控制系统的数学模型及性能分析

1.控制系统简介

根据不同的系统分类需要建立不同的数学模型，常见分类如下：

按输入信号类型：

定值控制：输入一个定值，期望被控对象恒定。例如定速巡航、恒温控制等

程序控制：规律性输入，期望被控对象按一定规律执行。例如自动驾驶，热处理等，洗衣机

随动控制：输入参数不确定，期望被控对象根据输入做出规律反应。例如：雷达跟踪、天气检测等。

根据系统信息流传递分类：

连续系统：时间连续性、空间连续性，用微分方程描述

离散系统：计算机，用差分方程描述

按系统自身特性分类：

线性系统：组成系统的所有元件或子系统都是线性的，具有叠加性，例如加法和乘法

非线性系统：至少有一个元件是非线性的

按系统输入输出：

单输入单输出：经典控制理论

多输入多输出：现代控制理论

按控制规律：

经典控制系统

现代控制系统

模糊控制系统

神经网络控制系统

。。。。。。

2. 怎么建立一个控制系统的数学模型

根据上述分类过程，可以获得对应的数学模型描述：单输入单输出、多输入多输出；定常参数、时变参数；连续、离散；集中参数系统、分布参数系统等等。（集中参数系统意思是变量仅是时间的函数，分布参数系统变量不仅是时间的函数，还是空间的函数）

2.1 机理建模 根据系统塞恩运动学或动力学规律进行建模，也就是分析法，或者说专家知识。例如：牛顿定律，麦克斯韦方程等。这种方式建立成功时，十分精确，但需要大量的专家精力。这是该课程的主要关注方式，要求模型必须准确，且抓住主要因素，尽可能简化数学模型。

2.2 实验建模

给系统施加特定的输入，记录系统的变化情况，通过分析输入输出情况，去拟合出一个数学模型，这种方式类似于当前神经网络的方法。这种方式也称为辨识模型，同样要耗费大量的时间成本，而且模型没有机理建模准确。但会用于没法获得专家知识的情况，例如涡流、大型电网等，一个是物理研究未达到，一个是超大模型，专家力不能及。

2.3 混合模式

尽管课程中未提及，但我认为这应该属于智能控制的范畴，专家给出一定的机理分析，给辨识模型提出起点，使其能更好的找到辨识方向，同时约束了辨识模型。这在一定程度上获得了机理建模的准确性和辨识建模的泛用性，获得了两种模型的优势。在后面的项目中，主要研究该课题，方向在机器人和无人机的自主控制。

第2章 控制系统的数学模型

2.1 引言

控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。

建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。

数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。

第二章 控制系统的数学模型

2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？

答 定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业 数学模型。从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。

2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？

答 获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。

机理分析法是通过对系统部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。

实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。

如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。

2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？

答 主要步骤有：

⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。

⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。

⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。

第二章 自动控制系统的数学模型

教学目的：

（1） 建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

（2） 掌握传递函数的概念及求法。

（3） 通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

（4） 通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。

（5） 掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

（6） 通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力

教学要求：

（1） 正确理解数学模型的特点；

（2） 了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；

（3） 牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；

（4） 掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；

（5） 掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；

（6） 掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。

教学重点：

有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换； 求第K条前向通道特记式的余子式k。

教学方法：讲授

本章学时：10学时

主要内容：

2.0 引言

2.1 动态微分方程的建立

2.2 线性系统的传递函数

2.3 典型环节及其传递函数

2.4系统的结构图

2.5 信号流图及梅逊公式

2.0引言：

什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？

1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。