北师大版高中数学必修四阶段性检测卷(一)

函数) 三角阶段质量检测(一)120分时间：90分钟满分：(分．在每小题所给的四个选项中，只有分，共50(本大题共10小题，每小题5一、选择题)一项是符合题目要求的．π)( 1．下列各角中与－终边相同的是3ππ25 B. A．－33ππ54 C.D.33) ．cos 330°＝( 211 ．－A. B2233．－C. D 22ααα????cos＝－cos，则终边所在的象限是3．设α是第三象限角，且( )??222A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限πππ????xfx，0上是增加的，在区间[>0)在区间，4．若函数](上是减小的，)＝sin ωω(??323则ω＝( )A．3 B．232C. D. 32π??x??y－的一个单调递减区间为3sin( 5．函数)＝??4πππ3π????????，－，－ B.A.????44223π7π3ππ????????，，－ C. D.????4444x＋φfx)＝若函数(sin 全国高考6＝π2]是偶函数，则φ( )．()，∈，φ[03π2π B. A.233π5π D.C. 32．xππ????xy－)(0≤＝2sin≤9)的最大值与最小值之和为( 7．(山东高考)函数??630 3 B．A．2－3－．－C．－1 D1xx) ( (－∞，＋∞8．方程|)|＝cos 内在 B．有且仅有一个根A．没有根D．有无穷多个根C．有且仅有两个根)( 9．已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是π??x??y＋ A．sin＝??6π??x??y－2 ＝sinB．??6π??x??y－4 ＝C．cos??3π??x??y－2 ＝D．cos??6π4????xy0，) φ＋)的图像关于点 |φ|的最小值为( 10．如果函数中心对称，＝3cos(2那么??3ππ A. B.46ππ D.C.23) 分．把答案填在题中横线上分，共4小题，每小题520二、填空题(本大题共2 4 cm，则扇形的圆心角的弧度数是________．11．设扇形的半径长为4 cm，面积为yxp终边上一点，的顶点为坐标原点，始边为θ)轴的正半轴，若是角(4，θ12．已知角52y＝________且sin θ＝－，则．5πffAAfxxω，则正数β|的最小值为α(β)＝0，|13．已知(＝)，sin(ω＋φ))(α＝－， 3 ＝________．π????x????y＋2 ．的定义域是2sinlog________＋2．函数14＝1????42分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步504(三、解答题本大题共小题，共)骤．15．(本小题满分12分)已知π3π????????αα－＋tan（πcos－sinα）????22f(α)＝.）α（－π－（－α－π）sintan f(α)； (1)化简3π1????f－α(α)的值．＝(2)若sin，求??25π??x??xf＋2.)＝)已知函数(2sin．16(本小题满分12分??3π????fxx，0)的值域；(∈ (1)当时，求??2π5π????xyf，－闭区间上的简图； (2)用五点法作出)＝(在??66fxyx的图像经过怎样的变化得到？说明(3)＝(sin )的图像可由fxAx＋φ)ω的图像如图，试依图指出：＝)1217. (本小题满分分函数()sin(fx的最小正周期；)((1)．fx)的单调递增区间和递减区间；((2)(3)图像的对称轴方程与对称中心．ππ????xxf>0，ω0<φ<. ，＋φ－18．(本小题满分14分)已知函数())＝2sin(ω??26πyfxy＝点，求函数(0，(1))图像的两相邻对称轴间的距离为(1)若函数，且它的图像过＝2fx)的表达式；(πyfx)的图像向右平移＝个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸(中的函数(2)将(1)6ygxygx)的单调递增区间；(()的图像，求函数倍，纵坐标不变，得到函数长到原来的4＝＝1??aa??axfx＋，∈R)上至少出现一个最高点或最低点，(的图像在(3)若()∈求正整数ω的??100最小值．答案π5π5ππ－＝，∴－与角的终边相同．21．解析：选D ∵π3333) ＝cos(－30°2．解析：选C cos 330°＝cos(360°－30°)3. °＝＝cos 302 是第三象限角，．解析：选B ∵α3π3kkk，，∈π＜α＜2Zπ＋∴2＋π2ππα3kkk∈Zπ＋＜＜，π＋∴，422α是第二象限或第四象限角．∴2αα＝－cos，又∵|cos|22α＜0，∴cos2α∴是第二象限角．23πωπx.ω＝1，所以1＝sin4．解析：选C 由题意知，函数在，＝处取得最大值233ππ????xx????y－－项中的区间是单B＝－B 5．解析：选3sin＝3sin，检验各选项知，只有????44 调递减区间．ffx为偶函数，则(0)C 若(＝±1，)．解析：选6πφφkk．∈Z(sin 即＝±1，∴＝π＋)233π3kk项符合．Z∈)．只有3∴φ＝(π＋C2xππππ7x≤，－≤≤当7．解析：选A 0≤9时，－6363xππ3????－－1sin≤，≤??6322－3，其和为3.所以函数的最大值为2，最小值为－yxyx，在同一个坐标系内画出它们的图像，如cos |C 8．解析：选构造两个函数＝|和＝图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．π???T＋.＝×D 由图像知π＝49. 解析：选??612C.、，排除选项A∴ω＝2π????1，，∵图像过代入选项B??12πππ????????f－2×错误．1，故∴B＝0＝sin≠????61212π4π4xyφ2×＋的图像关于点(，0)10．解析：选A ∵函数中心对称，∴＝3cos(2φ＋)33πkk )＋(．∈Z＝π2π13πkk.|＝)，由此易得φ＝|π＋(φ∈Z min66S1122rS.＝，得α11．解析：由＝＝α2r221 答案：2．解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第12y<0，四象限角，故y52y8. ＝＝－得＝－θ由sin 52y＋168答案：－πfxxAfAf，知周(ββ－|的最小值为＝)，|0)＝，αα)ω．解析：由13()＝sin(＋φ，(33π4π2T.＝，＝期＝ω2ω33 答案： 2 ．解析：14要使函数有意义，必须有．π??x??＋2 ＋2sin2>0，??4π2??x??＋2. －即sin>??422πzxz.＋，则sin 设－＝2>24ππ5kzkk)(，2∈π<Z<＋2π由图知，－＋44ππ5πkxkk，(∈<2Z＋<＋2)＋即－2ππ444ππkkkx．∈π<Z<＋)π解得－＋(24ππkkk))(＋Zπ，＋∈π答案：(－24）αα（－tan －cos αsin .＝－cos α原式＝15．解：(1)ααsin －tan3π????πα－ cos α，∵(2)sinsin(＋α)＝＝??2211f.).故＝－(α∴cos α＝55πππ4π????xx，0 ＋(1)∵≤∈，，∴≤216．解：??2333π3??x??＋2 ，≤－≤sin1??32[－3，∴所求值域为2]．(2)①列表：)如图(②画图πyx的图像先向左平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到＝sin (3)法一：可由31原来的，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．21πyx的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的，再将图像向左平移＝sin 法二：可由26个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．7ππ????xf－.．解：(1)由图像知(π)的最小正周期为2＝317??443ππ3π5πfx)的单调递增区由图像可知，半(2)∵个周期是间(是，－＝－，24245πππ7π????kkkk????kxkfππ，＋＋π，＋33π－3＋3 )(()的单调递减区间是．∈(Z∈)，Z ????4444kkπ3πππ3????kfxxk＋0－，，对称中心是∈()． (3)Z())的图像的对称轴方程是＝(＋∈Z??22242ππ18．解：(1)由题意得＝2×，所以ω＝2，ω2π??x??xf－＋2φ.)所以＝(2sin??6yfx)的图像过点(0，又因为1)＝(，π1????－φ＝∴sin.??62ππ又∵0<φ<，∴φ＝，23π??x??xf＋2.)＝∴(2sin??6πxf个单位长度后，的图像向右平移( )将(2)6π??x??y－2的图像，2sin得到＝??6 倍，纵坐标不变，4再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的．1π??x??y－的图像．得到＝2sin??261π??x??xg－. )(＝即2sin??26π1ππkxkπ＋，－≤2令2－π≤22622π4πkxkk∈Z)，≤4＋π，则4π－≤(332π4π??kk??kgx＋ππ－，44∈Z)(．∴(的单调递增区间为)??331π??aa??faxx＋，上至少出现一个最高点或最低点，则<，∈()∈R若(3)()的图像在??100ω315. ＝ωωπω即>100，又为正整数，∴min。

