【内供】2019届高三好教育云平台7月内部特供卷 理科数学(一)答题卡

2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]2．已知()21i =1i z-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 599 1117 24 27 30 31 21 最低温12- 3- 12-71719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ） A ．最低温与最高位为正相关B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A ．7B ．8C ．15D ．165．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()210f x x x=+>，则()1f -=（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．26．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113 D ．538．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3π，则⋅=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ） A ．2B ．4C ．25+D ．425+此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 内部特供卷 第3页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第4页（共8页）11．已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．512- B ．312- C ．212- D ．3212．已知ABC △是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD △与Rt BCD △）组成的三角形，如左下图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒．现将Rt ACD △沿斜边AC 进行翻折成1D AC △（1D 不在平面ABC 上）．若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值B ．点N 在某个球面上运动C ．对于任意位置，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A -- D ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60︒二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x ，y 满足约束条件1400x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．15．在数列{}n a 中，113a =，()113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13nnb a =+．记12n n P b b b =⨯⨯⨯，12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=__________．16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．18．（12分）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明MN ∥平面PAB ;（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．19．（12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（1）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（2）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（3）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．（12分）已知中心在原点O，左、右焦点分别为1F，2F，焦距为A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA OB⊥，求此圆的方程；（2）动点P满足：3OP OA OB=+，直线OA与OB的斜率的乘积为13-，求动点P的轨迹方程．好教育云平台 内部特供卷 第7页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第8页（共8页）21．（12分）设函数()3f x x ax b =--，R x ∈，其中,R a b ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x ty at=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C 两点，若23BC ≥，求实数a 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．好教育云平台 内部特供卷答案 第1页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第2页（共6页）2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三理科数学（一）答 案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】D 二、填空题． 13．【答案】[]2,4- 14．【答案】1415．【答案】3 16．【答案】32 三、解答题．17．【答案】（1）见解析；（2）4． 【解析】（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=， 变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π， 有sinsin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． （2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==． 所以241cos sin 5A A =-=．由（1），sin sin sin cos cos sin AB A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==． 18．【答案】（1）见解析；（2）85． 【解析】（1）由已知得223AM AD ==． 取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==．又AD BC ∥，故=TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ．（2）取BC 的中点E ，连结AE ．由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，且222252BC AE AB BE AB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由题意知，()0,0,4P ，()0,2,0M ，()5,2,0C，5,1,2N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,4PM =-，5,1,2PN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，5,1,2AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 为平面PMN 的一个法向量，则00PM PN ⋅=⋅⎪⎨⎪=⎧⎩n n ，即240 520y z x y z ⎧⎪⎨=+-=⎪- 可取()0,2,1=n ，于是85cos ,AN AN AN⋅〈〉==n n n ．19．【答案】（1）25；（2）见解析；（3）400元． 【解析】（1）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有110C 种，摸到红球的结果共有14C 种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是14110C 42C 105==．……2分（2）设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()3 0.4X B -，，所以()30.4 1.2E X np ==⨯=．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2100120⨯=元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖好教育云平台 内部特供卷答案 第3页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第4页（共6页）励的均值120元小于直接返现的150元， 所以商场经理希望顾客参加抽奖．……………7分 （3）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y ．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()10 0.4Y B -，． 于是，恰好k 次中奖的概率为()1010C 0.40.6k k kP Y k -==⨯⨯，0 1 10k =，，…，． 从而()()()21113P Y k k P Y k k=⨯-==-， 1 2 10k =，，…，， 当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=； 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=，则()4P Y =最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．………………12分20．【答案】（1）2234x y +=；（2）()2233033x y x +=≠．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，由已知2226222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得312a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆方程为2213x y +=．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程得()()222136310k x kmx m +++-=．∴122613kmx x k -+=+，()21223113m x x k-⋅=+． ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++()()22222316101313m kmkkm m k k --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，即224330m k --=． ∵AB 与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径21m r k =+则222314m r k ==+，∴圆的方程为2234x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB 方程为3x =满足上述方程．综上，所求圆的方程为2234x y +=． （2）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩ 又直线OA ，OB 的斜率积为13-，∴121213y y x x =-，即121230x x y y +=． ∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，222213xy +=联立得121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，23x =±33x =±，同理OB 斜率不存在时，33x =±P 点的轨迹方程为(2233033x y x +=≠．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞． ②当0a >时，令()0f x '=，解得3a x 3ax = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x3,3a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭33a- 33,33a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭33a3,3a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x ' +-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以()f x 的单调递减区间为33a a ⎛ ⎝⎭，单调递增区间为3,a ⎛-∞ ⎝⎭，3a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠．由题意，得()20030f x x a '=-=，即203a x =，进而()3000023a f x x ax b x b =--=--，又()()3000000082282233a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-，所以10+2=0x x ．（3）证明：设()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三好教育云平台 内部特供卷答案 第5页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第6页（共6页）种情况讨论：（1）当3a ≥时，11≤-<，由（1）知，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此()(){}{}{}max |1|,|1|max 1,1max 1,1M f f a b a b a b a b =-=---+-=-+-- 1+010a bb a bb -≥⎧=⎨--<⎩所以12M a b =-+≥． （2）当334a ≤<时，11≤-<<< 由（1）和（2）知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f f ⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max ,max M f f b b ⎧⎫⎛⎧⎫⎪⎪== ⎨⎬⎨⎬ ⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭231max ,944b b b ⎫==≥⨯=⎬⎭．（3）当304a <<时，11-<<<，由（1）和（2）知， ()1f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，()(){}{}{}1max |1|,|1|max 1,1max 1,114M f f a b a b a b a b a b =-=-+---=-+--=-+>． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14． 22．【答案】（1）()()22314x y -+-=；（2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ． 由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22314x y -+-=． （2）直线l 的普通方程为y ax =≤304a ≤≤， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23．【答案】（1）][(),43,-∞-+∞；（2）[]2,0-． 【解析】（1）当3a =时，()213532 212x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥， 解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥，所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-+∞．（2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-．。

22019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150分，考试用时 120 分钟。

注意事项：1．答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型（ B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答 在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。

在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。

