核辐射测量chapter3

数学期望 m = E ( ξ ) = ∑ n ⋅ PN 0 ( n ) = N 0 p
n= 0 N0
σ 2 = D ( ξ ) = ∑ ⎡ n - E ( ξ ) ⎤ ⋅ PN 0 ( n ) 方差 ⎣ ⎦
n=0
N0
2
= N 0 pq = E (ξ ) ⋅ (1 − p )
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具有N0个放射性原子核的放射源在t时 例子： 间内的衰变总数，服从二项式分布。 原子核衰变服从指数规律，即
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(A) 先按条件组A作一次试验，实现了随 机变量ξ1的一个可取值ξ1i； (B) 再按条件组B作ξ1i次试验，实现了随 机变量ξ2的ξ1i个可取值 ξ 21,ξ 22 , ξ 2ξ1 i； (C) 将这些可取值加起来得到一个值ξi， 并将此值定义为一个新的随机变量ξ的一个 ξ 可取值； ξ i = ξ 21 + ξ 22 + ... + ξ 2 ξ = ∑ ξ 2 j
N (t ) = N 0e
− λt
那么在（0~t）时间内，发生衰变的 原子核数为：
ΔN ( t ) = N 0 − N ( t ) = N 0 (1 − e
− λt
)
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也就是说原子核在t时间内发生衰变的概率为： 不发生衰变的概率为：
ΔN ( t ) − λt = 1− e p= N0
q = 1− p = e
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例子：
如果放射性原子核的个数N0 非常大， 同时测量时间 t 比半衰期小的多，即在 t 内 可不考虑放射原子核总数 N0 的改变，则在 t内放射源衰变数就可用泊松分布作为其概 率函数。
所以对于原子核衰变，其数学期望为： -λt m = E = N 0 (1 - e ) = N 0 λt 2 -λt -λt 方差： σ = D = N 0 (1 - e )e = N 0 λt
⎥ ⎦
高斯分布随机变量的数学期望和方差 数学期望 E ( x ) = 方差
D(x ) =
−∞ +∞
∫ x ⋅ f ( x )dx = m
2 2
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−∞
∫ [x − E ( x )] f ( x )dx = σ
高斯分布连续对称，可以方便的计算测 量值出现在 m ± Zσ 区间内的概率，即： P{m − Zσ ≤ X ≤ m + Zσ }
0
4
二项式分布的概率函数：
在一组N0个独立试验中，事件A成功n次的 概率为：
P {ξ = n} = C
n N0
p q
n
N 0 -n
N0 ! n N0 − n p q = n !( N 0 − n )!
可见，二项式分布的概率函数是由双参数 概率函数 N0 和 p 决定的。
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二项式分布随机变量的数学期望和方差:
3.2.1核衰变数的涨落 放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规 N (t ) = N 0 e − λt 律为: 在0~t 时间内，原来N0个放射性核中，发生 了衰变的核的平均数为 n = ΔN = N 0 − N (t ) = N 0 (1 − e − λt )
当N0很大时，对一个核而言，一个核在0~t 时间内 发生衰变的概率为： p = ΔN = 1 − e −λt
第三章 放射性测量中的统计学
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统计性是微观世界的属性之一。放射 性原子核的衰变、辐射微观粒子的探测、 辐射探测器接收入射粒子并产生输出信号 等都是一个随机过程。 随机过程 这些粒子数、输出信号的电荷量、信 号出现的时刻等是一个涨落的随机变量， 涨落 随机变量 这样辐射测量所得到的 数据也都是涨落 数据 的，要从这些数据推导出结论，就必须用 概率论与数理统计的方法处理。 概率论与数理统计
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计数统计学的意义可归结为两个方面： 1、可用于检验一台核计数装置的功能和 状态是否正常；
2、在处理只有一次或极为有限的测量 中，可用计数统计学来预测其固有的统计不 确定性，从而估计该单次测量应有的精密度。 精密度
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3.1 概率论基础知识 3.1.1 几种常用的统计模型 (1) 二项式分布
二项式分布是支配偶然事件的最通用的概率 分布，广泛应用于所有概率p恒定的过程。 设一随机试验条件组为：作 N 0次独立试验，每 次试验中要么发生 A事件，要么不发生，且 A 事件发生的概率为 p ，不发生的概率为 1 − p。 定义随机变量 ξ 为按上述条件组试验后，A事件 总共发生的次数。 ξ 可取值为0，1，2，...N ， ξ 是离散型随机变量。
p = p1 ⋅ p2
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(E) 由 遵守泊松分布的随机变量 ξ 1 与 伯努利型 遵守泊松分布 随机变量 ξ 2 串级而成的随机变量 ξ 仍遵守泊松 分布。 分布 设ξ1的平均值为m1,而ξ2的正结果发生概率 为p2，则ξ 的平均值为：
m = m1 ⋅ p2
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3.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布
D( X 1 ± X 2 ) = D( X 1 ) + D( X 2 )
(D) 相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“和” 仍服从泊松分布。 要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机 变量之“差”，不服从泊松分布。 不服从
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(2). 串级随机变量
辐射测量中经常会遇到级联、倍增过 程的涨落问题，这些问题可以用串级型随 机变量的概念及运算规则来处理。 设对应于试验条件组A定义一个随机变 量ξ1，对应于另一试验条件组B定义另一 随机变量ξ2，且二者相互独立。按以下规 则定义一个新的随机变量ξ：
1i 1i
j=1
这里，随机变量ξ为随机变量ξ1与ξ2的“串 级”随机变量。而且按顺序分别称ξ1和ξ2为此 串级随机变量的第一级和第二级。
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串级随机变量的主要特点：
D (B) 方差： (ξ ) = [E (ξ 2 )] D(ξ1 ) + E (ξ1 )D(ξ 2 )
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(A) 期望值：E (ξ ) = E (ξ 1 ) ⋅ E (ξ 2 )
概率函数
N0! P {ξ = N } = PN 0 (N ) = 1 − e − λt N ! (N 0 − N )!
