切线与单调线考点

第33讲 函数的切线问题求切线方程题型:求曲线()y f x =在以()00,P x y 为切点处的切线方程:()00y y k x x -=-. 解题核心:曲线在切点处的函数值等于切线的函数值,曲线在切点处的导数值等于切线斜率,可得方程组()()000f x y f x k⎧=⎪⎨=⎪⎩',进而得到切线方程()()000y y f x x x --'=,其中()00,x y 为切点,一般有以下两种命题形式:(1)切点()00,P x y 已知:直接求导得到切线的斜率,代人点斜式方程化简即可. (2)切点()00,P x y 末知:需设切点,求出在切点处的导数,然后写出点斜式方程,将所过的点代人直线方程,求解,然后重新代人化简可求出直线方程. 【例1】已知曲线()321f x x =+. (1)求曲线在点()1,3P 处的切线方程. (2)求曲线过点()1,3P 的切线方程.【解析】(1)()26f x x '=,则切线的斜率为()16f '=,∴曲线在点P 处的切线方程为()361y x -=⨯-,即630x y --=.(2)设过点()1,3P 的切线与曲线()y f x =相切于点()300,21R x x +,∴曲线()y f x =在点R 处切线斜率为()2006f x x =',故切线方程为()32000216y x x x x --=-.又切线过点()1,3,()320002261x x x ∴-=⨯-.解得01x =或012x =-.故切点R 为()1,3和13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴过点P 的切线方程为()361y x -=-或331422y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. ∴过点P 的切线方程为630x y --=和3230x y -+=.【例2】已知曲线31y x =+ (1)求曲线在1x =-处的切线方程. (2)求曲线过点()1,0-的切线方程. 【解析】(1)23y x '=,∴曲线在1x =-处的斜率()21313x k y =-=='⨯-=.1x =-时,0y =,∴曲线在1x =-处的切线方程为()31y x =+,即330x y -+=.(2)设过点()1,0-的切线与该曲线相切于点()00,x y ,则切线的酙率为0203x x k y x =='=,20003000311y x x y x -⎧=⎪+∴⎨⎪=+⎩.整理得32002310x x +-=. ()()2001210x x ∴+-=.【解析】得01x =-或012x =. ∴所求的切线为330x y -+=和3430x y -+=已知切线方程求参数先由方程组()()000f x y f x k⎧=⎪⎨=⎪⎩'求出切线方程()()000y y f x x x --'=,其中()00,y x 为切点,再与题目中所给切线方程对照,求出参数.【例1】已知函数()ln()f x ax b x =+-(),a b ∈R ,若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为21y x =-+,求,a b 的值. 【解析】()1af x ax b='-+, ()()()112,1ln 11,a f a bf a b ⎧⎪⎪=-=-⎪∴+⎨⎪⎪=+-=-⎩'⎪ 【解析】得1,2a b =-=.【例2】设函数()()1ln (f x x x a x =+--1),若函数()f x 的图像与直线1y x =-相切,求a 的值.【解析】()1ln x f x x a x+=+-',设䧂点为()00,x y , 则切线为()()000y y f x x x --'=,即000001ln ln 1x y x a x x x a x ⎛⎫+=+--++- ⎪⎝⎭.又切线为00001ln 11,ln 0x x a x y x x x a +⎧+-=⎪=-∴⎨⎪-++=⎩, 消a 得00012ln 0x x x -+=.设()12ln g x x x x=-+,易知()g x 为减函数,且()10g =,01,1x a ∴==.第34讲 函数的单调性单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具,通过求解一阶导函数并判定其正负号,进而得到原函数单调性.利用导函数研究函数单调性是导函数这一块知识贯穿始终的东西,如果单独拿出来考查可以分为两类题型:第一类是求导来讨论函数的单调性.第二类是给出函数单调性,然后来求出参数的取值范围,这一类通常把的单调性问题转化为导函数的不等式问题,按照不等式问题的解法来求解即可. 下面是导函数和原函数单调性之间的联系,希望读者认真掌握: (1)函数()f x 在(),a b 可导,那么()f x 在(),a b 上单调递增()(),,0x a b f x ∀∈'⇒≥.(2)函数()f x 在(),a b 可导,则()f x 在(),a b 上单调递减()(),,0x a b f x ∀∈'⇒≤.进一步可说,函数()f x 在(),a b 内可导,且()f x '在(),a b 任意子区间内都不恒等于0.则当(),x a b ∈时,()0f x '≥⇔函数()f x 在(),a b 上单调递增.()0f x '≤⇔函数()f x 在(),a b 上单调递减.求无参函数的单调区间(因式分解法)函数没有参数的话是相对较简单的,只需要求导,并判定出导函数的正负号即可判定出原函数的单调性,其中对导函数因式分解后就能判定出每个因式的正负号,进而判定总的导函数的正负号,所以,我们求导后一定要想办法因式分解,下面给出利用导数求函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数的定义域.(2)求出()f x 的导函数()f x ',并因式分解.(3)令()0f x '=,求出x 的解集,即可分割出()f x 的单调增(或减)区间. (4)列出表格或者进行描述.【例1】已知()()2144e ex g x x x =-+-,求函数()g x 的单调区间.【解析】()y g x =的定义域为R ,()()()()()()2224e 44e 22e 2e 2e ,x x x x x g x x x x x x x x =-+-+'=-+-=- 令()0g x '=得2x =或0.x =当x 变化时，()g x '，()g x 变化如下表所示：()g x ∴的单调递增区间为(),0∞-和()0,2,单调递减区间为()0,2. 【例2】已知函数()2ln 3f x x x x =+-,求()f x 的单调增区间. 【解析】()()2ln 3,f x x x x f x =+-的定义域为()0,∞+,()()()2211123123.x x x x f x x x x x---+=+-=='∴ 由()0f x '>得,102x <<或1x >.故所求()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭,()1,∞+求无参函数的单调区间(连续求导法)如果一阶导函数无法因式分解,也无法求出()00f x '=的解,则要考虑多次求导,但一定记住,不论求导多少次,怎么求导,最终一定回归判定一阶导函数的正负号,进而得到原函数的单调性.【例1】列已知函数()22e 2(x f x x x =---1)(其中e 为自然对数的底数),求()f x 的单调区间。