21.已知集合 M x 4 x 2 ，N {x x 2 x 6 0 ，则 M N =（ ） A. {x 4 x 3 B. {x 4 x 2 C. {x 2 x 2 D. {x 2 x 32.设复数 z 满足 z i =1， z 在复平面内对应的点为 （x ， y ），则（ ）2 2 2 2 2 2 2 2A. （x+1） y 1B. （x 1） y 1C. x （y 1） 1D. x （y+1） 10.2 0.33.已知 a log 2 0.2,b 20.2,c 0.20.3 ，则（）A. a b cB. a c bC. c a bD. b c a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51 25 1 ≈ 0.618，称为黄金分割比例 ），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1．若某人满足上述两个黄金分割11 212A.πB.32πC.38. 如图是求 2的程序框图，图中空白框中应填入（ 5π D.6)比例，且腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是（A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cmsin x x5.函数 f(x)= 2 在 [—π， π的]图像大致为(A.C.6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每组成，爻分为阳爻和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（16B. 11 32C. 2132D.11167. 已知非零向量 a ，b 满足 a =2b ，且（a –b ） b ，则 a 与 b 的夹角为（ A.AF │2 2│F 2B │，│ AB │ │ BF │1 ，则 C 的方程为(其中所有正确结论的编号是12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC ，△ABC 是边长为 2的正三角形， E ，F 分别是 PA ， PB 的中点，∠ CEF=90°，则球 O 的体积为( )1 A. A= 2A 1B. A=2 1AC. A=1 2AD.A=12A9.记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和．已知 S 4 0， a 5 5 ，则( A. a n 2n 5 B. a n 3n 10 C. S n2 2n 28n D.S n2n10.已知椭圆 C 的焦点为 F 1( 1,0) ， F 2( 1,0) ，过 F 2的直线与C 交于 A ， B 两点 .若A.22 x2 y22xy 1 B. 13222xy C.43D.511.关于函数 f (x)sin | x| |sin x |有下述四个结论： (① f(x)是偶函数 ②f(x)在区间( 2 , )单调递增③f(x)在［］有 4 个零点④ f(x)的最大值为 2A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③A. 8 6B. 4 6C. 2 6D. 6、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共20分13. 曲线y 3（x2 x）e x在点（0,0）处的切线方程为 ___________ ．_1214. 记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1 ，a42a6，则S5= ．_315. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是___________ ．_2216. 已知双曲线C：x2y21（a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F 1的直线与C 的a2b2uuur uuur uuur uuur两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A AB ，F1B F2B 0，则C 的离心率为___________________ ．_三、解答题：共70 分。

2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学（一）解析附后第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+2．[2019·哈六中]03x <<是12x -<成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率 为（ ）A ．12BCD5．[2019·郑州一中]已知函数()2log ,11,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x ≤的解集为（ ）A ．(],2-∞B ．(](],01,2-∞UC ．[]0,2D ．(][],01,2-∞U6．[2019·烟台一模]将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng ），下广三丈，袤（mào ）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）A ．5.5B ．5C ．6D ．6.58．[2019·哈六中]实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（ ）A ．2B ．12C ．10D ．1109．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ） A ．32 B ．114 C ．83D ．10310．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）ABCD11．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．y x = B．y = C．y = D．y = 12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3，则其前2019项的和2019S 的最小值为（ ） A ．2019- B ．3010- C ．3025- D ．3027-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =u u u r u u u r ，则向量BA u u u r 在AD u u u r上的投影为______．16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n∈*N个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随．机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415（1）求n的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望．19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1BC ==，1B C 的中点为O ，若线段11A C 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F为抛物线()2C y px p=>的焦点，过F的动直线交抛物线C于:20AB=．A，B两点．当直线与x轴垂直时，4（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12af x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M AB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理 科 数 学（一）解析版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】B【解析】Q 复数()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -， 就是复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B ． 2．[2019·哈六中]03x <<是12x -<成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定， 故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A ．3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 【答案】C【解析】对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3， 所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5， 所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C ． 4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率 为（ ）A ．12BCD【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =， 所以离心率12c e a ==，故选A ． 5．[2019·郑州一中]已知函数()2log ,11,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x ≤的解集为（ ）A ．(],2-∞B ．(](],01,2-∞UC ．[]0,2D ．(][],01,2-∞U 【答案】D【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤； 当1x <时，()1f x ≤，即为111x≤-，解得0x ≤， 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦U ，故选D ．6．[2019·烟台一模]将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ． ∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=，∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng ），下广三丈，袤（mào ）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）． 8．[2019·哈六中]实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（ ）A ．2B ．12C ．10D ．110【答案】A【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数． 画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2m x y m==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max 352mz m =+=，解得2m =，故选A 项． 9．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ） A ．32 B ．114 C ．83D ．103【答案】B【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由7652a a a =+，得6662q a a a q=+， 化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a q a q a --=，则216m n q +-=，解得6m n +=，所以()19119191810106663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B ． 10．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，AH =AE =， 连接ED ，ED ，因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，在EAD △中，cosEAD ∠=，故选D ． 11．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．y x = B．y = C．y = D．y = 【答案】B【解析】Q 以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ， ∴以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=，由对称性知ABC △的面积212222OBC S S ch ch a ==⨯==△，即22a h c =，即B 点的纵坐标为22a y c=，则由22222a x c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得224222224a a x c c c c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为点B 在双曲线上，则4422222441a a c c c a b --=， 即()22422222441c a a a c c c a --=-，即2222222411c a a a c c a ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭， 即222222241c a c a c c a -⋅=-，即2222241c a a c a -=-， 即2222222241c a c a a c a a --==-，得()24224a c a =-， 即2222a c a =-，得223a c =，得c =，b =．则双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3，则其前2019项的和2019S 的最小值为（ ） A ．2019- B ．3010- C ．3025- D ．3027- 【答案】C【解析】依题意，要使其前2019项的和2019S 的最小值只需每一项的值都取最小值即可， ∵12a =，绝对公和3d =，∴21a =-或21a =（舍）， ∴32a =-或32a =（舍），∴41a =-或41a =（舍）， L ，∴满足条件的数列{}n a 的通项公式2,12,11,n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩为大于的奇数为偶数， ∴所求值为()()()2345201801912a a a a a a a +++++++L()2019121230252-=+--⨯=-，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为______．【答案】80【解析】52x ⎛- ⎝的展开式中，通项公式()()35552155C 22C 1rr r r r r r r T x x ---+⎛ ⎝==-，令3522r -=，解得2r =．2x ∴的系数325C 280==，故答案为80． 14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,0,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 【答案】31e 【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以3232331ee 2ef -⨯-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故答案为31e ． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =u u u r u u u r ，则向量BA u u u r 在AD u u u r上的投影为______． 【答案】【解析】2BC BD =u Q u u r u u u r ，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AD u u u r则向量BA u u u r 在AD u u u r 上的投影为BA AD AD⋅==u u u r u u u r u u u r 16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______． 【答案】【解析】设()00,P x y ，()22f x x a '=+，()24a g x x'=．由题意知，()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，即2200024ln x ax a x b +=+，① 200422a x a x +=，②解②得：0x a =或02x a =-（舍）， 代入①得：2234ln b a a a =-，()0,a ∈+∞，()68ln 4214ln b a a a a a a '=--=-，当140,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0b '>；当14e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0b '<．∴实数b的最大值是1144e e b ⎛⎫== ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长． 【答案】（1）1718-；（2）5． 【解析】（1）∵tan C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=，则c =ABC △的周长为5．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n ∈*N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）7n =；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28C n +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()282856487C C 15n n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有27C 21=种情况； 若2个全是小集团，共有28C 28=种情况， 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，计算()0487415C C 10C 39P X ===；()1387415C C 81C 39P X ===；()2287415C C 282C 65P X ===；()3187415C C 563C 195P X ===；()4087415C C 24C 39P X ===，故X 的分布列为：数学期望为()012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1BC ==，1B C 的中点为O ，若线段11A C 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．【答案】（1（2． 【解析】（1）方法一：设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，1BB 两两垂直，分别以BC u u u r ，1BB uuu r ，BAu u u r的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,A t，)C，()10,1,0B，)1C，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,A t ，因此)11,0B C =-u u u u r，)AC t =-u u u r，)11AC t =-u u u u r．设)111,0,A P AC t λλ==-u u u r u u u u r，易求得点P的坐标为),1,t t λ-，所以1,2OP t t λ⎫=--⎪⎪⎭u u u r ． 因为OP ⊥平面1AB C，所以()1110221102OP B C OP AC t t λλλ⎧⎪⎫⋅=--=⎪⎭⎫⋅=--⋅-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r ．解之得23t λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以AB方法二：如图，在平面11BCC B 内过点O 作1B C 的垂线分别交BC 和11B C 于M ，N ，连接PN ， 在平面ABC 内过点M 作BC 的垂线交AC 于R ，连接OR ．