.随机过程(西安电子科技大学) (7)

称之为过程 X (t )的峰度。注意到正态过程的偏度和峰度都 为零，故偏度和峰度可以用来衡量零均值实平稳过程偏离正 态的程度。
累积量有许多重要的性质，在此，我们列出其主要性质。
第7章 非平稳随机过程
性质 7.1.1 (线性性)设 αi ， i =1 ， 2 ，…， n 为复常数， X i ， i =1 ， 2 ，…， n 为复随机变量，则
第7章 非平稳随机过程
第二个原因是因为高阶谱保持了信号的真实相位特性。 由于二阶统计量一般是由最小二乘优化准则得到的，故对于 信号处理问题中的时间序列数据的处理几乎毫无例外地使用 了二阶统计量。然而，自相关域中相位信息受到抑制，在自 相关域(或功率谱域)中进行准确的相位重建仅对最小相位信 号才能实现。另一方面，由于多谱既保持了正确的振幅信息， 也保持了正确的非最小相位信息，因此可在高阶谱域内进行 非最小相位信号的重建或系统识别。
-1 ) (t + τ k -1 )的第二特征函数(或累积量生成函数)。
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高阶累积量和高阶矩之间可以互相转换，这就是如下著 名的累积量—矩( C－M )公式和矩—累积量( M－C )公式， 它们对累积量的估计、计算及应用有着重要的意义:
累积量—矩(C－M )公式:
第7章 非平稳随机过程 矩—累积量( M－C )公式:
(2 )重建信号或系统的相位与振幅响应; (3 )识别非线性系统或检测与刻画时间序列的非线性性。
第7章 非平稳随机过程
其中第一个原因的根据是只有正态过程的所有阶数大于 2 的高阶累积量恒为 0 。若接收到的是伴有加性正态噪声的 非正态信号，则在高阶累积量域中处理便可去掉噪声。可见， 在类似这样的信号处理应用中，在观测数据的高阶谱域中进 行检测与估计信号参数，便有某些优势。特别地，高阶谱域 可以变为高信噪比(SNR )域，因此在高阶谱域可以进行检测、 参数估计，甚至于整个信号的重建。
7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性质
平稳过程的自相关函数和功率谱密度只含有信号的二阶 统计量中所包含的信息。因此，自相关函数和功率谱密度足 以完全地统计描述具有已知均值的平稳正态过程。但由于平 稳过程的自相关函数和功率谱密度不包含该平稳过程的相位 信息，而在实际应用中往往需要提取信号的相位信息。随机 过程的高于二阶的统计量及其 Fourier 变换———高阶谱则 含有过程的相位信息和由于偏离高斯性的有关信息。
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最后，高阶谱对于我们识别在随机输入工作下系统的非 线性性是非常有用的，高阶谱在利用输出数据来检测和刻画 系统的非线性性中起着至关重要的作用。
本节简要介绍复随机过程的高阶统计量的定义及性质。
第7章 非平稳随机过程
7.1.1 矩与累积量
设 X = { X (t )， t ∈ T }为一复随机过程，由于其每个
第7章 非平稳随机过程
第7章 非平稳随机过程
7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性质 7.2 非平稳过程的 Wigner-Ville时频谱分析 7.3 循环平稳过程 7.4 二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱 7.5 高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱 习题七
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在实际应用中，人们常常假设信号或噪声是宽平稳过程， 从而仅利用了过程的二阶统计量信息。但是，平稳过程只是 随机过程的一种类型，而在实际工作中，我们常常面临大量 非平稳过程。对非平稳过程来说，二阶统计量只含其中一部 分信息，它不包含相位信息。高阶统计量便是解决非平稳过 程的主要手段。高阶统计量给我们提供了前所未有的十分丰 富的信息。
式中 I = { 0 ， 1 ，…， k -1 }，{I 1 ， I 2 ，…， I q }为 I 的一
种分割( Partition )，求和符号
示对 I 所有可能的分
割求和。
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利用( M－C )公式知，复严平稳过程 X ( t )的一、二、 三和四阶累积量(假设存在)分别为
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随机变量都有共轭和非共轭两种选择，因此其 k 阶矩和其 k 阶累积量有 2k种形式。为使之具有一般性，我们定义
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分别为 X 的 k 阶矩和 k 阶累积量，其中
而
ΦεX ( ω 1 ， ω 2 ，…， ω k ) = E { exp [ j ( ω 1 X( ε 0 ) (t ) + ω 2 X
( ε 1 ) (t + τ 1 ) + … + ω k X( ε k -1 ) (t + τ k -1 )]}为 k 维随机向量( X (
ε 0 ) (t )， X( ε 1 ) (t + τ 1 )，…， X( ε k -1 ) (t + τ k -1 ))的特征函数 (也称为矩生成函数)，其对数 ln ΦεX ( ω 1 ， ω 2 ，…， ω k ) 通常称为 k 维随机向量( X( ε 0 ) (t )， X( ε 1 ) (t + τ 1 )，…，X( ε k
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所谓高阶统计量，通常应理解为高阶矩、高阶累积量以 及它们的谱———高阶矩谱和高阶累积量谱这四种主要统计 量。一般来说 ，在信号处理等中利用高阶统计量和高阶谱 具有以下三个方面的原因:
(1 )在检测、参数估计和信号重建问题中抑制未知谱特 性的高斯噪声(双谱还能抑制具有对称概率密度函数的非高 斯噪声);
第7章 非平稳随机过程
非平稳过程很难有统一而完整的分析方法，常要根据问 题的具体特性再确定具体的分析方法。本章只能简单介绍近 年来正在引起研究者注意的随机过程的高阶统计量及其高阶 谱，非平稳随机过程的 Wigner-Ville 谱分析和高阶循环平稳 过程的循环统计量及其循环谱的概念和有关性质。
第7章 非平稳随机过程
第7章 非平稳随机过程
特别地，若 X (t )为实的严平稳过程，则在( 7.1.6 )式中取 τ =0 得
此即为过程 X (t )的方差;同样，在( 7.1.7 )式中取 τ 1 = τ 2 =0 得
第7章 非平稳随机过程
称之为过程 X (t )的偏度;而( 7.1.8 )式中取 τ 1 = τ 2 = τ 3 =0 得