章末检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390°B ．420°C ．450°D ．480° 答案 B2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，由tan α<0，得α在其次、四象限， 由cos α<0，得α在其次、三象限 ∴α的终边在其次象限． 3．函数y ＝tan x2是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 答案 A4．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，两边平方，得sin θcos θ＝a 2－12<0，故－π2<θ<0且cos θ>－sin θ，∴|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－π4<θ<0，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13.5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )答案 D解析 若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0， ∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．6．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图像( ) A ．与g (x )的图像相同 B ．与g (x )的图像关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图像D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图像答案 D解析 由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故将其图像向右平移π2个单位，得y ＝g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图像． 7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4 答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， 即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以选B.8．函数f (x )＝－cos x ln x 2的部分图像大致是下列选项中的( )答案 A解析 函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－cos(－x )ln(－x )2＝－cos x ln x 2＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，排解选项C 和D ；当x ∈(0,1)时，cos x >0,0<x 2<1，则ln x 2<0，于是f (x )>0，此时函数f (x )的图像位于x 轴的上方，排解选项B. 9．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]． 10．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 D解析 ∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7.2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α. ∴a ＝sin2π7>cos 2π7＝b . 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan2π7>sin 2π7＝a . ∴c >a .∴c >a >b .11．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2 C.3 D ．2答案 C解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ， 所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3.12．若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2答案 A解析 ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，∴角α2在其次象限或第四象限．当α2在其次象限时，y ＝sin α2sin α2－cos α2cos α2＝0， 当α2在第四象限时，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cos α2＝0， 综上，y ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 答案 6π＋40解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴弧长l ＝|α|·r ＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm.14．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是________．答案310解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.15．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如图所示，则f (7π12)＝________.答案 0解析 方法一 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式得sin(3π4＋φ)＝0. ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－3π4，k ∈Z . ∴f (7π12)＝2sin(7π4＋k π－3π4)＝0.方法二 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦函数图像性质可知，f (x 0)＝－f (x 0＋T2)，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝－f (π4)＝0.16．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ；③在同始终角坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图像；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数． 其中，正确的说法是________． 答案 ①④解析 对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，由于k ＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图像，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错． 三、解答题(本大题共5小题，共70分)17．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在其次象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3·sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3) ＝cos π3·⎝⎛⎭⎫－sin π3＝12·⎝⎛⎭⎫－32＝－34. 19.函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)由于x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和． 解 (1)观看图像，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的状况，相当于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数状况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图像．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2； 当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.。

