数学方法论考试题型及答案

数理方法考试题型及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = \ln(x) \)答案：A2. 积分 \(\int_0^1 x^2 dx\) 的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x \)B. \( f(x) = \sin(x) \)C. \( f(x) = e^x \)D. \( f(x) = \ln(x) \)答案：B4. 函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的极值点是？A. \( x = 1 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 3 \)D. \( x = 0 \)答案：A5. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 正弦函数和余弦函数D. 指数函数答案：C6. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒级数展开的前三项是？A. \( 0 + 0x + x^2 \)B. \( 0 + 2x + x^2 \)C. \( 0 + 0x + 2x^2 \)D. \( 0 + 0x + x^3 \)答案：A7. 以下哪个选项是线性方程组解的存在性条件？A. 系数矩阵可逆B. 系数矩阵不可逆C. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩答案：C8. 以下哪个选项是二阶偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \)B. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial x^2} \)D. \( \frac{\partial f}{\partial x \partial y^2} \)答案：A9. 以下哪个选项是拉普拉斯变换的性质？A. 线性B. 微分C. 积分D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个选项是数值分析中常用的插值方法？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 斯普莱特插值D. 所有选项都是答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 \) 的不定积分是 \( \frac{1}{4}x^4 + C \)。

方法论试题库（章节）第一章绪论名词解释：1。

方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。

简答：1。

数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究2。

数学方法论中数学内容辩证性质的研究答。

一。

关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。

二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等3。

试举四种数学中的一般科学认识方法答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等4。

试举四种数学中的特有的科学认识方法答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等论述：1。

宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。

答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。

微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。

2。

数学方法论的数学功能。

一。

科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。

二。

思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。

三。

社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。

四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用3。

论述数学思想方法形成和发展的规律：一。

从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。

13.注重核心思想方法，突出数学作为方法论的本质1.（2019全国1卷理科第11题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③解析：法一：注意到()sin |||sin |f x x x =+为偶函数，结合选项，考虑[,]x ∈-ππ，[][)2sin ,0,()sin |||sin |2sin ,,0x x f x x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩，作出图像即可。

法二：分别作出sin ,sin y x y x ==图像，根据函数图像的叠加可以迅速得到答案A 。

【点评】如何研究1y x x=+的图像与性质，是2017版人教A 版教材中的一个阅读素材，用函数图像的迭加法，这是高数中研究两个函数和与差的基本方法。

2.（2019全国1卷理科第19题）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB = ，求|AB |．【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+．（1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB = 可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．【点评】此题更体现解析几何方法的本质：解析法用代数方法研究几何问题，是程序化的操作步骤，关键在于几何条件代数化（坐标化），其关系式的简洁程度和处理的容易程度就是解析几何的精妙所在。

综合作业本卷共分为2大题40小题，总分100 分。

本卷得分:1001[论述题,2.5分]什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。

终止|结果|有限性2[论述题,2.5分]变量数学产生的意义是什么？工具|发展|辩证法3[论述题,2.5分]《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？明显的|定理|逻辑4[论述题,2.5分]简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。

思想方法|数学知识|目的5[论述题,2.5分]常量数学应用的局限性是什么？问题|运动|数量6[论述题,2.5分]什么是类比猜想？并举一个例子说明。

属性|判断|对应7[论述题,2.5分]简述计算机在数学方面的三种新用途。

应用|数学化|发展8[论述题,2.5分]数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。

掌握|形成|结合9[论述题,2.5分]简述化归方法的和谐化原则统一|结构特征|总体思路10[论述题,2.5分]简述化归方法在数学教学中的应用新知识|指导解题|知识结构11[论述题,2.5分]什么是归纳猜想？并举一个例子说明。

归纳|推测性|猜想12[论述题,2.5分]简述特殊化方法在数学教学中的应用。

特殊值|特殊化|特例检验13[论述题,2.5分]为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？逻辑规则|应用问题|演绎体系14[论述题,2.5分]简述培养数学猜想能力的途径。

新知识|数学规律|解题思路15[论述题,2.5分]我国数学教育存在哪些问题？重结果|重模仿|负担过重16[论述题,2.5分]简述概括与抽象的关系。

不同|密切|联系17[论述题,2.5分]简述数学抽象的特征。

无物质性|层次性|直觉18[论述题,2.5分]在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题？教学目标|过程|工作19[论述题,2.5分]简述代数解题方法的基本思想。

代数式|方程|未知数20[论述题,2.5分]为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？数学模型|应用|方程21[填空题,2.5分]分类必须遵循的原则是（），无遗漏，标准同一。

第练分类讨论思想[思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略..中学数学中可能引起分类讨论的因素：()由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.()由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{}的前项和公式等.()由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.()由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.()由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等..进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”..解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.体验高考.(·山东)设函数()＝则满足(())＝()的的取值范围是().[，].[，＋∞)答案解析由(())＝()得，()≥.当<时，有－≥，∴≥，∴≤<.当≥时，有≥，∴≥，∴≥.综上，≥，故选..(·湖北)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长(≠)同时增加(>)个单位长度，得到离心率为的双曲线，则().对任意的，，>.当>时，>；当<时，<.对任意的，，<.当>时，<；当<时，>答案解析由题意＝＝；双曲线的实半轴长为＋，虚半轴长为＋，离心率＝＝.因为－＝，且>，>，>，≠，所以当>时，>，即>.又>，>，所以由不等式的性质依次可得>，＋>＋，所以>，即>；同理，当<时，<，可推得<.综上，当>时，<；当<时，>..(·天津)已知椭圆＋＝(＞＞)的左焦点为(－，)，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆＋＝截得的线段的长为，＝.()求直线的斜率；()求椭圆的方程；。

