.随机过程(西安电子科技大学) (7)

选择合适的先验分布是贝叶斯分 析中的关键问题，且贝叶斯分析 可能对先验信息的依赖较强。
06
随机过程在通信中的 应用
信号检测与估计
信号检测
在通信系统中，信号检测是接收端对发送端发送的信号进行识别和判断的过程。随机过 程理论在信号检测中发挥了重要作用，通过对信号的统计特性进行分析，实现信号的有
效检测。
VS
常见的多用户检测算法包括匹配滤波 器、最小均方误差、最大似然等，这 些算法在理论上均可以利用随机过程 理论进行推导和优化。
无线通信中的信号处理
无线通信环境复杂多变，信号处理技术对于保证通信系统的 稳定性和可靠性至关重要。利用随机过程理论，可以对无线 信道中的噪声、干扰等影响因素进行分析和控制，提高信号 传输的质量和可靠性。
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性 和可交换性等性质，这些性质在 计算和推导中具有重要应用。
数学期望的运算
数学期望的运算包括求和、乘法 、极限等运算，这些运算在计算 随机变量的数学期望时是必要的 。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值， 用于描述随机变量取值分散的程度。
在数字信号处理、控制系统分析和离 散时间系统模拟等领域中广泛应用， 通过Z变换可以将离散时间序列转换 为复平面上的函数，从而更好地分析 系统的频率响应和稳定性。
05
随机过程优化
最优估计理论
最小方差无偏估计
在所有无偏估计中，具有最小方差的估计被称为最小方差无偏估 计。
一致性估计
随着样本量的增加，估计值会逐渐接近真实值，这种估计被称为一 致性估计。
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，其 值可以为正、负或零。

上的二 T Ω
1)当固定 t T , X t (ω ) 在（Ω, F, P）上的随机变量；
结果), 数.
是一个定义
Ω 2) 定义1.1.2 当固定 ω0 (对于特定的试验
是一个定义在 T 上的普通函数(自变 x t (ω 0 ) 的一个样本函 { X t ( ), t T } 量为t).称为随机过程
当T={(x, y):a<x<b, c<y<d),}
时间序列 随机过程
{ X t (ω), t T }
平面随机场
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的 一般化,是随机变量X t , t 的集合 . T 用E表示随机过程 X t , t 的值域 T ,称为过程的状 态空间.
电子科技大学
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -40
此例中样本 函数是什么？ 粒子运动轨迹
电子科技大学
80 100 120
-20
0
20
40
60
样本函数的几个例子
18.11.7
Ex.1.1.2 Xt(ω) = αcos(βt+Θ), Θ~U(0, 2π)
θ 1 =5.4938 θ 2 = 1.9164 θ 3 = 2.6099
18.11.7
称事件“X t x ”为在时刻 t 时随机过程 X t 处于状态x 按状态空间和参数集的不同情况, 可将随机 过程分为四类, 列入下表 随机过程
状态空 间E
参数集 T
离 散 连 续
离 散
非离 散
（离散参数）链 （连续参数）链
随机序列
电子科技大学
随机过程
18.11.7
Ex.1.1.1 质点布朗运动 设质点在直线上 随机游动, 经随机碰撞后各以1/2的概率向左 或向右移动.

随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈T
(2) DZ(t)= DX(t)+DY(t)
t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
举例
Zt = ∑ X k e j ( ω t +Φk ) ,t ∈ R , 其中ω0为正常数, n为 设
解
mX (t ) = E[ X t ] = 0
− ∞ < t < +∞
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
= E[ A ]cos ω s cos ωt + E[ AB](sin ω s cos ωt + cos ω s sin ωt )
2
+ E[ B 2 ]sin ω s sin ωt 2 = σ cos ω (t − s ) − ∞ < s, t < +∞
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
5. 均方值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt]2存在 则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)= E[Xt]2 t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈T t∈T s,t∈T
0
n
固定正整数, X 1 , X 2 , L , X n , Φ1 , Φ 2 , L , Φ n 是相互独立 的实随机变量,且 EX k = 0, DX k = σ k2 , Φk～U[0,2π], k=1,2,…,n. 计算S.P.{Zt ,t∈R}的均值函数和相关函数.

FX () S（） , d X


随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t