2015年考研数学三真题及解析

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2008年)已知f(x，y)=则( )A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在。

B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在。

D．fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在。

正确答案：B解析：故fx’(0，0)不存在。

所以fy’(0，0)存在。

故选B。

知识模块：微积分2．(2016年)已知函数f(x，y)=则( )A．fx’-fy’=0。

B．fx’+fy’=0。

C．fx’-fy’=f。

D．fx’+fy’=f。

正确答案：D解析：由复合函数求导法则故fx’+fy’=f。

知识模块：微积分3．(2003年)设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是( )A．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。

B．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。

C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。

D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。

正确答案：A解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy’(x0，y0)=0，即f(x0，y)在y=y0处的导数等于零，故应选A。

本题也可用排除法分析，取f(x，y)=x2+y2，在(0，0)处可微且取得极小值，并且有f(0，y)=y2，可排除B，C，D，故正确选项为A。

知识模块：微积分4．(2017年)二元函数z=xy(3一x—y)的极值点是( )A．(0，0)。

B．(0，3)。

C．(3，0)。

D．(1，1)。

正确答案：D解析：根据二元函数极值点的条件zx’=y(3一x—y)一xy=y(3—2x—y)，zy’=x(3一x—y)一xy—x(3一x一2y)，zxx”=一2y，zxy”=3—2x一2y，zyy”=一2x。