《数学方法论与解题研究》期末试题一、填空题（20分，每题2分）1，数学研究主要的就是发现问题和问题。

2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。

3，化归是实现化归的关键。

4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。

5，爱因斯坦于1905年提出了。

6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。

7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。

8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。

9，解题“三步曲”是指观察、和转化。

10．应该反映原型，但又不等于原型。

二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×）1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。

2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。

3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。

4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。

5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。

三，选择题（15分，每题3分）1，求高次方程的近似解法较早出现在（）A，《数书九章》B，《几何原本》C，《九章算术》D，《怎样解题》2已知f(x+1)=x²,f(x)=( ) A x+1 B x²-2x+1 C x²-x C x²+2x+13非演绎法的类型有( ) A 三段法 B 假言推理C 综合法 C 否定肯定式4“万物皆数”的说法出自( )A 欧拉B 高斯C 王阳明D 毕达哥拉斯5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( )A 观念性 B意识性C 综合性D 观念意识性四.名词解释(10分,每题5分)1.归纳法2.公理化方法的含义五.解题研究:(30分, 每题15分) ^1,研究cos值,并证明其结果.2nA2(如图,)已知等腰三角形ABC中, E AB=AC AE=CF FBC求证:EF≥ B C 2六.结合题( 15分)1什么是创造性思维?2. 创造性思维有何特点?3. 结合自己的教学实践,谈谈如何培养学生的创造力和探索精神.参考答案:一. 填空题.1. 解决2.陈景润3.方法4.演绎推理5.狭义相对论6.群举归纳法7.波利亚8.连续化简9.联想10.模型二. 判断题1.√2.√3.√4.χ5.√三.选择题1.A2.B3.C4.D5.D四.名词解释1. 归纳法就是通过对同一类事物的特殊对象的研究而得出一般结论的方法. 归纳法是一个从特殊到一般的推理过程，属于 “合情推理”的范畴,是一种 “似然”的推理方法。

构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明155550 张晶对3种数学解题方法的简单说明一、分类讨论思想在解题过程中，我们常常会发现，对于含有参数的题型进行到某一步骤之后就没有办法再进行统一的说明，需要对参数或者其它情况进行讨论，此时，就要用到数学中常见的分类讨论的思想，将待研究的问题分成若干个小部分，再逐一进行讨论，最终再进行整合，即“合-分-合”的解题过程。

分类讨论思想主要考查学生的逻辑分析能力，体现在很多方面，例如：函数与导数、解含参数的一元二次方程或不等式、数列等等数学大模块中都会用到分类讨论的思想。

例1 已知函数()13--=ax x x f ，讨论()x f 的单调性.解：()a x x f -=2'3①当 此时，函数()x f 在()∞+∞，-上为增函数.②当()00'≥≤x f a 时，()()().33,33-,3333,.03333;03333;33030''2上为减函数在上为增函数与在因此，时，当时，或当得时，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-<<<->-<>±==->a a a a x f x f a x a x f a x a x a x a x a本题通过对参数a 的讨论，通过对导函数的正负确定了函数的单调区间，是很典型也比较简单的一个分类讨论的思想的应用。

二、数形结合思想在代数运算中，有时我们会被繁琐的计算量牵绊，而集合与代数又是互相依傍，如果能用几何的思想去解决代数的问题，那么一定会事半功倍。

此时就要用到我们的数形结合思想，即将代数问题转化为几何问题，数形结合思想就是充分利用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

数形结合思想在数学中占有及其重要的地位，可分为由“数”到“形”和由“形”到“数”，而数形结合的思想往往更加侧重由“数”到“形”，以简化问题。

1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=402062225A ，求2A = , )(A ρ= 。

2. 计算⎰badx x f )(的辛普森公式为 。

3. 设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.421231111，=LDL T，其中L 为单位下三角矩阵，D 为 对角矩阵,则L ＝ ,D= 。

4. 线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------11851011151112321x x x ，试写出Jacobi 迭代法的迭代格式 。

5. 已知下列数据：x -3 -2 -1 2 4 y14.38.34.78.322.7用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式的法方程为 。

6.用牛顿迭代法计算0233=--x x 的根的迭代格式为 ， 取初始值=0x 1.5, 迭代一步得=1x 。

1.求积公式)]2(5)5.0(16)0(3[91)(2f f f dx x f ++-≈⎰具有的几阶代数精度。

（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.线性方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122111221-A ，则下面结论正确的是 （ ） A.Jacobi 迭代法不收敛，Gauss-Seidel 迭代法收敛 B. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法不收敛 C. Jacobi 迭代法不收敛，Gauss-Seidel 迭代法不收敛 D. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法收敛 3．设6)12(-=f ，取4142.12=，利用下列等式计算，计算结果最好是（ ）A ．6)12(1+=f ； B .3)223(-=f ； C .3)223(1+=f ； D . 27099-=f .4．设,.....)2,1,0(,527)(2==++=j j x x x x f j ，则=],,[210x x x f ( ) A. 7 B. 2 C. 5 D. 01. 若经四舍五入得到近似数0123400.0=x ，则它的绝对误差限为71021-⨯，有效数字为4 位。