【三维设计】高中数学 第1部分 第一章 阶段质量检测 北师大版必修4(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos 210°的值为( ) A.32B ．－32C.12D ．－12解析：∵cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. 答案：B2．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)上是减少的，则( )A ．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0 C ．ω≥1 D．ω≤－1解析：法一：因为函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减少的，所以ω<0且最小正周期T ≥π，即π|ω|≥π⇒0＜|ω|≤1.综上，－1≤ω＜0.法二：分别在各选项给出的区间上取特殊值来进行验证．如取ω＝1时，不符合题意，排除A ，C ；取ω＝－2时，π4∈(－π2，π2)，此时，ωx ＝－π2，但－π2的正切值不存在，不符合题意，所以排除D.答案：B3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：∵角θ的终边过点(4，－3)，∴cos θ＝45.∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.4．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 2解析：由l ＝αR ，得2＝2×R ，R ＝1，S ＝12lR ＝12×2×1＝1(cm 2)．答案：D5．已知函数f (x )＝cos (x 2－π2)(x ∈R)，下面结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0,2π]上是增函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：由题知f (x )＝cos(π2－x 2)＝sin x2，从而易知只有D 正确．答案：D6．将函数y ＝sin x 的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，则φ等于( )A.π6 B.11π6 C.7π6D.5π6解析：依题意得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋11π6，将y ＝sin x 的图像向左平移11π6个单位后得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6的图像，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图像． 答案：B7．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 解析：∵T ＝π，∴ω＝2，排除C 、D. 又∵函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，排除B.8．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：据已知可得：T ＝4×(3－1)＝2πω⇒ω＝π4，f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1⇒π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ<2π，故φ＝π4.答案：C9．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一条对称轴为( )A ．x ＝π9B ．x ＝π8[C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：由已知可得平移后的函数解析式为f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，根据对称轴的意义分别将各选项代入验证，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos 0＝1，故x ＝π2是函数图像的一条对称轴．答案：C10．某市某房地产介绍所对本市一楼群的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (单位：元/m 2)与第x 季度之间近似满足关系式：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度的平均单价如下表所示：x 一 二 y10 0009 500则此楼群在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元B ．9 500元C ．9 000元D ．8 500元解析：把x ＝1，y ＝10 000，及x ＝2，y ＝9 500分别代入y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，得sin(ω＋φ)＝1，sin(2ω＋φ)＝0，∴ω＋φ＝2k π＋π2，2ω＋φ＝k π，k ∈Z ，易得3ω＋φ＝2(2ω＋φ)－(ω＋φ)，sin(3ω＋φ)＝－1，则y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500＝9 000.故此楼群在第三季度的平均单价大约是9 000元．答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π3＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π3＝tan π3＝ 3.答案： 312．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 解析：由已知得tan α<0，cos α<0，则α是第二象限角． 答案：二13．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 和y ＝12x 的图像的交点个数为________．解析：在同一坐标系中，画出函数y ＝sin x 和y ＝12x 的图像如图，可得有三个交点．答案：314．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z； ③把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图像；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数． 其中，正确的说法是________．解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故③对；对于④，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故④错．答案：①③三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P (1，3)． (1)求sin(π－α)－sin(π2＋α)的值；(2)写出满足2cos x －tan α>0的角x 的集合S . 解：(1)∵角α的终边过点P (1，3)， 可设x ＝1，y ＝3，则r ＝2， ∴sin α＝32，cos α＝12. ∴sin(π－α)－si n(π2＋α)＝sin α－cos α＝3－12.(2)由2cos x －tan α>0及tan α＝3，得cos x >32， 由y ＝cos x 的图像可得x 的集合为S ＝{x |－π6＋2k π<x <π6＋2k π，k ∈Z}．16．(本小题满分12分)计算3sin －1200°tan 113π－cos 585°·tan (－374π)．解：原式＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4 ＝3·323＋(－22)×1＝32－22. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求函数f (x )的周期；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )最大时x 的集合；(3)在平面直角坐标系中画出函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图像．解：(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)由2x －π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，得x ＝3π8＋k π(k ∈Z)，此时sin(2x －π4)＝1，∴f (x )的最大值为2＋1，相应x 的集合为{x |x ＝3π8＋k π，k ∈Z}．(3)列表.x －π2－3π8 －π8 π8 3π8 π2 y2 11－211＋22故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图像如图所示．18．(本小题满分14分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤π2)在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间． 解：(1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，∴T ＝10π，∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin(15x ＋φ)，∵点(π，3)在此函数图像上， ∴3sin(π5＋φ)＝3，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π2－π5＝3π10.∴y ＝3sin(15x ＋3π10)．(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π时，函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10单调递增．所以此函数的单调递增区间为 [－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z)．。

北师大版数学精品教学资料阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．(2014·山东济南一中高一月考)下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)， －1 110°＝－3×360°＋(－30)°， 故680°角与－750°角终边不同.2．(2014·山东德州高一期末测试)sin(－116π)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32 [答案] B[解析] sin(－11π6)＝－sin 11π6＝－sin(2π－π6)＝sin π6＝12.3．(2014·浙江嘉兴一中高一月考)下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)[答案] D[解析] tan 13π4＝tan(3π＋π4)＝tan π4＝1，tan 13π5＝tan(2π＋3π5)＝tan 3π5<0，∴tan 13π4>tan 13π5，排除A ；cos(－π7)＝cos π7，∵π5＋π7<π2，∴π5<π2－π7， ∴sin π5<sin(π2－π7)＝cos π7，排除B ；sin(π－1)＝sin1>sin1°，排除C ；cos 7π5＝cos(π＋2π5)＝－cos 2π5<0，cos(－2π5)＝cos 2π5>0，故选D.4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D. 5．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D.6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2[答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限． 当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.7．(2014·河南洛阳市八中高一月考)为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝k π＋π2.(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为π6.9．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)函数y ＝cos(x －π2)在下面某个区间上是减函数，这个区间为( )A ．[0，π]B ．[－π2，π2]C ．[π2，π]D ．[0，π4][答案] C[解析] y ＝cos(x －π2)＝cos(π2－x )＝sin x ，故选C.10．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12[答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2014·江西九江外国语高一月考)点P (－1,2)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________. [答案] －10[解析] 由三角函数的定义知，sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，∴tan α＝－2.∴tan αcos 2α＝－215＝－10. 14．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 15．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间． 故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m 4)2－2×2m ＋18＝1，整理得 9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根，∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去． 故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求函数f (x )的解析式．[解析] 由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。