依题意易得，11RM A B PN R ⇒∥∥，M ，N ，P ，O 五点共面． 因为PO ⊥平面1AB C ，所以RM ONPO RO RMO ONP MO PN⊥⇒~⇒=△△．① 在1B ON △中，1tan30ON B O =⋅︒=，11cos30OB B N =︒N 为线段11B C 靠近1C 的三等分点． 由对称性知，M 为线段BC 靠近B 的三等分点，因此23RM AB =，13PN AB =．代入①，得AB ===． （2）由（1）方法一可知，12OP =⎝⎭u u u r 是平面1AB C的一个法向量且)11,0B C =-u u u u r，11B A ⎛= ⎝⎭u u u u r ． 设平面11A B C 的法向量为n ，则11100B C B A ⋅=⇒⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u u ru u u u rn n n可以为()．cos ,OP OP OP ⋅〈〉===u u u ru u u r u u u rn n n． 因为二面角11A B C A --为锐角，故所求二面角11A B C A --． 20．（12分）[2019·烟台一模]已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．【答案】（1）24y x =；（2）()1,2P ±．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =． 所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --． 设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y xy x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-． 若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±．将02y =±代入抛物线方程，可得01x =． 于是点()1,2P ±为满足题意的点．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12af x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>． 【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--， 记()()h x f x ='，则()1axh x x='-． 当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =． 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<．所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．所以()max 1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭．令()ln 1g a a a =-+-，则()111a g a a a'-=-=． 当01a <<时，()0g a '<；当1a >时，()0g a '>．所以()g a 在()0,1的单减，在()1,+∞单增． 所以()()10g a g ≥=，故1a =．（2）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x =+-'．由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立，所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()12121f x f x f +=-=，不妨设120x x <<，则1201x x <<<， 欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-，则只需证()()1112f x f x --<-，即()()1121f x f x -+>-． 令()()()2F x f x f x =+-（其中()0,1x ∈），且()11F =-． 所以欲证()()1121f x f x -+>-，只需证()()1F x F >，()0,1x ∈， 由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x =--=+--+-'-'+'， 整理得()()()()ln ln 2210,1F x x x x x -'=--+∈，，()()()22102x F x x x -=-'>'，()0,1x ∈，所以()()()ln ln 221F x x x x =--+-'在区间()0,1上单调递增， 所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F =--+-<'='，所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 所以有()()1F x F >，()0,1x ∈， 故122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M AB △的面积． 【答案】（1）1:4cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）3【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 3πd ==)4sin cos ππ2133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯=23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．()2,2A ⊆-Q ，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++， ()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩， ①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤，②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭。

2020-2021学年好教育云平台7月份内部特供卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}2|10A x x =-<，{}2|log 0B x x =<，则A B =（ ） A ．(1,0]- B ．(0,1) C ．(1,1)- D ．∅ 2．设复数1i 1i z +=-，则22z z -+的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．1 3．X 表示某足球队在2次点球中射进的球数，X 的分布列如下表，若()1E X =，则()D X =（ ） X 0 1 2 P a 13 b A ．13 B ．12 C ．4 D ．3 4．已知1tan 3π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 5．对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度．已知{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ，则3log ()xy 为整数的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．45 6．已知直线l m 、与平面αβ、，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ∥，则αβ∥ B ．若l β⊥，则αβ⊥ C ．若l β∥，则αβ∥ D ．若αβ⊥，则l m ⊥ 7．甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，他们获得一、二、三等奖各一人，对于他们分别获得几等奖，其他学生作了如下的猜测： 猜测1：甲获得二等奖，丙获得三等奖； 猜测2：甲获得三等奖，乙获得二等奖； 猜测3：甲获得一等奖，丙获得二等奖； 结果，学生们的三种猜测各对了一半，则甲、乙、丙所获得的奖项分别是（ ） A ．一等、二等、三等 B ．二等、一等、三等 C ．二等、三等、一等 D ．三等、二等、一等 8．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左焦点1(2,0)F -作垂直于实轴的弦MN ，A 为E 的 右顶点．若AM AN ⊥，则E 的方程为（ ） A ．22139x y -= B ．2213x y -= C ．2213y x -= D ．22193x y -= 9．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足1(0)n a f f n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 21(1)n f f f n n -⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（ ） A ．100 B ．105 C ．110 D ．115 10．已知圆柱的高为h ，它的两个底面半径为r 的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．8π 11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点．若112AF F B =，2||AB BF =，则C 的离心率为（ ） 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．13B ．2C ．33 D ．22312．已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，且(1)1f =，则函数21()()g x f x x =-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知13,22⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭a ，()+⊥a b a ，则⋅=a b ________．14．函数()cos (0)6πf x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π有且只有3个零点，则ω的取值范围是______．15．在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC △面积的取值范围是______．16．已知函数32()1f x x ax bx =+++，关于函数()y f x =有下列结论：①0x ∃∈R ，()00f x =；②函数()y f x =的图象是中心对称图形，且对称中心是(0,1)；③若0x 是()f x 的极大值点，则()f x 在区间()0,x +∞单调递减；④若0x 是()f x 的极小值点，且()00f x >，则()y f x =有且仅有一个零点．其中正确的结论有________（填写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在①224n n n a a S b +=+，且25a =，②224n n n a a S b +=+，且1b <-，③2n a +24n n a S b =+，且28S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的b 存在，求出b和数列{}n a 的通项公式与前n 项和；若b 不存在，请说明理由．设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，满足________，是否存在b ，使得数列{}n a 成为等差数列？18．（12分）如图，在ABC Rt △中，,2AB BC AB BC ⊥==，点P 为AB 的中点，PD BC ∥交AC 于点D ，现将PDA △沿PD 翻折至1PDA △，使得平面1PDA ⊥平面PBCD ． （1）若Q 为线段1A B 的中点，求证：PQ ⊥平面1A BC ； （2）在线段1A C 上是否存在点E ，使得二面角B PD E --大小为π4．若存在，请求出点E 所在 位置，若不存在，请说明理由．19．（12分）某校举行了全体学生的一分钟跳绳比赛，为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，其跳绳个数的频数分布表如下：（1）若将抽取的100名学生一分钟跳绳个数作为一个样本，请将这100名学生一分钟跳绳个数的频率分布直方图补充完整（只画图，不需要写出计算过程）；（2）若该校共有3000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布()2,15N μ，其中μ为样本平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．利用所得正态分布模型，解决以下问题： ①估计该校一分钟跳绳个数超过165个的人数（结果四舍五入到整数）； ②若在该校所有学生中任意抽取4人，设一分钟跳绳个数超过180个的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列、期望与方差． 附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-≤≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-≤≤+=，(33)0.9974P Z μσμσ-≤≤+=．20．（12分）已知函数()21x f x e x =--． （1）若函数()()f x F x x=，讨论()F x 在()0,+∞的单调性； （2）若()()23522f x k x x k ≥-+∈Z ，对任意x ∈R 恒成立，求整数k 的最大值． 21．（12分）已知抛物线2:2(0)M x py p =>上一点(4,)Q a 到焦点F 的距离为54a ． （1）求抛物线M 的方程； （2）过点F 斜率为k 的直线l 与M 相交于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线l '与M 相交于A ，B 两点，点E ，H 分别为线段CD 和AB 的中点． ①试用k 表示点E H 、的坐标；②若以线段AB 为直径的圆过点C ，求直线l 的方程．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为65cos 5sin x tyt =+⎧⎨=⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C θα=，其中4tan 3α=． （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）设曲线2C 和曲线1C 交于A ，B 两点，求||AB ．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知x ，y ，z 为正实数，且1xyz =，证明： （1）()()()8x y y z z x +++≥；（2）222111x y z x y z ++≤++．2020-2021学年好教育云平台7月份内部特供卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】210x -<，11x ∴-<<，()1,1A ∴=-，∵2log 0x <，01x ∴<<，(0,1)B ∴=，(]1,0A B ∴=-，故选A ．2．【答案】C 【解析】21i (1i)i 1i (1i)(1i)z ++===--+，222i i 21i z z ∴-+=-+=-，则22z z -+的虚部为1-，故选C ．3．【答案】D【解析】由()1E X =，可得1()01213E X a b =⨯+⨯+⨯=①， 又由113a b ++=②，由①和②可得13a =，13b =，所以，2221112()(01)(11)(21)3333D X =⨯-+⨯-+⨯-=，故选D ．4．【答案】B 【解析】由π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan tan π44tan tan π441tan tan ππ2π44αααα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎭=⎝，又22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++，故选B ．5．【答案】C【解析】{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =， 若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ，基本事件总数2510n ， 3log ()xy 为整数包含的基本事件有()1,1，()1,3，()1,9，()3,1，()3,3，()3,9，共有6个， 3log ()xy ∴为整数的概率为63105p ==，故选C ． 6．【答案】B 【解析】对于A ，若//l m ，则αβ∥或α与β相交，故A 不正确； 对于B ，若l β⊥， 又l α⊂，则根据平面与平面垂直的判定定理可得αβ⊥，故B 正确； 对于C ，若l β∥，则αβ∥或α与β相交，故C 不正确； 对于D ，若αβ⊥，则//l m 或l 与m 为异面直线或l 与m 相交，故D 不正确， 故选B ． 7．【答案】A 【解析】假设猜测1：甲获得二等奖正确， 则猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖错误，与题意矛盾，假设不成立． 故：猜测1：甲获得二等奖错误，丙获得三等奖正确； 根据丙获得三等奖正确得到： 猜测3：甲获得一等奖正确，丙获得二等奖错误； 根据甲获得一等奖正确，得到： 猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖正确， 综上：甲获得一等奖，乙获得二等奖，丙获得三等奖，故选A ． 8．【答案】C 【解析】由题意可得2c =，由题意可得2(2,)b M a -，2(2,)b N a --， 由双曲线的对称性及AM AN ⊥，可得2b a c a +=，2224c a b =+=， 解得21a =，23b =， 所以双曲线的方程为2213y x -=，故选C ．9．【答案】D 【解析】函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，故选D ． 10．【答案】A【解析】如图：根据题意可得1OA =，2hOG =，GA r =，则2212h r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2214h r +=，则221242h hr r rh =+≥⋅⋅=，当且仅当2h r =，即2r 时上式等号成立，所以，圆柱的侧面积2π2πS r h =⋅≤，即该圆柱的侧面积的最大值为2π，故选A ． 11．