牙膏的销售量(matlab程序)

数学建模基础练习一及参考答案数学建模基础练习一及参考答案练习1matlab练习一、矩阵及数组操作：1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）,然后将正态分布矩阵中大于1的元素变为1，将小于1的元素变为0。

2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。

3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。

4．随机生成10阶的矩阵，要求元素值介于0~1000之间，并统计元素中奇数的个数、素数的个数。

二、绘图：5．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像，要求改变线型和标记：y1=2x+5；y2=x^2-3x+1，并且用legend标注。

6．画出下列函数的曲面及等高线：z=sinxcosyexp(-sqrt(x^2+y^2))．7．在同一个图形中绘制一行三列的子图，分别画出向量x=[158101253]的三维饼图、柱状图、条形图。

三、程序设计：8．编写程序计算（x在[-8，8]，间隔0.5）先新建的，在那上输好，保存，在命令窗口代数；9．用两种方法求数列：前15项的和。

10．编写程序产生20个两位随机整数，输出其中小于平均数的偶数。

11．试找出100以内的所有素数。

12．当时，四、数据处理与拟合初步：13.随机产生由10个两位随机数的行向量A,将A中元素按降序排列为B,再将B重排为A。

14．通过测量得到一组数据：t12345678910y4.8424.3623.7543.3683.1693.0383.0343.0163.0123.005分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出散点及两条拟合曲线对比拟合效果。

15．计算下列定积分：16．（1）微分方程组当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并画出相空间轨道图像。

㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２１ １牙膏销售量问题的微分方程模型牙膏销售量问题的微分方程模型Һ王智峰㊀陈传军㊀孙丰云㊀（烟台大学数学与信息科学学院，山东㊀烟台㊀２６４００５）㊀㊀ʌ摘要ɔ针对牙膏销售量问题，本文改进了回归分析模型，建立了微分方程模型进行销售量的预测，最后给出了灵敏度分析和稳定性分析．ʌ关键词ɔ牙膏销售量；微分方程模型；回归分析模型ʌ基金项目ɔ高等学校大学数学教学研究与发展中心资助（Ｎｏ．ＣＭＣ２０１９０４０８），烟台大学教学改革研究项目资助（Ｎｏ．ｊｙｘｍ２０１９０４１），山东省高等教育本科教改项目（Ｎｏ．Ｚ２０１８Ｓ０４９）一㊁引㊀言在姜启源㊁谢金星㊁叶俊编著的‘数学建模“（第４版）［１］的第十章中，提出了牙膏销售量问题．已知的数据包括三部分：某厂家的价格与其他厂家的价格差，广告投入，牙膏销售量．问题要求建立预测牙膏销售量的数学模型．书中针对已知数据进行分析，如图１，图２所示，销售量和价格差呈线性关系，销售量与广告费用呈二次函数关系．图１㊀销售量与价格差散点图（线性关系）图２㊀销售量与广告费用散点图（二次函数关系）基于以上的数据分析，书中建立了销售量ｙ与价格差ｘ１㊁广告费用ｘ２之间的多元线性回归分析模型为：ｙ＝β０＋β１ｘ１＋β２ｘ２＋β３ｘ２２＋ε．（１）其中βｉ，ｉ＝０， ，３是回归系数．利用数学软件ＭＡＴＬＡＢ［２］或ＳＰＳＳ［３］，结合已有的数据可以估计出回归系数，得到预测销售量的回归分析模型为：ｙ＝１７．３＋１．３ｘ１－３．７ｘ２＋０．３ｘ２２．（２）分析模型（２）可知：随着ｘ２增大，销售量ｙ会越来越大．当ｘ２趋于无穷时，销售量ｙ也趋于无穷．这个显然不符合实际情况，因为销售量会受市场影响，最终会达到市场饱和状态，而不会趋于无穷．二㊁模型改进随着广告费用ｘ２的增加，销售量ｙ会达到市场饱和量，这个变化趋势与人口预测问题中的阻滞增长模型相似，因此，我们使用微分方程模型来研究这个问题．以广告费用ｘ２为自变量，价格差ｘ１为已知的变量，销售量为因变量，结合阻滞增长模型，建立如下微分方程模型：ｄｙｄｘ２＝（ａ＋ｂｘ１）ｙ１－ｙｙｍ()，ｙ（０，５．５）＝７．５．ìîíïïï（３）其中ｙｍ代表市场饱和量，ａ，ｂ是待定系数．根据已知的数据，结合ＭＡＴＬＡＢ［２］软件可以得到待定系数ａ，ｂ以及市场饱和量ｙｍ的估计值，因此，销售量ｙ与价格差ｘ１㊁广告费用ｘ２之间的关系式如下：ｙ＝１４９．２ｅ（ｘ２（０．０３＋０．３１ｘ１））１９．９＋１５ｅ（ｘ２（０．０３＋０．３１ｘ１））－１５．（４）其中ｙｍ＝９．９５．利用牙膏销售量模型的解析解表达式（４）式，结合已知的价格差ｘ１㊁广告费用ｘ２的数据，对销售量ｙ进行预测．在图３中，代表已有的销售量数据，曲线代表将已有的价格差㊁广告费用的数据代入表达式（４）中后，计算出来的销售量的预测值．由图３可知，微分方程模型可以很好地描述销售量的变化趋势，并能刻画出销售量随着时间. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２１ １周期变化的情况．图３㊀改进后模型的预测图三㊁模型检验在使用模型解决问题之前，需要对模型进行检验分析．微分方程模型（３）的检验主要包括稳定性分析和灵敏度分析两个方面．首先我们根据定性分析［４］方法给出稳定性分析．微分方程模型（３）的右端项不显含自变量ｘ２，因此，模型（３）属于一维自治系统，我们使用自治系统的稳定性原理进行分析．我们记右端项为Ｆ（ｙ）＝（ａ＋ｂｘ１）ｙ１－ｙｙｍ()．（５）令Ｆ（ｙ）＝０，可得两个平衡点为：ｙ１＝ｙｍ或ｙ２＝０．现分析右端项的一阶导数在两个平衡点处的符号：（１）当ｘ１＜－ｃｋ＝－０．０９，Ｆᶄ（０）＝ａ＋ｂｘ１＜０．（２）当ｘ１＞－ｃｋ＝－０．０９，Ｆᶄ（ｙｍ）＝－（ａ＋ｂｘ１）＜０．结合稳定性原理可知：当价格差大于－０．０９时，销售量随着广告费用的增加，最终会稳定在市场饱和值ｙｍ．如果价格差小于－０．０９，即比别的厂家价格高很多的时候，虽然广告费用不断增加，但是，最终的销售量仍然会趋于０．这个结论是比较符合市场规律的，说明本文建立的微分方程模型可以很好地刻画实际情况，也克服了回归分析模型销售量随着广告费用增加而趋于无穷的弊端．然后，我们结合微分方程的解析解（４）式，进行关于价格差ｘ１的灵敏度分析，如图４所示．图４㊀价格差的灵敏度分析在图４中，我们取不同的价格差ｘ１＝［０，０．１，０．２，０．３，０．４，０．５，０．６］，画出牙膏销售量ｙ随着广告费用ｘ２的变化曲线．当价格差一定时，随着广告费用ｘ２的增加，销售量会逐渐趋于稳定，到达饱和值ｙｍ．当广告费用投入比较少时，价格越实惠，销售量就越大．当广告费用比较大的时候，价格差的作用就比较小了，销售量会更快达到饱和值ｙｍ．这个结论也是符合市场规律的．四㊁结㊀论结合牙膏销售量㊁价格差㊁广告费三组数据，本文分析了回归分析模型的不足之处．本文根据牙膏销售量最终会趋于市场饱和量的市场规律，建立了基于阻滞增长模型的微分方程模型，使用已有的三组数据对模型中的未知参数进行了点估计，得到牙膏销售量的预测模型．本文最后对模型进行了稳定性分析和灵敏度分析，得到模型是符合市场客观规律的结论．ʌ参考文献ɔ［１］姜启源，谢金星，叶俊．数学模型：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［２］司守奎，孙兆亮．数学建模算法与应用：第２版［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１５．［３］周静．ＳＰＳＳ在数学建模中的应用实例［Ｊ］．天津职业院校联合学报，２０１２，１４（１１）：９３－９６．［４］赵静，但琦．数学建模与数学实验：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．. All Rights Reserved.。

