2019-2020学年广东省深圳市龙岗区高一上学期期末数学试题一、单选题 1．计算：sin23π=（ ）A ．B ．2C ．12D ．12-【答案】B【解析】因为sin23π=sin 32π=，故选B. 2．已知集合{}3A x N x =∈≤，{,1}B a =，若A B B =I ，则实数的值a 为（ ） A ．0 B ．0，2C ．0，2，3D ．1，2，3【答案】C【解析】计算得到{}{}30,1,2,3A x N x =∈≤=，根据题意得到B A ⊆，得到答案. 【详解】{}{}30,1,2,3A x N x =∈≤=，A B B =I ，即B A ⊆，故0,2a a ==或3a =.故选：C . 【点睛】本题考查了根据集合的交集结果求参数，意在考查学生的计算能力.3．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P ，则sin α的值是（ ）A ．12B C D 【答案】D【解析】直接利用三角函数定义得到答案. 【详解】P ，则sin α==故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数值的定义，属于简单题.4．下列函数中为偶函数且在()0,∞+上是增函数的是( ) A ．x1y ()2= B ．y lnx = C ．x2y x 2=+D ．y x x =【答案】C【解析】首先通过奇偶性排除,B D 两个选项；再通过单调性排除A ，得到正确结果. 【详解】A 选项：1122xx -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，函数为偶函数；当()0,x ∈+∞时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时单调递减；A 错误；B 选项：函数定义域为()0,∞+，为非奇非偶函数，B 错误；C 选项：()2222x x x x --+=+，函数为偶函数；当()0,x ∈+∞时，22x y x =+，此时2x 单调递增，2x 单调递增，所以函数为增函数，C 正确；D 选项：x x x x --=-，为奇函数，D 错误.本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、函数的单调性，属于基础题.5．已知3a e =，lg b e =，c e π=，则三者的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【解析】根据函数的单调性得到3lg 1a e c e b e π>=>=>=得到答案. 【详解】根据函数单调性得到3lg 1a e c e b e π>=>=>=. 故选：C . 【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7．要得到函数()sin2f x x =的图象, 只需将函数()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移3π个单位.B ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移6π个单位.C ．所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移3π个单位.D ．所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移6π个单位. 【答案】D【解析】根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，将函数()πg x sin x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得()sin(2)3g x x π=-，再将函数()sin(2)3g x x π=-图象的各点向左平移6π个单位，可得()sin[2()]sin 263f x x x ππ=+-=， 所以要得到函数()f x sin2x =的图象, 只需将函数()πg x sin x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移6π个单位，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数图象变换的原则，合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8．函数()y sin ωx φ=+的部分图象如图，则ω，φ可以取的一组值是( )A ．ππω,φ24== B ．ππω,φ36== C ．π5πω,φ44== D ．ππω,φ44== 【答案】D【解析】根据对称轴和对称中心的位置确定周期，从而得到ω；再代入最大值点，求得ϕ的取值.【详解】1x =Q 为对称轴，()3,0为对称中心231244T πω∴==-= 4πω⇒= 代入()1,1点可得：sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭242k ππϕπ⇒+=+ 24k πϕπ⇒=+当0k =时，4πϕ=本题正确选项：D 【点睛】本题考查已知三角函数图像求解析式，关键在于能够通过图像确定周期和最值点，通过对应关系求出参数.9．已知函数()()e a,031,0x x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()1，-∞- B ．()1，-∞ C ．()1,0- D ．[)1,0- 【答案】D【解析】函数()(),031,0x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩在R 上有两个零点，可转化为0x e a +=在0x ≤上有一个实根，即y a =-与y x e =在0x ≤上有一个交点，求出y x e =在0x ≤的值域即可得出结果. 【详解】由310x -=可得103x =>，所以函数()(),0,31,0,x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩若函数在R 上有两个零点，可转化为0x e a +=在0x ≤上有一个实根，即y a =-与y xe =在0x ≤上有一个交点，因为0x ≤时，(]0,1xe ∈；又y a =-与y xe =在0x ≤上有一个交点，所以01a <-≤，即10a -≤<. 故选D 【点睛】本题主要根据函数有零点求参数的问题，一般需要把函数有零点转化为两函数有交点来处理，属于常考题型.10．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ=【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.11．已知函数()f x 是R 上的偶函数.若对于0x ≥都有()()11f x f x -=+，且当[0,2)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，则(2019)(2020)f f -+的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】代换得到函数周期为2，故()()(2019)(2020)10f f f f -+=+，计算得到答案. 【详解】当0x ≥时，()()11f x f x -=+即()()()2f x f x f x -=+=，函数周期为2.()()(2019)(2020)(2019)(2020)101f f f f f f -+=+=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了求函数值，意在考查学生对于函数周期的灵活运用. 12．若tanα=1+lg t ，tanβ=lg 1t，且α+β=4π，则实数t 的值为（ ） A ．110B ．1C ．110或1 D ．1或10【答案】C 【解析】由α+β4π=，利用两角和的正切函数化简，由对数的运算性质即可解得实数t的值． 【详解】∵tanα＝1+lgt ，tanβ＝lg 1t，且α+β4π=，∴tan （α+β）＝tan4π=1()111111lgt lgtan tan ttan tan lgt lg tαβαβ+++==--+⋅，∴1＝1﹣（1+lgt ）lg 1t， ∴（1+lgt ）lg 1t=0， ∴10t ＝1或1t=1，∴t 110=或1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，对数的运算性质，是基础题．二、填空题13．210︒-弧度数为________. 【答案】76π-【解析】直接根据角度和弧度的转化公式得到答案. 【详解】21021071806ππ︒︒=⨯=-︒--. 故答案为：76π-. 【点睛】本题考查了角度和弧度的转化，属于简单题.14．若幂函数()ag x x =的图象经过点(4,2)P ，则(2)g 的值为________.【解析】代入点计算幂函数为()12g x x =，再代入数据计算得到答案.【详解】幂函数()ag x x =的图象经过点(4,2)P ，即42a=，故12a =，()12g x x =.12(2)2g ==【点睛】本题考查了求幂函数的值，意在考查学生的计算能力. 15．函数()2sin 1xf x x x =++的最大值与最小值之和等于______． 【答案】0【解析】先判断函数()f x 为奇函数，则最大值与最小值互为相反数． 【详解】解：根据题意，设函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ，又由()()()22sin sin 11x x f x x x f x x x -⎛⎫-=+-=-+=- ⎪++⎝⎭，则函数()f x 为奇函数， 则有M N =-，则有0M N +=； 故答案为0 【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用奇函数的性质求解是解题关键．