导数的定义与求解

构造函数求解导数

【模型总结】

关系式为“加”型

（1）'()()0fxfx 构造[()]'['()()]xxefxefxfx

（2）'()()0xfxfx 构造[()]''()()xfxxfxfx

（3）'()()0xfxnfx 构造11[()]''()()['()()]nnnnxfxxfxnxfxxxfxnfx

（注意对x的符号进行讨论）

关系式为“减”型

（1）'()()0fxfx 构造2()'()()'()()[]'()xxxxxfxfxefxefxfxeee

（2）'()()0xfxfx 构造2()'()()[]'fxxfxfxxx

（3）'()()0xfxnfx 构造121()'()()'()()[]'()nnnnnfxxfxnxfxxfxnfxxxx

（注意对x的符号进行讨论）

1、已知定义在R上的函数()()fxgx、满足()()xfxagx，且'()()()'()fxgxfxgx，(1)(1)5(1)(1)2ffgg，若有穷数列*()()()fnnNgn的前n项和等于3132，则n等于 .

2、已知定义域为R的奇函数()fx的导函数为'()fx，当0x时，()'()0fxfxx，若111(),2(2),ln(ln2)222afbfcf，则下列关于,,abc的大小关系正确的是（ ）

.Aabc .Bacb .Ccba .Dbac

3、已知函数()fx为定义在R上的可导函数，且()'()fxfx对于任意xR恒成立，e为自然对数的底数，则（ ）

2013.(1)(0)(2013)(0)Afeffef、 2013.(1)(0)(2013)(0)Bfeffef、

重点解析数学ZHONGDIANJIEXI

《活动变人形》：中国当代“家族文学”

的开山扛鼎之作。导数中的定义问题，看起来似乎很简单，但从多年高考结果反馈来看，情况不容乐观！在命题者的巧妙“包装”下，特别是有关“瞬时变化率”的问题让大家无所适从，甚至读不懂题意，原本很基础的题因此演变成高考中的难题.下面就导数定义的有关问题归类整理，供大家参考.类型一导数定义的灵活变形例1设函数在某点处可导，试求下列极限的值.（1）limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx；（2）limh→0f(x0+h)-f(x0-h)2h；（3）f(3)=2,f′(3)=-2,求limx→32x-3f(x)x→3.解析（1）limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=-limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=-f′(x0).（2）limh→0f(x0+h)-f(x0-h)2h=limh→0f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)2h=12limh→0f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)h=12[f′(x0)+f′(x0)]=f′(x0).（3）limx→32x-3f(x)x3=limx→32x-6+6-3f(x)x3=limx→3[2+6-3f(x)x-3]=2+3limx→32-f(x)x-3=2-3limx→3f(x)-2x-3=2-3f′(3)=8.点拨熟练掌握导数定义的三种不同表达形式：f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.类型二导数定义的物理意义——“瞬时变化率”例2一物体做阻尼运动，运动规律为x=e-2tsin(3t+π6)，则物体在时刻t=0时，速度为，加速度为.解析∵x′=-2e-2tsin(3t+π6)+3e-2tcos(3t+π6)，则x′|t=0=-2e0sinπ6+3e0cosπ6=332-1.x″=[-2e-2tsin(3t+π6)+3e-2tcos(3t+π6)]′=-5e-2tsin(3t+π6)-12e-2tcos(3t+π6)x″=|t=0=-63-52.∴速度为332-1，加速度为-63-52.点拨此题主要考查导数定义的物理意义，x与t的关系式的导数物理意义是瞬时速度，速度与时间

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。