本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.2．(2015·山东理，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[答案] B[解析] 因为y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]所以要得到y ＝sin[4(x －π12)]的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位．故选B ．3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． 设点D 的坐标为(x ，y )， BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x 3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A ．4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13[答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C ．6．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin x 的图像( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] C[解析] y ＝cos(x ＋π3)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝sin(x ＋5π6)，则只需将函数y ＝sin x 的图像向左平移5π6个长度单位即得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像． 7．已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] A[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由半角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ．8．(2015·四川理，4)下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x [答案] A[解析] 对于选项A ，因为y ＝－sin 2x ，T ＝2π2＝π，且图像关于原点对称，故选A ．9．(2015·陕西理，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b | B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 [答案] B[解析] A 项，|a·b|＝|||a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，因为cos α≤1，所以|a·b|＝|||a||b|cos α≤|a||b|，故A 项不符合题意；B 项，两边平方得a 2＋b 2－2a·b ≤a 2＋b 2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b ＝|a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，当α不为0时，此式不成立，应该为|a||b|≥a·b ，故B 项符合题意；C 项，由向量的运算性质可知，(a ＋b )2＝|a ＋b |2恒成立，故C 项不符合题意；D 项，由向量的数量积运算可知，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立，故D 项不符合题意．故本题正确答案为B ．10．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z .11．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB → B ．|BC →|2＝BA →·BC → C ．|AB →|2＝AC →·CD →D ．|CD →|2＝(AC →·AB →)·(BA →·BC →)|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →)＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2， ∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC →|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C ．12．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． [答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12. 14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝______. [答案] 2[解析] ∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝12，|b |2＝1，∵b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b ＝12t ＋(1－t )＝1－12t ＝0，∴t ＝2.15.右图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝2sin(x ＋π6)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．16．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x )＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·北京理，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．[解析] (1)f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2＝2·12sin x －2·1－cos x 2＝22sin x ＋22cos x －22＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22. f (x )的最小正周期为T ＝2π1＝2π；(2)∵－π≤x ≤0，∴－3π4≤x ＋π4≤π4，当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值为：－1－22.18．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN →＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN→－MN →.[解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM→＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12B ．同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34B ．将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.20．(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．[解析] (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， |BC →|＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC →|＝|BC →|，得sin α＝cos α. 又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1. ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin α(sin α＋cos α)1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2.所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12＝3＋158. 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？ (3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x ) ＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2， 即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。

