初中奥数讲义_一元一次方程

一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。

如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。

3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。

一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。

如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。

注意：等式中一定含有等号。

2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。

a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。

注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。

思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。

找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。

可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。

①直接设未知数：题目求什么就设什么。

②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。

③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。

（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。

奥数辅导资料一元一次方程【内容综述】一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。

本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。

只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。

解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。

【要点讲解】§1 含参量的一元一次方程含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。

因为未注明，所以它的解有下面三种情况：（1）当时，方程有唯一解；（2）当时，方程的解为任意数；（3）当，时，方程无解。

★例1解关于χ的方程。

思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。

解：把原方程变形为即当，即且时，方程有唯一解；当且，即且时，方程无解；当且，即时，方程的解为任意数。

★★例2若a，b，c是正数，解方程。

解法一：原方程两边乘以abc，得到方程,移项合并同类项得即由，，知,即。

解法2：对原方程左端的每一项减去1，得即∵由，，知∴∴说明通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。

★★例3k为何正数时，方程的解是正数？思路当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定：（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。

（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。

（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。

解：按未知数χ整理方程得要使方程的解为正数，需要不等式的左端因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。

§2 含有绝对值符号的一次方程解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。

第10讲_一元一次方程___奥数,学而思,超常班第十讲一元一次方程一、一元一次方程的解法相关概念：等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；（2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立。

方程：含有未知数的等式。

（两个注意：（1）含有未知数；（2）等式。

）元：未知数的个数（几种未知数就是几元）；次：未知数最高次项的次数。

解一元一次方程步骤：（1）去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号）（2）移项（过桥变号）（3）合并（4）求解前两步易错。

例1：①2X+12=4X‐12解：12+12=4X‐2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） 24=2X（合并）X=12（求解；最后一步建议把X写左边）②10（X+2）=4（2X+7）解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律）10X‐8X=28‐20（移项，注意变号）2X=8X=4超常学案1：①8X‐2（7+X）=4解：8X‐14‐2X=4（注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配律；②括号前是减号要变号8X‐2X=4+146X=18X=3补充题：6（3‐X）‐5（X‐1）=1【X=2】3X+2‐2（2X‐1）=0【X=4】二、列方程解应用题步骤：设、列、解、（检验）、答。

我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。

直接根据题意列方程求解即可。

设未知数有直接设未知数和间接设未知数。

（一）直接设未知数例2：（年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，试求出今年小李的年龄。

解：设小李今年X岁，爷爷今年5X今年的年龄 12年后的年龄小李 X X+12爷爷 5X 5X+12根据“12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，”列得方程：5X+12=3（X+12）解得X=12答：小李今年12岁。

注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。

例4：（盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。

【一元一次方程 讲义】第一节 一元一次方程1．一元一次方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 训练题：1.判断下列各式哪些是一元一次方程：（1）43x=21； （2）3x －2； （3）71y －51=32x －1； （4）5x 2－3x+1； （5）3x+y=1－2y ； （6）1－7y 2=2y. 2.若关于x 的方程3x3a+1－5=0是一元一次方程，则a=＿＿＿＿.3.写出一个解是－2的一元一次方程为＿＿＿＿.4.若2x －a=3,则2x=3+＿＿,这是根据等式的性质1,在等式两边同时＿＿. 若－6a=4.5,则＿＿＿=－1.5,这是根据等式的性质,在等式两边同时＿＿ ＿＿___.5.下列方程中以x=21为解的是（ ） A.－2x=4 B.－2x －1=－3 C.－21x －1=－43 D.－21x+1=43 6.已知5a －3b －1=5b －3a ，利用等式的性质比较a 、b 的大小.7.某钢铁厂今年5月份的某种钢产量是50吨，预计6月份产量是a 吨，比5月份增长x%，那么a 是（ ）A.50（1+x%）B.50x%C.50+x%D.50（1+x ）%8.已知关于x 的方程5x+3k=24的解为3，求k 2－1+k 的值9.利用等式性质解方程：－23x+3=－10.10.服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童每套平均用布1.5米,现在已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?直通中考下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．-5x+4=3y 2B ．5（m 2-1）=1-5m 2C ．2-145n n -= D ．5x-32.解一元一次方法（1）等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。

