高中数学《抛物线》练习题

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|.2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离 B ．F 到y 轴的距离 C ．F 点的横坐标 D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y 2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p2＝0(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy－p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2，x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A.二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5. 12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎨⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎨⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋2－1，解得p ＝2. 三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时， 求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎨⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k )2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。

抛物线11．若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．42．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 3．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．双曲线D ．椭圆4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，P (x 0，y 0)为C 上一点，若|PF |＝32x 0，则△POF 的面积为( )A ．1B ．2C ．22D ．245．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为( )A ．1B ．1或3C ．2D ．2或66．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．27．(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝⎛⎭⎫23，y 1，B (1，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________．8．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.9．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.11.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．12．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．。

《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x ay 12=，a p 12=∴①当0>a 时，ap 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a，准线方程是：ax 41-=． 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=x y kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S Θ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可．证明：如图所示，连结P A 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形P ABN 为菱形．即有PN PA =．..l PN l AB ⊥∴⊥Θ则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF Θ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P'上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m mnn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴kk 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x ΘΘ则323211522<+-≤k 即3252<≤x ．3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k Θ 化简得：032322=-+x y x∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ．设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ，221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围． 解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=．(2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ．)2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值．说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =；(3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=．∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．典型例题十二例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为)2,2(．。

1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。

，py x py x 2222-==4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y 2=kxk>0时开口向右(k/4,0) x= ─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上(0,k/4) y= ─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程．C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y 2=－16x例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。