北师大版数学精品教学资料阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．(2014·山东济南一中高一月考)下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)， －1 110°＝－3×360°＋(－30)°， 故680°角与－750°角终边不同.2．(2014·山东德州高一期末测试)sin(－116π)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32 [答案] B[解析] sin(－11π6)＝－sin 11π6＝－sin(2π－π6)＝sin π6＝12.3．(2014·浙江嘉兴一中高一月考)下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)[答案] D[解析] tan 13π4＝tan(3π＋π4)＝tan π4＝1，tan 13π5＝tan(2π＋3π5)＝tan 3π5<0，∴tan 13π4>tan 13π5，排除A ；cos(－π7)＝cos π7，∵π5＋π7<π2，∴π5<π2－π7， ∴sin π5<sin(π2－π7)＝cos π7，排除B ；sin(π－1)＝sin1>sin1°，排除C ；cos 7π5＝cos(π＋2π5)＝－cos 2π5<0，cos(－2π5)＝cos 2π5>0，故选D.4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D. 5．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D.6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2[答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限． 当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.7．(2014·河南洛阳市八中高一月考)为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝k π＋π2.(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为π6.9．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)函数y ＝cos(x －π2)在下面某个区间上是减函数，这个区间为( )A ．[0，π]B ．[－π2，π2]C ．[π2，π]D ．[0，π4][答案] C[解析] y ＝cos(x －π2)＝cos(π2－x )＝sin x ，故选C.10．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12[答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2014·江西九江外国语高一月考)点P (－1,2)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________. [答案] －10[解析] 由三角函数的定义知，sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，∴tan α＝－2.∴tan αcos 2α＝－215＝－10. 14．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 15．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间． 故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m 4)2－2×2m ＋18＝1，整理得 9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根，∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去． 故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求函数f (x )的解析式．[解析] 由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。

阶段性检测时间：90分钟分值：100分答案：C8．已知点(tan 5π4，sin(－π6))是角θ终边上一点，则tan θ等于A ．2 B ．－32144＜tan θ，tan θ， sin θ，(由三角函数线可知)，＋π或2k π＋3π2＜θ小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．α－cos α＋2cos α＝________.－cos α＋2cos α＝14.的递增区间是________．∈Z )＋π2，得k π2－5π12＜x 在(π4，7π6]上的值域是解析：f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54.∵π4＜x ≤7π6，∴－12≤sin x ≤1，则当sin x ＝12时，f (x )max ＝54；当sin x ＝－12时，f (x )max ＝14.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945° ＝－sin120°·cos210°＋cos60°·sin30°＋tan225°＝(－32)2＋12×12＋1＝2.15．已知函数f (x )＝2cos(π3－x2)．(1)求f (x )的最小正周期T ； (2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由已知f (x )＝2cos(π3－x 2)＝2cos(x 2－π3)，则T ＝2πω＝4π.(2)当2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z ), 即4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，∴函数f (x )的单调递增区间为{x |4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )}．16．已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1，(a ∈R )．(1)若x ∈[0，π2]时，f (x )最大值为4，求a 的值；(2)在(1)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的集合．解：(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴f (x )在[0，π2]上的最大值为a ＋3，所以a ＝1.(2)f (x )＝1，∴sin(2x ＋π6)＝－12，即2x ＋π6＝2k π－π6或2x ＋π6＝2k π－5π6，此时x ＝k π－π6或x ＝k π－π2，又因为x ∈[－π，π]，所以x ∈{－π2，－π6，π2，5π6}．。

阶段质量检测(一) 三角函数
(时间：分钟满分：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
．下列各角中与－终边相同的是( )
．－
．°＝( )
．－
．－
．设α是第三象限角，且＝－，则终边所在的象限是( )
．第一象限．第二象限
．第三象限．第四象限
．若函数()＝ω(ω>)在区间上是增加的，在区间[，]上是减小的，则ω＝( )
．．
．函数＝的一个单调递减区间为( )
．(全国高考)若函数()＝，φ∈[，π]是偶函数，则φ＝( )
．(山东高考)函数＝(≤≤)的最大值与最小值之和为( )
．－．
．－．－－
．方程＝在(－∞，＋∞)内( )
．没有根．有且仅有一个根
．有且仅有两个根．有无穷多个根
．已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )
．＝
．＝
．＝
．＝
．如果函数＝(＋φ)的图像关于点中心对称，那么φ的最小值为( )
二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上)
．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是．
．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若(，)是角θ终边上一点，且θ＝－，则＝．
．已知()＝(ω＋φ)，(α)＝，(β)＝，α－β的最小值为，则正数ω＝．
．函数＝的定义域是．
三、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
．(本小题满分分)已知
(α)＝.