用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的 结果仍是等式.用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0)（2）解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程 （1）y-52221+-=-y y例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x 训练题： 1.在1,－2,21这三个数中,是方程7x+1=10－2x 的解的是＿＿＿＿. 2.当k=＿＿＿＿时,方程5x －k=3x+8的解是－2. 3.若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x=＿＿＿＿. 4.如果2x5a －4－3=0是关于x 的一元一次方程,那么a=＿＿＿＿,此时方程的解是＿＿＿＿.5.如果x ＝－2是方程3x ＋5＝4x －m 的解，那么m 2＝＿＿＿＿. 6.解方程:5x-|x|=8.7.今年儿子13岁,父亲40岁,多少年后父亲的年龄是儿子年龄的2.5倍?8.一群小孩分一堆梨,1人1个多1个,1人两个少2个,问有几个小孩、几个梨?9.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的3倍，求这个三位数.10.某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费.（1）某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a.（2）若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？ 直通中考[2010年辽宁中考]已知关于x 的方程ax ＋2＝2（a －x ），它的解满足|x ＋21|＝0，则a ＝＿。

《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念在数学的世界里，一元一次方程就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多实际问题。

那么，什么是一元一次方程呢？一元一次方程指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1 的整式方程。

一般形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 为常数，a ≠ 0）。

例如：3x ＋ 5 ＝ 11 就是一个一元一次方程，其中 x 是未知数，3是 x 的系数，5 是常数项。

二、一元一次方程的解法解一元一次方程的主要步骤包括：1、去分母：如果方程中有分母，要乘以分母的最小公倍数，将分数化为整数。

2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项进行合并。

5、系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如，解方程：（2x ＋ 1) ／ 3 （5x 1) ／ 6 ＝ 1首先，去分母，两边同时乘以 6，得到：2(2x ＋ 1) （5x 1) ＝ 6然后，去括号：4x ＋ 2 5x ＋ 1 ＝ 6接着，移项：4x 5x ＝ 6 2 1合并同类项：x ＝ 3最后，系数化为 1，两边同时除以－1：x ＝－3三、一元一次方程在实际问题中的应用1、行程问题行程问题中，速度、时间和路程之间有着密切的关系。

基本公式为：路程＝速度×时间。

例如：小明骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地到 B 地，用了3 小时。

返回时速度变为每小时 10 千米，问返回时用了多长时间？设返回时用了 x 小时，根据路程相等，可列出方程：10x ＝ 15×3解得 x ＝ 45所以返回时用了 45 小时。

2、工程问题工程问题中，工作效率、工作时间和工作量之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间。

例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。

两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成，将工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为 1/10，乙的工作效率为 1/15。

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下面是 1．等式与等量用"="号连接而成的式子叫等式注意"等量就能代 入"！ 2．等式的性质 等式性质 1 等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得 结果仍是等式； 等式性质 2 等式两边都乘以或除以同一个不为零的数，所得结果 仍是等式 3．方程含未知数的等式，叫方程 4．方程的解使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注 意"方程的解就能代入"！ 5．移项改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项移项 的依据是等式性质 1 6．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 7．一元一次方程的标准形式+=0 是未知数，、是已知数，且≠0 8．一元一次方程的最简形式=是未知数，、是已知数，且≠0 9．一元一次方程解法的一般步骤整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为 1……检验方程的解 10．列一元一次方程解应用题 1 读题分析法…………多用于"和，差，倍，分问题" 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如"大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----"，利用这些关键字 列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程2 画图分析法…………多用于"行程问题" 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读 题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图 形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系可把未知数看做已知量，填入有关的代数式是获 得方程的基础 11．列方程解应用题的常用公式 1 行程问题距离=速度·时间； 2 工程问题工作量=工效·工时； 3 比率问题部分=全体·比率； 4 顺逆流问题顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 5 商品价格问题售价=定价·折·，利润=售价-成本，； 6 周长、面积、体积问题圆=2π，圆=π2，长方形=2+，长方形=，正方形=4， 正方形=2，环形=π2-2,长方体=，正方体=3，圆柱=π2，圆锥=π2【初一奥数知识点一元一次方程】。