3.3 抛物线【题组一 抛物线的定义】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．3B ．4C D【答案】A【解析】抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线，则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以123d d +==，故选A.2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于（ ） A ．12B ．1C ．3 2D ．2【答案】D【解析】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p = ∵p ＞0，∴p=2.故选D ．3．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（文））已知抛物线24y x =上点B （在第一象限）到焦点F 距离为5，则点B 坐标为（ ）A ．()1,1B ．()2,3C ．()4,4D ．(【答案】C【解析】设()()000,,0B x y y >， 因为点B 到焦点F 距离为5即5BF =, 根据抛物线定义：00152pBF x x =+=+=， 解得：04x =，代入抛物线方程24y x =， 得04y =即()4,4B 故选：C4．（2020·广东佛山.高二期末）已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是（ ）A ．32B ．52C ．74D ．94【答案】C【解析】抛物线2y x =焦点1(,0)4F ，准线方程为14x =-，设点M 的横坐标为0x ，根据抛物线的定义，0017||2,44MF x x =+=∴=.故选:C5．（2020·定远县民族学校高二月考（理））已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ） A ．2 B ．2± C ．4 D ．4±【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =，所以04x =±，故选D ．6．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1 B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞2【答案】D【解析】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ．7．（2019·河南濮阳.高二月考（文））若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为C 的焦点，则||PF 的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．14D ．18【答案】D【解析】由y ＝2x 2，得212x y =，∴2p 12=，则128p =， 由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF |的最小值为18．故选D ． 【题组二 抛物线的标准方程】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若13sin MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【解析】作MD EG ⊥，垂足为点D ．由题意得点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =得04px =．①由抛物线的性质，可知，0||2pDM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：0x p =．②． 由①②，解得：02x p ==-（舍去）或02x p ==．故抛物线C 的方程是24y x =． 故选C ．2．（2020·定远县育才学校高二月考（文））设斜率为2的直线l 过抛物线2y ax ＝ ()0a ≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ．若(OAF O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±8x【答案】D【解析】2y ax ＝的焦点是,04a F （），直线l 的方程为2()4a y x =-，令0x =得,(0,)22a ay A =，所以由OAF △的面积为4得，214,64,8224a a a a ⋅⋅===±，故选D .3．（2020·天津和平.耀华中学高二期末）设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 的面积为则p 的值为( )A B C D 【答案】C【解析】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、，由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即123x x p -=……①， 又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142pOF ON NF x x x =+=+-=……②， 由①②可解得123,26p px x ==， 在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=，所以BM p ==，所以132CDF S P P ∆==,解得2p =或2p =-（舍去）， 故选：C4．（2018·河南洛阳.高二一模（文））已知点(0,2)A ，抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线准线相交于N ，若MN =，则p 的值为（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】依题意F 点的坐标为（2p，0），设M 在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|=|MK|，5FM MN ∴=则|KN|：|KM|=2：1，02402FN k p p -==--，42p∴-=得p=2，选C. 5．（2019·黑龙江香坊.哈尔滨市第六中学校高二期中（文））已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.【答案】2 2【解析】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-，点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（）故答案为2,26．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF-=，则抛物线C 的标准方程为____．【答案】22y x =【解析】如图所示，设(0)2AFO παα∠=<<，过点B 作BB l '⊥于点B '，由抛物线的定义知，BF BB ='，FC p =，ABB AFO α∠=∠='；在Rt AB B '∆中，cos BB BF ABABα=='，cos BF AB α=，从而(1cos )AF BF AB AB α=+=+；又1AF AF BF-=，所以(1cos )1cos AB AF AB αα+-=，即1cos 1cos AF αα+-=，所以1cos AF α=；在Rt AFC ∆中，cos CF pAFAFα==，cos p AF α=， 所以1·cos 1cos p αα==， 所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．7．（2020·四川省广元市川师大万达中学高二期中）已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为_____.