(
) (e )
N
− λt N 0 − N
数学期望值 m = E (N ) = N 0 p = N 0 (1 − e 方差
− λt
σ 2 = D(N ) = mq = N 0 1 − e − λt
E (ξ ) = E (ξ 1 ) ⋅ E (ξ 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ E (ξ N )
νξ =ν
2 2 ξ ,1
+
ν
2 ξ ,2
E (ξ 1
+ )
ν
2 ξ ,3
E (ξ 1 ) ⋅ E (ξ 2
+ ⋅⋅⋅ )
+
ν
2 ξ ,N
E (ξ 1 ) ⋅ E (ξ 2 ) ⋅ ⋅ E (ξ N −1 )
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(D) 由两个伯努利型随机变量ξ1和ξ2串级而成的 随机变量 ξ 仍是伯努利型随机变量。即 ξ 仍是 伯努利型随机变量 只有两个可取值(0,1)的伯努利型随机变量。 若伯努利型随机变量 ξ1 的正结果发生概率 为 p1, ξ2 的正结果发生概率为 p2，则ξ 正结果 发生概率为：
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N0 ! n N0 −n P ( n) = p q n !( N 0 − n )!
N0 ! = N 0 ( N 0 − 1)( N 0 − 2) ( N 0 − n )!
n ( N 0 − n + 1) ≈ N 0
q
N0 −n
= (1 − p )
n 0
N0 −n
≈ (e )
n
− p N0 − n
m + Zσ − 1 P{m − Zσ ≤ X ≤ m + Zσ } = ∫m − Zσ e 2π σ x−m 1 令： z = dz = dx σ σ ( x − m )2 2σ 2
dx
1 P{m − Zσ ≤ X ≤ m + Zσ } = 2π
∫
+Z
−Z
e
z2 − 2
1 dz = 2 2π
∫
Z
0
N0
每一个放射性核在t 时间内发生衰变是什么事件？
是伯努利事件 − λt 随机变量取1的正事件发生的概率 p = 1 − e 26 q = 1 − p = e − λt 取0的概率为
则总的衰变数N就是上述伯努利事件重复N0 次，发生正结果的事件之和。 对于一个具有N0个放射性核的放射源，在t 时 间内发生核衰变数为N，是一个遵守二项式分布 的随机变量。
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3.1.2 随机变量的运算和组合 复杂随机变量往往可以分解为由若 干简单的随机变量运算、组合而成。 这样就可以由已知的简单随机变 量的分布函数与数字表征来求复杂随 机变量的分布函数和数字表征。
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(1). 随机变量的函数 (A)
E (CX ) = CE ( X )
D (CX ) = C D ( X )
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脉冲计数器的测量过程可以概括为三个基本 过程，其计数值为一个三级串级型随机变量。 源发射粒子数n1 射入探测器 粒子数n2 Ω 探测器输 出脉冲数n3
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(3) 高斯分布
高斯分布又称正态分布，当泊松分布中的 高斯分布 m>>1(例如20)时，泊松分布就可简化为高斯分 布。对高斯分布，随机变量X取值范围为(－ ∞～＋∞)，为连续型随机变量。其概率密度函 ⎡ ( x − m )2 ⎤ 数为： 1
f (x ) = exp⎢ − 2π σ ⎣
+∞
2σ
2
≈e
− pN 0
N n -N 0 p m -m P {n} = p e = e n! n!
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此时，随机变量ξ可取全部正整数，为离散型随机 变量，其概率函数为：