由足球比赛积分表引发的数学思考

2006年世界杯足球比赛中的数学问题南京外国语学校仙林分校二（2）班刘麓成暑假里的一天，爸爸带回了一箱可乐，这时我忽然看到罐子上有和世界杯有关的促销活动。

大概内容是：凡拉环上出现冠军、亚军、八强等字样，再配上相应的国家名，就有各种不同奖项。

这项活动引起了我对已经过去的世界杯比赛赛程、名次的兴趣。

妈妈打印出了2006年德国足球世界杯赛程表，见附表。

看到这张表，我的第一反应就是这么多比赛一共有多少场呢？这些比赛到底是按什么规律进行的呢？妈妈看出了我的疑惑，对我说：“全世界共有32个国家参加世界杯，分成8组，先在小组内进行循环赛（即每两个队都要踢一场）。

”我想：32支球队，分成8组，那就是32÷8＝4（支），每组有4支球队。

妈妈启发我：“4个队，每两个队都要赛一场，一共要赛几场呢？”我想了想，说：“那就是3+2+1=6（场），8个组一共要比8×6=48（场）。

”我对着赛程表看了看，果真是48场。

接着妈妈又说：“每组经过循环赛后，根据积分，有2支球队出线。

”“那么8组，共有16支球队出线，”我说。

妈妈还告诉我：出线的16支球队接下来采用淘汰制，先进行1/8决赛，这样就剩下8支球队，也就是8强。

然后再进行1/4决赛，产生4强。

之后是两场半决赛，最后就是决定冠军的一场比赛——决赛。

这时妈妈问我：“淘汰赛一共比了多少场，才决出冠军呢？”我算了算，一共是8+4+2+1=15（场）。

“一共要比15场。

另外这次比赛不光要决出冠、亚军，还要决出第三名。

这样还要加上一场3、4名的决赛，一共是16场比赛。

”我仔细对照着赛程表之后肯定地说。

妈妈赞许地说：“你想的对，48场小组赛，加上15场淘汰赛，还有一场3、4名决赛，整个世界杯一共有64场比赛。

”经过对比赛场次的计算，我对世界杯比赛有了一些了解，而且明白了足球比赛有两种：一种是淘汰赛，赢的队出线，比赛的场次=球队数－1；另一种是循环赛，每两个队都要赛一场，按积分排名次，比赛的场次=1+2+……+（球队数－1）。

第十五组足球队排名次的方法摘 要本文讨论了依据我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级队联赛中的成绩，给他们进行排列名次的问题。

根据全国足球甲级队联赛的比赛规则，符合要求的排名方法是多种多样的，然而都希望实现尽量公平、尽量精确的排名策略。

我们针对排名的问题，建立了从简单到复杂，从粗糙到较为精确的三个模型，分别用了平均积分法、图论的相关知识、比分矩阵法以及层次分析法。

模型一：依次计算出各个队的总积分，按照国家足球甲级队联赛的规则，可知：获胜加3分，平局各得一分，失败就得零分，同时统计每一个队进行的比赛场数，对总积分/比赛的场数进行排序，所得结果就可以近似的作为各队的排名。

模型二：根据比赛的数据，建立了一个1212⨯的数字矩阵1212ij )(a A ⨯=，在合理的假设条件下，进行分析，从而完善矩阵，用C++编程，输入所得矩阵，求出哈密顿开路的路径，再结合模型一的分析，对其排出名次。

模型三：用三分制计算对任意第i 队与第j 队（i 不等于j ）的得分比ij b ，其中ii b =1，得到比分矩阵1212)(⨯=ij b B ,求出比分矩阵的最大特征值，并求出相应的特征向量。

比较分向量的大小，即可求出排名。

模型四：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。

四个模型的运行结果如下的表所示：的条件是不一样的。

关键词：足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析一、 问题描述近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。