【答案】2；【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣， 因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切，所以3+=4，解得p=2． 故答案为2【题组三 直线与抛物线的位置关系】1．（2018·湖南衡阳市八中高二期中（文））过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条2．（2020·四川南充.高二期末（文））已知过点M （1，0）的直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 方程为______． 【答案】2x +y -2=0【解析】依题意可设直线AB 的方程为：x=ty+1，代入y 2=2x 得2220y ty --=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2=-2，y 1+y 2=2t ，所以12121212122()22422OA OB y y y y t k k t x x y y y y ++=+=+===--，∴21t -=，解得12t =-， ∴直线AB 的方程为：x=12y -+1，即2x+y-2=0．故答案为2x+y-2=0． 3．（2020·四川阆中中学高二月考（文））直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于________. 【答案】94【解析】如图，直线440kx y k --=过定点1(4，0)，而抛物线2y x =的焦点F 为1(4，0)，∴弦AB 的中点到准线14x =-的距离为1||22AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于19244+=． 故答案为：94．4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））设抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若32PF =，则直线l 的方程为__________．0y --=【解析】抛物线方程为24y x =，∴抛物线焦点为()1,0F ，准线为:1l x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，因为P 在第一象限，所以直线AB 的斜率0k >， 设直线AB 方程为()1y k x =-，代入抛物线方程消去y ，得()2222240k x k x k -++=，21212224,1k x x x x k+∴+==， 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ， 设P 点的坐标为()00,x y ，可得()01212y y y =+， ()()11221,1y k x y k x =-=-，()21212224422k y y k x x k k k k k+∴+=+-=⋅-=， 得到00221,y x k k =∴=，可得212,P k k ⎛⎫⎪⎝⎭，32PF =，32=，解之得22k =，所以k =)1y x =-0y -=,0y --=. 【题组四 弦长】1．（2019·安徽滁州.高二期末（理））已知,A B 为抛物线2:4C y x =上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若5AB FB =，则||AB =（ ）A ．252B ．10C ．254D ．6【答案】C【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，又(1,0)F ，∴()221,FB x y =-，∴21255x x x -=-，2125y y y -=，∴1212544x x y y =-⎧⎨=-⎩，由()()22222244454y x y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得21144x x ==，，∴1225||24AB x x =++=. 故选C ．2．（2020·江西赣州.高二月考（理））过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，且1243x x +=，则弦AB 的长为（ ） A ．163B ．4C ．103D ．83【答案】C【解析】抛物线的焦点弦公式为：12x x p ++，由抛物线方程可得：2p =，则弦AB 的长为12410233x x p ++=+=.本题选择C 选项. 3．（2020·河南淇滨。

一、单选题1. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（）A．2 B．4 C．6 D．82. 若P为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．不确定3. 设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为（）C．D．A．B．4. 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（）C．D．A．B．5. 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（）B．1 C．D．A．6. 已知是拋物线上的三点，如果直线被圆截得的两段弦长都等于，则直线的方程为（）A．B．C．D．二、多选题7. 已知抛物线，为坐标原点，点P为直线上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则（）A．抛物线的焦点坐标为（0，1）B．抛物线的准线方程为C．直线AB一定过抛物线的焦点D．8. 下列结论正确的是（）A．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为B．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为C．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P的轨迹方程为D．已知，若动点满足，则的轨迹方程是三、填空题9. 已知点，的焦点是F，P是上的点，为使｜PA｜+｜PF｜取得最小值，P点的坐标是________．10. 长轴长为8，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为______．11. 已知椭圆：，抛物线：，两者的一个交点为，点.定义.若与交于，两点，则周长的取值范围为______.12. 已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是正三角形，且，则抛物线的准线方程为__________.四、解答题13. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上一点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）设Q为曲线上的一点，过点Q作抛物线C的两条切线QA、QB，切点分别为A、B，且QA、QB的斜率分别为、，求的取值范围. 14. 已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求．15. 设椭圆的焦点在轴上，离心率为，抛物线的焦点在轴上，的中心和的顶点均为原点，点在上，点在上.(1)求曲线，的标准方程；(2)请问是否存在过抛物线的焦点的直线与椭圆交于不同两点，使得以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 16. 设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（）的直线l与C交于A，B两点，．(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．。