数学建模作业8-牙膏销售量模型a=polｙfit（x１,ｙ，１);y1＝polyval(a,x１)；b=polyｆｉｔ(x2，y,2）;ｘ3=5．00:0.05：7.２5;y2=pｏlｙval(b,ｘ3）;sｕｂplot(2，1，1）；ｐlｏt（x1,y,＇*＇,ｘ1,y1，＇ｂ')；title(＇í?1y??x1μ?é￠μ?í?'); subｐｌot（2,1，2);plｏt(x2,y,'o',ｘ３,ｙ2，'b')；tiｔle('í?２ y??ｘ２μ?é￠μ?í?')x的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性从图1可以发现,随着1模型011(1)y x ββε=++拟合的(其中ε是随机变量)。

而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型201222(2)y x x βββε=+++拟合的。

综合上面的分析,结合模型(1)和（2)建立如下的回归模型20112232(3)y x x x ββββε=++++(３）式右端1x 和2x 称为回归变量（自变量),20112232x x x ββββ+++是给定价差1x ，广告费用2x 时,牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数,由表1的数据估计,影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中。

如果模型选择合适，ε应该大致服从均值为0的正态分布。

五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果) ２)、确定回归模型系数,求解出教程中模型（3)：建立程序c ｈengxu2.ｍ如下：ｘ１=[-０．05 0.25 ０.60 ０0.2５０.2０0.１5 0.05 -0．１5 0．１5 ０.20 0.10 0.40 0.4５ 0.３5 0．30 0.50 0.50 ０.40 -0.0５－0.０５ -0.1０ 0．２0 ０．10 ０.５0 ０.6０ -0.0５ 0 0．０5 0．55]'；x2=[5．50 6.7５ 7.25 5.50 7.00 ６.50 ６.75 5.２5 5.2５６．０0 6.５0 6.2５ 7．０0 6.９0 6.80 6.80 7.1０７．０0 6.80 ６.50 ６.2５ 6.00 6.50 7．00 6．80 6.80 6．50 5.7５ 5.8０ 6.８0]'； X=[on ｅs （30,1） x1 x2 ｘ2.＾2];Y=[7.38 8.51 ９.52 ７.5０ 9.33 8．28 8.7５ 7.8７ 7.１0 8.00 7.８９ 8．15 9.10 ８.86 8．９０ 8．8７ 9．26 9．０0 ８.75 ７.９5 7.65 7.27 8.０0 8.50 ８.75 9.21 ８.27 7.6７ 7．93 9.26]';[ｂ，ｂｉnt,r,rint,sta ｔs]=r ｅgress(Y,Ｘ); b,bint ，stats结果如下：ｂ=17.32441．３07０-3．6９560．348６ｂint =5.7282 28.920６0.6829 1.９31１-7.49８９0．1077０.０3790．659４ｓｔats =0．9054 8２.９409 ０.00000.0490表2模型（3）的计算结果参数参数估计值参数置信区间β17.3244 [5.7282，28.9206]β 1.3070 [0.6829，1.9311]1β-3.6956 [-7.4989,0.1077]2β0.3486 [0.0379,0.6594] 3结果如下：b =29.11３311.1３42-7.６080０.6７１2-1.47７７bint=１3.70１3 44.5２521．9７78 2０.２906-1２．69３２-2.５２2８０.253８１．０887-2.８518 -０.1０３7sｔats ＝0.9209 ７2.7771 0.00000.0426表３模型（5)的计算结果参数参数估计值参数置信区间β29.1133 [13.7013,44.5252]β11.1342 [1.9778,20.2906]1β-7.6080 [-12.6932，-2.5228] 2β0.6712 [0.2538，1.0887]34β-1.4777 [-2.8518，-0.1037]2R =0.9209 F=72.7771 p<0.0001 2s =0.0426表3与表２的结果相比，2R 有所提高,说明模型（５）比模型(3)有所进步。