题目中给出了1988-1989年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。

由足球比赛积分表引发的数学思考2000字足球比赛积分表是足球联赛中非常重要的组成部分，用于记录每个参赛队伍的比赛成绩和排名情况。

具体来说，积分表原本是由一系列数据组成的表格，包括赛季、参赛队伍、得分、胜利次数、平局次数、输球次数、进球数、失球数以及净胜球等信息。

通过对比赛积分表中的数据，可以很清楚地了解每个队伍在比赛中的表现和能力。

比如，排名靠前的队伍通常会在胜利次数、得分和净胜球等方面表现优秀；而排名靠后的队伍，则通常输球次数和失球数较多。

这些数据可以帮助我们预测球队的表现和赛事结果，同时也可以引发我们的一些有趣的数学思考。

1. 概率统计通过比赛积分表，我们可以了解到每个队伍的胜率和输球率，从而进行概率统计。

比如，如果一支队伍除了和另一支队伍打平外，输赢的概率相等，那么我们就可以认为这支队伍的胜率和输球率分别为50%。

同样，如果两支队伍之间的得分情况明显不同，我们也可以通过胜率和输球率大致估算出比赛的赔率和胜负概率。

2. 泊松分布泊松分布是一种概率分布，通常用于描述某种事件在一段时间内发生的次数。

在足球比赛中，每个队伍在某个时期内进球的次数就可以用泊松分布来进行描述。

通过利用泊松分布的性质，我们可以预测每个队伍在一场比赛中进球的期望值，从而更好地理解每个队伍的攻防能力和比赛策略。

3. 线性回归线性回归是一种可以通过给定的数据来预测未知数据的方法。

在足球比赛中，我们可以通过比赛积分表的数据来进行线性回归分析。

比如，我们可以将每个队伍的得分情况作为自变量，将其排名作为因变量，然后进行线性回归分析。

通过这种方法，我们可以预测某个队伍在未来的比赛中可能获得的排名情况。

4. 值得信赖的预测模型在足球比赛中，预测比赛结果是非常困难的，因为足球比赛涉及到很多不确定因素。

但是，通过比赛积分表中的数据，我们可以建立一些模型来帮助我们预测比赛结果。

比如，我们可以利用历史数据和萨默菲尔德模型来预测各队之间的得分情况。

人教版七年级数学上册3.4 第3课时《球赛积分表问题》教案2一. 教材分析球赛积分表问题是人教版七年级数学上册3.4节的内容，主要让学生通过实际问题情境，理解并掌握用方程和不等式解决实际问题的方法。

这部分内容既联系了生活实际，又锻炼了学生的数学思维能力。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对用方程和不等式解决实际问题已经有了一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往会因为对问题的理解不深入，找不到等量关系，或者列出的方程不正确，导致解题困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生正确理解问题，找到等量关系，列出正确的方程。

三. 教学目标1.让学生通过实际问题情境，理解并掌握用方程和不等式解决实际问题的方法。

2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。

3.培养学生合作交流、归纳总结的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：理解并掌握用方程和不等式解决实际问题的方法。

2.教学难点：找到问题的等量关系，列出正确的方程。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳、总结，自主探索解决问题的方法。

在教学过程中，注重让学生说理，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的球赛积分表问题案例。

2.准备黑板、粉笔等教学用具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的球赛积分表问题，引导学生思考如何用数学方法解决这个问题。

例如，某校举行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四支球队进行了循环赛，每队胜一场得2分，负一场得1分，弃权一场不得分，请问哪支球队得分最高？2.呈现（10分钟）呈现球赛积分表问题，让学生观察并思考问题。

引导学生发现，要解决这个问题，需要找到每支球队的比赛场次、胜负情况以及得分。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决呈现的球赛积分表问题。

教师在这个过程中，引导学生找到问题的等量关系，列出方程。

4.巩固（10分钟）对学生的解答进行讲解，让学生理解并掌握用方程解决实际问题的方法。

实际问题与一元二次方程：球赛积分表问题教学案例反思教学目标知识技能：掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。

