知x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9 B ．14 C ．14－6 5 D ．14＋6 5[答案] D[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r ＝3的圆， 令d ＝x 2＋y 2，则d 为点(x ，y )到(0,0)的距离， ∴d max ＝－2－02＋1－02＋r ＝5＋3，∴x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5.二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由条件知，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线l ：x －y ＋2＝0上，代入得a ＝－2.8．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． [答案] (x －2)2＋y 2＝10[解析] 本题考查了圆的方程的求法，关键是设出圆心坐标． 设圆心坐标为(a,0)，则有：(a －5)2＋12＝(a －1)2＋32， 解得：a ＝2，半径r ＝2－52＋12＝10，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 三、解答题9．求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程． [解析] (1)过直线和圆的交点的圆的方程可用圆系方程处理． (2)利用函数的思想进行思考．解法1：令过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x －(4－λ)y ＋1＋4λ＝0.r ＝1241＋λ2＋4－λ2－41＋4λ＝125λ－852＋165.当λ＝85时，r min ＝25， 所求方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45.解法2：因直线和圆固定，直线被已知圆截得的弦长固定，所以圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小．此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线2x ＋y ＋4＝0上时，圆的半径最小．令动圆的方程为：x 2＋y 2＋2(1＋λ)x －(4－λ)y ＋1＋4λ＝0，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－1＋λ，4－λ2，代入2x ＋y ＋4＝0，－2(1＋λ)＋4－λ2＋4＝0，λ＝85.代入动圆的方程得x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0. 解法3：因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以此二定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，25，B (－3,2)．利用圆的直径式方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋115(x ＋3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －25(y －2)＝0，化简整理得，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45.能 力 提 升一、选择题1．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6][答案] A[解析] 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.2．已知直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP →·OQ →＝－12，则k 的值为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．± 2 D ．－ 3[答案] A[解析] 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，可以将直线方程代入圆的方程，求出点P ，Q 的坐标，根据向量数量积的坐标运算公式列出方程解决．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立两个方程得x 2＋(kx ＋1)2＝1，即(1＋k 2)x 2＋2kx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2k 1＋k 2，则y 1＝1，y 2＝k (－2k 1＋k 2)＋1＝1－k21＋k2，故OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0×(－2k 1＋k 2)＋1×1－k21＋k 2＝1－k 21＋k 2＝－12，即k 2＝3，故k ＝± 3. 二、填空题3．(2012·重庆三校联考)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是______________________________________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝(|AB |2)2，即为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.4．(2012·江南十校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝2[解析] 设圆心坐标为(a ，－a )，因为两条直线x －y ＝0与x －y －4＝0平行，故它们之间的距离就等于直径，所以2r ＝42＝22，且r ＝|2a －4|2＝2， 解得a ＝1或a ＝3(舍去)，故圆心为(1，－1)， 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 三、解答题5．根据下列条件，求圆的方程.(1)经过坐标原点和点P (1,1)，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上. (2)过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3.[解析] (1)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：x 2＋y 2＝x －12＋y －12，即x ＋y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝02x ＋3y ＋1＝0，得圆心C 的坐标为(4，－3)．又圆的半径r ＝|OC |＝5，∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.① 将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1、y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤ 解②、③、⑤组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0，或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8， ∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O . ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8ba＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0. ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －42＋y 2＝16，x ＋22＋y －22＝8.解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．7．设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求：(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论． [分析] 本小题考查二次函数图像与性质、圆的方程的求法． [解析] (1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ>0，解得b <1且b ≠0. (2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0. 所以圆C必过定点(0,1)．同理可证圆C必过定点(－2,1)．。