16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0≥时，()2f x x =，若对于任意的[]x t,t 2∈+，不等式()()9f x t f x 4+≥恒成立，则实数t 的取值范围是______．【答案】[)2,∞+【解析】由当x 0≥时，()2f x x =，函数是奇函数，可得当x 0<时，()2f x x =-，从而()f x 在R 上是单调递增函数，且满足()93f x f x 42⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据不等式()()93f x t f x f x 42⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭在[]t,t 2+恒成立，可得3x t x 2+≥在[]t,t 2+恒成立，即可得出答案． 【详解】当x 0≥时，()2f x x =，Q 函数是奇函数∴当x 0<时，()2f x x =-()2x ,x 02f x x ,x 0≥⎧⎪∴=-<⎨⎪⎩，()f x ∴在R 上是单调递增函数，且满足()93f x f x 42⎛⎫= ⎪⎝⎭， Q 不等式()()93f x t f x f x 42⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭在[]t,t 2+恒成立， 3x t x 2∴+≥在[]t,t 2+恒成立， 即：x 2t ≤在[]t,t 2+恒成立，t 22t ∴+≤，解得：t 2≥， 故答案为：[)2,∞+． 【点睛】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．三、解答题17．已知全集U =R ，集合A 为函数()2()lg 4f x x x =-的定义域.|03x m B x x m -⎧⎫=≤⎨⎬--⎩⎭.（1）若2m =，求U B ð和A B U ； （2）若A B =∅I ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|2U B x x =<ð或5}x ³，{}|05A B x x ⋃=<<，（2）(][),34,-∞-+∞U 【解析】（1）计算{}|04A x x =<<，{}|25B x x =≤<，再计算U B ð和A B U 得到答案.（2）计算{}3B x m x m =≤<+，根据A B =∅I 得到答案. 【详解】（1）函数()()2lg 4f x x x=-，满足240x x->，解得04x <<，即集合{}|04A x x =<<，当2m =时，{}|25B x x =≤<， ∴{|2U B x x =<ð或5}x ³，{}|05A B x x ⋃=<<. （2）{}|033x m B x x m x m x m -⎧⎫=≤=≤<+⎨⎬--⎩⎭，因为A B =∅I ，所以30m +≤或4m ≥，即3m ≤-或4m ≥， 即(][),34,m ∈-∞-+∞U 【点睛】本题考查了集合的运算，根据交集结果求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用. 18．已知02πα<<，4sin 5α=． (Ⅰ)求tan α的值；(Ⅱ)求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(Ⅲ)若02πβ<<且()1cos 2αβ+=-，求sin β的值．【答案】(Ⅰ)43；(Ⅱ) 50-；(Ⅲ). 【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系即可求出；(Ⅱ)根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出；(Ⅲ)由()βαβα⎡⎤=+-⎣⎦，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出． 【详解】(Ⅰ)02πα<<Q ，4sin 5α=，3cos 5α∴==， sin 4tan cos 3ααα∴==. (Ⅱ24)sin22sin cos 25ααα==Q ，227cos2cos sin 25ααα=-=-()724cos 2cos2sin2422252550πααα⎛⎫⎛⎫∴+=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (Ⅲ)02πα<<Q ，02πβ<<，0αβπ∴<+<，()1cos 2Q αβ+=-，()sin 2αβ∴+=，()()()4sin sin sin cos cos sin 10βαβααβααβα+⎡⎤∴=+-=+-+=⎣⎦ . 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 19．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3). （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.【答案】（1）2（2）{}2log 5x|2<x <【解析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案. 【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增， ∴()()1123122,123122xx xx f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.20．已知函数21()f x x x=-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()220f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）m 1≥【解析】（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明. （2）根据单调性得到221x x m ++>，即()221212m x x x >--=-++，得到答案. 【详解】（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，()()()()2221121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22110x x >∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减； （2）()()2201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，()221212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.【点睛】本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.21．已知函数()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期； （2）求出函数()f x 的单调递增区间，对称轴，对称中心，及当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围.【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T π=，（2）递增区间,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴()26k x k Z ππ=+∈，对称中心,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()f x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）化简得到()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，再计算周期得到答案. （2）根据()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，依次计算函数的单调增区间，对称轴，对称中心，值域得到答案. 【详解】（1）1()sin cos cos sin 2244222f x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos22sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ==. （2）取222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,()36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.故()f x 的单调递增区间,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.取2,62x k k Z πππ+=+∈，得到对称轴()26k x k Z ππ=+∈，取2,6x k k Z ππ+=∈，得到对称中心,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，单调区间，周期，对称中心，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.22．已知二次函数()223f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为()1,n -（1）解关于x 的不等式，()22411x x n m x -+>+-（2）已知实数()0,1a ∈，且关于x 的函数()[]()141,2x x y f a a x +=-∈的最小值为4-，求a 的值。