【答案】C 【解析】如图， 由题意可得122AF AF a +=，122F B BF a +=，112AF F B =，213AB BF BF ==， 所以1132F B F B a +=，故12a F B =， 可得1AF a =，2AF a =，32AB a =，122F F c =， 利用2AB BF =，则2ABF △为等腰三角形， 所以，221122cos 332AF a BAF AB a ∠===，1sin c OAF a ∠=，212BAF OAF ∠=∠， 可得2112()3c a =-，可得3c e a ==， 故选C ． 12．【答案】B 【解析】根据题意，若21()()0g x f x x =-=，变形可得22()1()0x f x g x x -==， 设2()()h x x f x =， 则函数21()()g x f x x =-的零点就是方程2()1x f x =的根， 2()()h x x f x =，其定义域为R ， 又由()f x 为定义在R 上连续的奇函数，则2()()()()h x x f x h x -=--=-， 则()h x 为R 上连续的奇函数， 2()()h x x f x =，则2()2()()[()2()]h x xf x x f x x xf x f x ''=+'=+， 又由当0x >时，()2()0xf x f x '+>，则有()0h x '>，即函数()h x 为(0,)+∞上的增函数， 又由()h x 为R 上连续的奇函数，且(0)0h =，则()h x 为R 上的增函数，又由()11f =，则()()111h f ==，则方程2()1x f x =只有一个根， 故函数21()()g x f x x =-只有1个零点，故选B ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1- 【解析】13,2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭a ，2221312⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ，()+⊥a b a ，()0∴+⋅=a b a ，即20+⋅=a a b ，因此，21⋅=-=-a b a ，故答案为1-．14．【答案】710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】依题意，0>ω，由0πx ≤≤，得ππππ666x ωω≤+≤+，要使函数()cos (0)6πf x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π有且只有3个零点，则需5ππ7ππ262ω≤+<，即71033ω≤<，所以ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭．15．【答案】3,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝【解析】依题意，锐角三角形ABC 中，sin sin 2B Cb a B +⋅=⋅，即πsin sin 2Ab a B -⋅=⋅，即cos sin 2Ab a B ⋅=⋅，由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅，由于π02B <<，所以sin 0B >， 故cos sin 2A A =，即cos 2sin cos 222A A A =， 由于π02A <<，所以π024A <<，所以2sin 12A =， 1ππsin 22263A A A =⇒=⇒=． 画出三角形ABC 的图象如下图所示，其中1BC AC ⊥，2BC AB ⊥， 1π1cos 2132AC AB =⋅=⨯=，224π1cos 32AB AC ===， 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以C 在线段12C C 内运动（不包括端点）， 所以12AC b AC <<，即14b <<， 所以133sin ,23222ABC S bc A b ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝△，故答案为3,232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝． 16．【答案】①④ 【解析】易知x →+∞时，()f x →+∞，x →-∞时，()f x →-∞， 因此()f x 一定存在零点，①正确； 32322()()(1)(1)22f x f x x ax bx x ax bx ax -+=-+-+++++=+， 所以()f x 图象不一定关于点(0,1)对称，②错； 由题意2()32f x x ax b '=++，若0x 是()f x 的极大值点，则0x 是()0f x '=的一根，则它还有另一根2x ，据题意02x x <， 只有当02(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增，③错；与上面讨论类似，2()320f x x ax b '=++=有两个不等实根10,x x ，10x x <，在1x x <或0x x >时，()0f x '>，()f x 在两个区间上都是递增，10x x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，0x 是极小值点，1x 是极大值点，0()0f x >，则1()0>f x ，()f x 在1(,)x +∞上无零点，在1(,)x -∞上有唯一零点，④正确，故答案为①④．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】答案不唯一，详见解析．【解析】选择①，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=，因为25a =，且212a a -=，所以13a =，由224n n n a a S b +=+，得211124a a a b +=+，即21120a a b --=，把13a =代入上式，得3b =，当3b =时，由21120a a b --=及10a >，得13a =，所以13a =，25a =，满足12n n a a +-=，可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列．数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+，数列{}n a 的前n 项和为()232122n n nS n n ++⨯==+．选择②，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=， 又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 由224n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，即12120a a b --=， 因为已知数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >， 因为关于1a 的一元二次方程12120a a b --=至少存在一个正实数解的充要条件是440Δb =+≥，解得1b ≥-， 这与已知条件1b <-矛盾，所以满足条件的b 不存在． （注：若21120a a b --=存在两个实数解分别为1x ，2x ，则122x x +=，12x x b =-， 当0b >时，21120a a b --=的解一正一负； 当0b =时，21120a a b --=的解一正一零； 当10b -≤<时，21120a a b --=的解均为正． 所以方程21120a a b --=至少存在一个正实数解，当且仅当440Δb =+≥．） 选择③， 因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+， 两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-， 即()()1120n n n n a a a a ++--+=， 又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 由12n n a a +-=，得212a a -=， 又已知2128S a a =+=，所以13a =，25a =， 由224n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，2112b a a =-，所以21123b a a =-=， 当3b =时，由21120a a b --=及10a >，得13a =， 由2222243a a S +=+，13a =及20a >，得25a =， 所以13a =和25a =满足12n n a a +-=， 可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+，第9页（共14页） 第10页（共14页）数列{}n a 的前n 项和为()232122nn n S n n ++⨯==+． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，E 为线段1A C 的中点． 【解析】（1）证明：在ABC Rt △中，AB BC ⊥，PD BC ∥，PD AB ∴⊥，将PDA △沿PD 翻折至1PDA △，1PD A P ∴⊥，1BC A P ∴⊥， 又1ABA P P =，BC ∴⊥平面1PBA ，PQ ⊂平面1PBA ，PQ BC ∴⊥，在1PBA △中，1PA PB =，Q 为1A B 的中点，1PQ A B ∴⊥，又1A B BC B =，PQ ∴⊥平面1A BC ．（2）在ABC Rt △，AB BC ⊥，PD BC ∥，PD PB ∴⊥，又PDA △沿PD 翻折至1PDA △，且平面1PDA ⊥平面PBCD ，由（1）有1PD PA ⊥，得1PA ⊥平面PBCD ．以点P 为坐标原点，分别以1,,PA PD PA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系P xyz -， 如图所示．则(0,0,0)P ，1(0,0,1)A ，(0,1,0)D ，(1,2,0)C -，(0,1,0)PD =，1(1,2,1)AC =--． 设11(01)A E AC λλ=≤≤，则(,2,1)E λλλ--，所以(,2,1)PE λλλ=--， 设平面PDE 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则由00PE PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2(1)00x y z y λλλ-++-=⎧⎨=⎩，可得(1,0,)λλ=-m ，可取平面BPD 的一个法向量为(0,0,1)=n ， 则()222cos ,21λλ⋅===-+m n m nm n ，解得12λ=，所以当点E 为线段1A C 的中点时，二面角B PD E --大小为π4． 19．【答案】（1）作图见解析；（2）①2524（人）；②分布列见解析，()2E ξ=，()1D ξ=． 【解析】（1）由题意可得，（2）样本数据的平均数的估计值为0.061500.121600.181700.31800.16190μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.12000.08210180+⨯+⨯=（个）， 所以该校全体学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布()2180,15N ．①18015165μσ-=-=，0.68261(165)0.841322P X ∴>=+=， 所以该校一分钟跳绳个数超过165个的人数约为30000.84132523.92524⨯=≈（人）． ②由正态分布可得，在该校任取一人，一分钟跳绳个数超过180个的概率约为12， 所以1~4,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4．所以0404111(0)C 12216P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1314111(1)C 1224P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2224113(2)C 1228P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3134111(3)C 1224P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4044111(4)C 12216P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为ξ1 23 4P11614 3814116第11页（共14页） 第12页（共14页）所以1()422E ξ=⨯=，11()41122D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．20．【答案】（1）()F x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增；（2）1-． 【解析】（1）因为()()()211x x e x F x x ---'=，令()1xg x e x =--，则()()100xg x e x =->>'．所以函数()g x 在()0,+∞单调递增，从而()()00g x g >=，所以10x e x -->． 由()0F x '>，得1x >；由()0F x '<，得01x <<．所以()F x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增． （2）因为()()23522f x k x x k ≥-+∈Z ，对任意x ∈R 恒成立， 所以2min15122xk e x x ⎛⎫≤+-- ⎪⎝⎭． 令()215122xh x e x x =+--，则()52xh x e x '=+-，所以()h x '在R 上单调递增，又()3002h '=-<，()3102h e '=->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x '=，又1202h ⎛⎫'=<⎪⎝⎭， 由（1）知当0x >时，1xe x >+，所以343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即0052x e x =-． 当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当03,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 单调递增，所以()()0222000000min151731737122222224x h x h x e x x x x x ⎡⎤⎛⎫==+--=-+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()min 271,328h x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭，又k ∈Z ，所以k 的最大值为1-．21．【答案】（1）24x y =；（2）①()22,21E k k +，2222,23H k k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；②1y x =+或1y x =-+． 【解析】（1）根据抛物线的定义和已知条件，得524p a a +=，故2a p =， 由点Q 在M 上，可知216pa =，把2a p =代入，得2p =， 所以抛物线M 的方程为24x y =．（2）①由（1）可知点F 的坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y ，得2440(0)x kx Δ--=>， 设()11,C x y ，()22,D x y ，则124x x k +=，所以21242y y k +=+，所以线段CD 中点()22,21E k k +，因为l '过点E 且与l 垂直，所以l '的方程为()2123y x k k=-++， 联立()221234y x k kx y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得()2244230x x k k +-+=，0Δ>显然成立． 设()33,A x y ，()44,B x y ，则344x x k+=-，()234423x x k =-+， 所以2342446y y k k+=++， 所以线段AB 中点2222,23H k k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． ②因为以线段AB 为直径的圆过点C ，所以AC BC ⊥，1||||2CH AB =， 在CEH Rt △中，222||||||CE EH CH +=，即22211||||||22CD EH AB ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 根据抛物线定义，得212||44CD y y p k =++=+，第13页（共14页） 第14页（共14页）又34||AB x =-== 222222||22EH k k k ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，由22211||||||22CD EH AB ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()22222222111111123k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解方程得21k =，所以直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+．22．【答案】（1）1C 是以(6,0)为圆心，5为半径的圆，212cos 110ρρθ-+=；（2）14||5AB =． 【解析】（1）消去参数t 得到1C 的普通方程为22(6)25x y -+=，1C 是以(6,0)为圆心，5为半径的圆，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人1C 的普通方程中，得到()22(cos 6)sin 25ρθρθ-+=，化简整理得到212cos 110ρρθ-+=．（2）设A ，B 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将曲线2C 的极坐标方程代人曲线1C 的极坐标方程，得212cos 110ρρα-+=． 于是1212cos ρρα+=，1211ρρ=，12||AB ρρ=-==由4tan 3α=，得4sin cos 3αα=，两边平方整理得29cos 25α=，所以14||5AB ===． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为x ，y ，z为正实数，所以x y+≥y z +≥，z x +≥ （当且仅当1x y z ===时，等号同时成立），所以()()()88x y y z z x xyz +++≥==．（2）因为1xyz =，所以111111xyz yz xz xy x y z x y z ⎛⎫++=++⋅=++ ⎪⎝⎭， 又()()()()2222222222222x y zxy y z z x xy yz zx ++=+++++≥++，即222x y z xy yz zx ≥++++，（当且仅当1x y z ===时，等号同时成立）．所以222111x y z x y z ≥++++，即222111x y z x y z++≤++．。