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年] 行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：解一令则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式由命题2．1．1．1(1)，即得|A|=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad一bc)2．仅(B)入选．解二将|A|按第1行展开，然后可利用命题2．1．1．1(2)，即式(2．1．1．5)直接写出结果：解三仅(B)入选．解四仅(B)入选．(注：命题2．1．1．1 设非零元素仅在主、次对角线上的2n阶、2n一1阶行列式分别为D2n，D2n-1，则命题2．1．2．3 设A，B分别是m阶与n阶矩阵，则) 知识模块：线性代数2．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：解一由A3=O得E=E-A3=(E－A)(E+A+A3)，E=E+A3=(E+A)(E －A+A3)．由命题2．2．1．2知，E－A，E+A均可逆．仅(C)入选．解二因A3=0，即A为幂零矩阵，其n个特征值全部都等于零，则A的矩阵多项式f1(A)=E－A的n个特征值为f1(λ)｜λ=0=(1-λ)｜λ=0=1．因而|E－A|=1≠0，故E一A可逆．A的另一个矩阵多项式f2(A)=E+A的n个特征值为f2(λ)｜λ=0=(1+λ)｜λ=0=1．故|E+A|=1，所以E+A可逆．知识模块：线性代数3．[2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．A．E—ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E一2ααT不可逆正确答案：A解析：令A=ααT，则A2=A．又令AX=λX，由(A2－A)X=(λ2－λ)X=0得λ2－λ=0，即λ=0或λ=1．因为tr(A)=αTα=1=λ1+…+λn故得A的特征值为λ1=…=λn-1=0，λn=1．而E－ααT的特征值为λ1=…=λn－1=1，λn=0，从而|E－ααT|=0，E－ααT不可逆．仅(A)入选．知识模块：线性代数4．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．B．3C．1／3D．正确答案：A解析：解一显然矩阵A满足命题2．2．2．1中的三个条件，因而由该命题得|A|=1．将|A|按第1行展开得到1=|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故仅(A)入选．解二由A*=AT，即其中Aij为|A|中元素aij的代数余子式，得aij=Aij(i，j=1，2，3)．将|A|按第1行展开，得到|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到|A*|=|A|3-1=|AT|=|A|，即|A|(|A|=1)=0，而|A|>0，故|A|－1=0，即|A|=1，则3a112=1．因a11＞0，故仅(A)入选．注：命题2．2．2．1 设A为n(n≥3)阶实矩阵，其元素分别与其代数余子式相等(aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，即AT－A*或A=(A*)T)且其中一元素不等于0，则其行列式|A|等于1．知识模块：线性代数5．[2009年] 设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：解一令则|C|=(－1)2×2|A||B|=2×3=6，即分块矩阵可逆，则由C*=|C|C-1得到解二因对任一四阶矩阵C，有C*C=CC*=|C|4，其中C*为C的伴随矩阵．下面用直接验证法进行选择．对于选项(A)，有其中E2，E4分别为二阶、四阶单位矩阵．对于选项(B)，有满足伴随矩阵的性质．对选项(C)、(D)，分别有由此可知，仅(B)入选．知识模块：线性代数6．[2004年] 设n阶矩阵A与B等价，则必有( )．A．当|A|=a(a≠0)时，|B|=aB．当|A|=a(a≠0)时，|B|=－aC．当|A|≠0时，|B|=0D．当|A|=0时，|B|=0正确答案：D解析：解一因A与B等价，由命题2．2．5．4(1)知，仅(D)入选．（注：命题2．2．5．4 (1)矩阵等价的必要条件是矩阵的行列式同时为零或同时不为零．）解二因A与B等价，其秩必相等．当|A|=0时，秩(A)<n，故秩(B)＜n，于是|B|=0．所以选项(D)正确．因秩(A)=秩(B)，不一定有|A|=|B|或|A|=－|B|，故(A)、(B)不成立．至于(C)，显然有秩(A)>秩(B)，故(C)不成立．仅(D)入选．解三因A与B等价，由矩阵等价的必要条件知，存在可逆矩阵P与Q，使得A=PBQ．两边取行列式得|A|=|P||B||Q|，而|P|≠0，|Q|≠0，因而|A|与|B|同时为零或同时不为零．故当|A|=0时，必有|B|=0．仅(D)入选．知识模块：线性代数7．[2013年] 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )．A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：解一对矩阵A，C分别按列分块，记A=[α1，α2，…，αn]，C=[γ1，γ2，…，γn]，又令B=(bγij)γn×n，则由AB=C得到可见，C的列向量组可由A的列向量组线性表出．因B可逆，由A=CB-1类似可证，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出．由两向量组等价的定义知，仅(B)入选．解二因可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，而每个初等矩阵表示一次初等变换，可逆矩阵B左乘矩阵A，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换能保持变换前的矩阵与变换后所得矩阵的列向量组的等价关系(见命题2．3．1．3)，因而仅(B)入选．注：命题2．3．1．3 如果矩阵A 经有限次初等行(列)变换化成矩阵B(即A≌B)，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价．知识模块：线性代数8．[2003年] 设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，有k1α1+k2α2+…+ksαs=0C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD．α1，α2，…，α3线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B解析：解一(A)正确．事实上，若α1，α2，…，α3线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0．这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题．可见(A)成立．若α1，α2，…，αs线性相关，由其定义知，存在一组而不是任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2αs+…+ksαs=0．(B)不成立．由“向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是秩([α1，α2，…，αs])=s”知，(C)也成立．因α1，α2，…，αn线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关．当然其中任意两个向量也线性无关，(D)也成立．仅(B)入选．解二可举反例证明(B)不正确：向量组α1=[1，0]T，α2=[4，0]T线性相关，但对于一组不全为零的常数k1=1，k2=0，却有k1α1+k2α2=α1=[1，0]T≠0．知识模块：线性代数9．[2006年] 设α1，α2，…，αs都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关正确答案：A解析：解一由定义知，若α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为零的数c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．用A左乘等式两边，得c1A α1+c2Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．仅(A)入选．解二若α1，α2，…，αs线性相关，则秩([α1，α2，…，αs])其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C解析：因故α1，α3，α4线性相关．仅(C)入选．知识模块：线性代数11．[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1一α2，α2一α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α3+α1C．α1—2α2，α2—2α3，α3—2α1D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1正确答案：A解析：解一用观察易知，选项(A)中向量有关系(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α1)=0，故(A)中向量线性相关．解二由命题2．3．2．3判别之．s=3为奇数，k=3也为奇数，故(A)中向量线性相关．(注：命题2．3．2．3 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1±α2，β2=α2±α3，…，βs-1=αs-1±αs，βs=αs±α1，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1，β2，…，βs线性相关；(2)当s与k的奇偶性不同时，向量组β1，β2，…，βs线性无关．) 解三用线性相关的定义判定．为此令x1(α1－α2)+x2(α2－α3)+x3(α3－α1)=0，即(x1－x3)α1+(－x1+x2)α2+(－x2+x3)α3=0．因α1，α2，α3线性无关，故因其系数矩阵行列式等于零，故上述方程组有非零解，即α1－α2，α2－α3，α3－α1线性相关．知识模块：线性代数12．[2014年] 设α1，α2，α3是三维向量，则对任意常数k，l，向量α1+kα3，α2+α3线性无关是向量α1，α2，α3线性无关的( )．A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记β1=α1+kα3，β2=α2+lα3，则若α1，α2，α3线性无关，则[α1，α2，α3]为可逆矩阵，故秩即β1=α1+kα3，β2=α2+lα3线性无关．反之，设α1，α2线性无关，α3=0，则对任意常数k，l必有α1+kα3，α2+lα3线性无关，但α1，α2，α3线性相关，故α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要但非充分条件．仅(A)入选．知识模块：线性代数填空题13．[2016年] 行列式正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：知识模块：线性代数14．[2010年] 设A，B为三阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=________．正确答案：3解析：|A+B-1|=|AE+EB-1|=|ABB-1+AA-1B-1|=|A(B+A-1)B-1|=|A||B+A-1||B-1|=|A||A-1+B ||B|-1=3×2×(1／2)=3．解二|A+B-1|=|EA+B-1E|=|B-1BA+B-1A-1A|=|B-1||B+A-1||A|=|B|-1|B+A-1||A|=(1／2)×2×3=3．知识模块：线性代数15．[2006年] 设矩阵E为二阶单位矩阵，矩阵A满足BA=B+2E，则|B|=____________．正确答案：2解析：解一由BA=B+2E得到B(A-E)=2E，两边取行列式利用命题2．1．2．1(2)和(5)得到|B||A—|=|2E|=22|E|=4．而故|B|=2．解二解一中没有求出矩阵B．但若要求出也不难．由B(A—E)=2E知B==2(A-E)-1而故从而|B|=2．(注：命题2．1．2．1 设A=[aij]n×n，B=[bij]n×n，E为n阶单位矩阵，k为常数．(2)|AB|=|A||B|，|AB|=|BA|，但AB≠BA；(5)|kA|=kn|A|，但[kaij]n ×n=k[aij]n×n=kA；) 知识模块：线性代数16．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A-1一E|=_________.正确答案：3解析：解一因A的特征值为1，2，2，故A-1的特征值为1，1／2，1／2．因而4A-1一E的特征值为λ1=4×1—1=3，λ2=4×(1／2)一1=1，λ3=4×(1／2)一1=1，故|4A-1一E|=λ1λ2λ3=3×1×1=3．解二所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP—diag(1，2，2)①=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4．PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1-E)P-1，两端取行列式得到|4A-1一E|=|P||4Λ-1一E||P-1|=|4Λ-1一E|=|4diag(1，1／2，l ／2)一E|=|diag(3，1，1)|=3．知识模块：线性代数17．[2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=____________．正确答案：－1解析：解一由题设有A－1=B，故AB=E，注意到αTα=2a2(是一个数)，有E=AB－(E－ααT)[E+(1／a)ααT]=E+(1／a)ααT－ααT－(1／a)α(αTα)αT =E+[1／a－1－(1／a)·2a2]ααT=E+(1／a－1－2a)ααT，故(1／a－1－2a)ααT=O．因ααT≠O，所以1／a－1－2a=0，即(2a－1)(a+1)=0．因而a=1／2或a=－1．因a＜0，故a=－1．解二因(E－A)2=(ααT)2=ααTααT=(αTα)ααT=2a2ααT=2a2(E－A)，即A2－2A+2a2A=2a2E－E，亦即A[A－(2－2a2)E]=(2a2－1)E，故A可逆，且由题设有故整理得到而ααT≠O，故(a+1)(2a－1)=0，又因a＜0，故a=-1．知识模块：线性代数18．[2012年] 设A为三阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A 的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=__________．正确答案：－27解析：由题设有B=E12A，两边右乘A*，得到BA*=E12AA*=|A|E12E=|A|E12，则|BA*|=||A|E12|=|A|3|E12|=33×(-1)=－27．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（常微分方程与差分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．A．c[y1(x)一y2(x)]B．y1(x)+c[y1(x)-y2(x)]C．c[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+c[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：因y1(x)，y2(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y1(x)－y2(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y1(x)+y2(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y1(x)+c[y1(x)－y2(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2－y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程2．[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．A．λ=1／2，μ1=1／2B．λ=一1／2，μ=一1／2C．λ=2／3，μ=1／3D．λ=2／3，μ=2／3正确答案：A解析：解一因λy1－μy2是y’+p(x)y=0的解，故(λy1－μy2)’+p(x)(λy1－μy2)=λ(y1’+p(x)y1)－μ(y2’+p(x)y2)=0．又y1’+p(x)y1=q(x)，y2’+p(x)y2=q(x)，故λq(x)－μq(x)=(λ－μ)q(x)=0．而q(x)≠0，故λ－μ=0，即λ=μ．又λy1+μy2为y’+p(x)y=q(x)的解，故(λy1+μy2)’+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1’+p(x)y1]+μ[y2’+p(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．因q(x)≠0，故λ+μ=1．由λ=μ得到λ=μ=1／2．仅(A)入选．解二y1与y2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，又已知λy1+μy2也是该方程的解，则由命题1．6．1．1(1)知，λ+μ=1．又由λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，由命题1．6．1．1(2)知，λ+(-μ)=λ－μ=0，即λ=μ．联立λ=μ，λ+μ=1解得λ=μ=1／2．仅(A)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2-y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程3．[2008年] 设函数f(x)连续，若其中区域Duv为图1．6．2．1中阴影部分，则A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：利用极坐标计算，其中积分区域Duv为Duv={(r，θ)|0≤θ≤v，1≤r≤u}，其中u，v均为F的两独立的变量．于是仅(A)入选．知识模块：常微分方程与差分方程填空题4．[2005年] 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为___________．正确答案：xy=2解析：解一所给方程为可分离变量方程．由xy’+y=0得到两边积分得到ln|y|=－ln|x|+lnc，即ln|xy|=lnc，故xy=c．又y(1)=2，故c=2．所求特解为xy=2．解二原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=c，由初始条件得c=2，所求特解xy=2．解三y’+(1／x)y=0．利用一阶齐次线性方程通解公式求解，得到由y(1)=2有c=2，y=2／x，即xy=2．知识模块：常微分方程与差分方程5．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的特解是y=___________．正确答案：1／x解析：所给方程属可分离变量的方程：两边积分有l|y|=－ln|x|+c1，即ln|y|+ln|x|=ln|yx|=c1，因而xy=±ec1=x．由y(1)=1＞0，可取x＞0，y＞0，由初始条件y(1)=1得到c=1，故满足初始条件的解为y=1／x．知识模块：常微分方程与差分方程6．[2007年]微分方程满足y｜x=1=1的特解为____________．正确答案：解析：设y=ux，则代入原方程得到从而即由y｜x=1=1得到c=－1／2．于是所求特解为(x／y)2=lnx+1．因y｜x=1=1＞0，故应取x＞0，y ＞0，所以即知识模块：常微分方程与差分方程7．[2013年] 微分方程y”－y’+y=0的通解为y=__________．正确答案：其中C1，C2为任意常数．解析：二阶齐次微分方程y”－y’+y=0所对应的特征方程为r2－r+=0即故其特征根为r1=r2=所以该齐次微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程8．[2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y”+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．正确答案：e－2x+2ex解析：易知所给方程的特征方程为r2+r－2=(r+2)(r－1)=0，故特征根为r1=－2，r2=1，故其通解为y=C1e－2x+C2 ex ①因y(x)在x=0处取得极值，故y’(0)=0，y(0)=3．将其代入通解①得到y’(x)｜x=0=[－2C1 e－2x+C2ex]｜x=0=－2C1+C2=0，y(0)=C1+C2=3．解之得C1=1，C2=2，故y=e－2x+2ex．知识模块：常微分方程与差分方程9．[2017年] 差分方程yt+1－2yt=2t的通解为___________．正确答案：yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．解析：yt+1－2yt=0的通解为Yt=C2t(C为任意常数)；设yt+1－2yt=2t 的特解为y*=at2t，代入得综上所述，yt+1－2yt=2t的通解为yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程10．[2001年] 某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2Wt－1+2解析：由题意得到Wt=Wt－1+0．2Wt－1+2，故差分方程是Wt=1．2Wt－1+2．知识模块：常微分方程与差分方程11．[2018年] 差方程△2yx-yx=5的通解为_________．正确答案：yx=C·2x－5解析：△2Yx=△(△yx)=△yx+1－△yx=(yx+2-yx+1)－(yx+1－yx)=y+2－2yx+1+yx，所以原方程可化为yx+2-2yx+1=5．易知，对应齐次方程yx+2-2yx+1=0的通解为yx=C·2x．设原方程的特解为yx*=A，代入原方程中得A=－5，所以原方程的通解为yx=C·2x－5．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.(16) (本题满分10 分)计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C 为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21) (本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案(1)【答案】(D)【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C)正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的.(B)正确，(D)错,故选(D).(2)【答案】(C)【考查分析】本题考查曲线的拐点.【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选(C).(3)【答案】(B)【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，选(B).(4)【答案】(C)【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.【详解】选项(A)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；选项(B)，为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；选项(C)，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；选项(D)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选(C).(5)【答案】(D)【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到由，故或，同时或.故选(D).(6)【答案】(A)【考查分析】本题考查二次型的正交变换.【详解】由，故.且.所以.选(A).(7)【答案】(C)【考查分析】本题考查概率的性质.【详解】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)【答案】(B)【考查分析】本题考查统计量的数字特征.【详解】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).(9)【答案】【考查分析】本题考查型未定式极限.【详解】方法一：方法二：(10)【答案】【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.【详解】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(11)【答案】【考查分析】本题考查隐函数的全微分.【详解】当，时代入，得.对两边求微分，得把，，代入上式，得所以(12)【答案】【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.【详解】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)【答案】【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.【详解】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)【答案】【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.【详解】由题设知，，且相互独立，从而. (15)【答案】【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.【详解】方法一：利用泰勒公式.即方法二：利用洛必达法则.因为分母的极限为，则分子的极限为，即，分母的极限为，则分子的极限为，即，则.(16)【答案】【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.【详解】(17)【答案】(I)略(II) .【考查分析】本题考查导数的经济应用.【详解】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大.23(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)【答案】.【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.【详解】设在点处的切线方程为：令，得到.由题意，，即，转化为一阶微分方程，分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(19)【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.【详解】(I)(II) 由题意得(20)【答案】【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.【详解】(I)(II)由题意知，(21)【答案】(I) .(II)，则.【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.【详解】(I) 则即.即整理得到(II)的特征值.当时，的基础解系为当时，的基础解系为，则的特征值为.令，则.(22)【答案】(I) ，. (II) .【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.【详解】(I) 记为观测值大于的概率，则.的概率分布为，(II)记，则，从而.(23)【答案】(I).(II) .【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.【详解】(I) .令，即，解得.为的矩估计量，其中；(II) 似然函数当时，，取对数，得到.求导，得到，则越大，似然函数越大，但是，所以当时，似然函数最大.为的最大似然估计量.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则( )【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A)(B)(D) 【答案】(C)【解析】ABCD为正项C.(5)穷多解的充分必要条件为( )【答案】(D)故选（D）(6) 设二次型( )【答案】(A)选（A ） (7) ,则: ( )【答案】(C)(C) .(8)值,( )【答案】(B)(B) .二、填空题：小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(10)(11)(12)3，则(13)设3E为3阶单位矩阵，则【答案】(14)【答案】指定位置上.解答应写出文字三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分).【答案】【解析】法一：则有，法二：由已知可得得c；求进一步，b值代入原式(16)(本题满分10 分)【答案】(17)(本题满分10分)MC(I)(II)试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略【解析】(I). (II)(I)中的定价模(18)(本题满分10 分)4，表达式.此为可分离变量的微分方程,(19)(本题满分10分)（I（II求导公式.【解析】（I（II）由题意得(20) (本题满分11分)(I)(II)3【解析】(II)由题意知(21) (本题满分11 分)(I)（II.【解析】A(22) (本题满分11 分),直到第2个大于3(I)(II)【答案】；【解析】(I)3(II) 法一:分解法:,.注：Ge表示几何分布)法二:直接计算(23) (本题满分11 分).(I) (II).【答案】；【解析】(I)；(II).文档容由金程考研网整理发布。

