2017-2018学年高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 新人教

1 直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

基础卷

一．选择题：

1．下列命题中，正确的命题是

（A）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

（B）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

（C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率

（D）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

2．直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率为

（A）3 （B）－3 （C）33 （D）－33

第八章 第一讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程

一 教材分析

1、地位和作用

直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用。本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.

2、教学目标

（1）对本节的知识进行梳理总结，使学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程。

（2）通过复习本节知识点，帮助学生对本节的知识有一个系统的了解，使学生从题海中脱离出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质

（3）通过几何问题与代数问题的相互转化培养学生数形结合的思想方法，使学生学会将“数”与“形”有机的结合起来。

3、教学重难点：

重点：学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程的五种形式。

难点：对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。 二、教学过程

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_____ 之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

当直线l与x轴_____时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l倾斜角的范围是_________ 。

2．直线的斜率

(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝_________。

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝_________。

3．直线方程的五种形式

名称 条件 方程 适用范围

点斜式 斜率k与点(x0，y0) 不含直线x＝x0

斜截式 斜率k与截距b 不含垂直于x轴的直线

教育配套资料K12

教育配套资料K12 3.1.1 倾斜角与斜率

【学习目标】

1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；

2.掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3.能用公式和概念解决问题.

【重点难点】

重点：直线的倾斜角与斜率的概念、斜率公式.

难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系．

【学法指导】

阅读教材，认真理解直线的倾斜角与斜率,会解决倾斜角与斜率等问题.

【学习过程】

一.课前预习

阅读教材82~ 86PP的内容，通过自学你能明白以下问题吗？

1.在直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢?

2.在日常生活中，我们常说这个山坡很陡峭，有时也说坡度，这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢？

3.初中学习的一次函数，图像是一条直线，试比较函数31yx与函数2yx的图像倾斜程度．

二．课堂学习与研讨

1.师生探究·合作交流

（1）当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向所成的角叫做直线l的倾斜角．

关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．

注意：当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0 度．

（2）请指出下列各直线l的倾斜角的大小或范围． 教育配套资料K12

教育配套资料K12

（3）直线倾斜角的范围是什么？

答：

（4）一条直线的倾斜角 (2)的正切值叫这条直线的斜率，记为tank．

练习：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为

①当0时，则k ；

②当090 时，则k ；

③当 90 时，则k ；

④当 90180 时，则k ．

（5）下列说法，正确的有几个？（ ）

- 1 -

对应学生用书P57

知识点一 直线的倾斜角

高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187

1．给出下列命题：

①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°．

其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 A

解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．

2．已知直线l过点(m，1)，(m＋1，1－tanα)，则( )

A．α一定是直线l的倾斜角

B．α一定不是直线l的倾斜角

C．180°－α不一定是直线l的倾斜角

D．180°－α一定是直线l的倾斜角

答案 C

解析 设θ为直线l的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m＋1－m＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C．

知识点二 直线的斜率

- 1 -

3．下列叙述不正确的是( )

A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应

C．与y轴垂直的直线的斜率为0

D．与x轴垂直的直线的斜率不存在

答案 B

解析 每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．

4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )

A．k3>k1>k2