1.已知函数 f x 是偶函数，定义域为，0 0， ，且x 0 时，
11
f
x
x ex
1
，则曲
线 y f x 在点1，f 1 处的切线方程为
y x ee
．
思考 : 思考1.切点知道了吗,怎么求切点？
思考2.怎么求在切点处切线的斜率？
2.设 P 是函数 y x x 1 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为
（这个定值k 就是切线PT 的斜率
k
lim
Pn P
k
PPn
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
f '(x0)
知识点归纳:
1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中 出现，若为解答题，主要考点为： (1)导数的几何意义; (2)直线与函数图象相切的条件。
解：f (x) ln x 1
设切点为T (x0, x0 ln x0 ) 则切线方程为 y x0 ln x0 (ln x0 1)(x x0 )
点(e2, 0) 落在切线上
e2x0 ln x0 1 0
h(x) 是单调递增
令h(x) e2x ln x 1 则h(x) e2 1 (x 0)
6.已知 S x a2 ln x a2 aR ，则S 的最小值为（ B ）
A． 2 2
B． 1 2
C． 2
D． 2
思考 : 思考1.你能观察出本题的几何意义吗？
思考2.怎样借用导数的方法解决此题？
7.若曲线C1:y
x2 与曲线 C2
:
y
ex a
（a
0 ）存在公共切线，则a

【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。

切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.. 二、经验分享(1) 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k ＝f ′(x 0)．(2)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,求证： 0 1.x > 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0x >,令,则由,可得x =()g x ∴在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.又,故当时, ()0g x <；又,故()g x 在()1,+∞上有唯一零点,设为1x ,从而可知()f x 在()10,x 上单调递减,在()1,x +∞上单调递增, 因为()f x 有唯一零点0x , 故10x x =且01x > (三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和都相切,则a 等于( )A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出a 的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求a 的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线） 【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．【答案】0或1(四) 曲线条数的确定 【例4】已知函数,若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线,所以考虑先设切点()00,x y ,切线斜率为k ,则满足,所以切线方程为,即,代入()1,P t 化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即y t =与有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标()00,x y ,切线斜率为k ,则有：∴ 切线方程为：因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得：所以问题等价于方程,令即直线y t =与有三个不同交点令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在单调递减,在()0,1单调递增所以若有三个交点,则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时,过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点()(),P t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,可把问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数()f x 是偶函数,当0x >时, ,则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B6．【2018届河南省天一大联考】已知()f x 是定义在R 上的单调函数,满足,则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为（ ）A. 1y x =+B. 1y x =-C. 1y x =-+D. 1y x =-- 【答案】A【解析】由题意可得()xf x e -为一固定的数,设,则有()1f a =.由可得,当x a =时,有,解得0a =.∴()xf x e =,∴()xf x e '=.∴,又.∴曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y 1x -=,即1y x =+.选A. 7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,P P 为曲线:ln C y x =（0x >且1x ≠）上的两点,分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点,若,则MN =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P 为函数与图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（ ）A. 3423eB. 3432e C. 2343e D. 2334e【答案】D【解析】设()y f x =与在公共点()00,P x y 处的切线相同, ,由题意,即,由得0x a =或03x a =-（舍去）,即有,令,则,于是当,即130t e <<时, ()'0h t >；当,即13t e >时, ()'0h t <,故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数,在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数,于是()h t 在()0,+∞的最大值为,故b 的最大值为2334e ,故选D. 9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 【来源】数学（理）试题 【答案】A10．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为 A.21e B. 212e C. 213e D. 214e【答案】A【解析】由题意,可得,由(1)得,解得0x a =或013x a =- (舍去),代入(2)得,,构造,则()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()b h x -=的最小值为,所以b 的最大值为21e ,故选A. 11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,则实数m 的取值范围是 （ ） A. 2m > B. 2m ≤ C. 12m >- D. 12m ≤-【答案】A【解析】∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,成立,故选A16.已知函数（,a b R ∈）,()2g x x =.（1）若1a =,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直,求b 的值；（2）若2b =,试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a 值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线,∵2b =,∴,∴, ()'2g x x =,由得,即,∴,故02a x =. ∵函数()f x 的定义域为()0,+∞,当0a ≤时,,∴函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当1t =时, ln 0t =,,由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程有且只有两个根.综上,当0a ≤时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.。