2019届高三好教育云平台3月份内部特供卷 理科数学答题卡(二) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 19. 第I 卷 选择题 5 ABCD 6 ABCD 7 ABCD 8 ABCD 1 ABCD 2 ABCD 3 ABCD 4 ABCD 9 ABCD 10 ABCD 11 ABCD 12 ABCD 13、_____________________ 14、_____________________ 15、_____________________ 16、_____________________ 第II 卷 非选择题 17. 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。

3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。

注意事项请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20. 21. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．。

2019届高三好教育云平台10月份内部特供卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C =I U （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3,4【答案】D2．复数()32i i z =-的共轭复数z =（ ） A ．23i + B ．23i -+ C ．23i - D ．23i --【答案】C3．如下所示，茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为（ ）乙组甲组95 y 840129x 27 4A ．3，6B ．3，7C ．2，6D ．2，7【答案】B4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ） A ．11- B ．8-C ．5D ．11【答案】A5．设23a =，3log 4b =，23log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】B6．已知“2x >”是“()2x a a >∈R ”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(0,4]D ．(,4]-∞【答案】D7．一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D8．设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-【答案】A 9．已知直线6x π=是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像的一个对称轴，其中()0,2ϕ∈π，且()2f f π⎛⎫<π ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦ZB ．(),36k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．(),2k k k π⎡⎤ππ+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．(),2k k k π⎡⎤π-π∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】B10．点A ，B ，C ，D ，E是半径为5的球面上五点，A ，B ，C ，D 四点组成边长为此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号方形，则四棱锥E ABCD -体积最大值为（ ） A ．2563B ．256C ．643D ．64【答案】A 11．若()e exxf x -=+，则()2e 11ef x +-<的解集为（ ）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()0,2D ．()1,2-【答案】C12．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点()1,0M -的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=uu u r uu u r，则直线AB 的斜率k =（ ）ABCD【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线y x =与圆2240x y x +-=相交于两点A 、B ，则AB = ．【答案】14．若直线()1y kx k =+∈R 与曲线()32,y x bx c b c =++∈R 相切于点()1,2M ，则22b c +=__________．【答案】5 15．已知的前n 项和2n S n =，数列111n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前5项和5T = ．【答案】52416．如图所示，在ABC △中，AD DB =，F 在线段CD ，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，AF x y =+uuu r a b ，则14x y+的最小值为__________．【答案】6+三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，角A 、B 、C成等差数列，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值． 【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，又A B C ++=π，得3B π=． 又由正弦定理，3sin 4sin C A =，得34c a =，即34a c =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =． （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，∴a A，c C =，)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+=++⎤⎦sin sin 36A A A π⎤π⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦， 由203A π<<，知当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c += 18．（12分）编号分别为1A ，2A ，L ，16A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：（2）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人．①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率． 【答案】（1）4，6，6；（2）①见解析；②13．【解析】（1）4，6，6；（2）①解：得分在区间[)20,30内的运动员编号为3A ，4A ，5A ，10A ，11A ，13A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{}34A A ，{}35A A ，{}310A A ，{}311A A ，{}313A A ，{}45A A ，{}410A A ，{}411A A ，{}413A A ，{}510A A ，{}511A A ，{}513A A ，{}1011A A ，{}1013A A ，{}1113A A ，共15种．②解：“从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}45A A ，{}410A A ，{}411A A ，{}510A A ，{}1011A A ，共5种． ∴()51153P B ==． 19．（12分）如图，在四面体D ABC -中，已知5AD BC AC ===，6AB DC ==，4tan 3DAB ∠=，M 为线段AB 上的动点(不包含端点) ．BADC M（1）证明：AB CD ⊥；（2）若2AM MB =，求三棱锥B DMC -的体积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：作取AB 中点O ，连DO ，CO ．由AC BC =，O 为中点，故OC AB ⊥． 由5AD =，3AO =，4sin 5DAB ∠=知4OD =，故OD AB ⊥， ∴AB ⊥平面DOC ，CD 在平面DOC 内，∴AB CD ⊥．（2）∵2AM MB =，∴2D AMC D BMC V V --=，∴13D BMC D ABC V V --=，∵D ABC A DOC B DOC V V V ---=+，由（1）知AB ⊥平面DOC ，∴13D ABC A DOC B DOC DOC V V V AB S ---∆=+=⨯，∴DOC △为等腰三角形，DOC S =△∵11633D ABC A DOC B DOC DOC V V V AB S ---∆=+=⨯=⨯⨯，∴13D BMC D ABC V V --==20．（12分）已知椭圆()222:90C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求l的斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB 能为平行四边形，当l的斜率为44形OAPB 为平行四边形．【解析】（1）设直线()0,0y kx b k b =+≠≠，()11,A x y ，()22,B x y ，(),M M M x y ，将y kx b =+代入2229x y m +=，得()2222920k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M Mby kx b k =+=+，于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-， 即9OM k k ⋅=-，所是命题得证． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >且3k ≠．由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由22299y x k x y m⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入直线l 的方程得()33m k b -=，因此()()2339M mk k x k -=+，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =()()23239mk k k -=⨯+．解得14k =-24k =+∵0i k >，3i k ≠，1i =，2，∴当l的斜率为44+OAPB 为平行四边形． 21．（12分）已知函数()ln 1xf x x =-． （1）确定函数()f x 在定义域上的单调性；（2）若()e xf x k ≤在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）1ek ≥． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ，()()211ln '1x x f x x --=-，令()11ln g x x x =--，则有()21'x g x x-=， 令()21'0xg x x -==，解得1x =， ∴在()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增，在()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减． 又()10g =，∴()0g x ≤在定义域上恒成立，即()'0f x <在定义域上恒成立， ∴()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．（2）由()e xf x k ≤在()1,+∞上恒成立得：ln e 1x xk x ≤-在()1,+∞上恒成立． 整理得：()ln 1e 0xx k x --≤在()1,+∞上恒成立．令()()ln 1e xh x x k x =--，易知，当0k ≤时，()0h x ≤在()1,+∞上恒成立不可能，∴0k >， 又()1'e x h x kx x=-，()'11e h k =-， （i ）当1ek ≥时，()'11e 0h k =-≤， 又()1'e x h x kx x=-在()1,+∞上单调递减， ∴()'0h x ≤在()1,+∞上恒成立，则()h x 在()1,+∞上单调递减， 又()10h =，∴()0h x ≤在()1,+∞上恒成立．（ii ）当10e k <<时，()'11e 0h k =->，11'e 0k h k k ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，又()1'e x h x kx x=-在()1,+∞上单调递减， ∴存在()01,x ∈+∞，使得()0'0h x =，∴在()01,x 上()'0h x >，在()0,x +∞上()'0h x <，∴()h x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 又()10h =，∴()'0h x >在()01,x 上恒成立， ∴()0h x ≤在()1,+∞上恒成立不可能．综上所述，1ek ≥． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()20M ,，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求MA MB ⋅． 【答案】（1）)11y x =-+，22y x =；（2）163． 【解析】（1）把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x =-+． 由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π， 又直线l '过点()20M ,， ∴直线l '的参数方程为122x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'⎪⎩(t '为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=， 设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '． 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=．∴163MA MB ⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()1f x x x =+-． （1）解不等式()3f x ≥；（2）若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围． 【答案】（1）(][),12,-∞-+∞U ；（2）[]0,2．【解析】（1）当0x ≤时，原不等式化为13x x -+-≥，解得1x ≤-， 结合0x ≤，得1x ≤-．当01x <<时，原不等式化为13x x +-≥，无解．当1x ≥时，原不等式化为13x x +-≥，解得2x ≥，结合1x ≥，得2x ≥． 综上，原不等式的解集为(][),12,-∞-+∞U ； （2）()()2f x f y +≤，即112x x y y +-++-≤， 又()111x x x x +-≥--=，()111y y y y +-≥--=， ∴112x x y y +-++-≥．∴112x x y y +-++-=，且111x x y y +-=+-=， ∴01x ≤≤，01y ≤≤，∴02x y ≤+≤．【广西桂林市第十八中学2019届高三上学期第二次月考数学（文）试题用稿】。