高考数学复习题库抛物线抛物线一.选择题1.抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )A. B. C.－ D.－解析根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－. 答案 D2.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝( )A. B.1 C.2 D.3 解析∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去). 答案 C3.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( ). A. B.1 C.2 D.4 解析抛物线y2＝2px(p ＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2. 答案 C4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( ). A.18 B.24 C.36 D.48 解析如图，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0). ∵当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6. 又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36. 答案 C5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（） A. B. C. D. 答案 C6.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( ). A.n＝0 B.n＝1 C.n＝2 D.n≥3 解析结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形.本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦. 答案 C7.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B.3 C. D. 解析依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案 A二.填空题8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.解析设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝. 答案9.已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案 y2＝4x10.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________. 解析过N 作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝. 答案11.设圆C 位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________. 解析依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a ＝－1.答案－112. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。

抛物线一、单选题1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为1y =的抛物线的标准方程是( ) A ．22x y = B ．22y x =C ．24x y =- D ．24y x =-【答案】C 【解析】根据题意，抛物线的准线方程为1y =，即其焦点在y 轴负半轴上，且12p=，得2p =， 故其标准方程为24x y =-.故选：C2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1(0,)2B ．1(0,)8C ．1(,0)2D ．(1,0)【答案】B 【解析】整理抛物线方程得212x y =， ∴焦点在y 轴，14P =，∴焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.3．（2020·北京高三月考）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A ．1(0,)2- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(0,4)-【答案】B-，故选B.准线方程为：，与y轴的交点为(0,1)4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线24=上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的x y距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】y=-，因为点A的纵坐标抛物线24x y=焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所为4，所以点A到抛物线准线的距离为415以点A与抛物线焦点的距离为5.5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线2C y px p=>的焦点为F,准线为l,且l过点:2(0)()N,则MN MF+的最小值为1,22,3,M-在抛物线C上,若点()A．2 B．3C．4 D．5【答案】B由题可得,:2l x =-.由抛物线的定义可知,2M MF x =+,所以MN MF +=2123M MN x ++≥+=.故选B ．7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（ ） A ．6 B ．8 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】因为抛物线2:2C x py =的准线为2py =-， 又准线l 与圆()()22:1216M x y -+-=相切， 所以242p+= ，则4p =. 故选D8．（2020·天津高三一模）已知抛物线24y x =与()220x py p =>的焦点间的距离为2，则p 的值为（ ）A ．B ．4C ．6D ．12【答案】A 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，抛物线()220x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2=，0p >，解得p =故选：A.9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C .10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A ．16 B ．10 C ．12 D ．8【答案】C 【解析】因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p 的值可取（ ）A ．1B ．2C ．9D ．18【答案】BD 【解析】设00(,)M x y ，所以有2002y px =，由点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有0102px +=，06y =，所以有20020021020360226y px p x p p p y ⎧=⎪⎪+=⇒-+=⇒=⎨⎪=⎪⎩或18p =.故选：BD12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2py =-，点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选：BC.13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．2p = B ．F 为AD 中点C ．2BD BF =D ．2BF =【答案】ABC如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E . 直线的斜率为3，故tan 3AFM ∠=，3AFM π∠=，4AF =，故2MF =，3AM =.2,232p A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得到2p =； 2NF FM ==，故AMF DNF ∆≅∆，故F 为AD 中点；6BDE π∠=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =； 故选：ABC .三、填空题14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线22y x =-上一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______. 【答案】338【解析】抛物线方程的标准形式为：22y x =-，准线方程为18y =，由抛物线的定义得：点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线18y =的距离d ，因为点P 到x 轴的距离是4，所以133488d =+=，故填：338.15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a ＝________. 【答案】18- 【解析】抛物线2y ax =的标准方程为21x y a=, 则a ＜0且2＝－14a， 得a ＝－18. 16．（2020·北京高三其他）如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______. 【答案】42± 【解析】抛物线22y px =的准线方程为2px =-， 由题意得462p+=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上， ∴2244m =⨯⨯，∴42m =± 故答案为：42±.17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线24y x =的焦点F 坐标为_____，过F 的直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，若2AF FB =，则A 点坐标为_____. 【答案】()1,0 (2,22± 【解析】抛物线24y x =的焦点F 的坐标为()1,0；设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，由2AF FB =得122y y -=，122y y ∴=-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，124y y ∴=-， 所以121242y y y y =-⎧⎨=-⎩，解得1y =±，21124y x ∴==，因此，点A的坐标为(2,±. 故答案为：()1,0；(2,±. 四、解答题18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线212y x =，双曲线221y x m-=，它们有一个共同的焦点.求：（1）m 的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.【答案】（1）8m =，3e =；（2）准线方程为3x =-，渐近线方程为y =± 【解析】（1）抛物线212y x =的焦点为(3,0)，由双曲线221(0)y x m m-=>，可得19m +=，解得8m =，双曲线的1a =，3c =，则3ce a==； （2）抛物线212y x =的准线方程为3x =-，双曲线2218y x -=的渐近线方程为y =±.19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ．（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．【答案】（1）抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）；（2）M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1． 【解析】（1）抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y 2=2px ，把（4，4）代入，得，16=2×4p ，∴p=2 ∴抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）（2）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），F （1，0），M 是PF 的中点，则x 0+1=2x ，0+y 0="2y" ∴x 0=2x ﹣1，y 0=2y∵P 是抛物线上一动点，∴y 02=4x 0∴（2y ）2=4（2x ﹣1），化简得，y 2=2x ﹣1． ∴M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1．20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()5,M m 到焦点F 的距离为6.（1）求,p m 的值；（2）过点()2,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程. 【答案】（1）2p =，m =±（2）230x y --=. 【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：562pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，25420m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-，1212124l y y k x x y y -∴==-+， ()2,1P 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()122y x -=-，即230x y --=.21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为12时，4PE PD =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设DE 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围.【答案】()124x y =；()22b > 【解析】()1由题意可知,直线l 的方程为()142y x =+,与抛物线方程2:2(0)C x py p =>方程联立可得, ()22880y p y -++=,设()()1122,,,D x y E x y ,由韦达定理可得,12128,42p y y y y ++==, 因为4PE PD =,()()22114,,4,PE x y PD x y =+=+,所以214y y =,解得121,4,2y y p ===,所以抛物线C 的方程为24x y =; ()2设():4l y k x =+,DE 的中点为()00,x y ,由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 可得24160x kx k --=, 所以判别式216640k k ∆=+>,解得4k <-或0k >,由韦达定理可得,()20002,4242D E x x x k y k x k k +===+=+,所以DE 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--, 令0x =则b =()2224221y k k k =++=+, 因为4k <-或0k >,所以2b >即为所求.22．（2020·广东省高二期末）已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k =或1k =-或12k = 【解析】（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设A ，(4,B -，又OAB 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥，1=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k +=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，过点P 作PE 垂直于l ，交l 于E ，PEF 是边长为8的正三角形.（1）求C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线m 与C 交于A ，B 两点，若3MA MB =，求直线m 的方程.【答案】（1）28y x =（2）66y x =-或66y x =-+ 【解析】（1） 由PEF ∆是边长为8的等边三角形，（2） 得||||||8PE PF EF ===，又由抛物线的定义可得PE l ⊥．设准线l 与x 轴交于D ，则//PE DF ，从而60PEF EFD ∠=∠=︒，在Rt EDF ∆中，1||||cos 842DF EF EFD =∠=⨯=，即4p =． 所以抛物线C 的方程为28y x =；（2）设直线m ：1x ty =+，代入28y x =得2880y ty --=，设11(,)A x y ，22()B x y ，则128y y t +=，128y y =-， 因为3MA MB =， 所以123y y =，设123y y =-，则112y t =，24y t =-，()1248t t ⨯-=- 解得6t =±， 所以直线方程为616x y =±+， 即66y x =-或66y x =-+。