()化简(α)；
()若＝，求(α)的值．
．(本小题满分分)已知函数()＝.
()当∈时，求()的值域；。

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x＝()A．9B．6C．5 D．3解析：∵a∥b，∴4×3－2x＝0，解得x＝6.答案：B2．下列说法正确的是()A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝cC．AB＝OA－OBD．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b解析：A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为AB＝OB－OA，故C错；D中，因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．答案：D3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．1 B. 2C．2 D．4解析：因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±3.所以a＝(1，±3)．所以|a|＝1＋(±3)2＝2.答案：C4．下列等式恒成立的是()A．AB＋BA＝0B．AB－AC＝BCC．(a·b)c＝a(b·c)D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c解析：AB＋BA＝0，AB－AC＝CB，故选项A、B不正确；由平面向量数量积的运算性质知C不正确，D正确．答案：D5．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－143，－3； ④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ 解析：AB ＝⎝⎛⎭⎫－7，－92， ∵⎝⎛⎭⎫143，3＝－23⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－23AB ， ⎝⎛⎭⎫7，92＝－⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－AB ，⎝⎛⎭⎫－143，－3＝23AB ，∴与直线AB 平行的向量是①②③. 答案：C6．在△ABC 中，AB ＝c ， AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：依题意有CD ＝13CB ＝13(AB －AC )＝13(c －b )．∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋13(c －b )＝23b ＋13c .答案：A7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则向量a 在b 方向上的射影为( ) A.25 B.255 C ．－255 D ．－25解析：射影为|a |cos θ＝5×a·b |a ||b |＝5×－255＝－25. 答案：D8．已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝ (2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标为( ) A ．(5,4) B ．(4,5)C ．(－5，－4)D ．(5，－4) 解析：由AB ＝λa ，λ>0知AB ＝(2λ，3λ)．又由|AB |＝213，得λ＝2，所以点B 的坐标为(5,4)． 答案：A9．已知向量OB ＝(2,0)， OC ＝(2,2)， CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为( ) A.π4 B.5π12 C.π3 D.π12解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2， OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ， OB 〉＝OA ·OB |OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ， OB 〉≤π，∴〈OA ， OB 〉＝π4.答案：A10．设向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a·b ＝0，|a |＝3，|c |＝4，则|b |＝( ) A ．5 B.7 C. 5 D ．7解析：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－(a ＋b )，又∵a·b ＝0， ∴c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2， ∴|b |2＝|c |2－|a |2＝42－32＝7， 即|b |＝7. 答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－4,4)，c ＝(－3，－6)，且c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则x ＋y ＋xy ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，2x ＋4y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0，所以x ＋y ＋xy ＝－3. 答案：－312．已知向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：∵a ·(b －a )＝2，|a |＝1， ∴a·b ＝3.又|b |＝6，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝12，∴夹角为π3.答案：π313．已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a·c ＝0，且|a |＝|c |，b·c >0，则c 为________． 解析：设c ＝(x ，y )． 由a·c ＝0，得x ＋y ＝0.① 再由|a |＝|c |，得x 2＋y 2＝2.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.又∵b·c >0，∴x >0，∴c ＝(1，－1)． 答案：(1，－1)14．在△ABC 中，已知|AB |＝|AC |＝2，且AB ·AC ＝2，则这个三角形的形状为____________．解析：∵AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝4cos A ＝2， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.又由题意，得AB ＝AC ， ∴该三角形为等边三角形． 答案：等边三角形三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15． (本小题满分12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的射影的数量为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b . 解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3.16．(本小题满分12分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． (1)若AB ·AC ＝0，求c 的值； (2)若c ＝5，求cos A 的值．解：(1) AB ＝(－3，－4)， AC ＝(c －3，－4)． 由AB ·AC ＝0，可得 －3(c －3)＋16＝25－3c ＝0， 所以c ＝253.(2)∵AB ＝(－3，－4)，AC ＝(c －3，－4)＝(2，－4)，∴cos A ＝AB ·AC |AB ||AC |＝－6＋16520＝55.17．