第1讲 一元一次方程一、一元一次方程的解法一元一次方程的解法一般有去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬套，往往需要我们活用所学方法，灵活解决问题。

例1、解方程200620072005275253212=⨯++⨯+⨯+⨯xxxx x二、一元一次方程根的存在性一元一次方程最终都可化成ax=b 的形式，显然当a ≠0时，方程有唯一的根a b；当a=0且b=0时，方程有无数根；当a=0且b ≠0时，方程无根；例2、当b=1时，关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，求a 的值。

例3、如果a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值。

例4、 解关于x 的方程a b a b x b a x =---，其中a ≠0，b ≠0。

例5、已知3=--+--+--b ac x a cb xc ba x ，且0111≠++c b a ，求x-a-b-c 的值。

三、一元一次方程的整数解例6、若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有几个？例7、已知p 、q 都是质数，则以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p 2-q 的值。

四、含绝对值的一元一次方程例8、解方程312=+-x x例9、解方程532=+++x x练习1、已知ax 2+5x+14=2x 2-2x+3a 是关于x 的一元一次方程，则其解是多少？2、已知方程5x-2m=mx-4-x 的解在2与10之间（不包括2和10），求m 。

3、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数是什么？4、求自然数n a a a 21，使得122121122121n n a a a a a a ⨯=⨯。

5、关于x 的方程mx+4=3x-n ，分别求m 、n 为何值时，原方程（1）有惟一解（2）有无数解（3）无解6、方程1-x+x的解有哪些？2=-37、已知关于x的方程2a（x-1）=（5-a）x+3b有无数多解，试求a、b的值。

《一元一次方程的解法》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们经常会遇到的一个重要概念。

那什么是一元一次方程呢？简单来说，一元一次方程就是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。

例如：3x ＋ 5 ＝ 17 ， 2y 8 ＝ 10 ，这些都是一元一次方程。

它的一般形式可以表示为：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a、b 为常数，且a ≠0 ）。

二、为什么要学习一元一次方程的解法学习一元一次方程的解法有着非常重要的意义。

首先，它是解决实际问题的有力工具。

在我们的日常生活中，很多问题都可以通过建立一元一次方程来解决。

比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等。

其次，它为我们后续学习更复杂的数学知识打下了坚实的基础。

像二元一次方程、一元二次方程等，如果我们能够熟练掌握一元一次方程的解法，那么在学习这些新知识时就会更加轻松。

三、一元一次方程的解法步骤接下来，让我们详细了解一下一元一次方程的解法步骤。

1、去分母如果方程中存在分数，我们需要先去分母。

方法是在方程两边同时乘以分母的最小公倍数。

例如，方程：（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x ＋ 2) ／ 3 ＝ 5 。

分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，所以方程两边同时乘以 6 ，得到：3(x ＋ 1) ＋ 2(x ＋ 2) ＝ 302、去括号去掉方程中的括号，运用乘法分配律将括号外的数乘以括号内的每一项。

对于上面的例子，去括号后得到：3x ＋ 3 ＋ 2x ＋ 4 ＝ 303、移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。

继续上面的例子，移项后得到：3x ＋ 2x ＝ 30 3 44、合并同类项将方程中相同类型的项进行合并。

上式合并同类项后得到：5x ＝ 235、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

继续上面的例子，方程两边同时除以 5 ，得到：x ＝ 23 ／ 5四、例题讲解为了让大家更好地掌握一元一次方程的解法，我们来看几个具体的例题。