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.3抛物线 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则9PN QM +的最小值为A ．36B ．42C ．49D ．50【答案】B 【解析】 【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得124x x =，则229910PN QM PC QC +=++，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果. 【详解】设抛物线方程为22y px =由抛物线过定点()2,4得28p =，抛物线方程28y x =，焦点为()22,0C ，圆的标准方程为()2221,x y -+=∴圆心为()2,0，半径1r =，由于直线过焦点，可设直线方程为()2y k x =-，设()()1122,,,,P x y Q x y()()22248408y k x kx k x k y x⎧=-⇒-++=⎨=⎩，124x x ∴= 又()()22229199910PN QM PC QC PC QC +=+++=++()()121212292109302930123042x x x x x x =++++=++≥⋅=+=，12x x =时等号成立，9PN QM ∴+的最小值为42，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式a b +≥求最值，要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”. 2．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 则p 的值为( )A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据线条长度关系解除A 、B 点横坐标12x x 、（用p 表示）， 然后利用三角形面积公式列出一个关于p 的方程，解出p 即可. 【详解】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、， 由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即123x x p -=……①， 又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142p OF ON NF x x x =+=+-=……②， 由①②可解得123,26p px x ==，在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=， 所以228443333BM p p p ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以143323CDF S P P ∆=⨯=, 解得62p =或62p =-（舍去）， 故选：C 【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键. 3．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==，∴()1,2C -，设抛物线22y px =，代入C 点，可得22y x =-∴焦点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.4．已知点A 是抛物线()220y px p =>上的一点，若以其焦点F 为圆心，以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B 、C 两点，若BFC θ∠=且满足22sin sin sin 23cos θθθθ+-=，当ABC 的面积为643时，则实数p 的值为( ) A ．4 B ．42C ．8D ．82【答案】B 【解析】由22sin sin sin23cos θθθθ+-=,移项得sin sin23cos θθθ-=-22sin θ,化简为2sin 2sin cos 3cos 22cos θθθθθ-=-+,即()()()sin 12cos cos 22cos 1θθθθ-=+-,可得()()2cos 1sin cos 20θθθ-++=,1cos ,23πθθ==,又由图知EF p =,则在EFB∆中,22tan2BC BE p θ==,设A 到BC 的距离为d,则d AF BF ==,cos2pBF θ=,211264···2tan ?22233cos 2ABC p S BC d p p θθ∆====,解得p=故选B.点睛:本题考查圆锥曲线和三角函数的综合问题,属于中难档题目.首先根据题中给出角的等式,利用二倍角公式和诱导公式,结合因式分解求出角的值,再根据三角形的面积公式,结合抛物线的定义以及圆的定义,将三角形的底和高都用抛物线方程中的p 和角θ来表示,列出三角形ABC 的面积,求出p 的值. 5．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =（0x >）和0y =C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）【答案】D 【解析】圆2240x y x +-=化为()2224x y -+=，圆心()2,0C ，半径2r，设动圆的圆心为(),M x y ，半径为r ，则根据题意0r x =≠，且2MC r =+2x =+，当0x >时，化简有()()22222x y x -+=+，即28y x =，当0x <时，化简有()()22222x y x -+=-+，即0y =，故选择D.点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则MF d =，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力.6．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线C ：24y x =，如图，一条平行于x 轴的光线从点()()114,14A y y <<发出，射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线C 的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出至点()24,B y ，下列说法中正确的是（ ）A ．光路APQB 长度的最小值为10 B ．光路APQB 长度的最大值为10C ．光路APQB 长度恒等于10D ．以上说法均不正确【答案】C 【解析】 【分析】本题先求2p =，再化简P Q PQ x x p =++，4P PA x =-，4Q QB x =-，最后再确定光路APQB 长度等于PA PQ QB ++化简整理即可得到答案. 【详解】解：根据题意设(,)Q Q Q x y ，(,)P P P x y ，因为抛物线方程为：24y x =，所以24p =即2p =根据抛物线的定义：P Q PQ x x p =++，根据题意：4A P P PA x x x =-=-，4B Q Q QB x x x =-=-， 光路APQB 长度等于PA PQ QB ++，(4)()(4)810P P Q Q PA PQ QB x x x p x p ++=-++++-=+=，所以光路APQB 长度恒等于10. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义，焦点弦的几何意义，是中档题.7．已知双曲线22221x y a b-=5圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A ．25y x =B ．25y x =C ．25y x =D ．25y x =【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为by x a=，圆心坐标为(),0c ，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得222bca b =+ ，即2b = ，又因为离心率为245a a += ，可得1,5,5,252pa c p =∴=∴== ，所以抛物线的方程为245y x = ，故选B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．已知直线是抛物线的准线，是上的一动点，则到直线与直线的距离之和的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由抛物线的定义可知点到准线的距离等于；点到直线的距离；结合图形可知当且仅当三点共线时，距离之和最小，其最小值为点到直线的距离，即，应选答案C 。