初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析)

初二二次根式所有知识点总结和常考题

知识点：

1、二次根式： 形如)0(aa的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。②非负性

2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

3、化最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、二次根式有关公式

（1）)0()(2aaa （2）aa2

（3）乘法公式)0,0(babaab

（4）除法公式)0,0(bababa

4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。

常考题：

一．选择题（共14小题）

1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）

A． B． C． D．

2．式子有意义的x的取值范围是（ ）

A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．

3．下列计算错误的是（ ）

A． B． C． D．

4．估计的运算结果应在（ ）

A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 5．如果=1﹣2a，则（ ）

A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥

6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（ ）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

7．是整数，则正整数n的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．化简的结果是（ ）

A． B． C． D．

9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（ ）

A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n

10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）

A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定

11．把根号外的因式移入根号内得（ ）

A． B． C． D．

12．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）

A．12 B．11 C．8 D．3

13．若式子有意义，则点P（a，b）在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（ ）

A．9 B．±3 C．3 D．5

二．填空题（共13小题）

15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+=

．

16．计算：的结果是 ．

17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|=

．

18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．

19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8=

．

20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是 ．

21．计算：﹣﹣= ． 22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为

cm．

23．如果最简二次根式与能合并，那么a=

．

24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是

．（结果保留根号）

25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．

26．计算：=

．

27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．

三．解答题（共13小题）

28．阅读下列材料，然后回答问题．

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）

==（二）

===﹣1（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

====﹣1（四）

（1）请用不同的方法化简．

（2）󰀀参照（三）式得= ；

󰀀参照（四）式得= ．

（3）化简：+++…+． 29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．

30．先化简，再求值：，其中．

31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．

32．先化简，再求值：，其中．

33．已知a=，求的值．

34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．

甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；

乙的解答：+=+=+a﹣=a=．

请你判断谁的答案是错误的，为什么？

35．一个三角形的三边长分别为、、

（1）求它的周长（要求结果化简）；

（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．

36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s=…②（其中p=．）

（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．

37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．

38．计算或化简：

（1）； （2）（a＞0，b＞0）．

39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：

==±（a＞b）．

例如：化简．

解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12

即+=7，×=

∴===2+．

由上述例题的方法化简：．

40．阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．

∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=

，b=

；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =（ + ）2；

（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？

初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．

【解答】解：因为：B、=4；

C、=；

D、=2；

所以这三项都不是最简二次根式．故选A．

【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：

（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；

（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．

2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（ ）

A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，

解得x≥﹣且x≠1．

故选A．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

3．（2007•荆州）下列计算错误的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．

【解答】解：A、==7，正确；

B、==2，正确；

C、+=3+5=8，正确；

D、，故错误．故选D．

【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（ ）

A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间

【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．

【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，

∴原式运算的结果在8到9之间；

故选C．

【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（ ）

A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥

【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．

【解答】解：∵，

∴1﹣2a≥0，

解得a≤．

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．

6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（ ）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．

【解答】解：∵=（x+y）2有意义，

∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，

∴x=1，y=﹣1，

∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．

故选：C．

【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：

概念：式子（a≥0）叫二次根式；

性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出