初中数学三元一次方程组

10.3 三元一次方程组学案学习目标：1.了解三元一次方程组的概念，会识别三元一次方程组，会利用代入法和加减法解简单的三元一次方程组；2.进一步体会“消元”和“转化”思想在解三元一次方程组是的作用，能够选择简单、特殊的方法解特殊的三元一次方程组。

3.理解通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路，感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度小的问题的化归思想。

重点：会解简单的三元一次方程组。

难点：会根据方程组中未知数的系数的特点，选择代入消元法或加减消元法解简单的三元一次方程组。

教法：启发引导式、讨论式及讲解结合的教学方法。

学法：在教学中组织学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方式进行学习。

具体教学过程设计如下：课前预习温故知新：1.解二元一次方程组的方法有哪几种？他们的实质是什么？2.分别用上面的方法解方程组:2x+2, 3210;yx y=⎧⎨-=⎩（设计意图）：通过温故知新，复习二元一次方程组内容，为三元一次方程组作引子）。

课内助学情景导入：小丽家爸爸、妈妈、小丽三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，爸爸与妈妈年龄之和是小丽的年龄的7倍。

试问这家人的年龄分别是多少岁？请问：问题1 题目中哪些是已知量？哪些是未知量？问题2 设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为岁. 问题3 请根据题目中的等量关系列出二元一次方程组求解：问题4 如果设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y 岁，小丽的年龄为z 岁.由题意可以得到怎样的方程呢？请试着列出来.（设计意图）：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题）教学新知：1.上述问题4中方程组与二元一次方程组有什么区别与联系？三元一次方程组的概念：。

2.上述问题3中我们用的什么方法解得二元一次方程组？三元一次方程组可不可以也用这种方法？3.联系问题2、3解刚刚得到的方程组：x+806+y7y zx yx z+=⎧⎪-=⎨⎪=⎩总结：解三元一次方程组的基本思路是：，即：。

初中数学：解三元一次方程组的几种常见消元方法
解三元一次方程组的基本思路是消元，即化“三元”为“二元”，将其转化为二元一次方程组求解．
１、若三元一次方程组中的某个方程缺一个元，可将另外两个方程合并以消去这个元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
分析：由于方程②中缺少未知数，所以先将方程①和方程③合并成一个方程并消去．
解析：①×２＋③，得．④
②×８＋④，得，即．
把代入④，化简得．
把代入①，得．
２、若三个方程中均有三个元，但三个方程中至少有两个方程同一个未知数的系数的绝对值相等（或成整数倍关系），可先消去这个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
分析：由于方程①与方程③中的系数都与方程②中的系数成整数倍关系，所以可先消去．
解析：①＋②×２，得．④
②×３－③，得，即．⑤
由④⑤可解得．代入方程组中任一方程可得．
３、若均非上述两种情况，可先消去系数比较简单的那个元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
分析：显然三个元中的系数的绝对值的最小公倍数最小，应先消去未知数．
解析：①×３－②×２，得．④
①×５－③×２，得．⑤
由④⑤可解得．代入方程组中任一方程可得．
４、对于一些特殊的三元一次方程组，可根据其特殊结构，灵活处理．
分析：这里的三个方程分别缺少一个元，若将它们整体相加后再分别减去每个方程，则可直接得出方程组的解．
解析：①＋②＋③，得．
化简得．④
用④分别减去①②③，得．。

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】三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩ B ．111216y x z yx z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【答案与解析】解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④； ③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大. 【：三元一次方程组 409145 例1】举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311x y +=④①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x zy zx y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y zt ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解． 举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．4【答案】B ．解：，①+②+③得：x+y+z=1④， 把①代入④得：z=﹣4， 把②代入④得：y=2， 把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0， 解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

初中数学什么是三元一次方程组三元一次方程组是由三个未知数的一次项和常数项组成的方程组。

它的一般形式可以表示为：ax + by + cz = dex + fy + gz = hix + jy + kz = l其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l 都是已知的实数，且a、e 和i 不同时为零。

解三元一次方程组的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法来计算三元一次方程组的解。

1. 消元法：消元法是一种通过变换方程组，使得方程组中的一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数的方法。

具体步骤如下：- 通过变换方程组，使得三个方程中的一个未知数的系数相等或成比例。

- 用一个方程的两倍减去另一个方程，消去这个未知数，得到一个含有两个未知数的方程。

- 重复以上步骤，再次消去另一个未知数，得到一个只含有一个未知数的方程。

- 解这个只含有一个未知数的方程，求得一个解，记作(x, y, z)。

- 将求得的解代入到任意一个原方程中，验证是否满足。

2. 代入法：代入法是一种通过将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程中求解的方法。

具体步骤如下：- 从一个方程中解出一个未知数，例如将第一个方程解出x，得到一个关于y 和z 的表达式。

- 把这个表达式代入到另一个方程中，得到只含有两个未知数的方程。

- 解这个只含有两个未知数的方程，求得一个解，记作(x, y, z)。

- 将求得的解代入到任意一个原方程中，验证是否满足。

3. 矩阵法：矩阵法是一种通过矩阵运算来求解三元一次方程组的解的方法。

具体步骤如下：- 构造系数矩阵A 和常数矩阵B。

- 将方程组转化为矩阵形式，即AX = B。

- 如果A 的逆矩阵存在，则解为X = A^(-1) * B。

4. Cramer法则：Cramer法则利用行列式的性质来计算三元一次方程组的解。

具体步骤如下：- 构造系数矩阵A 和常数矩阵B。

- 计算系数矩阵A 的行列式值D。

*8.4 三元一次方程组的解法教学目标1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组． 教学过程一、情境导入《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎨⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎨⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎨⎧z＝y＋x，①2x－3y＋2z＝5，②x＋2y＋z＝13；③(2)⎩⎨⎧2x＋3y＋z＝11，①x＋y＋z＝0，②3x－y－z＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去z，得⎩⎨⎧4x－y＝5，2x＋3y＝13.解得⎩⎨⎧x＝2，y＝3.把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x＝2，y＝3，z＝5；(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎨⎧x＋2y＝11，5x＋2y＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234.把x＝－12，y＝234代入②，得z＝－214.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234，z＝－214.方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．探究点三：三元一次方程组的应用【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值．解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组⎩⎨⎧a －b －1＝0，b －2a ＋c ＝0，2c －b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4，c ＝－2.方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．【类型二】利用三元一次方程组求数字问题一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b .如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．【类型三】列三元一次方程组解决实际问题某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km ，y km 和z km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3.解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4.答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．三、板书设计 三元一次方程组⎩⎨⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用教学反思通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯。