浙江省宁波市鄞州中学高2020届高2017级高三下学期冲刺考试数学试题及参考答案解析

37金考卷浙江新高考考前原创冲刺卷(四)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.()211ii +=-( )A.1122i - B.1122-+i C.2i - D.2i +【参考答案】B 【试题解析】利用复数的乘除运算求解.()211112221ii i i i ++==-+--. 故参考答案：B.本题主要考查复数的运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 2.已知集合{}{}23100,A x x x B x x m =--≤=≥,若2m ≤-,则 A.A B ⊂≠ B.B A ⊂≠ C.A B =∅D.AB R =【参考答案】A 【试题解析】通过解不等式得出集合A ,根据m 的范围,可以做出集合A 与集合B 的关系示意图,得出选项. ∵{}2|3100A x x x =--≤,解不等式23100x x --≤ 得：25x -≤≤,所以集合{|25}A x x =-≤≤因为2m ≤-,所以做出集合A 与集合B 的示意图如下图所示,从图中可以看出A B ⊂≠, 故选A .本题考查集合间的关系,属于基础题.3.已知直线,m n 和平面α,若m α⊥,则“m n ⊥”是“//n α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要【参考答案】B 【试题解析】由线面关系可知m n ⊥,不能确定n 与平面α的关系,若//n α一定可得m n ⊥,即可求出答案.,m m n α⊥⊥,不能确定αn ⊂还是αn ⊄,//m n n α∴⊥,当//n α时,存在a α⊂,//,n a , 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥,所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件, 故参考答案：B本题主要考查了必要不充分条件,线面垂直,线线垂直的判定,属于中档题.4.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,以F 为圆心F与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若四边形OAFB 为菱形(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率e =( )B.3D.2【参考答案】D 【试题解析】根据四边形OAFB 为菱形,且圆的半径为c =得到OFB △是正三角形,60BOF ∠=︒,则ba=.双曲线C 的半焦距c =,∴圆F 过原点O .依题意易知OFB △是正三角形,60BOF ∴∠=︒,ba∴=2e ∴==.故参考答案：D.本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5.在二项式()1nx -的展开式中,已知3x 项和4x 项的系数之和为0,则该展开式中的所有项的二项式系数之和为( ) A.0B.64C.128D.256【参考答案】C 【试题解析】先得到二项式()1nx -的展开式的通项()11n rrr r n T C x -+=⋅-⋅,然后分别令3r =,4r =,求得3x 项和4x 项的系数,然后根据之和为0,解得n ,再由所有项的二项式系数之和为2n 求解.二项式()1nx -的展开式的通项()11n rr r r n T C x -+=⋅-⋅,令3r =,得3x 项的系数为()331n n C -⋅-, 令4r =,得4x 项的系数为()441n n C -⋅-.根据题意得()()3434110n n n n C C --⋅-+⋅-=,所以34n n C C =,得7n =,所以该展开式中的所有项的二项式系数之和为72128=. 故参考答案：C.本题主要考查二项式定理的项的系数和二项式系数的和,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6.已知随机变量X 的所有可能取值为1-,1,2,且()mP X k n k==+(1k =-,1,2,m ,n 为实数),则随机变量X 的数学期望()E X 的最大值为( ) A.10- B.10C.107-D.107【参考答案】D 【试题解析】根据()mP X k n k==+,分别求得()()(),1,–12===P X P X P X ,代入期望公式得到()32=+E X m n ,再根据概率之和为1,确定m ,n 的关系代入上式,建立函数模型求解.由题意知,()–1==-+P X m n ,()1P X m n ==+,()22mP X n ==+, 所以()()12m m n m n n ⎛⎫-+++++=⎪⎝⎭,即312m n +=,所以()()()()1122⎛⎫=--++⋅++⋅+⎪⎝⎭m E X m n m n n , ()326132616=+=-+=-m n n n n ,又0m n -+≥且312mn +=, 所以27n ≥, 所以106167n -≤, 即()E X 的最大值为107. 故参考答案：D.本题主要考查离散型随机变量的期望,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7.现有A ,B ,C ,D ,E 五位学生人座教室中间的编号分别为A ,B ,C ,D ,E 的五个座位,每位学生规定只能坐一个座位,若五位学生中只能有一位学生的编号与座位编号相同,其余学生不能坐与自己编号相同的座位,则不同的安排方案共有( ) A.120种 B.45种 C.24种 D.9种【参考答案】B 【试题解析】根据要求,先从A ,B ,C ,D ,E 五位学生中选一位学生坐到与自己编号相同的座位上,算出方法数,再从剩余的四位学生选一位学生先选座位,然后由被选到的学生去选,以此类推,最后用分步计数原理求解.根据题意,先从A ,B ,C ,D ,E 五位学生中选一位学生坐到与自己编号相同的座位上,有155C =种选法,不妨设选到学生E 去坐座位E ,然后A ,B ,C ,D 四位学生坐A ,B ,C ,D 四个座位,每位学生不能坐与自己编号相同的座位,不妨先由A选,可从B,C,D三个位置中选1个,有3种选法, 再由编号与A选到的位置编号相同的学生去选,有3种选法, 剩下两人和两个位置只有1种选法,由分步乘法计数原理得共有15331145C⨯⨯⨯⨯=种不同的安排方案. 故参考答案：B.本题主要考查排列组合计数原理,还考查了理解辨析,逻辑推理的的能力,属于中档题. 8.在等腰梯形ABCD中,已知AB＝AD＝CD＝1,BC＝2,将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD,如图,则直线BA′与CD所成角的取值范围是( ) A.[,]32ππ B.[,]63ππ C.[,]62ππ D.[0,]3π【参考答案】A 【试题解析】根据翻折过程中∠A′BD=30°,BA′可以看成以B为顶点,BD为轴的圆锥的母线,将问题转化为圆锥的母线与底面内的直线所成角的取值范围. 由题：在等腰梯形ABCD中,已知AB＝AD＝CD＝1,BC＝2, 取BC中点M,连接AM,易得四边形AMCD是平行四边形,所以AM=DC=AB, 所以△ABM是等边三角形,则∠ABC=60°,∠ABD=30°,∠A′BD=30°,CD⊥BD, 在翻折过程中,BA′绕着BD旋转,BA′可以看成以B为顶点,BD为轴的圆锥的母线,CD为圆锥底面内的直线,将本问题转化为求解如图圆锥中母线与底面直线所成角的取值范围,其中母线与轴夹角为30°,所以母线与底面直线所成角的取值范围为[,]32ππ故参考答案：A此题考查平面图形翻折问题,根据翻折变化求解直线所成角的取值范围,关键在于合理进行等价转化求解.9.已知向量a ,b ,c 满足1a ≤,2b ≤,且()()0c a c b -⋅-≥恒成立,则c 的最小值为( ) A.2B.5C.7D.3【参考答案】B 【试题解析】设OA a =,OB b =,OC c =,根据1a ≤,2b ≤,由几何意义画出图形,再根据()()0c a c b -⋅-≥恒成立,由圆的知识可得其夹角2ACB π∠≤恒成立,再利用数形结法合求解. 如图：设OA a =,OB b =,OC c =,则A 是以O 为圆心,1为半径的圆周上的一点或其内部的一点,B 是以O 为圆心,2为半径的圆周上的一点或其内部的一点.因为()()cos 0c a c b c a c b ACB -⋅-=-⋅-⋅∠≥恒成立,所以2ACB π∠≤恒成立.所以点C 在以点O 为圆心,2为半径的圆外.由图形可知,当CA ,CB 分别与两圆相切,且CA ,CB 在OC 两侧时,ACB ∠最大, 当2ACB π∠=时,c 最小.此时,四边形OACB 为矩形,2c OA =+=.故参考答案：B.本题主要考查平面向量的模的求法以及几何意义的应用,还考查了数形结合的思想和分析问题,求解问题的能力,属于中档题.10.已知实数1a >,正实数1x 满足方程1xa x=,正实数2x 满足方程21log 2a x x =,则124x x +的取值范围是( ) A.()3,+∞ B.[)3,+∞C.()4,+∞D.[)4,+∞【参考答案】B 【试题解析】根据实数2x 满足方程21log 2a x x =,化简得到22122x x a =,实数1x 满足方程1x a x=,则有111x a x =,根据方程的结构可得1x ,221x 均是方程1xa x =的根,然后构造函数()11x y a a x =->,由()11xy a a x =->在()0,∞+上单调递增,得到1221x x =,代入124x x +,建立函数模型利用导数求解. 因为实数2x 满足方程21log 2a x x =, 所以2221log 2a x x =,即22221log a x x =,即22122x x a =. 又实数1x 满足方程1xa x=, 所以111x a x =,所以1x ,221x 均是方程1xa x=的根. 易知函数()11xy a a x=->在()0,∞+上单调递增, 所以方程1xa x=有唯一根, 所以1221x x =, 所以1222244x x x x +=+. 令24y x x =+,0x >,则381y x '=-+, 当()0,2x ∈时,0y '<,当()2,x ∈+∞时,0y '>,所以()240y x x x=+>在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增, 又当0x →时,y →∞＋,当x →+∞时y →+∞,所以(2)3≥=y y ,故124x x +的取值范围是[)3,+∞. 故参考答案：B.本题主要考查函数与方程以及导数的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.“割圆术”由魏晋时期数学家刘徽首创,他在其所著的《九章算术注》中提出“割圆”之说,即从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,直至圆内接正九十六边形,记正多边形的面积为S ,外接圆的半径为r ,利用2Sr 估计圆周率.割圆术的第二步是利用正十二边形估算圆周率,利用正十二边形估算的圆周率的值为________. 【参考答案】3 【试题解析】先分析出正十二边形的构成,再利用三角形面积求解正十二边形的面积,即可估算圆周率.如图所示：可知,正十二边形由12个全等的顶角为30的等腰三角形组成,每个等腰三角形的面积为2211sin 3024r r ⨯︒=⨯, 故正十二边形的面积2211234S r r =⨯=,故利用正十二边形估算的圆周率的值为23Sr=.故答案为：3本题主要考查正多边形和圆,三角形的面积公式,还考查了理解应用的能力,属于基础题. 12.已知某几何体的三视图如图所示,所有线段的长均为1,弧线均为14圆弧,则该几何体的体积为________,表面积为________.【参考答案】 (1).16π- (2).64π-【试题解析】根据三视图得到,该几何体为一个棱长为1的正方体挖去一个半径为1的18球,然后利用柱体和球的表面积和体积公式求解. 如图所示：由三视图可知,该几何体是棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''- ,挖去一个以A 为圆心,1为半径的18球, 故该几何体的体积为：3314111836ππ=-⨯⨯=-V ,该几何体表面积为：221161131416484πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=-S .故答案为：(1).16π- (2).64π-本题主要考查三视图还原几何体及几何体的表面积和体积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于基础题.13.已知函数()22,0,2,0x x f x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩,则()()1f f -=________,满足()()–f x f x ≤的x 的取值范围是________.【参考答案】 (1).1 (2).(][],10,1-∞-⋃ 【试题解析】利用分段函数先求()11f -=,再求()()1ff -.根据分段函数的定义域,分0x <,0x >,0x =三种情况讨论求解.由题意知()11f -=,()()()111ff f -==.若0x <,则0x ->,则由()()f x f x -≤, 得：()()222x x x --+-≤,解得1x ≤-.若0x >,则0x -<,则由()()f x f x -≤, 得()222x x x -+≤, 解得01x <≤.若0x =,满足()()–f x f x ≤. 综上,x 的取值范围是(][],10,1-∞-⋃. 故答案为：(1).1 (2).(][],10,1-∞-⋃本题主要考查分段函数求值以及分段函数解不等式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.14.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则函数()f x 的最小正周期为________,34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【参考答案】 (1).π (2).1- 【试题解析】根据函数图象易知2A =,再通过函数图象过点(3,求得ϕ,由函数图象过点7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭,且33274412T ππω=⋅>,求得ω,得到函数()f x ,然后再求周期和相应函数值. 由函数图象易知2A =,且函数图象过点(3所以3sin ϕ=, 因为02πϕ<<,所以3πϕ=.所以()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭, 又因为函数图象过点7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以72sin 2123ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以7sin 1123ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以73=2,1232k k Z πππωπ++∈, 所以77=2,126k k Z ππωπ+∈, 所以()2427k k Z ω=+∈. 由图知33274412T ππω=⋅>,所以1807ω<<,所以2ω=,所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==, 3332sin 22sin 2cos 1443233f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：(1).π (2).1-本题主要考查利用三角函数的图象求解析式及其应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.15.已知实数x ,y 满足36x y x y aππ+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩,若存在(),x y 使得()sin 1x y +=,则实数a 的最大值为________.【参考答案】3π 【试题解析】根据不等式组作出可行域.令z x y =+,作出直线0x y +=,并平移,求得z 的最值,得到z x y =+的范围2,63ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦a ,再根据存在(),x y 使得()sin 1x y +=,由2,263πππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦a 求解.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.令z x y =+,作出直线0x y +=,并平移,数形结合可知, 当平移后的直线经过点,6A a π⎛⎫⎪⎝⎭时,z x y =+取得最小值,且min 6z a π=+,当平移后的直线经过点,62B ππ⎛⎫⎪⎝⎭时,z x y =+取得最大值,且max 2623z πππ=+=, 故263a y x ππ++≤≤. 因为存在(),x y 使得()sin 1x y +=, 所以62a ππ+≤,解得3a π≤,所以实数a 的最大值为3π. 故答案为：3π 本题主要考查简单线性规划求最值以及正弦函数性质的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.16.已知数列{}n a 满足13a =-,212nn n na a a a +-=,设21log 1n n n ab a -=+,则数列{}n b 的通项公式为n b =_______,数列{}n b 的前8项和为_______.【参考答案】 (1).12n - (2).255 【试题解析】根据2112n n n n a a a a +--=,变形得到()21112nn n a a a +--=,()21112n n na a a +++=,两式相除得到()()21211111n n n n a a a a ++--=++,两边同取对数化简得到122111log 2log 11n n n n a a a a ++--=++,再由等比数列的定义求解即可.因为2112n n n na a a a +--=,所以2211122n n n n n na a a a a a +-+=-=, 所以()21112n n na a a +--=,()21112n n na a a +++=,所以()()21211111n n n n a a a a ++--=++,所以()()2122221111log log 2log 111n n n n nn a a a a a a ++---=++=+, 即12n n b b +=.又13a =-, 所以11b =,所以数列{}n b 是首项为1,公比为2的等比数列, 所以12n nb -=,所以数列{}n b 的前8项和为()881122125512⨯-=-=-.故答案为： (1).12n - (2).255本题主要考查等比数列的定义,通项公式及求和公式,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.17.已知曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离比到x 轴的距离大2,圆22:430N x y y +-+=,直线:2l y kx =+与曲线M 交于A ,D 两点,与圆N 交于B ,C 两点,其中点A ,B 在第一象限,则4AC BD +的最小值为_______.【参考答案】23 【试题解析】根据曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离比到x 轴的距离大2,利用抛物线的定义可知,曲线M 为抛物线,其方程为28x y =,焦点为()0,2F ,易知直线:2l y kx =+经过抛物线的焦点F ,则有11212AF DF p +==.然后利用圆的对称性得到445+++=AC BD AF DF ,再利用“1”的代换,用基本不等式求解.因为曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离比到x 轴的距离大2, 所以曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离与到直线2y =-的距离相等, 所以曲线M 为抛物线,其方程为28x y =,焦点为()0,2F .易知直线:2l y kx =+经过抛物线的焦点F ,所以11212AF DF p +==. 圆22:430N x y y +-+=,即()2221x y +-=,所以圆N 的圆心为F ,半径为1.()14441AC BD AF DF AF DF ++++=+=+5,()11245⎛⎫=+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭AF DF AF DF, 255255423⎛⎛⎫ =+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝AF DF DF AF ,当且仅当2AF DF =时取等号, 所以4AC BD +的最小值为23. 故答案为：23本题主要考查抛物线的定义,焦点弦,以及基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,120C ∠=︒. (1)若2a b =,求tan A 的值；(2)若ACB ∠的平分线交AB 于点D ,且1CD =,求+a b 的最小值；【参考答案】(1)2；(2)4 【试题解析】(1)由2a b =,利用正弦定理将边转化为角得到sin 2sin A B =,再根据120C ∠=︒,有()sin 2sin 60A A =︒-,然后利用两角差的正弦公式展开求解.(2)根据ACB ∠的平分线交AB 于点D ,且1CD =,由+=ACDBCDABCSSS,可得111sin 60sin 60sin120222b a ab =︒︒+︒,化简得到111a b +=,则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,再利用基本不等式求解.(1)解法一 由2a b =及正弦定理,知sin 2sin A B = 即()sin 2sin 60A A =︒-,sin sin s A A A -=∴,tan 2A ∴=. 解法二 22222212cos 42272c a b ab C b b b b b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,7c b ∴=,222222227c 7os b c a A b bc b +-⨯===⨯∴,2431cos 1si 7n 7A A =-=-=∴, sin tan cos 3A A A ∴==. (2)ACDBCDABCSSS+=,111sin 60sin 60sin120222b a ab ∴︒+︒=︒, a b ab ∴+=,即111a b+=,()1124a b t a b a b a b b a ⎛⎫=+=++=+⎝∴+≥ ⎪⎭,当且仅当2a b ==时等号成立,a b ∴+的最小值为4.本题主要考查正弦定理,基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 19.在如图所示的几何体中,平面PAB 垂直于圆D 所在的平面,AC 为圆D 的直径,B (不与A ,C 重合)为圆周上一点,M 为AB 的中点,22PAPB,24AB BC ==.(1)求证：DM PA ⊥；(2)求直线PA 与平面PDB 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析；3【试题解析】(1)根据AC 为圆D 的直径,B 为圆周上一点,得到AD BD =,又M 为AB 的中点,从而DM AB ⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ,则DM ⊥平面PAB ,从而得证.(2)根据PA PB =,M 为AB 的中点,得到PM AB ⊥,根据平面PAB ⊥平面ABC ,得到PM ⊥平面ABC ,再由DM AB ⊥,以M 为坐标原点,分别以MA ,MD ,MP 所在直线为x 轴、y 轴与z 轴建立的空间直角坐标系,再分别求得平面PDB 的一个法向量和AP 的坐标,然后代入公式cos ,⋅=⨯m AP m AP m AP求解.(1)在圆D 中,因为AC 为圆D 的直径,B 为圆周上一点, 所以AD BD =,又M 为AB 的中点, 所以DM AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,DM ⊂平面ABC , 所以DM ⊥平面PAB . 因为PA ⊂面PAB , 所以DM PA ⊥.(2)连接PM ,因为PA PB =,M 为AB 的中点,所以PM AB ⊥.又PM ⊂平面PAB ,平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =, 所以PM ⊥平面ABC .所以PM MA ⊥,PM MD ⊥, 由(1)可知DM AB ⊥,故以M 为坐标原点,分别以MA ,MD ,MP 所在直线为x 轴、y 轴与z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()2,0,0A ,()2,0,0B -,()0,1,0D ,()002P ,,,所以()0,1,2PD =-,()2,1,0BD =,()2,0,2AP =-. 设平面PDB 的一个法向量为(),,m x y z =,则00m PD m BD ⎧⋅=⎨⊥=⎩,得2020y z x y -=⎧⎨+=⎩,令2y =,则1z =,1x =-,所以()–1,2,1m =所以cos ,6m AP mAP m AP⋅===⨯所以直线PA 与平面PDB 本题主要考查线线垂直,线面垂直,面面垂直的转化以及向量法求线面角,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题. 20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*212n n S n a N =∈-.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()()1211n n n n a b a a ++=--,求证：()12312311114n nb b b b a a a a ++++<++++.【参考答案】(1)12n n a ；(2)证明见解析【试题解析】(1)根据数列通项与前n 项和的关系,当1n =时,解得11a =,当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得到12n n a a -=,再利用等比数列的定义求解.(2)由(1)知,111122121n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭,用裂项相消法求得123n b b b b ++++,根据1112n n a -=,用等比数列求和公式得到1231111n a a a a +++⋯+,再利用分析法证明.(1)当1n =时,有11212a a =-,解得11a =.当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-, 两式相减得12n n a a -=,又212a a =,所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列, 所以12n na .(2)由(1)知,()()()()11112211111221212121n n n n n n n n n a b a a -++++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭, 所以12311111111111123373372121n n n b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,1111221n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭, 所以()3112142121n n b b b b +⎛⎫=- ⎪-++⎝++⎭.因为1112n n a -=, 所以11231111111221212-⎛⎫- ⎪⎝⎭+++⋯+==--nn n a a a a .要证()12312311114n nb b b b a a a a ++++<++++,即证1111221221n n -+⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭, 即证1121212n n +-<-,即证1221n n +<-,即证21n >. 因为对任意的*n N ∈,都有12221n ≥=>,所以得证.本题主要考查数列通项与前n 项和的关系,等比数列的定义,求和公式以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.21.已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为3,直线12y =与椭圆C 交于A ,B 两点,且11AF BF ⊥. (1)求椭圆C 的方程.(2)不经过点12F F 和的直线():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,且直线l 与椭圆C 交于D ,E 两点,试判断2F DE ∆的周长是否为定值?若是,求出定值；若不是,请说明理由.【参考答案】(1)22 1.3x y +=(2)2F DE ∆的周长为定值为详见解析【试题解析】(1)根据已知条件求出A 、B 两点的坐标,再由11AF BF ⊥建立关于a ,b ,c 的方程,从而得椭圆的方程；(2)根据直线被圆所截得的弦长等于椭圆的长轴长得出k ,m 的关系,再将直线与椭圆的方程联立消去y ,得到交点的横坐标的韦达定理表达式,分别求出22,,DE F D F E ,得出2F DE ∆的周长为定值,得解.(1)因为e =,所以2222213c b a a =-=,则2213b a =，即223a b ,所以椭圆C 的方程可化为22233x y b +=,由22233,1,2x y b y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =不妨令11,,22A B ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 易知()()12,0,,0F c F c -，则2113113,,3,,22F A b c F B b c ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭因为11AF BF ⊥,所以110F A F B ⋅=,即22313044c b -++=, 又22222,3a c b a b =+=,所以2213b a ==，，所以椭圆C 的方程为22 1.3x y +=(2)由(1)知椭圆C的长轴长为因为直线():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长与椭圆C 的长轴长相等,所以圆224x y +=的圆心O (O 为坐标原点)到直线l 的距离1d ==,1=,即221.m k =+设()()1122,,,D x y E x y ,联立方程,得221,3,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()()222316310,kx kmx m +++-=()()()222222236123111231240,k m k m k m k ∆=-+-=-+=>()2121222316,,3131m km x x x x k k -=+=-++所以12DE x =-=,又221m k =+,所以DE =又2DF ===11.3x x -=-2EF ===22.3x -=所以()22122331DF EF x x k +=+=+, 所以2F DE ∆的周长是22DE DF EF ++==.所以2F DE ∆的周长为定值,为23.得解.本题考查求椭圆的方程和直线与圆、椭圆的关系中的定值问题,关键是运用设而不求的方法,设点得关系,化简求值,属于难题. 22.已知函数()1xax f x xe+=,其中()0,x ∈+∞,a R ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若对任意的0x >,()11x f x e <-恒成立,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(1)当0a ≥时,在()0,∞+上单调递减；当0a <时,在1140,2a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭+-上单调递减,在1142a a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【试题解析】(1)求导()221---'=xax x f x x e,根据()0,x ∈+∞,分0a ≥和0a <两种情况讨论求解.(2)首先将对任意的0x >,()11xf x e <-恒成立,转化为()()110x xax e xe +--<,对任意的0x >恒成立,令()()()11x xg x ax e xe =+--,然后用导数法证明()0g x <即可.(1)()()()()22211x x x xx axe ax e xe ax x f x x e xe -++---'==.当0a ≥时,()2210xax x f x x e---'=<,所以()f x 在()0,∞+上单调递减.当0a <时,对于方程210ax x ---=,140a ∆=->,所以当x ∈R 时,方程210ax x ---=有两个不相等的实数根,设为1x ,2x ,解方程,不妨取1x =,2x =,因为1210x x a⋅=<,所以10x <,20x >, 所以当20x x <<时,()0f x '<,当2x x >时,()0f x '>,所以()f x在10,2a ⎛ ⎝⎭-上单调递减,在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)()11x f x e <-可化为111x x ax xe e +<-,由于0x >,所以10x e ->,所以()()11xxax e xe +-<,即()()110xxax e xe +--<.令()()()11xxg x ax e xe =+--,于是对任意的0x >,()0g x <恒成立.()()()()111x x x x xg x a e ax e e xe a x a e a '=-++--=-+-⎡⎤⎣⎦,令()()1xh x a x a e a ⎡⎤⎣⎦=-+-,则()()121xh x a x a e '=-+-⎡⎤⎣⎦,令10210a a -≤⎧⎨-≤⎩,即12a ≤时,()0h x '≤,所以()h x 在()0,∞+上是减函数, 所以当0x >时,()()00h x h <=,即()0g x '<,所以()g x 在()0,∞+上是减函数,()()00g x g <=,符合题意. 当1a ≥时,10a -≥,210a ->,当0x >时,()1210a x a -+->,即()0h x '>, 所以()h x 在()0,∞+上是增函数, 所以当0x >时,()()00h x h >=,即()0g x '>,所以()g x 在()0,∞+上是增函数,()()00g x g >=,这与()0g x <矛盾,不符合题意.当112a <<时,令()0h x '>,得()1210a x a -+->,得1201a x a -<<-,所以()h x 在120,1a a -⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数, 当1201ax a -<<-时,()()00h x h >=,即()0g x '>, 所以()g x 在120,1a a -⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数,当1201ax a -<<-时,()()00g x g >=,这与()0g x <矛盾,不符合题意. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题主要考查导数与函数的单调性,导数与不等式恒成立,还考查了转化化归,分类讨论的思想和运算求解的能力,属于难题.。

浙江省宁波市鄞州区2017-2018学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1} 2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=__________，cos2α=__________．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=__________，S2015=__________．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为__________cm3，表面积为__________cm2．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=__________，t的取值范围是__________．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为__________．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是__________．15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．浙江省宁波市鄞州区2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域以及函数的值域求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合A={x|y=2x}={x|x∈R}，B={y|y=}={y|y≥0}，则A∩B={x|x≥0}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，集合的交集的求法，考查计算能力．2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知可求，的坐标，根据在方向上的投影为：=（θ为向量的夹角），即可求解．解答：解：由已知可得，=（2，1），=（﹣2，1），∴=2×（﹣2）+1×1=﹣3，||=，设，的夹角为θ，则向量在方向上的投影为：==．故选：C．点评：本题主要考查了向量投影定义的简单应用，属于基础试题．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若lna＜lnb，则0＜a＜b，推出＜，∴，“＜”是“lna＜lnb”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数不等式的性质是解决本题的关键．4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故A错误；对于B，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者异面；故B错误；对于C，若α⊥β，l∥α，则l与β位置关系不确定；故C错误；对于D，若l⊥α，m⊂α，满足线面垂直的性质定理故l⊥m；故D正确；故选D．点评：本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象可得A，由T=﹣，可得T，由周期公式可得ω，由（，1）在函数图象上，又|φ|＜，可解得φ，从而可得f（x）=sin（2x+），根据左加右减平移变换规律即可得解．解答：解：由函数图象可得：A=1，周期T=﹣，可得：T=π，由周期公式可得：ω==2，由（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）=1，可解得：φ=2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故可解得：φ=，故有：y=f（x）=sin（2x+），则有：f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故选：D．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移规律，属于基本知识的考查．6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出点A，点P的坐标，求出斜率，将点A，P的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=，即可求得离心率．解答：解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴k PA•k PB=•=，∵﹣=1，﹣=1，∴两式相减可得=，∵k PA•k PB=，∴=，∴=，即为c2=a2，则e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程，主要考查双曲线的几何性质：离心率的求法，属于中档题．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意画出不等式组表示的平面区域，结合直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点得到关于a，b的不等式组，然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围．解答：解：不等式组表示的平面区域如图，联立，解得A（1，2）．联立，解得B（﹣4，0）．联立，解得C（4，﹣4）．要使直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则或．（a，b）所在平面区域如图，联立，解得M（﹣1，﹣2），联立，解得N（2，1），令t=a+b，即b=﹣a+t，∴当直线b=﹣a+t过M时，t有最小值为﹣3；当直线b=﹣a+t过N时t有最大值为3．∴t=a+b的范围是（﹣3，3）．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=，分类得出当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，当m＜0时，0＜f（x）＜1，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，分别运用图象判断根的个数．解答：解：∵函数f（x）=，∴图象为∵方程f（f（x）））=m，∴当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，运用图象判断有4个根，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，运用图象判断有5个根，当m＜0时，0＜f（x）＜1，运用图象判断有3个根，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，运用图象判断有3个根，故运用排除法得出方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为2个．故选：A点评：本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=，cos2α=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．解答：解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=2，S2015=2．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．解答：解：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，所以6为数列{a n}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0，∵2015=335×6+5，S2015=335×0+（1+3+2﹣1﹣3）=2，故答案为：2，2．点评：本题考查求数列的通项及前n项和公式，注意解题方法的积累，找出数列的周期是解决本题的关键，属于中档题．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为16cm3，表面积为34+6cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出它的体积与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD⊥底面ABCD；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=×6×2×4=16，侧面积为S侧面积=S△PAB+2S△PBC+S△PCD=•6+2••2+•6•4=6+22，S底面积=6×2=12，∴S表面积=S侧面积+S底面积=6+22+12=34+6．故答案为：16，34+6．点评：本题考查了利用几何体的三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=1，t的取值范围是（，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得|2t+3|＜|4﹣t|，解此绝对值不等式，求得t的范围．解答：解：函数f（x）=是一个奇函数，设x＜0，则﹣x＞0，且f（﹣x）=﹣f（x），即﹣a（﹣x）（﹣x+2）=﹣x（x﹣2），化简可得ax（2﹣x）=x（2﹣x），∴a=1．即f（x）=，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图．由f（2t+3）＜f（4﹣t），可得2t+3＞4﹣t，求得t＞，求得t∈（﹣7，），故答案为：1，（，+∞）．点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，两直线相较于圆心，且两直线互相垂直，把圆心坐标代入两直线方程，再根据两直线斜率之积等于﹣1，求得m、n、b的值，即可求得m+b﹣n的值．解答：解：由题意知，圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直，∴，解得，∴m+b﹣n=，故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，判断圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直是解题的关键，属于基础题．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：由已知可得+==，分离之后结合基本不等式即可求解解答：解：∵x+y=3，x＞0，y＞0∴+====x+1+y+1+﹣8=﹣11+16（）=﹣11+（=﹣11（2））=当且仅当即x=y=时取等号故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用解题的关键是对已知式在进行化简，配凑基本不等式成立的条件15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC解答：解：∵=2∴===∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c∴=||||cosA=则13==∴13=1整理可得，2c2﹣54=0∵c＞0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=点评：本题主要考查了解三角形的简单应用，解题中要注意结合向量知识，要灵活的运用基本公式三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：（1）由题意得sinC（cosB﹣sinB）=sinA，整理得：sinCcosB﹣sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即﹣sinBsinC=sinBcosC，∵sinB≠0，∴tanC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，由正弦定理得：=，则b==．点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；（2）取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH，确定∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角即可．解答：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD…（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．∵E是PC中点，∴，∴EBGH为平行四边形，…∵PD⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD连接AH，…∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…∵AD=2DC，∴在Rt△ADH中，AH=DC …∴在Rt△AGH中，AG=CD，∴sin∠GHA==．…点评：本题考查了线线、线面平行的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；考查直线BE与平面PAD所成角的正弦值，属于中档题．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0可得数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得其通项；通过=及b n=••…••b1=可得结论．（Ⅱ）由题只需要对任意正整数λ＜恒成立．通过﹣=可得数列的单调性，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得a2=2，当n≥3时，S n﹣1﹣2S n﹣2=1，∴a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0，即a n=2a n﹣1，又∵a2=2a1，所以数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n﹣1，n∈N*；当n≥2时，T n﹣1=（n﹣1）2b n﹣1，∴=，∴b n=••…••b1=，显然对n=1也成立．故b n=，n∈N*；（Ⅱ）由题意S n=2n﹣1，只需要对任意正整数λ＜恒成立．记C n=，当n≥2时，C n﹣C n﹣1=﹣=，当n≥3时数列{C n}递增；当n≤2时数列{C n}递减．易知n=3或2时有最小的项C2=C3=，综上：λ＜．点评：本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；（2）设M（﹣a，t），通过计算2k MQ与k MA+k MB的值即得结论．解答：解：（1）设直线AB的方程为：my=x﹣a，联立方程组，消去x可得：y2﹣4my﹣4a=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，∴S△AOB=•a•|y1﹣y2|=2a，所以当m=0时，S△AOB有最小值2a；（2）结论：直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．证明如下：设M（﹣a，t），∴k MQ=，而k MA+k MB=+=（*）因为x1x2==a2，x1+x2=m（y1+y2）+2a=4m2+2a，代入（*）式，可得k MA+k MB==﹣，∴k MA+k MB=2k MQ，所以直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、斜率的计算、等差中项的性质、三角形的面积计算公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得△=（k+4）（k﹣2），分类讨论，分别求出实数k的取值范围，再取并集，即得所求．（2）根据g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞），f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞），即可得出结论．解答：解：（1）由题意知△=（k+4）（k﹣2）…①当f（1）f（4）＜0时，．…②当f（1）f（4）=0时，k=或k=，经检验k=符合．…③当△=0时，k=2或k=﹣4，经检验k=2符合．…④当时，解得2＜k＜．…综上2≤k＜…（Ⅱ）显然g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞）…∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，≥0即k≥﹣1．∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞）…∴而k≥﹣1，∴这样的k不存在．…点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

宁波市2017年高考模拟考试高三数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 P n (k )=k n C p k(1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 212()13V h S S =球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{|06}U A B x Z x ==∈≤≤U ，(){1,3,5}U A C B =I ，则B =（▲）A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{0,2,4,6}D ．{|06}x Z x ∈≤≤ 2．把复数z 的共轭复数记作z ，若(1+)1i z i =-，i 为虚数单位，则z =（▲）A ．iB ．i -C ．1i -D ．1i + 3．()612x +展开式中含2x 项的系数为（▲）A ．15B ．30C ．60D ．120 4．随机变量X 的取值为0,1,2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（▲） A ．15 B ．25CD5．已知平面,αβ和直线12,l l ，且2l αβ=I ，则“12//l l ”是“1//l α,且1//l β” 的（▲）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设2,0()log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，．则函数(())y f f x =的零点之和为（▲）A ．0B ．1C ．2D ．47．从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须 是奇数的三位数个数为（▲）A ．12B ．18C ．24D ．30y8．如图，12,F F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若11AF BF ⊥，且13AF O π∠=，则1C 与2C 的离心率之和为（▲）A． B ．4 C． D． 9．已知函数()=sin cos 2f x x x ，则下列关于函数()f x 的结论中，错误．．的是（▲） A ．最大值为1 B ．图象关于直线2x π=-对称C ．既是奇函数又是周期函数D ．图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 10．如图，在直二面角A BD C --中，ABD ∆，CBD ∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到 1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能．．．成立的是（▲） A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行 B ．//CD 平面1A BE C ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直 D ．1BC A B ⊥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

2020届浙江省宁波市2017级高三二模考试数学试卷★祝考试顺利★说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分,全卷共6页,满分150分,考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式柱体的体积公式：V ＝Sh,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高；台体的体积公式：121()3V S S h =,其中S 1、S 2分别表示台体的上､下底面积,h 表示台体的高；球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式：343V R π=,其中R 表示球的半径； 如果事件A,B 互斥,那么P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A,B 相互独立,那么P(A ·B)＝P(A)·P(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)。

第I 卷(选择题部分,共40分)一､选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ＝{－2,－1,0,1,2,3},集合A ＝{－1,0,1},B ＝{－1,1,2},则(U ðA)∪(U ðB)＝A.{－1,1}B.{－2,3}C.{－1,0,1,2}D.{－2,0,2,3}2.已知复数z 是纯虚数,满足z(1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位),则实数a 的值是A.1B.－1C.2D.－23.已知实数x,y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z ＝3x ＋y 的最大值是。

浙江省2017届高三高考模拟冲刺卷（提优卷）（四） 数学文试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（新编）1．已知集合{}3,4,5,6P =，{}5,7Q =，则P Q = （ ）A ． {}5B ． {}3,4,5,6C ． {}3,4,5,7D ． {}3,4,5,6,7（改编）2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(i)(3i)10z --=，则z 的虚部为（ ）A ．iB ．2iC ．1D ．2（改编）3．“4πα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件（改编）4．已知两条直线,a b ，两个平面,αβ．给出下面四个命题：①//,////a b a b αα⇒； ②,,//a b αβαβ⊂⊥a b ⇒⊥；③,//,////a a b b αβαβ⊥⇒； ④//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥． 其中正确的命题序号为（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④（改编）5．如果执行右边的程序框图，若输出的55s =，则=k （ ）开始否是 输出sis s +=1+=i i 1,1==s i ?k i >A ．8B ．9C ．10D ．9或10（新编）6．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使1260F MF ∠= ，且122MF MF =，则双曲线离心率为（ ）A ．2B ．3 C ．2D ．5（新编）7．设{}3,4,5,6,7a ∈，{}3,4,5b ∈，则方程2220x bx a -+=有解的概率为（ ）A ．110 B ．15 C ．25 D ．35（新编）8．ABC ∆中，,A B 为锐角，,,a b c 为其三边长，如果sin sin a A b B c +=，则C ∠的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90（新编）9．已知正三角形ABC 的顶点(3,1),(33,1)A B ，顶点C 在第一象限，若点(,)M x y 在ABC ∆的内部或边界，则z OA OM =⋅取最大值时，223x y +有（ ） A ．定值52 B ．定值82 C ． 最小值52 D ． 最小值50 （新编）10．定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,4]内的最大值为（ ）A ．6-B ．3-C ． 0D ．3二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（改编）11．某校为了了解学生的营养状况，从该校中随机抽取400名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知该400名的学生中，身高在120cm 到130cm 的人数为 ．（新编）12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为 ．（改编）13．已知向量,a b 满足231a b += ，则a b ⋅最大值为 ．（新编）14． 已知()sin cos f x x a x =+，且()03f π=，则当[,0)x π∈-时，()f x 的单调递减区间是 ．（改编）15．设点,A B 分别在直线350x y -+=和3130x y --=上运动，线段AB 的中点M 恒在圆228x y +=内，则点M 的横坐标的取值范围为 ． （新编）16． 已知()f x 是二次函数，关于x 的方程2()()0mf x nf x p ++=（,,m n p 为实数）有4个不同的实数根，且它们从小到大的顺序为：1234xx x x <<<，则1234x x x x --+的值为 ．（新编）17． 定义域为R 的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导函数1()3f x '>，则满足3()8f x x >+的x 的集合为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（新编）18．已知三点1(,0),(2,0),(sin(2),cos(2))233A B P x x ππ---（124x ππ≤≤）．（1）求ABP ∆面积的最小值；（2）在（1）的条件下，求ABP ∠的大小．（新编）19．设数列{}n a 的前n 项的和为nS ．已知16a=，135n n n a S +=+，*N n ∈．（1）设5n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n b 中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．（新编）20．在四棱锥ABCD P -中， BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，点M 是线段AB 上的一点，且CD PM ⊥，BM AD PB BC AB 422====．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求直线CM 与平面PCD 所成角的正弦值．PA BMCD20（第题）（新编）21．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，且抛物线过点(1,2)M ．（1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线的对称轴为x 轴，过点(13,2)N -的直线交抛物线于,A B 两点，设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，求12kk ⋅的值．（新编）22．已知函数c bx x x x f ++-=233)(在1=x 处的切线是43)33(+--=a x a y ．（1）试用a 表示b 和c ；（2）求函数)(x f 在[]3,1上的最小值．2017年浙江省高考数学模拟试题参考答案文科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D提示：因为5,5P Q ∈∈，所以P Q = {}3,4,5,6,7 2． D提示：由()(3)10z i i --=得10323z i i i=+=+-，z 的虚部为2．3． A提示：当4πα=时，cos2cos 02πα==；当cos 20α=时，222k παπ=±+()k Z ∈，得4k παπ=±+，推不出4πα=．4．D提示：①b 可能在平面α内，所以①错；②由,//b βαβ⊥得b α⊥，因为a α⊂，所以a b ⊥，②正确；③由,//,//a a b b αβ⊥可得αβ⊥，所以③错；④由//αβ，a α⊥得a β⊥，又//a b ，所以b β⊥，即④正确．5．B提示：∵121055S =++= ，所以10i =，故9k =． 6．B提示：由点M 在双曲线上，且122MF MF =，则124,2MF a MF a==，又1260F MF ∠= ，所以在12MF F ∆中，由余弦定理得222164242cos604a a a a c +-⋅⋅⋅= ，解得3e =7．C 提示：方程2220xbx a -+=有解的充要条件是b a ≥．若b a =，其概率为1113535⨯⨯=；若b a >，事件“b a >”可以看成两个互斥事件：3,1,2b a ==或2,1b a ==，因此其概率为1211135355⨯+⨯=．综上，方程2220x bx a -+=有解的概率为112555+=．8．D提示：若2A B π+>，则sin cos ,sin cos A B B A >>，从而22sinsin A B +sin cos cos sin sin()sin A B A B A B C >+=+=，这与sin sin a A b B c +=矛盾；同理2A B π+<也不可能，所以2A B π+=，及090C ∠=．9．C提示：由题意得(23,4)C ， 因为3z OA OM x y =⋅=+，而3BC k =-，所以z OA OM =⋅取最大值时，点(,)M x y 的坐标满足310x y +=(2333)x ≤≤，所以103y x =-(2333)x ≤≤，2222233(103)6203100s x y x x x x =+=+-=-+，对称轴533x =，所以()s f x =在23,33⎡⎤⎣⎦上单调递增，因此当23x =时s 有最小值5210．C提示：当312x ≤≤时，()88f x x =-，所以21()8()82g x x =--，此时当32x =时，max ()0g x =；当322x <≤时，()168f x x =-，所以2()8(1)20g x x =--+<； 由此可得12x ≤≤时，max()0g x =．下面考虑24x ≤≤，()g x 的最大值的情况． 当23x ≤≤时，由函数()f x 的定义知1()()22x f x f =，因为3122x ≤≤，所以2()2(1)8g x x =--，此时当3x =时，max ()0g x =；当34x ≤≤时，同理可知，2()2(2)80g x x =--+<． 由此可得24x ≤≤时，max()0g x =．综上，函数()()6g x xf x =-在区间[1,4]内的最大值为0． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．120提示：由图可知，（0．005+0．035+a +0．020+0．010）⨯10=1，所以=a 0．030，因此，该400名的学生中，身高在120cm 到130cm 的人数为0.0310400120⨯⨯=．12．1提示：该几何体是一个底面为直角三角形，顶点在底面的射影为斜边中点的三棱锥，此几何体的外接球半径为1．13．124提示：因为222(23)(23)1(23)12424242424a b a b a b a b +--⋅=-=-≤，当且仅当23a b = ，且14a = 时，上式等号成立．14．[,]6ππ--提示：由()03f π=得3a =-，所以()sin 3cos 2sin()3f x x x x π=-=-，所以当它单调递减时322232k x k πππππ+≤-≤+，所以5112266k x k ππππ+≤≤+，因此，当[,0)x π∈-时，()f x 的单调递减区间是[,]6ππ--．15．2[,2]5提示：设1122(,),(,)A x yB x y ，则11350xy --=，223130xy --=，两式相加得12123()()80x x y y +-+-=，设00(,)M x y ，则由1201202,2x x x y y y +=+=得00340x y --=，即0034y x =-，因为22008x y +≤，解得0225x ≤≤． 16．0提示：关于x 的方程2()()0mf x nf x p ++=的解必是1()f x k =与2()f x k =的解，不妨设12kk >，则由题意1()f x k =的解为14,x x ；2()f x k =的解为23,x x ，且1423x x x x +=+，所以12340xx x x --+=．17． (1,)+∞提示：设()3()F x f x x =-，由1()3f x '>得()0F x '>，所以()F x 是R 上的单调递增函数，又(1)3(1)18F f =-=，因此，由3()8f x x >+得()8(1)F x F >=，所以1x >．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：（1）因为124x ππ≤≤，所以2636x πππ-≤-≤，由此得cos(2)03x π->，即点P 在x 轴上方，……3分所以155cos(2)cos(2)22343ABP S x x ππ∆=⋅⋅-=-，由2636x πππ-≤-≤得538ABP S ∆≥，当且仅当4x π=时，ABP ∆的面积的最小值为538．……8分（2）当ABP ∆的面积取最小值时，点13(,)22P ，又因为(2,0)B ，所以222OP PB OB+=，即OPB ∆为直角三角形，且1,2OP OB ==，所以6ABP π∠=．……14分19．解：因为11n n n aS S ++=-，且135n n n a S +=+，所以145n n n S S +=+， (2)分把5n n n S b =+代入得14n n b b +=， (3)分所以数列{}n b 是首项为1151bS =-=，公比为4的等比数列，所以14n n b -=． (5)分（2）假设数列{}n b 中存在任意三项,,i j k a a a 成等差数列．……6分 不妨设1i j k >>≥，由于数列{}n b 单调递增，所以2j i ka a a =+，所以1112444j i k ---⋅=+，……9分因此2441i kj k --⋅=+，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，……13分所以数列{}n b 中不存在不同的三项，它们构成等差数列．……14分 20．解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥， 又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ，……5分 且⊂PM 面PAB ．所以，面⊥PAB 面ABCD 。

2017浙江省高考压轴卷数学（文）球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 椎体的体积公式13V sh =其中S 表示椎体分底面积，h 表示椎体的高 台体的体积公式()ÉÏÉÏÏÂÏÂ13V h S S S S =+ 其中ÉÏÏÂ,S S 分别表示台体的上、下底面面积，h 表示台体的高 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U=R ，集合A={x|2x＜1}，B={x|log 3x ＞0}，则A∩（∁U B ）=（ ） A ．{x|x ＞1} B ．{x|x ＞0} C ．{x|0＜x ＜1} D ．{x|x ＜0}2.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积为 （ ）A ．30B ．24C ．10D ． 63.已知实数{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8=8，则a 1a 9+a 1a 5+a 5a 9（ ） A ．有最小值12 B ．有最大值12 C ．有最小值4D ．有最大值44.已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为( )A．∃x0∈R，x02+2x0+1＞0 B．∀x∈R，x2+2x+1≤0C．∀x∈R，x2+2x+1≥0D．∀x∈R，x2+2x+1＞05.已知双曲线C ：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为( )A ．B ．C．2 D ．6.已知实数x，y满足约束条件14xx yax by c≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩且目标函数z=2x+y的最大值是6，最小值是1，则cb的值是( )A．1 B．2 C．3 D．47.已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C ．D ．二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中横线上） 9.若函数()sin()3)44f x a x x ππ=++-是偶函数，则实数的值为 ；单调增区间为 . 10.已知f （x ）=lg （2x ﹣4），则方程f （x ）=1的解是 ，不等式f （x ）＜0的解集是 ．11. 已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，若//a b ，则23a b += ，若a b ⊥，则23a b += ； 12.直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，若△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P （a ，b ）与点（2，2）之间距离的最小值为 ，最大值 ．13.已知F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．14.已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数m ＞0，对任意x ∈R ，有|f （x ）|≤m|x|，则称函数f （x ）为F ﹣函数．给出下列函数：①f（x ）=x 2；②f（x ）=21x x +；③f（x ）=2x；④f（x ）=sin2x ．其中是F ﹣函数的序号为 ．15.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C ，…”②解：“设AB 的斜率为，…点222122(,)1212k k B k k -++，5(,0)3D -，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 .（用表示）三、解答题（本大题共5小题迷宫74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2cos （B ﹣C ）=4sinB•sinC﹣1． （1）求A ；（2）若a=3，sin=，求b ．17.数列{a n }满足a 1=1，1122n nn n n a a a ++=+（n ∈N +）．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）设b n =n （n+1）a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 是边长为2的正方形，点C 在平面AA 1B 1B 上的射影H 恰好为A 1B 的中点，且3D 为CC 1中点， （Ⅰ）求证：CC 1⊥平面A 1B 1D ；（Ⅱ）求DH 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．19.已知抛物线y 2=2px ，过焦点且垂直x 轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2=4，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ． （1）求抛物线方程；（2）试证线段AB 的垂直平分线经过定点，并求此定点； （3）求△ABC 面积的最大值．20.已知函数()f x =xa x x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当a =21时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意 [)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数的取值范围.2017浙江省高考压轴卷数学（文）1.【答案】D【解析】A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则C U B={x|x≤1}，∴A∩（∁U B）={x|x＜0}，故选D．2.【答案】B【解析】由三视图知该几何体是高为的三棱柱截去同底且高为的三棱锥所得几何体，体积等于121⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，选B．342343242323.【答案】A【解析】∵{a n}是等比数列且a2a5a8=8，∴a2a5a8=a53=8，∴a5=2，∴a1a9+a1a5+a5a9=a32+a52+a72=4+a32+a72≥4+2a3a7=4+2a52=12．故选：A．4.【答案】D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为：∀x∈R，x2+2x+1＞0．故选：D．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用，基本知识的考查．5.【答案】D【解析】如图，设P（x，y），根据题意可得F1（﹣c，0）、F2（c，0），双曲线的渐近线为：y=x，直线PF2的方程为：y=（x﹣c），①直线PF1的方程为：y=﹣（x+c），②又点P（x，y）在双曲线上，∴﹣=1，③联立①③，可得x=，联立①②，可得x=•c=，∴=，∴a2+a2+b2=2b2﹣2a2，∴b2=4a2，∴e=====，故选：D．6.【答案】D【解析】由题意得：作出目标函数2x+y=6，和2x+y=1，则对应的平面区域如图：则B，C在直线ax+by+c=0上，由，解得，即C（1，﹣1），由，解得，即B（2，2），则B，C在直线在直线ax+by+c=0上，∴BC的方程为3x﹣y﹣4=0，即a=3，b=﹣1，c=﹣4，则=4，故选：D7.【答案】C【解析】∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+=（+）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为 4．8.【答案】C【解析】设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG ，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y 取到最小值，其大小为﹣（BC 长为），由此可排除A ，B 两个选项；又当点P 从点B 向点M 运动时，x 变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D ，C 是适合的； 故选：C ． 9. 【答案】 A【解析】由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ， 则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，∴MF 2=QF 2=（AF 1+AF 2）﹣（AF 1+AQ ）=2a ﹣AF 1﹣AP=2a ﹣F 1P=2a ﹣F 1M ∴MF 1+MF 2=2a ，∴t=a=2．故选A ． 10. 【答案】C 【解析】 不妨设x 1＜x 2，作出f （x ）和g （x ）的图象，由图象知x 1＜2，x 2＞2，则f （x 1）=|log 2（x 1﹣1）|=﹣log 2（x 1﹣1），f （x 2）=|log 2（x 2﹣1）|=log 2（x 2﹣1），则f （x 2）﹣f （x 1）=log 2（x 2﹣1）+log 2（x 1﹣1）=log 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）=﹣＜0，即（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜1， 即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＜1， 即x 1+x 2＞x 1•x 2， 故选：C1`1.【答案】3- [2,2]k k k Z πππ+∈【解析】由题设可得)4()4(ππf f =-,即3-=a ;此时x x f cos 62)(-=,因此其单调递增区间是[2,2]k k k Z πππ+∈,应填3-，[2,2]k k k Z πππ+∈.考点：三角函数的图象和性质的运用． 12.【答案】7；（2，2.5）．【解析】∵f （x ）=1，∴lg （2x ﹣4）=1， ∴2x ﹣4=10，∴x=7； ∵f （x ）＜0， ∴0＜2x ﹣4＜1， ∴2＜x ＜2.5，∴不等式f （x ）＜0的解集是（2，2.5）． 故答案为：7；（2，2.5）． 13 【答案】.()4,8--;()4,7-【解析】若//a b 则有()1220m ⨯-⨯-=,解得4m =-,即此时()2,4b =--,()()()2321,232,44,8a b ∴+=+--=--;若a b ⊥则有()1220a b m ⋅=⨯-+=,解得1m =,即此时()2,1b =-,()()()2321,232,14,7a b ∴+=+-=-.14.【答案】；3．【解析】由题意可得，△AOB 是等腰直角三角形，故点O 到直线ax+by=1的距离等于，即=，求得a 2+b 2=2，即点P （a ，b ）与点（0，0）之间距离为，即点P （a ，b ）在以原点为圆心、半径等于的圆上．而点（2，2）与点（0，0）之间距离为2，故点P （a ，b ）与点（2，2）之间距离的最小值为 2﹣=；点P （a ，b ）与点（2，2）之间距离的最大值为 2+=3，故答案为：；3．15.【答案】【解析】设A 点坐标为（m ，n ），则直线AF 1的方程为 （m+c ）y ﹣n （x+c ）=0，右焦点F 2（c ，0）到该直线的距离=2a ，所以n=（m+c ），所以直线AF 1的方程为ax ﹣by+ac=0，与﹣=1联立可得（b 4﹣a 4）x 2﹣2a 4cx ﹣a 4c 2﹣a 2b 4=0，因为A 在右支上，所以b 4﹣a 4＞0， 所以b 2﹣a 2＞0， 所以c 2﹣2a 2＞0，即e ＞．故答案为：．16.【答案】②④【解析】对于①，|f （x ）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F ﹣函数．对于②f（x ）=，|f （x ）|==≤1×|x|，故函数f （x ）为F ﹣函数．对于③f（x ）=2x，|f （x ）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F 函数．对于 ④f（x ）=sin2x ，由于|f （x ）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f （x ）为F ﹣函数． 故答案为 ②④． 17.【答案】2324kk + 【解析】由题设AC 的斜率是2k，将其带入B 2221221212k k k k -++（,）可得C 22284(,)88k k k k -++ ，运用斜率公式2222438852483CDk k k k k k k +==-+++ . 18.【解析】（1）由2cos （B ﹣C ）=4sinBsinC ﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC ）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC ﹣sinBsinC ）=﹣1． 从而2cos （B+C ）=﹣1，得cos （B+C ）=﹣． …4分 ∵0＜B+C ＜π ∴B+C=，故A=． …6分（2）由题意可得，0＜B ＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sincos=． …10分由正弦定理可得，∴，解得b=． …12分．19.【解析】（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n =n•2n S n =1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1相减得： =2n+1﹣2﹣n•2n+1∴S n=（n﹣1）•2n+1+220.【解析】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，所以，得平行四边形HEDC，因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C 所成角为∠HDK在Rt△CFH中，，在Rt△DHK中，由于DH=2，方法二：（向量法）证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），所以，，∴，，因此CC1⊥平面A1B1D；解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于则，得，所以又，所以21.【解析】（1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y2=6x．…（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则x0=2，y0=，k AB==．线段AB的垂直平分线的方程是y﹣y0=﹣（x﹣2），①由题意知x=5，y=0是①的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为（5，0）．所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（2）由①知直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），①即x=（y﹣y0）+2，②②代入y 2=6x 得y 2=2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2﹣2y 0y+2y 02﹣12=0，③ 依题意，y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以△＞0，﹣2＜y 0＜2．|AB|==．定点C （5，0）到线段AB 的距离h=|CM|=．∴S △ABC =•．…（3）由（2）知S △ABC =•≤=，…当且仅当=24﹣2，即y 0=所以，△ABC 面积的最大值为．…22.【解析】 (１)当a ＝21时，f （x ）＝x ＋x 21＋2， ………2分∵f （x ）在区间11，＋∞）上为增函数， ………5分 ∴f （x ）在区间11，＋∞）上的最小值为f （1）＝27．………7分 (２)方法一：在区间11，＋∞）上，f （x ）＝xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立. ………9分设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈11，＋∞）， y ＝x 2＋2x ＋a ＝（x ＋1）2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，函数f （x ）恒成立， 故a ＞－3．…………14分 方法二：f （x ）＝x ＋xa＋2，x ∈11，＋∞），当a ≥0时，函数f （x ）的值恒为正，当a ＜0时，函数f （x ）递增， 故当x ＝1时，f （x ）min ＝3＋a ，于是当且仅当f （x ）min ＝3＋a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞－3. ……………14分方法三：在区间11，＋∞上f （x ）＝xa x x ++22x 恒成立⇔x 2＋2x+a ＞0恒成立⇒a ＞－x 2－2x 恒成立又∵x ∈11，＋∞］a ＞－x 2－2x 恒成立 ∴a 应大于u=－x 2－2x ，x ∈11，＋∞的最大值∴a ＞－（x ＋1）2＋1，x=1时u 取得最大值，∴a ＞－3………………14分。

浙江省2017届高三高考模拟冲刺卷（提优卷）（四）数学理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}3,4,5,6P =，{}5,7Q =，下列结论成立的是 （ ）A ．Q P ⊆B ．P Q P =C ．P Q Q =D ． {}5P Q = 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()(3)10z i i --=，则z = （ ）AD．3．“2()4k k Z παπ=+∈”是“cos 20α=”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件4．已知两条直线,a b ，两个平面,αβ．给出下面四个命题：①//,////a b a b αα⇒； ②,,//a b αβαβ⊂⊥a b ⇒⊥；③,//,////a a b b αβαβ⊥⇒； ④//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥其中正确的命题序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④5．如果执行右边的程序框图，若输出的55s =，则=k （ ）A ．8B ．9C ．10D ．9或106．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使1260F MF ∠= ，且122MF MF =，则双曲线离心率为（ ）A ．2 D7．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是 （ ）A ．20B ．40C ．60D ．80 8．ABC ∆中，,A B 为锐角，,,a b c 为其三边长，如果sin sin a A b B c +=，则C ∠的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．909．已知正三角形ABC的顶点A B ，顶点C 在第一象限，若点(,)M x y 在ABC∆的内部或边界，则z OA OM=⋅ 取最大值时，223x y +有（ ）A ．定值52B ．定值82C ． 最小值52D ． 最小值5010．定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2]n （*N n ∈）内的所有零点的和为（ ）A ．nB ．2nC ． 3(21)4n - D ．3(21)2n -二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11． 8(x展开式中5x 的系数是 ． 12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为 ． 13．已知向量,a b满足231a b += ，则a b⋅ 最大值为 ．14．设点,A B 分别在直线350x y -+=和3130x y --=上运动，线段AB 的中点M 恒在圆228x y +=内，则点M 的横坐标的取值范围为 ．15．已知()sin cos f x x a x =+，且()03f π=，则当[,0)x π∈-时，()f x 的单调递减区间是 ．16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，A 为抛物线上一点，AK l ⊥，K 为垂足，如果直线KF 的斜率为1-，则AKF ∆的面积为 ． 17．已知()f x 是二次函数，令123212,(2),(),,()n n aa f a f a a f a -==== ，如果数列{}n a 是各项为正的等比数列，则(2)f = ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18． 设数列{}n a 的前n 项的和为nS ．已知16a=，135n n n a S +=+，*N n ∈．（1）设5n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n b 中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．19． 在某次娱乐游戏中，主持人拿出甲、乙两个口袋，这两个口袋中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的10个小球，其中甲口袋中装有8个红球，2个白球，乙口袋中装有9个黄球，1个黑球．现进行摸球游戏，主持人宣布游戏规则：从甲口袋中摸一个球，如果摸出的是红球，记4分，如果摸出的是白球，则记1-分；从乙口袋中摸一个球，如果摸出的是黄球，记6分，如果摸出的是黑球，则记2-分．（1）如果每次从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲口袋中摸出4个球所得总分（4次得分的总和）不少于10分的概率；（2）设X （单位：分）为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分，求X 的数学期望．20．在四棱锥ABCD P -中， BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，点M 是线段AB 上的一点，且CD PM ⊥，BM AD PB BC AB 422====．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 的二面角的正弦值．PABMCD21．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为单位圆222:1C x y +=的直径，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆短轴的上顶点1B 作直线分别与单位圆2C 和椭圆1C 交于,A B 两点（,A B 两点均在y 轴的右侧），设2B 为椭圆的短轴的下顶点，求2AB B ∠的最大值．22．已知函数c bx x x x f ++-=233)(在1=x 处的切线是43)33(+--=a x a y ．（1）试用a 表示b 和c ；（2）求函数23)(-≥x f 在[]3,1上恒成立，求实数a 的取值范围．20（第题）21（第题）浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）数学理科（四）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． D 提示：因为7P ∉，所以A ，B ，C 都错． 2． D 提示：由()(3)10z i i --=得10323z i i i=+=+-，所以z ． 3．A 提示：当2()4k k Z παπ=+∈时，cos2cos(4)02k παπ=+=；当cos 20α=时，222k παπ=±+()k Z ∈，得4k παπ=±+，推不出2()4k k Z παπ=+∈．4．D 提示：①b 可能在平面α内，所以①错；②由,//b βαβ⊥得b α⊥，因为a α⊂，所以a b ⊥，②正确；③由,//,//a a b b αβ⊥可得αβ⊥，所以③错；④由//αβ，a α⊥得a β⊥，又//a b ，所以b β⊥，即④正确． 5．B 提示：∵121055S =++= ，所以10i =，故9k =． 6．B 提示：由点M 在双曲线上，且122MF MF =，则124,2MF a MF a ==，又1260F MF ∠= ，所以在12MF F ∆中，由余弦定理得222164242cos604a a a a c +-⋅⋅⋅= ，解得e =7．B 提示：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和女生的排法都有22A 种，所以第一类的排法总数有22122222222220A A C A A A ⋅+⋅⋅⋅=种．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法，所以满足条件的排法总数是40种．8．D 提示：若2A B π+>，则sin cos ,sin cos A B B A >>，从而22sin sin A B +sin cos cos sin sin()sin A B A B A B C >+=+=，这与sin sin a A b B c +=矛盾；同理2A B π+<也不可能，所以2A B π+=，及090C ∠=．9．C提示：由题意得C ， 因为z OA OM y =⋅+，而BC k =，所以z OA OM =⋅取最大值时，点(,)M x y 10y +=x ≤≤，所以10y =x ≤≤，2222233(10)6100s x y x x =+=+=-+，对称轴x =，所以()s f x =在⎡⎣上单调递增，因此当x =s 有最小值5210． D 提示：当312x ≤≤时，()88f x x =-，所以21()8()82g x x =--，此时当32x =时，max()0g x =；当322x <≤时，()168f x x =-，所以2()8(1)20g x x =--+<； 由此可得12x ≤≤时，max()0g x =．下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，()g x 的最大值的情况．当12232n n x --≤≤⋅时，由函数()f x 的定义知1111()()()2222n n x xf x f f --=== ，因为13122n x -≤≤，所以22251()(2)82n n g x x --=--，此时当232n x -=⋅时，max ()0g x =； 当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知，12251()(2)802n n g x x --=--+<． 由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，max ()0g x =．综上可得对于一切的*n N ∈，函数()g x 在区间1[2,2]n n -上有1个零点，从而()g x 在区间[1,2]n 上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为3(21)2n -．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18． 解：因为11n n n aS S ++=-，且135n n n a S +=+，所以145n n n S S +=+， (2)分把5n n n S b =+代入得14n n b b +=， (3)分所以数列{}n b 是首项为1151bS =-=，公比为4的等比数列，所以14n n b -=． (5)分（2）假设数列{}n b 中存在任意三项,,i j k a a a 成等差数列．……6分 不妨设1i j k >>≥，由于数列{}n b 单调递增，所以2j i ka a a =+，所以1112444j i k ---⋅=+，……9分因此2441i kj k --⋅=+，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，……13分所以数列{}n b 中不存在不同的三项，它们构成等差数列．……14分 19． 解：（1）设连续从甲口袋中摸出的4个球中，红球有x 个，则白球有4x -个，由题设可得4(4)10x x --≥，解得145x ≥，……4分由x N ∈，得3x =或4x =，所以所求的概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=．……6分（2）由题意知X 可能取值分别为10,5,2,3X =-，……8分 且由每次摸球的独立性，可得：(10)0.80.90.72P X ==⨯=，(5)0.20.90.18P X ==⨯=，(2)0.80.10.08P X ==⨯=，(3)0.20.10.02P X =-=⨯=， (12)分由此得X 的数学期望为：100.7250.1820.08(3)0.028.2EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=．……14分20．解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，PA BCDMHN又因为CDPM⊥，且CDAB ，所以⊥PM面ABCD，……5分且⊂PM面PAB．所以，面⊥PAB面ABCD。

浙江省宁波市鄞州区2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<2．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-3．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 2C 的渐近线方程为（ ）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=4．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ） A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞5．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．46．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过137．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A ．512QR B ．512RQ C ．512RD D ．512RC 8．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．9109．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣10．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭11．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-12．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期高考冲刺考试数学试题一、单选题1．设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A ．{4} B ．{2，3，6} C ．{2，3，7} D ．{2，3，4，7}【答案】B【解析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案. 【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.2．若双曲线的两条渐近线方程为20x y ±=，则双曲线的离心率是（ ） A．B ．2CD【答案】D【解析】根据渐近线得到双曲线方程224(0)x y λλ-=≠，考虑0λ>和0λ<两种情况得到离心率. 【详解】根据渐近线设双曲线方程为224(0)x y λλ-=≠，当0λ>时离心率e ==0λ<时离心率2e e ===. 故选：D.求解能力，属于基础题.3．实数,x y 满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的取值范围是（ ）A ．[0,6]B ．[4,3]-C ．[6,4]-D ．[6,3]-【答案】A【解析】画出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数2z x y =+的最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】画出满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，令2z x y =+，由图形可得当目标函数2z x y =+分别过,A B 时，取得最大值和最小值，由323x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即(0,3)A ，由31x y y -=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即(2,1)B -，所以目标函数2z x y =+最大值为6，最小值为0， 所以2x y +的取值范围是[0,6]. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划问题，考查作图能力和直观想象能力，属于基础题. 4．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ）C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.5．冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）A ．3222()π⋅B ．322()πC 3πD 3π【答案】D【解析】根据三视图可将该几何体放入正方体中，为四面体ABCD ，根据体积相等可得球的半径. 【详解】由三视图可得四面体ABCD ，设球半径为R ，则331141222323V R R ππ=⨯⨯⨯⨯=⇒=【点睛】本题考查三视图和直观图的关系，考查考生空间想象能力，四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力，属于中档题.6．函数1()()ln f x x x x=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用奇偶性排除A ，B,再利用函数值正负判断C 即可 【详解】函数1()()ln f x x x x=+，定义域为{}0x x ≠关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，当1x >时，()0f x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的图像和性质，考查考生分析函数性质能力和图像识别能力，一般从定义域，奇偶性及函数值正负几方面考虑，属于简单题7．已知a b c ，，成等差数列，随机变量，ξη的分布列如下，则下列结论正确的是（ ）A ．()()E E ξη=B ．()()D D ξη=C ．()()E E ξη>D ．()()D D ξη>【答案】B【解析】由条件可得12,33b ac =+=，然后2,2E b c E b a ξη=+=+，然后可计算出24()(1)03D D c a b ξη-=---=.【详解】1,2a b c b a c ++==+，12,33b ac ∴=+= 所以2,2E b c E b a ξη=+=+， 所以222()4(2)D E E b c b c ξξξ=-=+-+，222()4(2)D E E b a b a ηηη=-=+-+，所以24()(1)03D D c a b ξη-=---=，故选：B 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差，考查考生运算求解能力，属于稍难题.8．已知函数3141(0)()(0)x x x f xx x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若关于x 的方程()(3)f x a x =+恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．[0,1) C ．1[3D ．1[,1)3【答案】D341(0)x x x ⎧--≥3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩的图象有四个交点，找到临界位置求出对应的a ，根据数形结合思想即可得结果. 【详解】 设32()41(0),()34g x x x x g x x '=-->=-，则易得当23(0,)x ∈时，()g x 单调递减，当23(,)x ∈+∞时，()g x 单调递增， 如图所示：直线(3)y a x =+与()f x 在0x <处有一个交点，在23(,)3+∞处有一个交点， 故在23(0,3处需2个交点，直线经过0,1（）点时13a =， 当230,3x ⎛∈ ⎝⎭时，334141y x x x x =--=-++，234y x '=-+， 设直线(3)y a x =+与曲线的相切时切点为()3000,41x x x -++，则切线的斜率2034k x =+，切线方程为()()3200004134y x x x x x +--=-+-，将点()3,0-代入可得01x =，此时1a = 则实数a 的取值范围是1[,1)3， 故选：D.本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图像和性质，导数的几何意义，函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于稍难题.9．如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，将ABE △沿直线AE 折起至AEM △，点M 在平面AECD 上的投影为O ，平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线MC 与平面AECD 所成角为β，若OB OC =，则下列说法正确的是（ ）A ．2αβ=B ．2C ．2D ．无法确定【答案】A【解析】作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，证明MBO MCO β∠=∠=，MFO α∠=，根据角度关系得到答案. 【详解】MO ⊥平面AECD ，易得当OB OC =时，MBO MCO β∠=∠=，作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，则MF AE ⊥，BF MF F =，故AE ⊥平面BFM ，MO ⊥平面AECD ，AE ⊂平面AECD ，AE MO ⊥，M ∈平面BFM ，故MO ⊂平面BFM ，故,,B F O 三点共线，故MFO α∠=， 又由于BF MF =，MBF FMB β∴∠=∠=，2=βα∴ 故选：A.本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考查考生空间想象能力和作图能力，属于难题.10．数列{}n a 满足2113222n n n a a a a +==-+，，下列说法正确的是（ ） A ．存在正整数k ，使得34k a = B ．存在正整数k ，使得3k a =C ．对任意正整数k ，都有12k a <<D ．数列{}n a 单调递增【答案】C 【解析】由22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，可判断A ，由2122n nn a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-，两边取对数可得122+1n n a --=，从而可判断B ，C,进一步可得2132(2)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<，从而数列{}n a 单调递减，可判断D . 【详解】 数列{}n a 满足132a =. 22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，所以A 不正确.由2122n n n a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-两边取以2为底的对数，可得()()212log 12log 1n n a a +-=- 所以数列(){}21log 1n a +-是等比数列，且()2123log 1log 112a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭则()12log 12n n a --=-，所以1212n n a ---=，即122+1n n a --=当1n ≥时，121n -≥，121n --≤-，所以121022n --<≤，即12312+12n n a --<=≤,所以B 不正确. 所以2132(2)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<，则数列{}n a 单调递减. 所以D 不正确. 故选:C . 【点睛】本题考查数列的递推关系，单调性，考查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.二、双空题11．复数z 满足(2)21i z i +=+，则z =_____；z =_____ 【答案】4355i + 1 【解析】根据(2)21i z i +=+，利用复数的除法运算得到4355z i =+，再利用复数的模的公式求解. 【详解】因为(2)21i z i +=+， 所以2143255+==++i z i i ， 所以1z = 故答案为：①4355i +；②1 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．点Q 是圆2211()C x y +-=：上的动点，点P 满足3OP OQ =（O 为坐标原点），则点P 的轨迹方程是_____；若点P又在直线(y k x =-上，则k 的最小值是___ 【答案】22(3)9x y +-=【解析】设00(,),(,)P x y Q x y ，得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2200(1)1x y +-=即得点P 的轨迹方程；当直线和圆22(3)9x y +-=3=，解方程即得解.【详解】设00(,),(,)P x y Q x y ，由3OP OQ =得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程2200(1)1x y +-=得22(3)9x y +-=.所以曲线点P 的轨迹方程是22(3)9x y +-=.由题得直线方程为330kx y k --=，当直线和圆22(3)9x y +-=2|333|31+k k--=，解之得0k =或3k =所以k 的最小值为3故答案为：22(3)9x y +-=；3. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．已知在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则n =_____；4x 项的系数为______ 【答案】6 240【解析】根据只有第四项的二项式系数最大，可得6n =，然后利用通项公式可求4x 项的系数. 【详解】因为在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以由二项式系数的对称性质得6n =，通项公式361216(2)()r rrr T C x x --+=-1856262(1)r r r rC x--=-，令185422r r -=⇒=，所以含4x 的项系数为2462240C =. 故答案为：6；240. 【点睛】14．四边形ABCD 内接于圆O ，其中AB 为直径，若7,3BC CD DA ===，则AB =_______；四边形ABCD 的面积是_______【答案】9【解析】连接BD ，设AB x =，在直角ABD △中，用x 表示出cos ,DAB BD ∠，在BCD 中，由余弦定理表示出cos BCD ∠，利用cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，建立x的方程，求解得出,cos AB BCD ∠，进而求出sin BCD ∠，即可求出四边形ABCD 的面积. 【详解】连接BD ，四边形ABCD 内接于圆O ，且AB 为直径，,AD BD DAB BCD π∴⊥∠+∠=，设AB x =，则3cos ,DAB BD x∠== cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，即23949(9)0237x x +--+=⋅⋅，化简得3671260x x --=， 即(9)(2)(7)0x x x -++=9x ∴=或2x =-（舍去）或7x =-（舍去），9AB ∴= 1cos cos ,032BCD DAB DAB BCD ππ∠=-∠=-∴<∠<<∠<，sin sin 3DAB BCD ∠=∠==， ∴四边形ABCD 的面积为1sin ()2ABD BCD S S BCD AD AB BC CD +=∠⋅+⋅△△1937)2=⨯+⨯=故答案为：9；【点睛】本题考查直角三角形边角关系、余弦定理、三角形面积公式，考查图形识别能力、方程思想，属于中档题.三、填空题15．已知函数()|log 1(0,1)a f x x a a =-≠，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=__________． 【答案】2【解析】不妨设a ＞1， 则令f （x ）=|log a |x-1||=b ＞0， 则log a |x-1|=b 或log a |x-1|=-b ；故x 1=-a b +1，x 2=-a -b +1，x 3=a -b +1，x 4=a b +1， 故222214231234112112111122,1111b b b bx x a x x a x x x x a a --+=+=∴+++=+---- 22222 2.11bb b a a a =+=-- 故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.16．过点(1,0)P -的直线与抛物线2y x =相交于,A B 两点，(,0)M t 为x 轴上一点，若ABM ∆为等边三角形，则t =_______【答案】53【解析】设直线方程为：(1),0y k x k =+≠，联立直线与抛物线的方程消元，然后得到AB 中点坐标，然后表示出AB 中垂线方程，即可得到21122t k =-，然后根据点M到直线AB 的距离d =求解即可. 【详解】由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，故设直线方程为：(1),0y k x k =+≠，代入抛物线方程得2222(21)0k x k x k +-+=①设1122(,),(,)A x y B x y ，2140k ∆=->②21212212,1k x x x x k-+==，则AB 中点坐标为22121(,)22k k k - AB 中垂线方程为221112()22k y x k k k --=--，令0y =得21122t k =-， 则211(,0)22M k -ABE ∆为正三角形，点M 到直线AB 的距离d =，12x k =-=⇒= 代入②满足，则53t = 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生运算求解能力，属于稍难题.17．ABC 中，,D E 依次为BC 的三等分点，若2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADC ∠的最小值是_________ 【答案】47【解析】根据已知将向量,AB AC 转化为用,AD AE 向量表示，再由2AB AD AC AE ⋅=⋅，得出,,AD AE DE 边的关系，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出结论. 【详解】 由11(),()22AD AB AE AE AD AC =+=+， 得2,2AB AD AE AC AE AD =-=-设,,AD x AE y DE m ===222242AB AD AC AE x AD AE y AD AE ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅2222242cos 2x y m AD AE y x xy ADC +-∴⋅=-=∠=222222225142277x y m y x y x m +-∴=-⇒=-2222228477cos 227x mx m y ADC mx mx ++-∴∠==≥当且仅当2x m =时，等号成立. 故答案为：47. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、余弦定理以及基本不等式，考查考生综合运用向量、三角、不等式等知识解决问题的能力，属于较难题.四、解答题18．已知函数()cos f x x =（1）已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+为奇函数，求θ值； （2）求函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域.【答案】（1）2π或32π；（2）31[,]44-【解析】（1）根据函数奇偶性的定义结合余弦函数的性质，即可得出θ值；（2）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦函数的性质，即可得出该函数的值域. 【详解】 （1）()f x θ+为奇函数()()0f x f x θθ∴++-+=恒成立cos()cos()02cos cos 0x x x θθθ∴++-+=⇔=恒成立cos 0θ∴=又[0,2)θπ∈，2πθ∴=或32π （2）31sin sin cos sin cos sin 6622y x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23131sin cos sin sin 2(1cos 2)2244x x x x x =-=-- 1111(3sin 2cos 2)sin(2)44264x x x π=+-=+- 因为1sin 26(1)π-≤+≤x ，所以3144y -≤≤所以函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域是31[,]44-.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性，考查学生三角函数的恒等变形能力，属于中档题.19．如图，菱形ABCD 与正BCE 的边长均为2，且平面BCE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，且3FD =，（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若60ABC ∠=︒，求二面角A BF E --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）78-【解析】（1）如图，作EH BC ⊥于H ，连DH ，证明四边形EFDH 是平行四边形得到答案.（2）以H 为原点，,,HB HA HE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，计算平面ABF 和平面BEF 的法向量，根据向量夹角公式得到答案. 【详解】（1）如图，作EH BC ⊥于H ，连DH ，平面BCE ⊥平面ABCD ，EH BC ⊥，EH ⊂平面BCE ，∴EH⊥平面ABCD，且3 EH=，又FD⊥平面ABCD，且3FD=，∴//EH FD，且EH FD=，故四边形EFDH是平行四边形，//EF HD∴，HD⊂平面ABCD，EH⊄平面ABCD，故//EF平面ABCD.（2）60ABC∠=︒，菱形ABCD，易知AH BC⊥，以H为原点，,,HB HA HE所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则3,0),(1,0,0),3),(3,3)A B E F-，有(1,3,0),(1,0,3),(3,3,3)BA BE BF=-=-=-，设平面ABF的一个法向量为1111(,,)n x y z=，11n BAn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，11111333030x zx⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11y=，取1(3,1,2)n=，设平面BEF的一个法向量为2222(,,)n x y z=，由22n BEn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，22222333030x zx z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令21z=，取2(3,2,1)n=，则1212123227cos888n nn nn n⋅++〈〉===⨯⋅，，由题意知二面角A BF E--是钝二面角，故二面角A BF E--的余弦值是78-.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力.20．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对每个n N +∈，112nn n S a ++，，成等差数列，且1236a a a +，，成等比数列. （1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：21211111(13)103n n a a a -+++≤- 【答案】（1）11a =；（2）32n nn a =-；（3）证明见解析【解析】（1）根据12(2)1n n n S a ++=+对1n =和2n =成立，得到两个方程，根据1236a a a +，，成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得1a ；（2）根据当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得132nn n a a +=+，再两边除以12n +后，可得{1}2nn a +为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果； （3）利用1913253nn n ≤⋅-进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果. 【详解】（1）由已知得1222322132(2)12(2)1(6)S a S a a a a +=+⎧⎪+=+⇒⎨⎪=+⎩1212322132(2)12(4)1(6)a a a a a a a a +=+⎧⎪++=+⎨⎪=+⎩21223111111221323613(23)(619)2790(6)a a a a a a a a a a a a =+⎧⎪⇒=+⇒+=+⇒+-=⎨⎪=+⎩ 因为10a >，所以11a =（2）因为112nn n S a ++，，成等差数列，所以1112(2)1221n n nn n n S a S a ++++=+⇒=-+当2n ≥时，111112212232221n n n n n n n n n n nn n S a a a a a a S a ++++-⎧=-+⇒=--⇒=+⎨=-+⎩ 又12211,532a a a a ==⇒=+符合上式，所以132n n n n N a a ++∀∈=+，11312222n n n n a a ++⇒=⋅+⇒1131112222n n n n nn a a a ++⎛⎫⎧⎫+=+⇒+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是首项为32，公比为32的等比数列31()3222nn n n n n a a ⇒+=⇒=- （3）因为，当2n ≥时，22255(32)34324(32)032399n n n n n n n n n n -----⋅=⋅-=-≥⇒-≥⋅1913253n n n⇒≤⋅-易知1n =时，原不等式成立；当2n ≥时，123212111119111911131()1(13)153335910313n n n n a a a ---+++≤++++=+⋅⋅=--综上，原不等式n N +∀∈成立. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，递推数列求通项的方法，考查考生运用所学的数学方法：比较法、放缩法解决问题的能力，属于稍难题.21．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，直线12,PF PF 与椭圆的另一个交点分别为,A B .（1）若P 点坐标为3(1,)2，且124PF PF +=，求椭圆的方程； （2）设11PF F Aλ=，22PF F B μ=，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）定值为22121e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，证明见解析. 【解析】（1）根据题设条件可直接求出a ，再根据P 在椭圆上求出b 后可得椭圆的方程. （2）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，:PA x my c =-，:PB x ny c =+，先用诸点坐标表示λμ+、22m n +，再联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理得到01y y 、02y y 与,m n 的关系式，最后化简λμ+后可得定值.我们也可以利用椭圆的几何性质来证明λμ+为定值.【详解】（1）2224,2,31914a a b a b =⎧⎪∴==⎨+=⎪⎩22143x y +=. （2）法一：坐标法设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，当00y =时，2222222()2(1)1a c a c a c e a c a c a c eλμ-++++=+==+---. 当00y ≠时，PA x my c =-：，PB x ny c =+：， 其中：0000x c x c m n y y +-==，， 从而22222222200022(),()2()x c m n y m n x c y ++=∴+=+. 由222222x my c b x a y a b =-⎧⎨+=⎩得422222401222()20,b a b m y b mcy b y y a b m +--=∴=-+，同理402222by ya b n=-+，从而222240102112()a b m ny y y y b+++=-.22222222220022000044 1201022()112()()[]y y a y b y m na b m ny yy y y y y y b bλμ+++++=+=-+==22222222222222222 0000444222()2()2222a yb xc b x a y b c a b b c a cb b b b++++++====⋅2222222(1)21a c ea c e++=⋅=--.法二：焦半径法不妨设点P在x轴上方，设1221,PF F PF Fαβ∠=∠=，过P作左准线的垂线，垂足为E，过1F作PE的垂线，垂足为S，由圆锥曲线的统一定义可得1PFePE=，故22111cos=cosa bPF e c PF e PFc cαα⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到211cosbecPFeα⨯=-，所以2111cosbPFa eα=⋅-.同理，2111cosbF Aa eα=⋅+，2211cosbPFa eβ=⋅-，2211cosbF Ba eβ=⋅+，所以111cos211cos1cosPF eF A e eαλαα+===---，221cos211cos1cosPF eF B e eβμββ+===---.又2212112,21cos1cosb bPF PF a aa e a eαβ+=∴⋅+⋅=--，221121cos1cosae e bαβ∴+=--，所以222222222222242(2)2()2(1)221cos 1cos 1a a b a c e e e b b a c e λμαβ-+++=+-=-===--+-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生函数与方程思想、数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力.22．已知函数()ln f x x a x =+（1）若曲线()y f x =在点2x =处的切线与直线2y x =平行，求实数a 的值； （2）若()a xf x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）2a =；（2）e -【解析】（1）由题意()1a f x x '=+，由条件有(2)122a f '=+=，从而得到答案. （2）()a x f x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立,即n n l l x x a a e x x e ----≥在(1,)+∞上恒成立，设()ln g t t t =-，即转化为()()x a g e g x -≥在(1,)+∞上恒成立，求出函数()g t 的单调性，因为是求a 的最小值，故不妨先设0a <，求出此时a 的最小值，从而可得答案.【详解】（1）()1a f x x'=+ 由题意知(2)1222a f a '=+=⇒= （2）()ln ln ln ln a x a x x a x x a a f x x e x a x x e e x x a x e e x x -----≥-⇔+≥-⇔+≥-⇔-≥-设()ln g t t t =-，则原不等式()()x a g eg x -⇔≥ 由11()1t g t t t-'=-=，易知01t <<时，()0g t '<，1t >时，()0g t '>， 所以()ln g t t t =-在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增因为是求a 的最小值，故不妨先考虑0a <，又1x >，所以(),0,1x ae x -∈ 所以1ln ()()x a x a x g e g x e x a x --≥⇔≤⇔-≥，原不等式恒成立max 1ln ()x a x⇔-≥ 设ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()x h x x-'=，易知1x e <<时，()0h x '>，x e >时，()0h x '<， 所以ln ()x h x x =在()1e ，上单调增，在(,)e +∞上单调减max 1()()h x h e e ⇒== 所以min 11a e a e a e-≥⇒≥-⇒=-，又求的是a 的最小值， 所以a 的最小值为e -.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查考生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.属于难题.。

名校预测冲刺卷(二)数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()n P k =(1)(0,1,2,,)k k n kn C p p k n --=…球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 棱柱的体积公式V Sh =,其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 棱台的体积公式()112213V S S S S h =+,其中1S ,2S 分别表示棱台的上下底面积,h 表示棱台的高选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|13}A x x =≤<,{}2|13B x x =≤<,则()RA B =( ).A.{|31}x x -<≤-B.{|31}x x ≤≤-C.{|13}x x <≤D.{|13}x x ≤≤【参考答案】A 【试题解析】先由{|13}A x x =≤<,求得A R,再利用一元二次不等式的解法化简集合B ,然后利用交集的定义求解.因为{|13}A x x =≤<, 所以{|1RA x x =<或3}x ≥,又{}2|13{|13B x x x x =≤<=≤<或31}x -<≤-, 所以()RA B ={|31}x x -<≤-,故参考答案：A.本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的交集、补集运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.2.双曲线22221x y a b-=的右焦点(2,0)到双曲线的渐近线的距离为1,则双曲线的方程是( )A.22143x y -= B.22134x y -= C.2213x y -=D.2213y x -=【参考答案】C 【试题解析】由点到直线的距离公式可得双曲线焦点到渐近线的距离等于b ,由此可求得,b a ,得双曲线方程.双曲线一个焦点为2(,0)F c ,一条渐近线为by x a=,即0bx ay -=,则焦点到渐近线的距离为22bc d b a b -==+,所以1b =,又2c =,则2223a c b =-=,所以双曲线方程为2213x y -=, 故参考答案：C.本题考查双曲线的几何性质、点到直线的距离公式,解题关键是掌握性质：双曲线的焦点到其渐近线的距离等于短半轴长.3.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为12.则该几何体的俯视图可以是( )A. B. C.D.【参考答案】C【试题解析】试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为1的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱,底面为直角边长为1的直角三角形.故选C.考点：空间几何体的三视图、直观图.4.已知复数2i3iz=-,则z的共轭复数z=()A.13i55-- B.13i55-+ C.1355i+ D.13i55-【参考答案】A【试题解析】对复数z进行化简,然后得到z,再求出共轭复数z.因为2i3iz=-,所以()22313955i iz ii+==-+-,所以z的共轭复数1355 z i =--故选A项.本题考查复数的四则运算,共轭复数的概念,属于简单题.5.4位同学与语文老师、数学老师排成一排留影,要求两位老师不能相邻,也不能站两端,则不同的站法种数为( ).A.48B.72C.96D.144【参考答案】D【试题解析】方法一：利用插空法,先排学生,再插空排老师,然后计算即可得解；方法二：先分类讨论教师所站位置的情况,再结合学生排列情况求解即可. 方法一：用插空法.先排学生,再插空排老师,共有4243144A A ⨯=(种)不同的站法.方法二：用分类讨论思想.教师站的位置有“×师×师××”“×师××师×”“××师×师×”三种情况,故共有24243144A A ⨯⨯=(种)不同的站法.故选:D.本题考查计数原理、排列组合以及插空法,考查分类讨论思想以及学生的运算求解能力,属于中档题.6.已知实数,x y 满足不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩,则23z x y =-的最小值为( )A.2-B.3-C.1D.13【参考答案】A 【试题解析】通过实数,x y 满足约束条件直接画出此二元一次不等式组表示的平面区域；平移目标函数23z x y =-,观察分析即可求出z 的最小值.由不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩作出平面区域：将目标函数23z x y =-化为：233z y x =-. 要求23z x y =-的最小值,即求直线233zy x =-的截距的最大值.由图可知直线233zy x =-过点(2,2)A 时截距最大,z 值最小.即z 的最小值为：2- 故参考答案：A.本题考查简单的线性规划的应用,考查计算能力与作图能力,以及表达式的几何意义.属于基础题.7.函数()()cos xxf x e ex -=-在[2,2]ππ-上的大致图象为( ).A.B.C.D.【参考答案】D 【试题解析】利用排除法,根据02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可排除A,B ；根据()10f >可排除C ；进而可得结果. 因为22ππ<,322ππ<,且02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则函数()f x 在(0,2]π内有两个零点,选项A,B 错误；结合012π<<,且()11(1)cos10f e e-=->,可排除C 选项,故参考答案：D.本题主要考查函数图象的识辨,考查逻辑思维和估算能力,考查直观想象核心素养,属于中档题.8.若函数2()2f x x ax b =++在[1,2]上有两个零点,则+a b 的取值范围是( ). A.(0,2) B.(0,2] C.[0,2) D.[0,2]【参考答案】A 【试题解析】 【分析】利用韦达定理用零点12,x x 表示出,a b ,求出+a b ,整理成1x 的一次函数,由1x 的范围得一中间结论,再由2x 的范围得结论.设函数2()2f x x ax b =++在[1,2]上的两个零点为1x ,2x ,即一元二次方程220x ax b ++=的两实根分别为1x ,2x ,不妨设12x x <.由韦达定理得122ax x +=-,122x x a +=-,12b x x =⋅,因此12122x x a b x x ++=+⋅-, 一方面,221122x a b x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭可看成关于1x 的一次函数,由2(1,2]x ∈,显然可知上述函数为增函数,又1[1,2)x ∈,所以221122x a b x ⎛⎫+≥-⨯- ⎪⎝⎭211102222x =->-=,即0a b +>； 2221332()12122222x a b x x +<--=-≤⨯-=,综上,02a b <+<, 故参考答案：A.本题考查二次函数的图象和性质、函数的零点问题.由于零点的范围已知,因此可用韦达定理把+a b 用零点12,x x 表示,把其中一个作这主元,根据函数的单调性得出范围.9.正四棱台1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA 与底面ABCD 所成角为α,侧面11AA D D 与底面ABCD 所成二面角为β,侧棱1AA 与底面ABCD 的对角线BD 所成角为γ,平面11CC D D 与平面11AA D D 所成二面角为θ,则α,β,γ,θ之间的大小关系是( ). A.αβθγ<<< B.αβγθ<<< C.αγβθ<<<D.βαγθ<<<【参考答案】B 【试题解析】将棱台恢复成为棱锥S ABCD -,作出(或找到)棱锥的侧棱SA 与底面棱所成的角,侧面与底面所成的二面角,棱锥的两侧面所成的二面角,由正棱锥的性质可确定2πγ=,,αβ锐角,用正切的大小比较角的大小,由余弦定理得θ为钝角,从而得出结论.将棱台恢复成为棱锥S ABCD -,过顶点S 作底面的垂线SO ,交底面于O 点,则O 为AC 与BD 的交点,由BD 与,AC SO 垂直得BD 平面SAC 垂直,从而BD SA ⊥,因此2πγ=.SAO α∠=,过点O 作OE AD ⊥,交AD 于点E ,连接SE ,则SEO β∠=,则tan SOOAα=,tan SO OEβ,又OA OE >,故2παβ<<.过点A 作AF SD ⊥交SD 于点F ,连接CF ,则AF CF AD =<,而2AD AC =,AC <=.因此cos θ=2222cos 02AF AC AFC AF -∠=<,所以2πθ>,因此αβγθ<<<, 故参考答案：B.本题考查空间线线角线面角、二面角.解题关键是作出直线与平面所成的角,作出二面角的平面角,求出异面直线所成的角,然后利用正切函数性质,余弦定理确定角的范围和大小. 10.已知数列{}n a ,满足()141n n n a a a +=-,若50a =,则1a 的可能取值的个数为( ). A.7B.8C.9D.10【参考答案】C 【试题解析】记()4(1)f x x x =-,若()[0,1]f x ∈,则[0,1]x ∈,由50a =,得1[0,1]a ∈.又有()()2222sin 4sin 1sin sin 2f θθθθ=-=,故令21sin a θ=,0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,即可得到25sin 16a θ=,再由50a =,即可得到16k θπ=,k Z ∈,根据θ的取值范围,得到1a 的可能取值；解：记()4(1)f x x x =-,若()[0,1]f x ∈,则[0,1]x ∈.因此由50a =,得1[0,1]a ∈.又有()()2222sin 4sin 1sin sin 2f θθθθ=-=,故令21sin a θ=,0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦, 则22sin 2a θ=,…,25sin 16a θ=,故16k θπ=,k Z ∈,所以由0,162k ππθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,k Z ∈,得08k ≤≤,因此1a 的可能取值有9个,故参考答案：C.本题考查三角代换、换元思想的应用,属于中档题.非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.11.已知幂函数()y f x =的图象过点⎛ ⎝⎭,则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减.【参考答案】 (1).()12f x x -= (2).(0,)+∞【试题解析】设()f x x α=,由题意可得()3f =,可求得α的值,再利用幂函数的单调性可求得函数()y f x =的单调递减区间.设()f x x α=,代入⎛ ⎝⎭得()33f α==,解得12α=-,所以此函数的解析式为()12f x x -=.函数()y f x =在定义域内单调递减,故单调递减区间为(0,)+∞. 故答案为：()12f x x-=；(0,)+∞.本题考查幂函数解析式和单调区间的求解,解答的关键就是求出幂函数的解析式,考查计算能力,属于基础题.12.设()662345012345(21)(1)x x x a a x a x a x a x a x--=-+++++,其中012345,,,,,a a a a a a 实数,则0a =__________,012345a a a a a a +++++=_____________.【参考答案】 (1).-1 (2).6 【试题解析】令0x =可求得0a ,列出6(21)x -的展开式可得66(21)x x --的展开式,提出公因式(1)x -再利用赋值法即可得解.令0x =可得0011a a =-⇒=-,因为66061566666(21)(1)C C (1)C (1)x x x x x x x -=+-=+-++-,所以66156666(21)(1)(1)x x C x x C x --=-++-152465666(1)C C (1)C (1)x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦,则1524652345666012345C (1)(1)x C x x C x a a x a x a x a x a x +-++-=+++++,令1x =,得10123456C 6a a a a a a ++++==+.故答案为：1-；6本题考查二项式定理、赋值法求指定项的二项式系数,属于中档题.13.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知45B ︒=,a =b ,则c =________,ABC 的面积为________.【参考答案】 【试题解析】根据正弦定理得30A ︒=求出180C ︒=()105A B ︒-+=,即可求出c 的值；再根据三角形的面积公式,即可求出结果由正弦定理sin sin a b A B =得sin 1sin 2a B A b ︒===,又a b <,所以A B <,因此30A ︒=,所以180C ︒=()105A B ︒-+=,因此sin sin 2b Cc B ==,于是得ABC 的面积为11)sin 24S ac B +==.故答案为：c =；S =本题考查正弦定理、三角形的面积公式,注意根据三角形中“大边对大角”确定角的取值范围,本题属于基础题.14.甲､乙､丙､丁参加数学学业水平考试,四人能够考到A 等级的概率都是0.8,记随机变量X 为四人中能考到A 等级的人数,则X 的数学期望()E X =________,方差()21D X +=________. 【参考答案】 (1).3.2 (2).2.56 【试题解析】根据二项分布的期望与方差的公式,以及()D X 与()D aX b +的关系求解即可. 由题可知随机变量X服从二项分布,~(4,0.8)X ,则() 3.2E X =,()40.8(10.8)0.64D X =⨯⨯-=,则(21)4 2.56D X DX +==.故答案为：3.2；2.56本题考查离散型随机变量的期望和方差､二项分布.属于基础题. 15.已知单位向量2,e e 的夹角为3π,设122a e e λ=+,则当0λ<时,a λ+的取值范围是__________. 【参考答案】(1,2)- 【试题解析】a λ==,所以?a λλλ+==+不妨令1(1)t t λ+=<,原式1t =-, 当t 1→时2max a λ+→ 当t ∞→-时1min a λ+→- 所以a λ+的取值范围是()1,2-：本题借助向量考查了范围问题,先根据题目条件计算出a 的表达式,然后运用换元法令1t λ+=,1t -,计算其范围可以先判定其单调性,然后借助极限法求得结果16.已知1,,,12a b c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则2222a b c ab bc+++的取值范围是________.【参考答案】52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【试题解析】由()222222222a b c a b b ab bc c =≥++++++得到22222a b c ab bc++≥+,根据1,,12a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得到122b a ≤≤,122a b ≤≤,构造函数1y x x =+,利用其性质得52a b b a +≤,即2252a b ab +≤.同理2252b c bc +≤,代入原式化简即可.因为22222222a b c a b b c ab bc ab bc+++++=≥++222ab bcab bc +=+,当且仅当a b c ==时等号成立. 因为1,,12a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以111,122a b ≤≤≤≤ 所以 1112,12a b ≤≤≤≤所以 122b a ≤≤,122ab≤≤令1y x x =+,y 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象如图所示：所以522y ≤≤, 所以52a b b a +≤,即2252a b ab +≤.同理2252b c bc +≤,故22255222a b c ab bc ≤+++,所以222252a b c ab bc ++≤+.故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦本题考查基本不等式、不等式的性质以及双勾函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.17.若直线35y kx =-交椭圆22:14x E y +=于P ,Q 两点,则线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围是________.【参考答案】99,2020⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【试题解析】设()11,P x y ,()22,Q x y ,线段PQ 的中点为()00,T x y ,然后分0k =和0k ≠两种讨论,当0k ≠时,联立直线与椭圆的方程消元,然后韦达定理可得12224541k x x k +=⋅+,然后算出12y y +、0x 、0y ,然后求出0x 的范围和得到0014ky x =-,然后可得直线l 在x 轴上的截距为034x ,即可求出答案. 设()11,P x y ,()22,Q x y ,线段PQ 的中点为()00,T x y ①当0k =时,易得线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距为0；②当0k ≠时,由223514y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得()222464410525k x kx +--=, 所以12224541k x x k +=⋅+, ()()1222122454156665541y y k k k k x x k -⎛⋅+⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭+ 于是有0212121154154k x k k k=⋅=⋅++,()205134y k -=+因为(][)14,44,k k +∈-∞-⋃+∞ 所以033,00,55x ⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,因为0212541k x k =⋅+,()205134y k -=+,所以0014ky x =-, 因为直线l 的方程为()001y y x x k-=--, 所以直线l 在x 轴上的截距为000399,00,42020ky x x ⎡⎫⎛⎤+=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上,线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围是99,2020⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：99,2020⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤. 18.已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+,x ∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的图象,若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,不等式|()|2g x m -≤恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】(Ⅰ)π；(Ⅱ21m -≤≤. 【试题解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换求解；(Ⅱ)利用正弦函数性质求解.解：(Ⅰ)()2sin cos cos 2sin 2cos 2f x x x x x x =+=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,22T ππ==,所以函数()f x 的最小正周期为π.(Ⅱ)由题意得,将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x ,即 ()2sin 244f x x ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 2()44x ππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得()2sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 2sin 2,14x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则()[1,2]g x ∈-,|()|2g x m -≤等价于2()2g x m -≤-≤,则有2()2m g x m -≤≤+, 依题意得21m -≤-且22m +≥,解得221m -≤≤.本题考查三角恒等变换、正弦函数的性质. 19.如图,在三棱台ABC DEF-中,BC CF ⊥,222BC EF BG AG ====,2FC =,2FQ QD =,3ABC π∠=,平面BCFE ⊥平面ABF .(Ⅰ)证明：//QG 平面BCFE ； (Ⅱ)求AD 与平面ABC 所成角的正弦值. 【参考答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ215.【试题解析】(Ⅰ)证法一：在BC 上取点H ,使12BH HC =,连接GH 、FH ,证明出四边形GHFQ 为平行四边形,可得出//QG FH ,再利用线面平行的判定定理可证得//QG 平面BCFE ；证法二：在平面ABC 内过点G 作//GP BC ,连接PQ ,证明出平面//PQG 平面BCFE ,再利用面面平行的性质定理可得出//QG 平面BCFE ；(Ⅱ)连接EC ,推导出EC ⊥平面ABF ,可得出EC AB ⊥,进一步推导出AB ⊥平面CGE ,可得出AB GE ⊥,然后取AB 的中点R ,连接RE ,推导出//AD RE ,过点E 作ET CG ⊥交CG 于点T ,连接RT ,推导出ET ⊥平面ABC ,可得出ERT ∠为直线AD 与平面ABC 所成的角,然后通过解三角形可解出sin ERT ∠的值. (Ⅰ)证法一：在BC 上取点H ,使12BH HC =,连接GH 、FH , 2AG BG =,12BG BH AG HC ∴==,//GH AC ∴且13GH AC =,由棱台的性质可知22113323FQ DF AC AC ==⨯=, 且//AC QF ,//GH QF ∴且GH QF =,∴四边形GHFQ 是平行四边形,//QG FH ∴, 又FH⊂平面BCFE ,QG ⊄平面BCFE ,//GQ ∴平面BCFE ；证法二：在平面ABC 内过点G 作//GP BC ,连接PQ ,13PC AC =,又2133FQ DF AC ==,//PC FQ ∴且PC FQ =,∴四边形QPCF 是平行四边形,//PQ FC ∴.PQ ⊄平面BCFE ,FC ⊂平面BCFE ,//PQ ∴平面BCFE ,又//GP BC ,GP ⊄平面BCFE ,BC ⊂平面BCFE ,//GP ∴平面BCFE ,PQ GP P =,∴平面//PQG 平面BCFE , QG ⊂平面PQG ,//QG ∴平面BCFE ；(Ⅱ)连接EC ,在直角梯形BCFE 中,22FC EF BC FC ==,2EFC BCF π∠=∠=, Rt EFC Rt FCB ∴,FCE CBF ∴∠=∠,又2ECB FCE π∠+∠=,2CBF ECB π∴∠+∠=,EC BF ∴⊥,又平面BCFE ⊥平面ABF ,平面BCFE ⋂平面ABF BF =,EC ⊂平面BCFE ,EC ∴⊥平面ABF ,AB ⊂平面ABF ,EC AB ∴⊥,在BCG 中,1BG =,2BC =,3GBC π∠=,由余弦定理得2222cos33CG BG BC BG BC π=+-⋅=,222BG CG BC ∴+=,AB CG ∴⊥,又CG EC C ⋂=,AB ∴⊥平面CGE ,GE ⊂平面CGE ,AB GE ∴⊥,取AB 的中点R ,连接RE ,12DE AB AR ==且//DE AR ,∴四边形ADER 为平行四边形,则//AD RE , 32AR =,12GR =,()223BE CF BC EF =+-=, 222EG BE BG ∴=-=,2232RE RG GE =+=. 过点E 作ET CG ⊥交CG 于点T ,连接RT ,AB ⊥平面CGE ,ET ⊂平面CGE ,AB ET ∴⊥,ET CG ⊥,且AB CG G ⋂=,ET ∴⊥平面ABC ,ERT ∴∠为AD 与平面ABC ∠所成的角.在EGC 中,3CE CG ==2GE =由余弦定理得2222cos 23CE CG GE CGE CE CG +-∠==⋅,则25sin 1cos CGE CGE ∠=-∠=15sin ET GE CGE ∴=∠=,152215sin 3ET ERT RE ∴∠===, 因此,AD 与平面ABC 所成角的正弦值为159. 本题考查线面平行的证明,同时也考查了线面角的正弦值的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对于任意正整数n ,有n ,n a ,n S 成等差数列,且数列{}n b 满足2122222n n b b b n n +++=+…. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；(Ⅱ)设n n n c b a =+,求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】(Ⅰ)21n n a =-,12n n b n +=⨯；(Ⅱ)1(21)22n n T n n +=-⨯+-.【试题解析】(Ⅰ)利用等差数列的性质并结合1(2)n n n a S S n -=-≥得递推关系,再构造等比数列求解{}n a 的通项,同样的方法求{}n b 的通项；(Ⅱ)结合(Ⅰ)求得n c ,利用分组求和及错位相减法求解即可. 解：(Ⅰ)因为n ,n a ,n S 成等差数列, 则2n n n S a +=,①当1n =时,1112a a +=,解得11a =, 当2n ≥时,1112n n n S a ---+=,② ①-②得121n n a a -=+, 即()1121n n a a -+=+,所以数列{}1n a +是首项为2,公比为2的等比数列,所以11222n nn a -+=⨯=, 故21nn a =-.又由2122222n n b b b n n +++=+…,③ 得当1n =时,14b =, 当2n ≥时,212121(1)(1)222n n b b b n n --+++=-+-…,④ ③-④得12n n b n +=⨯,经验证当1n =时也适合,故所求的数列{}n a ,{}n b 的通项公式分别为21n n a =-,12n n b n +=⨯.(Ⅱ)1221n nn n n c b a n +=+=⨯+-(21)21n n =+⨯-,设23325272(21)2nn A n =⨯+⨯+⨯+++⨯…,23123252(21)2(21)2n n n A n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯…,两式相减可得()23162222(21)2n n n A n +-=++++-+⨯… 212(21)22n n n ++=-+⨯-,则1(21)22n n A n +=-⨯+,1(21)22n n T n n +=-⨯+-.本题考查等差数列、等比数列、考查了错位相减法求数列的前n 项和,属于中档题. 21.如图,斜率为k 的直线交抛物线24x y =于,A B 两点,已知点B 的横坐标比点A 的横坐标大4,直线1y kx =-+交线段AB 于点R ,交抛物线于点,P Q .(1)若点A 的横坐标等于0,求||PQ 的值； (2)求||||PR QR ⋅的最大值.【参考答案】(1)8;(2)625144. 【试题解析】(1)先根据点,A B 的坐标得k 的值,然后将直线PQ 的方程与抛物线方程联立,构建关于x 的二次方程,最后利用弦长公式求解；(2)先设出直线AB 的方程,与抛物线方程联立,构建关于x 的二次方程,再根据点,A B 的横坐标满足的条件可求得,k b 满足的关系式将直线,AB PQ 的方程联立,可求得点R 的横坐标,将直线PQ 的方程与抛物线方程联立,构建关于x 的二次方程,结合根与系数的关系、弦长公式、二次函数的最值即可求解. 解：(1)(0,0),(4,4)A B ∴, 1k ∴=.联立得2214404y x x x x y=-+⎧⇒+-=⎨=⎩,设()()1122,,,P x y Q x y ,则1212124,4,||8x x x x PQ x =-+=-=-=.(2)设AB 的方程为(0)y kx b k =+≠,代入24x y =,得2440x kx b --=,216160k b ∆=+>,4,4A B A B x x b x x k =-+=,24,1B A x x k b -==∴=-.由1122R y kx b b kx y kx k =+⎧-⇒==⎨=-+⎩, 联立得2214404y kx x kx x y =-+⎧⇒+-=⎨=⎩, 12124,4x x k x x ∴+=-=-, 则()()()212||||1RR PR QR k x x xx ⋅=-+--()()2212121R Rk x x x x x x ⎡⎤=-+-++⎣⎦()2221424k k k ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭2297625418144k ⎛⎫=--+⎪⎝⎭.所以,当6k =±时,||||PR QR ⋅取得最大值625144. 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生的数形结合能力以及运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.计算量较大是本题的难点也是本题的易错点. 22.已知0a >,函数()()326933f x x x a x a =-++-,[]1,3x ∈.(Ⅰ)求函数()f x 在2x =处的切线；(Ⅱ)若函数()y f x =在3x =处有最大值,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(Ⅰ)(33)38y a x a =--+(Ⅱ)3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【试题解析】(I)根据导数的几何意义求切线斜率,从而写出切线的方程；(Ⅱ)利用“先必要,后充分”的方法缩小参数范围,减少分类讨论的情形,并通过导数研究函数的单调性,从而判断并求解函数在给定区间内的最值.解：(Ⅰ)因为2()31293f x x x a '=-++,则(2)33f a '=-,又有(2)32f a =+,故函数()f x 在2x =处的切线为(33)38y a x a =--+.(Ⅱ)由32()6(93)3f x x x a x a =-++-知函数()y f x =的图象过定点(1,4),且22()312933(2)1f x x x a x a '⎡⎤=-++=-+-⎣⎦,又因为函数()y f x =在3x =处有最大值,则(1)(3)f f ,即23a. 当1a 时,()0f x '在[1,3]上恒成立,()f x 在[1,3]上单调递增,所以()y f x =在3x =处有最大值,符合题意； 当213a <时,(1)(3)30f f a ''==>,令()0f x '=,则12(1,2)x =,22(2,3)x =,从而知()f x 在()11,x 上单调递增,()12,x x 上单调递减,()2,3x 上单调递增,故函数()y f x =在[1,3]上的最大值为()1f x 或(3)f .又因为()123(22f x a a =++-所以23(226a a a ++-,即2(13(1)1a a --,令110,3a t ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦,则()23g t t =+在10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,且114g ⎛⎫=⎪⎝⎭,可得114a t -=,则314<a . 综上,实数a 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭本题考查导数的运算及其几何意义、利用导数研究函数的性质,属于中档题.。

浙江省2017届高考模拟冲刺卷（提优卷）（二） 数学文试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2)锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，V =31Shh 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 是虚数单位，复数z 满足：2)1()21(i z i +=-，则z 的值是 ( ▲ )A ．i 5254+- B. i 5352+- C. i 5254-D. i 5352-2．设集合M=}21{≤<x x ，N=}{a x x ≤，若M N C M R =⋂)(，a 的取值范围是 ( ▲ )A ．(−∞，1）B ．(−∞，1]C ．[1，+∞)D ．(2，+∞）3．设R d c b a ∈,,,，则“d c b a >>,”是“bd ac >”成立的 ( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是( ▲ ) A ．2 B ．-2C ．3D ．-35．如果函数)4cos(ax y +=π的图象关于直线π=x 对称，则正实 数a 的最小值是( ▲ )A ．41=aB ．21=aC ．43=a D ．1=a6．一个口袋中装有形状和大小完全相同的3个红球和2个白球，甲从这个口袋中任意摸取2个球， 则甲摸得的2个球恰好都是红球的概率是（ ▲ ） A ．103B ．52C ．53D ． 327．对于定义在R 上的函数)(x f ，以下四个命题中错误的是 （ ▲ ）（第11题）侧视图俯视图A ．若)(x f 是奇函数，则)2(-x f 的图象关于点A （2，0）对称B ．若函数)2(-x f 的图象关于直线2=x 对称，则)(x f 为偶函数C ．若对R x ∈，有),()2(x f x f -=-则4是)(x f 的周期D ．函数)2()2(x f y x f y -=-=与的图象关于直线0=x 对称8. 若实数x ，y 满足：01243=-+y x ，则x y x222++的最小值是 （ ▲ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 89． 在△ABC 中，已知4=⋅3=，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅ 的值是（ ▲ ） A ．5 B ．421C ． 6D ． 8 10. 正四面体ABCD 的棱长为1，其中线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，线段EF 在平面α上的射影11F E 长的范围是（ ▲ ） A.[0，22] B. [66，22] C. [36，22] D. [21，22] 非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 设向量)cos ,1(θ=OA ，)tan ,21(θ-=，)23,2(ππθ∈，且OB OA ⊥，则=θ ▲ ．12．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-0801050y x y x a y ，且目标函数y x z 52-=的最小值是10-，则a 的值是 ▲ .13．某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此几何体的体积等于 ▲ cm 3．14. 已知函数)(x f y =在R 上为偶函数，当0≥x 时，)1(log )(3+=x x f ，若)2()(t f t f ->，则实数t 的取值范围是 ▲15. 在数列{}n a 中，31=a ，2)2)(2(1=--+n n a a （*N n ∈），则2014a 的值是 ▲16. 已知椭圆的方程C ：12222=+-m y m m x （0≠m ），若椭圆的离心率)1,22(∈e ，则m 的取值范围是 ▲ .17. 已知函数⎩⎨⎧---=x x e x f x 21)(20<≥x x ，若关于x 的方程a x x f -=)(有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3=a ，A=︒60，23=+c b ．（Ⅰ）求函数()x A x f 22cos cos +=)(R x ∈ 的单调递增区间及最大值； （Ⅱ）求ABC △的面积的大小19．（本小题满分14分） 在数列{n a }中，11=a ，2111111=+-++n n a a )(*N n ∈， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）设n a b n 21+=（*N n ∈），求数列{}n b 的前10项和10S .20．（本小题满分15分）如图，ABC ∆在平面α内，090=∠ACB ，22==BC AB ，P 为平面α外一个动点，且PC=3，︒=∠60PBC（Ⅰ）问当PA 的长为多少时，PB AC ⊥（Ⅱ）当PAB ∆的面积取得最大值时，求直线BC 与平面PAB 所成角的大小21. （本小题满分15分）已知函数x e x f x22)(-=，m x x g +=2)(（R m ∈）. （Ⅰ）试讨论函数)(x f y =的单调性;（Ⅱ）设函数)()()(x g x f x h -=，]3,0[∈x ，当函数)(x h y =有零点时，求实数m 的最大值.22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：px y 22= )0(>p ，点A 、B 在抛物线C 上. （Ⅰ）若直线AB 过点M （2p ，0），且AB =4p ，求过A ，B ，O （O 为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ） 设直线OA 、OB 的倾斜角分别为βα、，且4πβα=+，问直线AB 是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.2017年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）数学文科（二）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 【答案解析】A ． 由已知得i z i 2)21(=-，两边同乘)21(i +化简得i z 5254+-=，故选A 2．【答案解析】B ．因为N C R ={x |x a >}，若M N C M R =⋂)(，则∈a (−∞，1]，故选B 3．【答案解析】D ．若p 成立，q 不一定成立，例如取3,2,1,2-=-===d c b a ，反之，若q 成立，p 也不一定成立，如2,3,1,2=-==-=d c b a ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，故选D 4．【答案解析】C ．该程序运行后输出的值是3，故选C 5． 【答案解析】C ．由ππk ax =+4，当π=x 时，41-=k a )(Z k ∈，因为0>a ，所以当1=k 时，正数a 取得最小值43，故选C 6． 【答案解析】A ．设3个红球为A ，B ，C ，2个白球为X ，Y ，则取出2个的情况共有10种，其中符合要求的有3种，所求的概率为103，故选A 7． 【答案解析】D ．函数)2()2(x f y x f y -=-=与的图象关于直线2=x 对称，命题D 是错误的，故选D8.【答案解析】D.由于 x y x 222++=1])1[(22-++y x ，而点（-1，0）到直线01243=-+y x 的距离为35123)1(=-⨯-=d ，所以22)1(y x ++的最小值为3，所以x y x 222++的最小值为8132=-，故选D9． 【答案解析】C设BC 的中点为O ，由4=⋅，即4)()(==+⋅+OC AO OB AO ，因为3=，49=，425=，而AN AM ⋅=22OM AO -，由已知21=，所以22OM AO -=641425=-，所以⋅=6，故选C10. 【答案解析】D.如图，取AC 中点为G ，结合已知可得GF //AB ，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 旋转时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，故选D 11. 【答案解析】65πθ=.由已知得21sin =θ，因为 )23,2(ππθ∈，所以65πθ=12． 【答案解析】a =2.作出平面区域，由题设画图分析可知，当⎩⎨⎧=-=ay a x 105时，y x z 52-=取得最小值，由此求得2=a .13． 【答案解析】332. 由题意，该几何体为一个四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为2，体积为33224312=⨯⨯ 14. 【答案解析】),1(+∞.由于函数)(x f y =的图象关于y 轴对称，且在0≥x 上为增函数，所以当)2()(t f t f ->时，tt ->2，由此解得1>t ，所以t 的取值范围是),1(+∞15. 【答案解析】42014=a .由2)2)(2(1=--+n n a a （*N n ∈）．可得：)2()2(2)2(12-=-=-++n n n a a a （*N n ∈），所以，数列{}n a 是一个周期数列，周期为2，由于22212-=-a a ，31=a ，所以2a =4，由周期性得2014a =4 16. 【答案解析】223<<m .由⎩⎨⎧>>-0022m m m ，（1）当10<<m 时，)1,21(212222∈--=--=m m m m m m e ，φ∈m 当1>m 时，)1,21()1(22∈-=-=m m m m e ，223<<m 17. 【答案解析】)0,49(-.如图，直线y=x-a 与函数1)(-==xe xf y 的图象在0≥x 处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时0=a ；直线a x y -= 与函数x x y 22--=)0(<x 的图象有一个切点，切点坐标是)43,23(-，此时相应49-=a ，观察图象可知，方程ax x f -=)(有三个不同的实根时，实数a 的取值范围是)0,49(-.18．（本小题满分14分）【答案解析】（Ⅰ）()x x f 22cos 60cos -=︒x x 2cos 214322cos 141+=++=，由ππππ2222+≤≤+k x k )(Z k ∈，可得函数()f x 的单调递增区间为)](,2[Z k k k ∈++ππππ，当且仅当)(Z k k x ∈+=ππ时，函数()f x 取得最大值，其最大值是45.（Ⅱ）．由余弦定理3cos 2222πbc a c b =-+得3=bc ，由此可得4332323sin 21=⨯==∆A bc S ABC .19．（本小题满分14分）【答案解析】（Ⅰ）设1+=n n a c ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n c 1是一个等差数列，其首项为21，公差也是21，所以221)1(211nn c n =-+=，所以12-=n a n ，（Ⅱ）由（1）得1221221-==+=n n n na b ，所以数列{}n b 的前10项和10S91092212]211[22121211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++= 5121023=21．（本小题满分15分）【答案解析】（Ⅰ）因为090=∠ACB ，所以BC AC ⊥，当PC AC ⊥时，PBCAC 平面⊥，而PBC PB 平面⊂，所以PB AC ⊥，此时，63322=+=+=PC AC PA ，即当PA=6时，PB AC ⊥（Ⅱ）在PBC ∆中，因为PC=3，︒=∠60PBCBC=1，所以PC BC ⊥，当PAB ∆的面积取得最大值时，︒=∠90PBA ，（如图）在PBA Rt ∆中，因为AB=PB=2，由此可求得BD=2，又在BCD Rt ∆中，BC=1，所以CD=1，由于BCD PA 平面⊥，所以PBA BCD 平面平面⊥，所以CBD ∠就是直线BC 与平面PAB 所成角，在BCD Rt ∆中，因为BC=CD=1，所以︒=∠45CBD ，所以直线BC 与平面PAB 所成角的大小为︒4522. （本小题满分15分） 【答案解析】 （Ⅰ）令022)(=-='x e x f ，得0=x .当0≥x 时，0)(≥'x f ；当0<x 时，0)(<'x f ，故函数)(x f y =在区间),0[+∞上单调递增，函数)(x f y =在区间)0,(-∞上单调递减.（Ⅱ）m x x e x h x ---=222)(，x e x h x 222)(--='令x e x g x 222)(--=，当]3,0[∈x ，0)1(2)(>-='x e x g ，所以)(x g 在]3,0[∈x 上为增函数，对于任意]3,0[∈x ，有)0()(g x g >，即0)0(222)(='>--='h x e x h x ，所以)(x h 在]3,0[∈x 上是增函数，)(x h 的最大值m e h --=152)3(3，故函数)(x h y =有零点时，实数m 的最大值是1523-e . 22．（本小题满分14分）【答案解析】 （Ⅰ）直线p x 2=与抛物线y 2=2p x 的两个交点坐标分别是：M ()p p 2,2，N ()p p 2,2-，弦长)0(4>=p p MN ，故三角形ABO 是∆Rt ，所以过A ，B ，O 三点的圆方程是：2224)2(p y p x =+-（Ⅱ）解：设点),2(),,2(222121y py B y p y A ，直线AB 的方程为：b my x +=，它与抛物线相交，由方程组⎩⎨⎧=+=pxy bmy x 22消去x 可得0222=--pb mpy y ，故mp y y 221=+，pb y y 221-=，这样，tan =4π()21212112212122111tan tan 1tan tan tan y y x x y x y x x x y y x y x y -+=-+=-+=+βαβαβα()2212142p y y y y p -+= 即1=p b mpppb mp p 2242222+-=--⋅，所以mp p b 22--=，所以直线AB 的方程可以写成为：mp p my x 22--=，即()p y m p x 22-=+，所以直线AB 过定点()p p ，22- .题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）解(Ⅰ)由于1=++c b a ，所以222)3()2()1(+++++c b a)642()14(c b a c b a ++++++=)32(215c b a +++=，由柯西不等式14))(941()32(2=++++≤++c b a c b a ，当且仅当321cb a ==时， )32(c b a ++取得最大值14，又因为1=++c b a ，由此可得：当 149,144,141===c b a 时，222)3()2()1(+++++c b a 取得最大值14215+(Ⅱ)因c b a ,,是正实数，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++a bc c ab c ab b ac b ac a bc c ab b ac a bc 211)(=++≥b a c ，又因222c b a ca bc ab ++≤++，所以1)()(32=++≤++c b a ca bc ab所以)(3ca bc ab cab b ac a bc ++≥++．题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分) 解(Ⅰ)①当切线l 垂直于x 轴时，由题设可求得)712,712(A ，)712,712(-B ，（或)712,712(-'A ，)712,712(--'B ），故1-=⋅O B O A k k ，所以OB OA ⊥； ② 当切线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：m kx y +=，解方程组⎩⎨⎧=-++=0124322y x m kx y 01248)43(222=-+++⇒m kmx x k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=221222143843124k km x x k m x x ，2212122121)())((m x x mk x x k m kx m kx y y +++=++=，所以222222121)438()43124)(1(m kkmmk k m k y y x x ++-++-+=+ （*），因为直线m kx y +=与圆71222=+y x 相切，所以71212=+k m ，即)1(71222k m +=，代入方程（*）化简得02121=+y y x x即1-=⋅O B O A k k ，所以OB OA ⊥． 综上①②，证得OB OA ⊥成立(Ⅱ) 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 椭圆C 在极坐标系下的方程是3sin 4cos 1222θθρ+=，因为OB OA ⊥，故可设)2,(),,(21θπρθρ+B A ，所以3)2(sin 4)2(cos )3sin 4cos (11222222θπθπθθ+++++=+OB OA 1273141=+=。

2020浙江高考数学冲刺卷本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟第（Ⅰ）卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（原创）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,4,6}A =，集合{1,4,7,8}B =，则()U A C B =（ ） A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}2．（原创）若双曲线的两条渐近线方程为20x y ±=，则双曲线的离心率是（ ）AB ．2CD3．（原创）实数,x y 满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的取值范围是（ ）A ．[4,6]-B ．[4,3]-C ．[6,4]-D ．[6,3]-4．（原创）设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．（原创）冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）A ．3222()π⋅B ．322()πCD2226．（原创）函数1()()ln f x x x x=+的图象大致为（ ）7．（原创）已知a b c ，，成等差数列，随机变量ξη，的分布列如下，则下列结论正确的是（ ）ξ0 1 2 PabcA ．()()E E ξη=B ．()()D D ξη= C．()()E E ξη>D ．()()D D ξη>8．（改编）已知函数3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若关于x 的方程()(3)f x a x =+恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）η0 1 2 Pcba1-1xyo1-1xyo xy o1-1x yo1-1ABCDA． B ．[0,1) C．1[3 D ．1[,1)39．（原创）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，将ABE ∆沿直线AE 折起至AEM ∆，点M 在平面AECD 上的投影为O ，平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线MC 与平面AECD 所成角为β，若OB OC =，则下列说法正确的是（ ）A ．2αβ=B ．2αβ>C ．2αβ<D ．无法确定10．（改编）数列{}n a 满足2113222n n n a a a a +==-+，，下列说法正确的是（ ） A ．存在正整数k ，使得34k a =B ．存在正整数k ，使得3k a =C ．对任意正整数k ，都有12k a <<D ．数列{}n a 单调递增第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题7小题，多空题每题6分，单空每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．11．（原创）复数z 满足(2)21i z i +=+，则z =_____；z =_____12．（原创）点Q 是圆22(1)1C x y +-=：上的动点，点P 满足3OP OQ =（O 为坐标原点），则点P 的轨迹方程是_______________；若点P又在直线(y k x =-上，则k 的最小值 是________E DCBA13．（原创）已知在1(2)nx的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则n =_____；4x 项的系数为______14．（原创）四边形ABCD 内接于圆O ，其中AB 为直径，若7,3BC CD DA ===，则AB =_______；四边形ABCD 的面积是_______15．（原创）函数()log 1(0,a f x x a =->且1)a ≠，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===， 则12341111x x x x +++=_______ 16．（改编）过点(1,0)P -的直线与抛物线2y x =相交于,A B 两点，(,0)M t 为x 轴上一点，若ABM ∆为等边三角形，则t =_______17．（原创）ABC ∆中，,D E 依次为BC 的三等分点，若2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADC ∠的最小值是__ _三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题14分）（原创）已知函数()cos f x x = （1）已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+为奇函数，求θ值； （2）求函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域.19．（本题15分）（改编）如图，菱形ABCD 与正BCE ∆的边长均为2，且平面BCE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD，且FD =（1）求证：//EF 平面ABCD（2）若60ABC ∠=︒，求二面角A BF E --的余弦值.20．（本题15分）（改编）正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对每个n N +∈，112nn n S a ++，，成等差数列，且1236a a a +，，成等比数列.（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：21211111(13)103n n a a a -+++≤-21．（本题15分）（改编）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，直线12,PF PF 与椭圆的另一个交点分别为,A B .（1）若P 点坐标为3(1,)2，且124PF PF +=，求椭圆的方程；（2）设11PF F A λ=，22PF F B μ=，求证：λμ+为定值.22．（本题15分）（改编）已知函数()ln f x x a x =+（1）若曲线()y f x =在点2x =处的切线与直线2y x =平行，求实数a 的值；（2）若()a xf x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立，求a 的最小值.PBAyOxFECBDA数学试卷参考答案与解题提示一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1.【答案】B【考查目标】本题考查集合的交、补运算，属于基础题. 【试题解析】{2,3,4,6}U C B =，{2,3,6}U A C B =，故选择B2. 【答案】D【考查目标】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线、离心率的概念，考查考生基本运算求解能力，属于基础题.【试题解析】易得双曲线方程为224(0)x y λλ-=≠，当0λ>时离心率e =，当0λ<时离心率2e =D 3. 【答案】A【考查目标】本题考查简单的线性规划问题，考查考生的作图能力和直观想象能力，属于基础题. 【试题解析】作图即得平面区域，由几何意义截距可知2[6,3]z x y =+∈- 4. 【答案】A【考查目标】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，考查考生等价转化思想，属于稍难题. 【试题解析】易得22002x x x -<⇔<<，1213x x -<⇔-<<，故选A5. 【答案】D【考查目标】本题考查三视图和直观图的关系，考查考生空间想象能力，四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力，属于稍难题. 【试题解析】由三视图可得四面体ABCD ，设球半径为R，则3114222323V R R π=⨯⨯⨯⨯=⇒= D6. 【答案】C【考查目标】本题考查函数的图像和性质，考查考生分析函数性质能力和图像识别能力，属于稍难题.【试题解析】()()f x f x -=，函数为奇函数，当1x >时，()0f x >故选择C 7. 【答案】B【考查目标】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差，考查考生运算求解能力，属于稍难题.【试题解析】1,2a b c b a c ++==+，12,33b ac ∴=+= 2,2E b c E b a ξη=+=+，222()4(2)D E E b c b c ξξξ=-=+-+，222()4(2)D E E b a b a ηηη=-=+-+，24()(1)03D D c a b ξη-=---=，故选择B 8. 【答案】D【考查目标】本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图像和性质，导数的几何意义，函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于稍难题.【试题解析】设32()41(0),()34g x x x x g x x '=-->=-，则易得当(0,3x ∈时，()g x 单调递减，当()3x ∈+∞时，()g x 单调递增，数形结合可知，A直线(3)y a x =+与()f x 在0x <处有一个交点，在(,)3+∞处有一个交点，故在(0,3处需2个交点，直线经过0,1（）点时13a =，当直线与34+1y x x =-+相切于(1,4)时1a =，故选择D9. 【答案】A【考查目标】本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考查考生空间想象能力和作图能力，属于难题.【试题解析】易得当OB OC =时，MBO MCO β∠=∠= 设BO 交AE 于F ，则AE MF ⊥，MFO∠又由于BFMF =，MBF FMB β∴∠=∠=2=βα∴ 故选择A 10. 【答案】C【考查目标】本题考查数列的递推关系、数列的通项、数列的求和、数列与不等式的综合问题，考查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于难题. 【试题解析】22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，2132(2)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<，112n n a a +∴<<<，故选择C二、填空题：本大题7小题，多空题每题6分，单空每题4分，共36分． 11.【答案】4355i +；1 【考查目标】本题考查复数的四则运算，考查考生基本运算求解能力，属于基础题. 【试题解析】2143(2)21,1255i i z i z i z i ++=+⇒==+=+ DMB12.【答案】22(3)9C x y +-=：；【考查目标】本题考查直线与圆的位置关系，动点轨迹方程的求法，直线的倾斜角与斜率，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于基础题.【试题解析】设00(,),(,)P x y Q x y ，则00033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入方程2200(1)1x y +-=得22(3)9x y +-=；数形结合，直线与圆相切时k取得最小值13.【答案】6； 240【考查目标】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 【试题解析】由二项式系数的对称性质得6n =，由通项公式361216(2)()r rr r TC x x --+=-1856262(1)rr rrC x--=-令185422r r -=⇒=，故得含4x 的项系数为2462240C =14.【答案】9；【考查目标】本题考查三角形中的边角关系、三角形面积公式、倍角公式的应用，考查考生三角恒等变形能力、图形识别能力、方程思想，属于稍难题.【试题解析】连接BD 得23949(9)cos cos 009236x DAB BCD x x +--∠+∠=⇒+=⇒=⋅⋅由面积公式的面积为15.【答案】2【考查目标】本题考查对数的运算法则、对数函数的图像和性质，考查考生观察能力、运算求解能力、画图能力，属于稍难题.【试题解析】根据函数图象性质得函数的图象关于直线1x =对称，则易得142312342,2,4x x x x x x x x +=+=∴+++=又1212121211()()log (1)log (1)(1)(1)11a a f x f x x x x x x x =⇒-=--⇒--=⇒+= 同理可得34111x x +=，则123411112x x x x +++= 16.【答案】53【考查目标】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生运算求解能力，属于稍难题 【试题解析】由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，故设直线方程为：(1),0y k x k =+≠代入抛物线方程得2222(21)0k xk x k +-+=①设1122(,),(,)A x y B x y ，2140k ∆=->②21212212,1k x x x x k -+==，则AB 中点坐标为22121(,)2k k k- AB 中垂线方程为221112()2k y x k k k--=--，令0y =得21122t k =-，则211(,0)22M k -ABE ∆为正三角形，M 到AB直线的距离d =，12x k =-=⇒= 代入②满足，则53t =17.【答案】47【考查目标】本题考查向量的运算、平面向量的基本定理，考查考生综合运用向量、三角、不等式等知识解决问题的能力，属于难题.【试题解析】()()122122AD AB AE AB AD AE AE AE AD AE AD AC⎧=+⎪⎧=-⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⎩=+⎪⎩，设,,AD x AE y DE m === 2222224242AB AD AC AE x AD AE y AD AE AD AE y x ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅⇒⋅=-222222225142277x y m y x y x m +-∴=-⇒=-2222228477cos 227x mx m y ADC mx mx ++-∴∠==≥三、解答题：本大题共5小题，共74分．18. 【答案】（1）2π或32π；（2）31[,]44- 【考查目标】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性，考查考生三角函数的恒等变形能力，属于基础题. 【试题解析】（1）()f x θ+奇()()0f x f x θθ⇔++-+=恒成立——————2分cos()cos()02cos cos 0x x x θθθ⇔++-+=⇔=恒成立————4分cos 0θ⇔=，又[0,2)θπ∈，所以2πθ=或32π.————————6分 （2）1sin ()sin cos()sin sin )662y x f x x x x x x ππ=⋅+=+=-——8分211cos sin 2(1cos 2)2244x x x x x =-=--——————10分11112cos 2)sin(2)44264x x x π=+-=+-————————12分因为1sin(2)16x π-≤+≤，所以3144y -≤≤， 所以函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域是31[,]44-.————————14分 19. 【答案】（1）见解析；（2）78-【考查目标】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力，属于基础题. 【试题解析】（1）如图，作EH BC ⊥于H ，连DH ，————1分 平面BCE ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，且EH=3分又FD ⊥平面ABCD，且FD =，∴//EH FD ，且EH FD =，四边形EFDH 是平行四边形，//EF HD ∴————5分，////EF ABCD HD ABCD EF ABCD EF HD ⊄⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩平面平面平面——————7分 （2）60ABCD ABC AH BC H BC ⎧⎪∠=︒⇒⊥⎨⎪⎩菱形是中点，——————8分以H 为原点，,,HB HA HE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.————9分则(1,0,0),A B E F有(1,3,0),(1,0,3),(3,BA BE BF =-=-=-————10分设平面ABF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由111111103000n BA x n BF x y ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，令11y =，取1(3,1,2)n =，————11分设平面BEF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，由222222203000n BE x n BF x z ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，令21z =，取2(3,2,1)n =，————12分则1212127cos 8n n n n n n ⋅〈〉==，，——————14分 由题意知二面角A BF E --是钝二面角，故二面角A BF E --的余弦值是78-.——15分 20.【答案】（1）11a =；（2）32n n n a =-；（3）见解析【考查目标】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，递推数列求通项的方法，考查考生运用所学的数学方法：数学归纳法，比较法、放缩法解决问题的能力，属于稍难题. 【试题解析】（1）1222322132(2)12(2)1(6)S a S a a a a +=+⎧⎪+=+⇒⎨⎪=+⎩1212322132(2)12(4)1(6)a a a a a a a a ⎧+=+⎪++=+⎨⎪=+⎩————————2分 21223111111221323613(23)(619)2790(6)a a a a a a a a a a a a ⎧=+⎪⇒=+⇒+=+⇒+-=⎨⎪=+⎩————3分 因为10a >，所以11a =————4分（2）1112(2)1221n n nn n n S a S a ++++=+⇒=-+当2n ≥时，111112212232221n n n n nn n n n n nn n S a a a a a a S a ++++-⎧=-+⎪⇒=--⇒=+⎨=-+⎪⎩————6分 又12211,532a a a a ==⇒=+符合上式，所以132n n n n N a a ++∀∈=+，————7分11312222n n n n a a ++⇒=⋅+⇒1131(1){1}2222n n n n n n a a a ++⇒+=+⇒+是首项为32，公比为32的等比数列 31()3222nn n n n n a a ⇒+=⇒=-————10分（3）因为，当2n ≥时，22255(32)34324(32)032399n n n n n n n n n n -----⋅=⋅-=-≥⇒-≥⋅1913253n nn ⇒≤⋅-————13分 易知1n =时，原不等式成立；当2n ≥时：123212111115111911131()1(13)193335910313n n n n a a a ---+++≤++++=+⋅⋅=--综上，原不等式n N +∀∈成立————15分21. 【答案】（1）22143x y +=；（2）22121e e+⋅- 【考查目标】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生函数与方程思想、数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力. 【试题解析】（1）22242,1914a a b a b =⎧⎪⇒==⎨+=⎪⎩22143x y +=——————4分（2）法一：坐标法设001122(,)(,)(,)P x y A x y B x y ，，，当00y =时，2222222()2(1)1a c a c a c e a c a c a c eλμ-++++=+==+---——————5分 当00y ≠时，PA x my c =-：，PB x ny c =+：，——————7分其中：0000x c x c m n y y +-==，，从而222222222000202()()2()x c m n y m n x c y ++=⇒+=+————9分由422222401222222222()20x my c b a b m y b mcy b y y a b m b x a y a b =-⎧⇒+--=⇒=-⎨++=⎩——————11分同理402222b y y a b n=-+，从而222240102112()a b m n y y y y b +++=-——————13分 222222222200220000441201022()112()()[]y y a y b y m n a b m n y y y y y y y y b b λμ+++++=+=-+== 222222222222222220000444222()2()2222a y b x c b x a y b c a b b c a c b b b b++++++====⋅ 2222222(1)21a c e a c e++=⋅=--——————15分 法二：三角法不妨设点P 在x 轴上方，由余弦定理易得：2211cos 1cos b b PF a c a e αα==⋅--，2111cos b F A a e α=⋅+2221cos 1cos b b PF a c a e ββ==⋅--，2211cos b F A a e β=⋅+——————8分所以111cos 211cos 1cos PF e F A e e αλαα+===---，221cos 211cos 1cos PF e F A e e βμββ+===--- ——————10分又221211221cos 1cos b b PF PF a a a e a e αβ+=⇒⋅+⋅=-- 221121cos 1cos a e e bαβ⇒+=--————13分 所以222222222222242(2)2()2(1)221cos 1cos 1a a b a c e e e b b a c eλμαβ-+++=+-=-===--+- ————15分22. 【答案】（1）3a =；（2）e -【考查目标】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查考生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质. 【试题解析】 （1）()1af x x'=+————2分， 由题意知(2)1232af a '=+=⇒=————4分 （2）()ln ln ln ln a x a x x a x x a af x x e x a x x e e x x a x e e x x -----≥-⇔+≥-⇔+≥-⇔-≥- ————7分设()ln g t t t =-，则原不等式()()x a g e g x -⇔≥——————9分由11()1t g t t t-'=-=，易知01t <<时，()0g t '<，1t >时，()0g t '>， 所以()ln g t t t =-在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增——————11分 因为是求a 的最小值，故设0a <，又1x >，所以,(0,1)xa ex -∈————12分所以1ln ()()x a x ax g e g x e x a x --≥⇔≤⇔-≥，原不等式恒成立max 1ln ()x a x⇔-≥ ————13分设ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()xh x x -'=，易知1x e <<时，()0h x '>，x e >时，()0h x '<， 所以ln ()x h x x =在(1,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减max 1()()h x h e e⇒==———14分 所以min 11a e a e a e-≥⇒≥-⇒=-——————15分。

2020浙江高考数学冲刺卷本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟第（Ⅰ）卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A. {4} B. {2，3，6} C. {2，3，7} D. {2，3，4，7} 【答案】B 【解析】 【分析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案.【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B.【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2.若双曲线的两条渐近线方程为20x y ±=，则双曲线的离心率是（ ） 5 B. 2555 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线得到双曲线方程224(0)x y λλ-=≠，考虑0λ>和0λ<两种情况得到离心率. 【详解】根据渐近线设双曲线方程为224(0)x y λλ-=≠，当0λ>时离心率454e λλλ+==0λ<时离心率452e e λλλ--==-=. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线、离心率的概念，考查考生基本运算求解能力，属于基础题.3.实数,x y 满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的取值范围是（ ）A. [0,6]B. [4,3]-C. [6,4]-D. [6,3]-【答案】A 【解析】 【分析】画出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数2z x y =+的最大值和最小值，即可得出结论.【详解】画出满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，令2z x y =+，由图形可得当目标函数2z x y =+分别过,A B 时，取得最大值和最小值，由323x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即(0,3)A ，由31x y y -=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即(2,1)B -，所以目标函数2z x y =+最大值为6，最小值为0，所以2x y +的取值范围是[0,6]. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划问题，考查作图能力和直观想象能力，属于基础题. 4.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.5.冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）A. 3222()π⋅B. 322()πC.32πD.31π【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图可将该几何体放入正方体中，为四面体ABCD ，根据体积相等可得球的半径. 【详解】由三视图可得四面体ABCD ，设球半径为R ，则331141222323V R R ππ=⨯⨯⨯⨯=⇒=，故选：D.【点睛】本题考查三视图和直观图的关系，考查考生空间想象能力，四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力，属于中档题. 6.函数1()()ln f x x x x=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性排除A ，B,再利用函数值正负判断C 即可 【详解】函数1()()ln f x x x x=+，定义域为{}0x x ≠关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，当1x >时，()0f x >故选：C【点睛】本题考查函数的图像和性质，考查考生分析函数性质能力和图像识别能力，一般从定义域，奇偶性及函数值正负几方面考虑，属于简单题7.已知a b c ，，成等差数列，随机变量，ξη的分布列如下，则下列结论正确的是（ ）ξ0 1 2Pa b cη0 1 2Pc b aA. ()()E E ξη=B. ()()D D ξη=C. ()()E E ξη>D.()()D D ξη>【答案】B【解析】 【分析】由条件可得12,33b ac =+=，然后2,2E b c E b a ξη=+=+，然后可计算出24()(1)03D D c a b ξη-=---=.【详解】1,2a b c b a c ++==+，12,33b ac ∴=+= 所以2,2E b c E b a ξη=+=+， 所以222()4(2)D E E b c b c ξξξ=-=+-+，222()4(2)D E E b a b a ηηη=-=+-+，所以24()(1)03D D c a b ξη-=---=，故选：B【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差，考查考生运算求解能力，属于稍难题.8.已知函数3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若关于x 的方程()(3)f x a x =+恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2) B. [0,1) C. 1[2)3D. 1[,1)3【答案】D 【解析】 【分析】作出函数3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩的图象，由题意得()(3)f x a x =+和3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩的图象有四个交点，找到临界位置求出对应的a ，根据数形结合思想即可得结果. 【详解】设32()41(0),()34g x x x x g x x '=-->=-，则易得当23(0,3x ∈时，()g x 单调递减，当23()3x ∈+∞时，()g x 单调递增， 如图所示：直线(3)y a x =+与()f x 在0x <处有一个交点，在23()3+∞处有一个交点， 故在3(0,3处需2个交点，直线经过0,1（）点时13a =， 当230,3x ⎛∈ ⎝⎭时，334141y x x x x =--=-++，234y x '=-+， 设直线(3)y a x =+与曲线的相切时切点为()3000,41x x x -++，则切线的斜率2034k x =+，切线方程为()()3200004134y x x x x x +--=-+-，将点()3,0-代入可得01x =，此时1a = 则实数a 的取值范围是1[,1)3， 故选：D.【点睛】本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图像和性质，导数的几何意义，函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于稍难题.9.如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，将ABE △沿直线AE 折起至AEM △，点M 在平面AECD 上的投影为O ，平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线MC 与平面AECD 所成角为β，若OB OC =，则下列说法正确的是（ ）A. 2αβ=B.2C.2D. 无法确定【答案】A 【解析】 【分析】作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，证明MBO MCO β∠=∠=，MFO α∠=，根据角度关系得到答案.【详解】MO ⊥平面AECD ，易得当OB OC =时，MBO MCO β∠=∠=， 作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，则MF AE ⊥，BF MF F =，故AE ⊥平面BFM ，MO ⊥平面AECD ，AE ⊂平面AECD ，AE MO ⊥，M ∈平面BFM ，故MO ⊂平面BFM ，故,,B F O 三点共线，故MFO α∠=， 又由于BF MF =，MBF FMB β∴∠=∠=，2=βα∴ 故选：A.【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考查考生空间想象能力和作图能力，属于难题. 10.数列{}n a 满足2113222n n n a a a a +==-+，，下列说法正确的是（ ）A. 存在正整数k ，使得34k a =B. 存在正整数k ，使得3k a =C. 对任意正整数k ，都有12k a <<D. 数列{}n a 单调递增【答案】C 【解析】 【分析】 由22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，可判断A ，由2122n n n a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-，两边取对数可得122+1n n a --=，从而可判断B ，C,进一步可得2132(2)(1)0n nn n n n a a a a a a +-=-+=--<，从而数列{}n a 单调递减，可判断D.【详解】数列{}n a 满足132a =. 22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，所以A 不正确.由2122n n n a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-两边取以2为底的对数，可得()()212log 12log 1n n a a +-=- 所以数列(){}21log 1n a +-是等比数列，且()2123log 1log 112a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭则()12log 12n n a --=-，所以1212n n a ---=，即122+1n n a --=当1n ≥时，121n -≥，121n --≤-，所以121022n --<≤，即12312+12n na --<=≤,所以B 不正确.所以2132(2)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<，则数列{}n a 单调递减. 所以D 不正确.故选:C .【点睛】本题考查数列的递推关系，单调性，考查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题7小题，多空题每题6分，单空每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．11.复数z 满足(2)21i z i +=+，则z =_____；z =_____ 【答案】 (1). 4355i + (2). 1 【解析】 【分析】根据(2)21i z i +=+，利用复数的除法运算得到4355z i =+，再利用复数的模的公式求解. 【详解】因为(2)21i z i +=+， 所以2143255+==++i z i i ， 所以1z = 故答案为：①4355i +；②1 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12.点Q 是圆2211()C x y +-=：上的动点，点P 满足3OP OQ =（O 为坐标原点），则点P 的轨迹方程是_____；若点P 又在直线(33)y k x =-上，则k 的最小值是___ 【答案】 (1). 22(3)9x y +-= (2). 3-【解析】 【分析】设00(,),(,)P x y Q x y ，得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2200(1)1x y +-=即得点P 的轨迹方程；当直线和圆22(3)9x y +-=2|333|31+k k--=，解方程即得解.【详解】设00(,),(,)P x y Q x y ，由3OP OQ =得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程2200(1)1x y +-=得22(3)9x y +-=.所以曲线点P 的轨迹方程是22(3)9x y +-=.由题得直线方程为330kx y k --=，当直线和圆22(3)9x y +-=23331+k k=，解之得0k =或3k =所以k 的最小值为3.故答案为：22(3)9x y +-=；3-【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.已知在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则n =_____；4x 项的系数为______【答案】 (1). 6 (2). 240 【解析】 【分析】根据只有第四项的二项式系数最大，可得6n =，然后利用通项公式可求4x 项的系数. 【详解】因为在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以由二项式系数的对称性质得6n =，通项公式361216(2)()r rr r T C x x --+=-1856262(1)r r r r C x--=-，令185422r r -=⇒=，所以含4x 的项系数为2462240C =. 故答案为：6；240.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的通项公式，考查基本运算求解能力，属于基础题.14.四边形ABCD 内接于圆O ，其中AB 为直径，若7,3BC CD DA ===，则AB =_______；四边形ABCD 的面积是_______ 【答案】 (1). 9 (2). 2【解析】 【分析】连接BD ，设AB x =，在直角ABD △中，用x 表示出cos ,DAB BD ∠，在BCD 中，由余弦定理表示出cos BCD ∠，利用cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，建立x 的方程，求解得出,cos AB BCD ∠，进而求出sin BCD ∠，即可求出四边形ABCD 的面积.【详解】连接BD ，四边形ABCD 内接于圆O ，且AB 为直径，,AD BD DAB BCD π∴⊥∠+∠=，设AB x =，则23cos ,9DAB BD x x∠==- cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，即23949(9)0237x x +--+=⋅⋅，化简得3671260x x --=， 即(9)(2)(7)0x x x -++=9x ∴=或2x =-（舍去）或7x =-（舍去），9AB ∴= 1cos cos ,032BCD DAB DAB BCD ππ∠=-∠=-∴<∠<<∠<，222sin sin 1cos DAB BCD BCD ∠=∠=-∠= ∴四边形ABCD 的面积为1sin ()2ABD BCD S S BCD AD AB BC CD +=∠⋅+⋅△△122(3937)16223=⨯⨯+⨯=故答案为：9；2【点睛】本题考查直角三角形边角关系、余弦定理、三角形面积公式，考查图形识别能力、方程思想，属于中档题.15.已知函数()|log 1(0,1)a f x x a a =-≠，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=__________． 【答案】2 【解析】 不妨设a ＞1，则令f （x ）=|log a |x-1||=b ＞0， 则log a |x-1|=b 或log a |x-1|=-b ；故x 1=-a b +1，x 2=-a -b +1，x 3=a -b +1，x 4=a b +1，故222214231234112112111122,1111b b b bx x a x x a x x x x a a --+=+=∴+++=+---- 22222 2.11bb b a a a =+=-- 故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.16.过点(1,0)P -的直线与抛物线2y x =相交于,A B 两点，(,0)M t 为x 轴上一点，若ABM ∆为等边三角形，则t =_______ 【答案】53【解析】【分析】设直线方程为：(1),0y k x k =+≠，联立直线与抛物线的方程消元，然后得到AB 中点坐标，然后表示出AB 中垂线方程，即可得到21122t k =-，然后根据点M 到直线AB 的距离32d =求解即可. 【详解】由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0， 故设直线方程：(1),0y k x k =+≠，代入抛物线方程得2222(21)0k x k x k +-+=①设1122(,),(,)A x y B x y ，2140k ∆=->②21212212,1k x x x x k-+==，则AB 中点坐标为22121(,)22k k k - AB 中垂线方程为221112()22k y x k k k--=--，令0y =得21122t k =-， 则211(,0)22M k - ABE ∆为正三角形，点M 到直线AB 的距离32d =， 2222122133143911222k k k x k k k k +-=+-=+⇒= 代入②满足，则53t =【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生运算求解能力，属于稍难题. 17.ABC 中，,D E 依次为BC 的三等分点，若2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADC ∠的最小值是_________ 【答案】47【解析】 【分析】根据已知将向量,AB AC 转化为用,AD AE 向量表示，再由2AB AD AC AE ⋅=⋅，得出,,AD AE DE 边的关系，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出结论.【详解】由11(),()22AD AB AE AE AD AC =+=+， 得2,2AB AD AE AC AE AD =-=- 设,,AD x AE y DE m ===222242AB AD AC AE x AD AE y AD AE ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅2222242cos 2x y m AD AE y x xy ADC +-∴⋅=-=∠=222222225142277x y m y x y x m +-∴=-⇒=-2222228477cos 227x mx m y ADC mx mx ++-∴∠==≥当且仅当2x m =时，等号成立.故答案为：47. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、余弦定理以及基本不等式，考查考生综合运用向量、三角、不等式等知识解决问题的能力，属于较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知函数()cos f x x =（1）已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+为奇函数，求θ值； （2）求函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域.【答案】（1）2π或32π；（2）31[,]44-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义结合余弦函数的性质，即可得出θ值；（2）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦函数的性质，即可得出该函数的值域. 【详解】（1）()f x θ+为奇函数()()0f x f x θθ∴++-+=恒成立cos()cos()02cos cos 0x x x θθθ∴++-+=⇔=恒成立cos 0θ∴=又[0,2)θπ∈，2πθ∴=或32π（2）31sin sin cos sin cos sin 662y x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23131sin cos sin sin 2(1cos 2)24x x x x x =-=-- 1111(3sin 2cos 2)sin(2)44264x x x π=+-=+- 因为1sin 26(1)π-≤+≤x ，所以3144y -≤≤所以函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域是31[,]44-.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性，考查学生三角函数的恒等变形能力，属于中档题.19.如图，菱形ABCD 与正BCE 的边长均为2，且平面BCE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，且3FD =，（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若60ABC ∠=︒，求二面角A BF E --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）78-【解析】【分析】（1）如图，作EH BC⊥于H，连DH，证明四边形EFDH是平行四边形得到答案. （2）以H为原点，,,HB HA HE所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示，计算平面ABF和平面BEF的法向量，根据向量夹角公式得到答案.【详解】（1）如图，作EH BC⊥于H，连DH，平面BCE⊥平面ABCD，EH BC⊥，EH⊂平面BCE，∴EH⊥平面ABCD，且3EH=，又FD⊥平面ABCD，且3FD=，∴//EH FD，且EH FD=，故四边形EFDH是平行四边形，//EF HD∴，HD⊂平面ABCD，EH⊄平面ABCD，故//EF平面ABCD.（2）60ABC∠=︒，菱形ABCD，易知AH BC⊥，以H为原点，,,HB HA HE所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则3,0),(1,0,0),3),(3,3)A B E F-，有(1,3,0),(1,0,3),(3,3,3)BA BE BF=-=-=-，设平面ABF的一个法向量为1111(,,)n x y z=，11n BAn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，11111333030x zx⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11y=，取1(3,1,2)n=，设平面BEF的一个法向量为2222(,,)n x y z=，由22n BEn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，22222333030x y zx z⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令21z=，取2(3,2,1)n=，则1212123227cos888n nn nn n⋅++〈〉===⨯⋅，，由题意知二面角A BF E--是钝二面角，故二面角A BF E--的余弦值是78-.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力.20.正项数列{}n a的前n项和为n S，满足对每个n N+∈，112nn nS a++，，成等差数列，且1236a a a+，，成等比数列.（1）求1a的值；（2）求{}n a的通项公式；（3）求证：21211111(13)103nna a a-+++≤-【答案】（1）11a=；（2）32n nna=-；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据12(2)1nn n S a ++=+对1n =和2n =成立，得到两个方程，根据1236a a a +，，成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得1a ；（2）根据当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得132nn n a a +=+，再两边除以12n +后，可得{1}2nn a +为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果； （3）利用1913253n n n≤⋅-进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）由已知得1222322132(2)12(2)1(6)S a S a a a a +=+⎧⎪+=+⇒⎨⎪=+⎩1212322132(2)12(4)1(6)a a a a a a a a +=+⎧⎪++=+⎨⎪=+⎩ 21223111111221323613(23)(619)2790(6)a a a a a a a a a a a a =+⎧⎪⇒=+⇒+=+⇒+-=⎨⎪=+⎩ 因为10a >，所以11a =（2）因为112nn n S a ++，，成等差数列，所以1112(2)1221n n nn n n S a S a ++++=+⇒=-+当2n ≥时，111112212232221n n nn n n n n n n nn n S a a a a a a S a ++++-⎧=-+⇒=--⇒=+⎨=-+⎩ 又12211,532a a a a ==⇒=+符合上式，所以132n n n n N a a ++∀∈=+，11312222n n n n a a ++⇒=⋅+⇒1131112222n n n n n na a a ++⎛⎫⎧⎫+=+⇒+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是首项为32，公比为32的等比数列 31()3222nn n n n n a a ⇒+=⇒=- （3）因为，当2n ≥时，22255(32)34324(32)032399n n n n n n n n n n -----⋅=⋅-=-≥⇒-≥⋅1913253n n n⇒≤⋅-易知1n =时，原不等式成立；当2n ≥时，123212111119111911131()1(13)153335910313n n n n a a a ---+++≤++++=+⋅⋅=--综上，原不等式n N+∀∈成立.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，递推数列求通项的方法，考查考生运用所学的数学方法：比较法、放缩法解决问题的能力，属于稍难题.21.椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P在椭圆上，直线12,PF PF与椭圆的另一个交点分别为,A B.（1）若P点坐标为3(1,)2，且124PF PF+=，求椭圆的方程；（2）设11PF F Aλ=，22PF F Bμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）22143x y+=；（2）定值为22121ee⎛⎫+⎪-⎝⎭，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题设条件可直接求出a，再根据P在椭圆上求出b后可得椭圆的方程.（2）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y，:PA x my c=-，:PB x ny c=+，先用诸点坐标表示λμ+、22m n+，再联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理得到01y y、02y y与,m n的关系式，最后化简λμ+后可得定值.我们也可以利用椭圆的几何性质来证明λμ+为定值.【详解】（1）2224,2,31914aa ba b=⎧⎪∴==⎨+=⎪⎩22143x y+=.（2）法一：坐标法设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y，当00y =时，2222222()2(1)1a c a c a c e a c a c a c eλμ-++++=+==+---. 当00y ≠时，PA x my c =-：，PB x ny c =+：，其中：0000x c x c m n y y +-==，， 从而222222222000202(),()2()x c m n y m n x c y ++=∴+=+. 由222222x my c b x a y a b =-⎧⎨+=⎩得422222401222()20,b a b m y b mcy b y y a b m +--=∴=-+， 同理402222b y y a b n =-+，从而222240102112()a b m n y y y y b +++=-. 222222222200220000441201022()112()()[]y y a y b y m n a b m n y y y y y y y y b b λμ+++++=+=-+==222222222222222220000444222()2()2222a y b x c b x a y b c a b b c a c b b b b++++++====⋅ 2222222(1)21a c e a c e++=⋅=--. 法二：焦半径法不妨设点P 在x 轴上方，设1221,PF F PF F αβ∠=∠=，过P 作左准线的垂线，垂足为E ，过1F 作PE 的垂线，垂足为S ，由圆锥曲线的统一定义可得1PF e PE=，故22111cos =cos a b PF e c PF e PF c c αα⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到211cos b e c PF e α⨯=-，所以2111cos b PF a e α=⋅-. 同理，2111cos b F A a e α=⋅+，2211cos b PF a e β=⋅-，2211cos b F B a e β=⋅+， 所以111cos 211cos 1cos PF e F A e e αλαα+===---，221cos 211cos 1cos PF e F B e e βμββ+===---. 又2212112,21cos 1cos b b PF PF a a a e a e αβ+=∴⋅+⋅=--， 221121cos 1cos a e e bαβ∴+=--， 所以222222222222242(2)2()2(1)221cos 1cos 1a a b a c e e e b b a c e λμαβ-+++=+-=-===--+-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生函数与方程思想、数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力.22.已知函数()ln f x x a x =+（1）若曲线()y f x =在点2x =处的切线与直线2y x =平行，求实数a 的值； （2）若()a x f x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）2a =；（2）e -【解析】【分析】（1）由题意()1a f x x '=+，由条件有(2)122a f '=+=，从而得到答案. （2）()a x f x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立,即n n l l x x a a e x x e ----≥在(1,)+∞上恒成立，设()ln g t t t =-，即转化为()()x a g e g x -≥在(1,)+∞上恒成立，求出函数()g t 的单调性，因为是求a 的最小值，故不妨先设0a <，求出此时a 的最小值，从而可得答案.【详解】（1）()1a f x x '=+由题意知(2)1222a f a '=+=⇒= （2）()ln ln ln ln a x a x x a x x a a f x x e x a x x e e x x a x e e x x -----≥-⇔+≥-⇔+≥-⇔-≥-设()ln g t t t =-，则原不等式()()x a g eg x -⇔≥ 由11()1t g t t t-'=-=，易知01t <<时，()0g t '<，1t >时，()0g t '>， 所以()ln g t t t =-在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增因为是求a 的最小值，故不妨先考虑0a <，又1x >，所以(),0,1x ae x -∈ 所以1ln ()()x a x a x g e g x e x a x --≥⇔≤⇔-≥，原不等式恒成立max 1ln ()x a x⇔-≥ 设ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()x h x x -'=，易知1x e <<时，()0h x '>，x e >时，()0h x '<， 所以ln ()x h x x=在()1e ，上单调增，在(,)e +∞上单调减max 1()()h x h e e ⇒== 所以min 11a e a e a e -≥⇒≥-⇒=-，又求的是a 的最小值， 所以a 的最小值为e -.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查考生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.属于难题.。