2019届高三好教育云平台7月份内部特供卷高三理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,2【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-，故选B ．2．已知i 为虚数单位，若复数1i1it z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,+∞【答案】B【解析】()()()()()1i 1i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 222t t t t t t z ----+--+====-++-，z 在第四象限，102102tt -⎧>⎪⎪∴⎨+⎪-<⎪⎩， 得11t -<<，即t 的取值范围为()1,1-，故选B ． 3．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A ．42y x x =+ B ．2x y =C ．22x x y -=-D ．12log 1y x =-【答案】D【解析】由奇偶性可知，42y x x =+是非奇非偶函数，22x x y -=-是奇函数，故排除A 、C ； 在(),0-∞内，2x y =是减函数，故排除B ，因此答案为D ．4．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =焦点都在圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为y x =，由于实轴长度不同故离心率ce a=不同． 故本题答案选D ．5．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由韦达定理知4123a a +=-，4121a a =，则40a <，120a <，则等比数列中4840a a q =<，则81a ==-．在常数列1n a =或1n a =-中，4a ，12a 不是所给方程的两根．则在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件．故本题答案选A ． 6．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1009B ．1009-C ．1007-D ．1008【答案】B【解析】由程序框图则0S =，1n =；1S =，2n =；12S =-，3n =；123S =-+，4n =， 由S 规律知输出123456...20152016201720181009S =-+-+-++-+-=-． 故本题答案选B ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．8．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>><π的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．09,6⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知A =，又()6282T =--=，即2πT=16ω=， 所以π8ω=．则()π8f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象过点(2,-，则πsin 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2π42k ϕπ+=-+，所以3π2π4k ϕ=-+，又ϕ<π，则3π4ϕ=-．故()3ππ48g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令3ππππ482x k -+=+，得4231x k =--，令0k =，可得其中一个对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．故本题答案选C ．9．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明． 现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +>> B．)220,0a b a b +≥>> C．)20,0ab a b a b >>+D．)0,02a b a b +>> 【答案】D【解析】令AC a =，BC b =，可得圆O 的半径2a br +=， 又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 则()()2222222442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤D ． 10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C ．810 D ．816【答案】B【解析】由题知结果有三种情况．（1）甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况；（2）甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况；（3）甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434C C A 432=种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B ．11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MAMAMF MP AMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±． 则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增， 所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意， 综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()1,λ=a ，()2,1=b ，若向量2+a b 与()8,6=c 共线，则a 在b 方向上的投影为__________． 【解析】()24,21λ+=+a b ，由向量2+a b 与()8,6=c 共线，得()248210λ-+=， 解得1λ=，则=aθ为a ，b的夹角，cosθ⋅===⋅a ba b，cos θ⋅==a 14．已知实数x ，y 满足不等式组20250 20x y x y y --≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩-，且2z x y =-的最大值为a ，则20cos d 2xa x π=⎰__________．【答案】3π 【解析】作出可行域，目标函数可变为2y x z =-，令0z =，作出2y x =，由平移可知直线过()4,2时z 取最大值，则max 6a z ==． 则()20006cos d 3cos 3d 3sin |3|32xx x x x x ππππ=+=+=π⎰⎰．故本题应填3π． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =， ABC △的面积为b c +的值为__________．【答案】【解析】由正弦定理，原等式可化为sin sin sin sin sin 2sin cos cos cos B A BB BC B A B⋅+⋅=-⋅，进一步化为cos sin sin cos 2sin cos A B A B C A +=-，则()sin 2sin cos A B C A +=-，即1cos 2A =-．在三角形中2π3A =．由面积公式1sin 2ABC S bc A ==△16bc =，由余弦定理()22222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，代入可得b c +=16．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________． 【答案】[]2,4ππ【解析】如图，设BDC △的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin603O D =⨯=13AO ==， 在1Rt OO D △中，()2233R R =+-，解得2R =，∵3BD BE =，∴2DE =． 在1DEO △中，11O E，∴OE = 过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，22π⨯=π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知()()()()23111...1nx x x x ++++++++的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()()122121nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）()()()()23111...1nx x x x ++++++++的展开式中x 的系数为1111211122123223111C C C C C C C C C 22n n n n n +++++=++++==+，即21122n S n n =+， 所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=；当1n =时，11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． （2）证明：()()1121121212121nn n n nn b ++==-----， 所以1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----，所以1n T <． 18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC △的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，延长OG 交AC 于点M ．因为G 为AOC △的重心，所以M 为AC 的中点． 因为O 为AB 的中点，所以OM BC ∥．因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥， 所以OM AC ⊥．因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥．又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PAAC A =，所以OM ⊥平面PAC ．即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC ．（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A，)B，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,22OP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,x y z =n ，则3031202OM OP y z ⋅=-=⋅=-+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩+n n 令1z =，得()0,4,1=-n ．过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量．在Rt ABC △中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CHCB == 设(),,0H H H x y ，∴(),,0H H CH x y ，cos H x CH HCB =∠=3sin 4H y CH HCB =∠=． 所以33,04CH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭． 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH CH θ⋅===⋅n n． 19．（12分）2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400P =；（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算． 【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()33310C 1120C P A ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=． （2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000． ()33310C 10120C P X ===，()2137310C C 760040C P X ===， ()1237310C C 2170040C P X ===，()37310C 7P X =1000==24C ， 故X 的分布列为，所以()172171060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-=()1000200820E Y -=（元）．因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆()2240:29M x y -+=的． （1）求椭圆C 的方程．（2）过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形．若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22198x y +=；（2）20,⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． 【解析】（1）由题意可得26a =，所以3a =．由椭圆C与圆M ：()224029x y -+=恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点2,⎛ ⎝⎭，所以2440199b +=，解得28b =．所以椭圆C 的方程为22198x y+=． （2）直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ． 假设存在点(),0D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222198y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()228936360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+．因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k mk -+=---+，所以2228989km k k k--==++． 当0k >时，89k k+≥=0m ≤<； 当0k<时，89k k+≤-0m <≤．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为20,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． 21．（12分）已知函数()()22ln 20f x x mx x m =-+>， （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当m ≥若函数()f x 的导函数()'f x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，()212x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数()2ln h x x cx bx =--的零点，求证：()()1202'ln23x x h x -≥-+．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）由于()22ln 2f x x mx x =-+的定义域为()0,+∞，则()()221'x mx f x x-+=．对于方程210x mx -+=，其判别式24m ∆=-．当240m -≤，即02m <≤时，()'0f x ≥恒成立，故()f x 在()0,+∞内单调递增．当240m ->，即2m >，方程210x mx -+=恰有两个不相等的实数，x =令()'0f x >，得0x <<或x>，此时()fx 单调递增；令()'0f x <x <<，此时()f x 单调递减．综上所述，当02m <≤时，()f x 在()0,+∞内单调递增；当2m >时，()f x 在⎝⎭内单调递减，在⎛ ⎝⎭，⎫⎪+∞⎪⎝⎭内单调递增．（2）由（1）知，()()221'x mx f x x-+=，所以()'f x的两根1x ，2x 即为方程210xmx -+=的两根．因为m ≥，所以240m ∆=->，12x x m +=，121x x =． 又因为1x ，2x 为()2ln h x x cx bx =--的零点，所以2111ln 0x cx bx --=，2222ln 0x cx bx --=， 两式相减得()()()11212122ln 0x c x x x x b x x x --+--=，得()121212lnx x b c x x x x =-+-．而()1'2h x cx b x=--， 所以()()()()()()1212012012121201212ln 12'2x x x x h x x x cx b x x c x x c x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥-=---=--+-++ ⎪+-⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1211222lnx x x x x x -=-+． 令()1201x t t x =<<，由()2212x x m +=得22212122x x x x m ++=，因为121x x =，两边同时除以12xx ， 得212t m t ++=，因为m ≥，故152t t +≥，解得102t <≤或2t ≥，所以102t <≤．设()12ln 1t G t t t -=⋅-+，所以()()()221'01t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 12ln223G t G ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，即()()120'y x x h x =-的最小值为2ln23-+．所以()()1202'ln23x x h x -≥-+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为42x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP △的面积的最大值． 【答案】（1）圆()22:24C x y -+=，（2）2+． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=． 将直线l 的参数方程代入圆()22:24C x y -+=，并整理得20t +=， 解得10t =，2t =-l 被圆C截得的弦长为12t t -= （2）直线l 的普通方程为40x y --=． 圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可设圆C 上的动点()22cos ,2sin P θθ+，则点P 到直线l的距离2cos 4d θπ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当14θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos 时，d 取最大值，且d的最大值为2所以(1222ABP S ≤⨯=+△，即ABP △的面积的最大值为2+．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()211f x x x =-++．（1）求函数()f x 的值域M ； （2）若a M ∈，试比较11a a -++，32a ，722a -的大小． 【答案】（1）3,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭；（2）3711222a a a a -++>>-．【解析】（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以函数()f x 的值域3,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭．（2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a <≤．32a ≥，10a ->，111123a a a a a ∴-++=-++=≥． ()()372432221a a a a a ⎛⎫--= ⎭-⎪⎝-，32a ≥，10a ->，430a ->，()()14302a a a --∴>，所以37222a a >-，所以3711222a a a a -++>>-．【河北省衡水中学2018高考押题卷—理科数学试题用稿】。