圆的方程一、选择题1．(2021·浙江绍兴高三期末)圆x2＋y2＋2ax－23ay＋3a2＝0的圆心坐标和半径长依次为()A．(a，－3a)，a B．(－a，3a)，aC．(a，－3a)，|a|D．(－a，3a)，|a|D[圆x2＋y2＋2ax－23ay＋3a2＝0化为标准方程为(x＋a)2＋(y－3a)2＝a2，所以圆心坐标为(－a，3a)，半径为|a|．]2．若方程x2＋y2＋4x－6y＋1－2m＝0表示圆，则实数m的取值范围为()A．(－6，＋∞)B．(6，＋∞)C．(－7，＋∞)D．(7，＋∞)A[由42＋62－4(1－2m)>0，得m>－6．]3．(2021·广西梧州高三期末)曲线x2＋y2－2x＋4y－20＝0上的点到直线3x－4y＋19＝0的最大距离为()A．10B．11C．12D．13B[曲线为圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心(1，－2)到直线3x－4y＋19＝0的距离为d＝|3＋8＋19|32＋42＝6，即直线与圆相离，故圆上的点到直线3x－4y＋19＝0的最大距离为6＋5＝11，故选B．] 4．与直线x＝2相切于点(2,0)且半径为1的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(x＋1)2＋y2＝1D．(x－1)2＋y2＝1或(x－3)2＋y2＝1D[如图所示，由图形知，与直线x ＝2相切于点(2,0)且半径为1的圆的圆心为(1,0)或(3,0)，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1或(x －3)2＋y 2＝1．]5．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是()A．(x ＋3)2＋y 2＝4B．(x －3)2＋y 2＝4C．(2x －3)2＋4y 2＝1＋y 2＝12C[设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )．∵点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1．故选C．]6．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝()A．26B．8C．46D．10C[设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＋3E ＋F ＋10＝0，D ＋2E ＋F ＋20＝0，－7E ＋F ＋50＝0.＝－2，＝4，＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0．令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C．]二、填空题7．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为．(x －2)2＋(y －1)2＝1[设对称圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x 的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1．]8．(2021·江苏南京高三期中)已知直线x ＋2y －4＝0和坐标轴交于A 、B 两点，O 为原点，则经过O ，A ，B 三点的圆的方程为．(x －2)2＋(y －1)2＝5[直线x ＋2y －4＝0和坐标轴交于A 、B 两点，则A (4,0)，B (0,2)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，D ＋F ＋16＝0，E ＋F ＋4＝0，＝0，＝－4，＝－2，＝0，圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5．]9．(2021·武汉高三模拟)已知两点A (－3,0)，B (0,3)，点C 是圆x 2＋y 2－4x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是．15－622[由题意可得，直线AB 的方程为x －3＋y3＝1，即x －y ＋3＝0，由x 2＋y 2－4x ＝0得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心坐标为(2,0)，半径为r ＝2；圆心(2,0)到直线AB 的距离为d ＝|2－0＋3|2＝522，根据圆的性质可得，圆上任意一点C 到直线AB 的最小距离为522－r ＝522－2；此时S △ABC ＝12×AB ＝12×32×＝15－622．]三、解答题10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．[解](1)由已知得直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3．(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解](1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )，由|EB |＝|EC |可知(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1．所以r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10．所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10．(2)设P (x ，y )，由点P 是MN 中点，得M (2x －5,2y －2)．将M 点代入圆的方程得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，＝52．1．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为()A．1B．5C．42D．3＋22D[由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋2b a ·2ab＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋22．]2．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2[设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．＝55，＝－1，＝－1，2＝2，＝1，＝1，2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2．]3．动圆C 与x 轴交于A (x 1,0)，B (x 2,0)两点，且x 1，x 2是方程x 2＋2mx －4＝0的两根．(1)若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；(2)证明：当动圆C 过点M (0,1)时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．[解](1)∵x 1，x 2是方程x 2＋2mx －4＝0的两根，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝－4．∵动圆C 与x 轴交于A (x 1,0)，B (x 2,0)两点，且线段AB 是动圆C 的直径，∴动圆C 的圆心C 的坐标为(－m,0)，半径为|AB |2＝|x 2－x 1|2＝x 1＋x 22－4x 1x 22＝m 2＋4．∴动圆C 的方程为(x ＋m )2＋y 2＝m 2＋4．(2)证明：设动圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M (0,1)，N (0，y 1)，令y ＝0，则x 2＋Dx ＋F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝－4，又动圆C 过点M (0,1)，∴1＋E －4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2＋3y －4＝0，解得y ＝1或y ＝－4，∴y 1＝－4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1－1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．1．如图A (2,0)，B (1,1)，C (－1,1)，D (－2,0)，CD ︵是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB ︵是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA ︵是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W ．给出以下4个结论：①曲线W 与x 轴围成的面积等于2π；②曲线W 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)；③CB ︵所在圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝1；④CB ︵与BA ︵的公切线方程为：x ＋y ＝2＋1．则上述结论正确的是()A．①②③④B．②③④C．①②③D．②③B[曲线W 与x 轴的图形为以(0,1)圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的14圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的14圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为12π＋2×14π＋2＝2＋π≠2π，故①错误；曲线W 上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故②正确；CB ︵是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，故③正确；设CB ︵与BA ︵的公切线方程为y ＝kx ＋t (k ＜0，t ＞0)，由直线和圆相切的条件可得|t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k 2，解得k ＝－1，t ＝1＋2(t ＝1－2舍去)，则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2，即x ＋y ＝1＋2，故④正确．故选B．]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C ．(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．[解]由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0．设A (x 1,0)，B (x 2,0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m ．令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12．此时C (0，－1)，AB 的中点M －14，0半径r ＝|CM |＝174，＋y 2＝1716．(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0．整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0．2＋y2－y＝0，＋2y－2＝0，＝0，＝1＝25，＝45，故过A，B，C。