过程与方法：通过探索球积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。

情感态度：鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。

重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。

难点：把数学问题转化为数学问题。

关键：从积分表中找出等量关系。

教具：投影仪。

教法：探究、讨论、启发式教学。

教学过程一、创设问题情境用投影仪展示几张比赛场面及比分(学习是生活需要，引起学生兴趣)二、引入课题教师用投影仪展示课本106页中篮球联赛积分榜引导学生观察，思考：① 用式子表示总积分能与胜、负场数之间的数量关系;②某队的胜场总分能等于它的负场总积分么?学生充分思考、合作交流，然后教师引导学生分析。

师：要解决问题①必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积几分么?你选择哪一行最能说明负一场积几分?生：从最下面一行可以发现，负一场积1分。

师：胜一场呢?生：2分(有的用算术法、有的用方程各抒己见)师：若一个队胜a场，负多少场，又怎样积分?生：负(14-a)场，胜场积分2a，负场积分14-a，总积分a+14.师：问题②如何解决?学生通过计算各队胜、负总分得出结论：不等。

师：你能用方程说明上述结论么?生：老师，没有等量关系。

师：欸，就是，已知里没说，是不是不能用方程解决了?谁又没有大胆设想?生：老师，能不能试着让它们相等?师：伟大的发明都是在尝试中进行的，试试?生：如果设一个队胜了x场，则负(14-x)场，让胜场总积分等负场总积分，方程为：2x=14-x解得x=4/3(学生掌声鼓励)师：x表示什么?可以是分数么?由此你的出什么结论?生：x表示胜得场数，应该是一个整数，所以，x=4/3不符合实际意义，因此没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。

《赛球积分表问题》教学反思一、教学目标完成情况在本节课的教学中，我成功地帮助学生理解了赛球积分表问题的数学模型，掌握了其计算公式和解题步骤。

通过观察、分析和归纳赛球积分表的数据规律，引出数学模型，再通过小组合作、讨论和交流，让学生自主探究赛球积分表问题的解决方法。

二、教学方法反思在本节课中，我采用了实例分析、互动讨论的教学方法，通过观察、分析和归纳赛球积分表的数据规律，引出数学模型，再通过小组合作、讨论和交流，让学生自主探究赛球积分表问题的解决方法。

这种教学方法能够激发学生的学习兴趣和探究热情，让他们更加积极地参与到课堂中来。

同时，通过小组合作和互动讨论，也培养了学生的合作精神和沟通能力。

三、学生学习情况反思从学生的学习情况来看，大部分学生都能够积极参与到课堂中来，认真听讲、思考和回答问题。

但是，在解决实际问题的过程中，部分学生还存在一定的困难，需要进一步加强指导和帮助。

同时，我也发现部分学生在计算过程中存在粗心大意、计算错误等问题，需要提醒他们注意计算准确性和规范性。

四、改进方向根据本节课的教学反思和学生的学习情况，我认为可以从以下几个方面进行改进：1.加强实例的选择和分析：在选择实例时，需要更加注重实例的针对性和典型性，让学生能够更容易地理解赛球积分表的规律和特点。

同时，在分析实例时，需要更加注重整体和细节的平衡，让学生能够全面理解和掌握知识点。

2.强化学生的计算能力：在计算积分的过程中，需要要求学生保持细心和耐心，避免出现计算错误。

可以通过一些练习和测试来提高学生的计算能力和准确性。

3.培养学生的解决问题的能力：在解决实际问题的过程中，需要引导学生学会分析问题、寻找解决问题的方法和途径。

可以通过一些实际问题来培养学生的解决问题的能力和兴趣。

4.加强与学生的互动和交流：在教学过程中，需要注重与学生的互动和交流，鼓励学生提出问题和意见，并及时给予回应和反馈。

这样可以更好地了解学生的学习情况和需求，以便更好地调整教学方法和策略。