第1页（共8页）第2页（共8页） 2020-2021学年好教育云平台7月份内部特供卷 理 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()(){}440A x x x =-+≤，{}22416B y x y =+=，则A B =（ ） A ．[]3,3-- B ．[]22-, C ．[]4,4- D ．∅ 2．“复数i(,)a b a b +∈R 为纯虚数”是“0a =”的（ ） A ．充分条件，但不是必要条件 B ．必要条件，但不是充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分也不是必要条件 3．若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3 4．已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k ∈N ，则k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．已知,x y 满足约束条件34y x y x x y ≤≥+≤⎧⎪⎨⎪⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ） A ．2z x y =- B ．2z x y =-+ C ．12z x y =-- D ．2z x y =+6．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种．A ．41B ．56C ．156D ．252 7．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ） A ．212- B ．212+ C ．612- D ．312- 8．已知3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 21cos2αα=-，则tan 2α=（ ） A ．152-+ B ．152+- C ．152-± D ．152- 9．设()f x ，()g x 分别为定义在[]π,π-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x += （e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．如图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：()()a P X a Φ=≤ 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号第3页（共8页）第4页（共8页）①()12a -Φ-；②()1a Φ-；③()12a Φ-；④()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．如图所示，在ABC △中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB =a ，AC =b ，AF x y =+a b ，则141x y ++的最小值为（ ）A ．622+B ．63C ．642+D ．322+12．设f x 是函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2f x f x x '>，若在ABC △中，A ∠为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()22sin sin sin sin f AB f B A < B ．()()22sin sin sin sin fC B f B C <C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A ->D ．()()22cos sin sin cos f C B f B C >第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．2020503+被7除后的余数为________．14．若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1-，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________．15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点．若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，设直线1D P 与直线1C C 所成角为θ，则cos θ的取值范围是________．16．ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且()23sin S A C +=，若AC 边上的中线BM 的长为2，则ABC △面积的最大值为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB AE ∥且2FB EA =． （1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E FD C --的余弦值．第5页（共8页）第6页（共8页） 18．（12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且11n n n n a S a S ++-= 1n n a a λ+-，对一切*n ∈N 都成立．（1）当1λ=时，证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()3,1，离心率为63． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上． 20．（12分）为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：第7页（共8页）第8页（共8页） （1）（i ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表：（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天()*k ∈N 进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为0．5万元/次；保障维护费第一次为0．2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0．2万元．现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1,2,3,4k =．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列．21．（12分）已知函数()1x x f x a e -=-的两个零点记为12,x x ． （1）求a 的取值范围； （2）证明：12x x ->第9页（共8页）第10页（共8页） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+； （2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+．第1页（共12页）第2页（共12页） 2020-2021学年好教育云平台7月份内部特供卷理 科 数 学（二）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】()(){}440{|44}[4,4]A x x x x x =-+≤=-≤≤=-，{}{}222416{|4}22[2,2]B y x y y y y =+==≤=-≤≤=-，所以[2,2]A B =-，故选B ． 2．【答案】A【解析】由“复数i(,)a b a b +∈R 为纯虚数”，一定可以得出0a =，但反之，不一定， 因为，纯虚数要求b 不为0，故选A ．3．【答案】A【解析】双曲线()222109y x a a -=>的渐近线方程为3ay x =±，因为双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，所以33a=，解得9a =，所以此双曲线的实轴长为18，故选A ．4．【答案】C【解析】由题意，设函数()ln 211f x x x =+-，则()120f x x '=+>恒成立，即函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()3ln32311ln350f =+⨯-=-<，()4ln 42411ln 430f =+⨯-=-<，()5ln52511ln510f =+⨯-=->，由零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在区间()4,5，即()04,5x ∈，又()0,1x k k ∈+，*k ∈N ，所以4k =，故选C ． 5．【答案】B 【解析】可行域为一个三角形O AB 及其内部，其中(0,0)O ，(2,2)B ，(3,1)A ， 所以直线2z x y =-在点(3,1)处取得最大值，直线2z x y =-+在点(3,1)处取得最小值， 直线12z x y =--在点(2,2)处取得最小值，直线2z x y =+在点(3,1)处取得最大值， 故选B ． 6．【答案】B 【解析】问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数， 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板， 即产生符合要求的方法数， 故有58C 56=种，故选B ． 7．【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1， 又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d =-= 而截面到球体最低点距离为31，而蛋巢的高度为12， 故球体到蛋巢底面的最短距离为13311222⎛--= ⎝⎭． 8．【答案】B 【解析】因为2sin 21cos2αα=-， 所以()24sin cos 112sin ααα=--，即24sin cos 2sin ααα=， 因为3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α≠，3,π224πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，第3页（共12页）第4页（共12页） 所以2cos sin αα=，即tan 2α=， 又22tan 2tan 1tan 2ααα=-，所以22tan 221tan 2αα=-， 即2tan tan 1022αα+-=，解得tan 2α=或tan 2α=， 因为3,π224πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2α=故选B ．9．【答案】A【解析】因为()()2cos x f x g x e x +=，所以()()()2cos x f x g x e x --+-=-， 即()()()2cos x f x g x e x --+=，所以()()2cos x xf xg x e -=-， 因为2cos x xy e =-，当0.01x =时，0y <，所以C ，D 错误；又()π2sin cos 4x x x x x y e e ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，所以π4x =-为极值点，即B 错误，故选A ．10．【答案】C【解析】∵()()a P X a Φ-=≤-， ∴图中阴影部分面积为()()1122P X a a -≤-=-Φ-，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积为()()1122P X a a ≤-=Φ-，又()P a X a -≤≤=()()a a Φ-Φ-，阴影部分面积为()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦，故正确的个数为①③④共3个，故选C ．11．【答案】D【解析】2AF x y x AD y AC =+=+a b ，∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=，即12y x =-，由图可知0x >，∴21412111x x y x x x x ++=+=+--．令()21x f x x x +=-，得()()22221x x f x x x +-'=-， 令()0f x '=，得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，∴当1x =时，()f x取得最小值)1311f ==+- 故选D ． 12．【答案】D 【解析】因为()()2f x f x x '>，0x >，所以()2()f x x f x '⋅>，()2()0f x x f x '∴⋅->． 设2()()f x g x x =，3()2()()0f x x f x g x x '⋅-'∴=>， 所以函数()g x 在0,+∞（）单调递增． 因为A ∠为钝角，所以π2B C +<，π2B C ∴<-， πsin sin()2B C ∴<-，sin cos B C ∴<， 所以(sin )(cos )g B g C <，所以22(sin )(cosC)sin cos f B f B C <， 所以()()22cos sin sin cos f C B f B C >，故选D ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】4 【解析】由题得2020202002020120192019202002020202020202020503(491)3C 49C 49C 49C 493+=++=+++++ 02020120192019202020202020C 49C 49C 494=++++， 因为02020120192019202020202020C 49C 49C 49+++能被7整除， 所以2020503+被7除后的余数为4， 故答案为4．第5页（共12页）第6页（共12页） 14．【答案】24x y =或24y x =【解析】设抛物线的标准方程为2x my =，当2x =-，1y =时，4m =，此时，24x y =，点()4,4在抛物线上； 设抛物线的标准方程为2y nx =，当1x =，2y =时，4n =，此时，24y x =，点()4,4在抛物线上， 故答案为24x y =或24y x =．15．【答案】26,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1D P ∴∥平面EFGHQR ，易知平面1ACD ∥平面EFGHQR ，P AC ∴∈，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C C D D ，所以1D PD ∠即为直线1D P 与直线1C C 所成角，连接DP 22DP ≤≤，在1D DP △中，22211D P DP D D =+，所以16,22D P ⎡∈⎣，所以1126cos D DD P θ=∈⎣⎦，故答案为26⎣⎦． 16．【答案】83-【解析】()22223sin S A C a c b +=+-，123sin 2sin 2cos ac BB ac B ∴=，3cos 2B ∴=，∵()0,πB ∈，π6B ∴=，1()2BM BA BC =+，||2BM =， 2214(2cos )4c a ac B ∴=++，2216323c a ac ac ac ∴=+≥+，23ac ∴≤+， 当且仅当a c =时取等号， 因此ABC △面积111sin 4(23)84324423S ac B ac ==≤==-+ 故答案为843- 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形， 所以BC AD ∥，BC AD =，FB BC =且60FBC ∠=︒， 又因为EA FB ∥，2EA FB =，所以60EAD ∠=︒， 在三角形EAD 中，根据余弦定理可得ED AE ⊥． 因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB BC ⊥，平面ABCD 平面FBC BC =，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ， 因为BC AD ∥，EA FB ∥，FB BC B =，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ， 所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ， 又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ED ⊥， 综上：ED AE ⊥，ED AB ⊥，EA AB A =且EA 、AB ⊆平面ABFE ， 所以DE ⊥平面ABFE ， 又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE ． （2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO OC =且三角形FBC 为正三角形，所以FO BC ⊥， 因为AG GD =，BO OC =，所以OG AB ∥， 由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ， 故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，第7页（共12页） 第8页（共12页）不妨设4BC =，则(0,0,23F ，()2,0,0C -，()2,4,0D --，(1,3E -， 设平面DEF 的法向量为()111,,x y z =n ，平面DFC 的法向量为()222,,x y z =m ， 则(111112423001,1,30330x y z DF DE x z ⎧⎧++=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩n n n ， 则)2222024303,0,1400DF x y z y DC ⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩m m m ， 所以2315cos ,25⋅===n mn m n m ，又二面角E FD C --是钝二面角，所以二面角E FD C --的余弦值为155-．18．【答案】（1）证明见解析，12n n a ；（2）存在，0λ=．【解析】（1）①当1λ=时，111n n n n n n a S a S a a +++-=-，则111n n n n n n a S a a S a ++++=+，即()()1111n n n n S a S a +++=+．∵数列{}n a 的各项均为正数，∴1111n n n n a S a S +++=+， ∴3131221212111111n n n n a a S S a S a a a S S S +++++⋅⋯=⋅⋯+++，化简，得1112n n S a +++=，①∴当2n ≥时，12n n S a +=，②②-①，得12n n a a +=，∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即12n n a ．（2）由题意，令1n =，得21a λ=+；令2n =，得()231a λ=+．要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==， 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n n S S S S +-+=+， 从而3312412123111111n n n n S S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=． 综上所述，可得1n a =，*n ∈N ， ∴0λ=时，数列{}n a 是等差数列． 