(本小题满分12分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1)∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)， ∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋3b ＝(7,3)． ∵(ka －b )∥(a ＋3b )， ∴7×(－1)＝(k －2)×3.解得k ＝－13，∴ka －b ＝－13(a ＋3b )，两向量反向．18．(本小题满分14分)已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值． 解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ＝(1,1)， AD ＝(－3,3)． 又∵AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB ⊥AD ，即AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝DC .设C 点坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)． 从而AC ＝(－2,4)， BD ＝(－4,2)，且|AC |＝25， |BD |＝25， AC ·BD ＝8＋8＝16， 设AC 与BD 的夹角为θ，则cos θ＝AC ·BD |AC ||BD |＝1620＝45.∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.。

阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝12×4×1＝2.4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A ；若sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z )，排除B ；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C ，故选D.5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23B ．43C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →， ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.6．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →等于( )A ．0B ．4MD →C ．4MF →D ．4ME →[答案] C [解析] 如图，由已知得，MA →＋MB →＝2MF →，又∵M 为△ABC 的重心， ∴|MC |＝2|MF |，∴－MC →＝CM →＝2MF →， ∴MA →＋MB →－MC →＝4MF →.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )A ．32B ．－32 C ．12D ．－12[答案] C[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π[答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零 点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3.10．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫π3，0 C ．⎝⎛⎭⎫5π18，0 D ．⎝⎛⎭⎫π2，0[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3， 令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.11．已知向量OA →＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于( ) A ．(－37，27)B ．(－27，421)C ．(37，－27)D ．(27，－421)[答案] D[解析] 设OC →＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x －4，y －6)．∵OC →⊥OA →，AC →∥OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝0x －43＝y －65，解得⎩⎨⎧x ＝27y ＝－421.∴OC →＝(27，－421)．12．△ABC 为等边三角形，且边长为2，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．6 B ．3 C ．15 D ．12[答案] A [解析] 如图，∵BM →＝2AM →，∴AB ＝AM ＝2， 又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，即∠CAM ＝120°.又AM ＝AC ，∴∠AMC ＝∠ACM ＝30°，∴∠BCM ＝90°. ∴CM ＝BM 2－BC 2＝16－4＝2 3. ∴CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos30°＝23×2×32＝6.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝34时满足方程2x 2－x －m ＝0有两根．14．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a ＋b 同向的单位向量为(31010，1010)．(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·(b －3a )|a |·|b －3a |＝(1，0)·(－2，1)5＝－255.15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m ⊥b 知m ·b ＝0，即2x －y ＝0①，又由m 为单位向量，所以|m |＝1，即x 2＋y 2＝1 ②，由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝55y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14)，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)已知|a |＝2，|b |＝3，(a －2b )·(2a ＋b )＝－1，求a 与b 的夹角． [解析] (1)AB →＝(2,3)，AC →＝(8,12)， ∴AC →＝4AB →， ∴AC →与AB →共线． 又∵AC →与AB →有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ，则(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2×4－3×2×3×cos θ－2×9＝－10－18cos θ＝－1，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p 、q ，如果存在不为零的常数α、β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．向量a 、b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210. (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ， 则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称， 令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。