19．【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222226311c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =， 所以椭圆C 的方程是22162x y +=． （2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ， 由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=， ()()222840305Δm m m =-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=， 由AD DB λ=-，可得12012011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，第9页（共12页） 第10页（共12页）()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++，212112012122102225381213y y y y y m y y m y y m m y λλ⨯-+=====---+++，综上，点D 在定直线32x =上．20．【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）详见解析．【解析】（1）（i ）由茎叶图的数据可得中位数2931302m +==， 根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =，（ii ）根据（1）中的列联表，222()40(551515)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯， 有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异．（2）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率， 生产线需保障维护的概率为51204p ==， 设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，正常维护费为0.542⨯=万元， 保障维护费为首项为0．2，公差为0．2的等差数列， 共ξ次维护需要的保障费为()20.20.210.20.10.12ξξξξ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+元，故一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2．2，2．6，3．2，4， 则()4043812C 4256P X ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，()31413272.2C 4464P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， ()222413272.6C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3341333.2C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()41144256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：21．【答案】（1）1()0,a ∈；（2）证明见解析． 【解析】（1）由()0f x =，得1x x a e -=，令()1x xg x e-=，()11x xg x e--'=， 当()()(),10x g x g x '∈∞>-，，递增；当()()()1,0x g x g x '∈∞<+，，递减，()g x 有最大值()11g =，又()0x g x →+∞→，，故函数有两个不同的零点，1()0,a ∈．（2）先证明122x x +>，不妨设12x x <，由（1）知，1201x x <<<， 构造函数()()()()1122xx F x f x f x xex e ----=--=，()()()111x x F x x e e --'--=，当1()0,x ∈时，()0F x '>，()F x 递增，()()100F F x =<，， 所以()10F x <，即()()112f x f x -<，所以121x ->， 由()()12f x f x =，由（1）知，当(1,)x ∈+∞，()f x 递减； 所以212x x >-，即122x x +>，要证明12x x ->只需证明()21121x x x -->>即2112x x a ->-，111x x a e -=，只需证明12111112001x x x x x e-+-><<，，第11页（共12页） 第12页（共12页）构造函数()212x xh x x x e -+-=，()()1112x h x x e -⎛⎫'-- ⎪⎝⎭=，当()()()0,1ln 20x h x h x '∈>-，，递增；()()()1ln 2,10x h x h x '∈<-，，递减， 当1[]0,x ∈时，()()()min {min 0,}10h x h h ==， 所以当()()0,10x h x ∈>，， 故原命题成立．22．【答案】（1）直线l的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12． 【解析】（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩则直线l的普通方程为2y =-．由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =， 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入24y x =，得20t +-=． 设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且10t >，20t <，∴121212*********2t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 23．【答案】（1）{}02x x <<；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+， 当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<； 当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<， 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<．（2）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +异号时，()f x 取得最小值a b +，∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=．()122a b ++≥=（当且仅当12a b =+=时取等号）， ∴()2218a b ++≥．又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号）， ∴()41a b +≤，∴()411a b +≥，∴()224(1)91a b a b +++≥+，∴()224281a b b a b +++≥+．。

2019届高三好教育云平台10月份内部特供卷高三理科数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足26i z z +=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D2．已知全集U =R ，1218x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}31x x -<<-B ．{}30x x -<<C ．{}10x x -≤<D ．{}3x x <-【答案】C3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ） A ．4034 B ．2017 C ．1008 D ．1010【答案】B4．设3log 2a =，ln 2b =，125c -=，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（ ） A ．140种 B ．70种C ．35种D ．84种【答案】B6．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且1=a ，12=b ，则2-=a b （ ） A ．1 BC ．2D ．32【答案】A7．如图给出的是计算1111352017++++的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）A ．1008?i >B ．1009?i ≤C ．1010?i ≤D ．1011?i <【答案】B8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为（）A ．B ．4C ．6D ．【答案】C9．若实数x ，y 满足不等式组1010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数24x y z x -+=-的最大值是（ ）A ．1B ．14-C ．54-D ．54【答案】B此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．已知()ππs i n 2019c o s 201963f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．π2019B ．4π2019C ．2π2019D ．π4038【答案】C11．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】B12．在正方体1111ABCD A B C D -1A DB 与面11A DC 的重心分别为E 、F ，求正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为（ ）ABCD【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上． 13．若a ，b 为正实数，且1a b +=，则122a b+的最小值为________． 【答案】9214．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________． 【答案】21nn + 15．已知AB 为圆22:1O x y +=的直径，点P 为椭圆22143x y +=上一动点，则PA PB ⋅的最小值为_______． 【答案】216．已知ABC △的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC △的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为____________． 【答案】(]12,24三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．由已知得235111248201091010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪⎨⨯+=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以数列{}n a 的通项公式为()12121n a n n +-=-=．（2）()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n nT n nn n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 18．（12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=， ()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB∠=︒，2AD =，1AM =，E 是AB 中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为π6？若存在，求出AP 的长h ； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，h =． 【解析】（1）证明：设CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以AN EF ∥．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ， 所以AN ∥平面MEC ．（2）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 中点，可得DE AB ⊥． 又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ， DN ⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，)E，()0,2,0C ，)1,Ph -，()3,2,0CE =-，()0,1,EP h =-，设平面PEC 的法向量为()1,,x y z =n ，则110CE EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，200y y hz -=-+=⎪⎩，令y ，(12h =n ，又平面ECD 的法向量()20,0,1=n，121212cos ,⋅〈〉===n n n n n n ，解得1h =≤， 在线段AM 上存在点P，当h =时使二面角P EC D --的大小为π6． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若60AMN ∠=︒，求点M 的坐标．【答案】（1）椭圆22162:x C y +=；（2）M ⎫⎪⎪⎝⎭． 【解析】（1）因为椭圆C 的短轴长为所以2222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩C 的方程为22162x y +=．（2）因为A 为椭圆C的上顶点，所以(A ． 设()(),00M m m >，则AM k =AM AN ⊥，所以AN k = 所以直线AN的方程为y x由22162y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 整理得()2223120m x mx ++=，所以21232N m x m -=+，所以21232N A mAN x m =-+， 在直角AMN △中，由60AMN ∠=︒，得AN =，21232mm =+m =，所以点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭． 21．（12分）已知函数()2ln f x ax bx x x =++在()()1,1f 处的切线方程为320x y --=． （1）求实数a ，b 的值；（2）设()2g x x x =-，若k ∈Z ，且()()()2k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值． 【答案】（1）1a =，0b =；（2）4． 【解析】（1）()21ln f x ax b x '=+++， 所以213a b ++=且1a b +=，解得1a =，0b =． （2）由（1）与题意知()()ln 22f xg x x x xk x x -+<=--对任意的2x >恒成立，设()()ln 22x x xh x x x +=>-，则()()242ln 2x x h x x --'=-，令()()42ln 2m x x x x =-->， 则()2210x m x x x-'=-=>，所以函数()m x 为()2,+∞上的增函数． 因为()2842ln842lne 440m =-<-=-=，()31062ln1062lne 660m =->-=-=， 所以函数()m x 在()8,10上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立， 所以0042ln 0x x --=，故当02x x <<时，()0m x <，即()0h x '<；当0x x <时，()0m x >，即()0h x '>，所以函数()h x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000000min 0041ln 2222x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，所以02x k <，因为()08,10x ∈， 所以()04,52x ∈，又因k ∈Z 所以k 最大值为4．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AB ．【答案】（1）直线l 极坐标：()π3θρ=∈R ；（2）AB = 【解析】（1）消去参数得直线l的直角坐标方程：y =，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()πsin cos 3ρθθθρ=⇒=∈R 也可以是：π3θ=或()4π03θρ=≥．（2）2222cos sin 2sin 30π3ρθρθρθθ⎧+--=⎪⎨=⎪⎩得230ρ-=， 设1π,3A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,3B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12AB ρρ=-==（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =-+． （1）解不等式()20f x x -+>；（2）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-在R 上的解集为R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}313x x x -<<>或；（2）1a ≤-或3a ≥． 【解析】（1）不等式()20f x x -+>可化为21x x x -+>+，当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-； 当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<； 当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()20f x x -+>的解集为{}313x x x -<<>或． （2）由不等式()22f x a a ≤-可得232x x a a -+≤-，()333x x x x -+≤-+=，223a a -≥，即2230a a --≥， 解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥．【江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中2019届高三上学期第一次联考（理数）试题用稿】。