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(02年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则【】A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)＝0．B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(χ)－f(ξ)]＝0．C．当f(a)＝f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)．正确答案：B解析：由于f(χ)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(χ)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故[f(χ)－f(ξ)]＝0 知识模块：微积分2．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝【】A．在χ＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点χ＝0．C．在χ＝0处右极限不存在．D．有可去间断点χ＝0．正确答案：D解析：由于f(χ)为奇函数，则f(0)＝0，从而又g(χ)＝在χ＝0处无定义，则χ＝0为g(χ)的可去间断点．知识模块：微积分3．(04年)设f(χ)＝｜χ(1－χ)｜，则【】A．χ＝0是f(χ)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(χ)的拐点．B．χ＝0不是f(χ)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．C．χ＝0是f(χ)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝0不是f(χ)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：C解析：由f(χ)＝｜χ(1－χ)｜知，f(0)＝0，而当χ＜0，或0＜χ＜1时，f(χ)＞0，由极值的定义知f(χ)在χ＝0处取极小值．又则当χ＜0时，f〞(χ)＝2＞0；当0＜χ＜1时，f〞(χ)＝－2＜0，则(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点，故应选C．知识模块：微积分4．(04年)设f′(χ)在[a，b]上连续，且f′(a)＞0，f′(b)＜0，则下列结论中错误的是【】A．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(a)．B．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(b)．C．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f′(χ0)＝0．D．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＝0．正确答案：D解析：由以上分析知，由f′(a)＞0知，存在χ0∈(a，b)使f(χ0)＞f(a)；由f′(b)＜0知，存在χ0∈(a，b)，使f(χ0)＞f(b)，则选项A、B均不能选．又f′(a)＞0，f′(b)＜0，且f′(χ)在[a，b]上连续，由零点定理知，存在χ0∈(a，b)，使f′(χ0)＝0，则C也不能选，故应选D．知识模块：微积分5．(05年)当a取下列哪个值时，函数f(χ)＝2χ3－9χ2＋12χ－a恰有两个不同的零点．【】A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f′(χ)＝6χ2－18χ＋12＝6(χ2－3χ＋2)＝6(χ－1)(χ－2) 令f′(χ)＝0，得χ1＝1，χ2＝2 f(1)＝5－a，f(2)＝4－a 当a＝4时，f(1)＝1＞0，f(2)＝0．即χ＝2为f(χ)的一个零点，由f′(χ)＝6(χ－1)(χ－2)知当－∞＜χ＜1时，f′(χ)＞0，f(χ)严格单调增，而f(1)＝1＞0，f(χ)＝－∞，则f(χ)在(－∞，0)内有唯一零点．当1＜χ＜2时，f′(χ)＜0，f(χ)单调减，又f(2)＝0，则当1＜χ＜2时，f(χ)＞0，此区间内无零点．当χ＞2时，f′(χ)＞0，f(2)＝0．则χ＞2时f(χ)＞0，即在此区间内f(χ)无零点．故应选B．知识模块：微积分6．(05年)设f(χ)＝χsinχ＋cosχ，下列命题中正确的是【】A．f(0)是极大值，f()是极小值．B．f(0)是极小值，f()是极大值．C．f(0)是极大值，f()也是极大值．D．f(0)是极小值，f()也是极小值．正确答案：B解析：f′(χ)＝sinχ＋χcosχ－sinχ＝χcosχ，f〞(χ)＝cosχ－χsinχf′(0)＝0，f〞(0)＝1＞0，则f(0)是极小值．，则是极大值．故应选B．知识模块：微积分7．(05年)以下四个命题中，正确的是【】A．若f′(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．B．若f(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．C．若f′(χ)在(0，1)内有界，则f(χ)在(0，1)内有界．D．若f(χ)在(0，1)内有界，则f′(χ)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：由于f′(χ)在(0，1)内有界，则存在M＞0，使对任意χ∈(0，1)，｜f′(χ)｜≤M，对任意的χ∈(0，1)，由拉格朗日中值定理知f(χ)－f()＝f′(ξ)(χ－)，ξ∈(0，1) 从而右f(χ)＝则f(χ)在(0，1)内有界．知识模块：微积分8．(06年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ))＞0，△χ)为自变量χ)在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则【】A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：由于dy＝f′(χ0)△χ△y＝f(χ0＋△χ)－f(χ0)＝f′(ξ)△χ(χ0＜ξ＜χ0＋△χ) 由f〞(χ)＞0，则f′(χ)单调增，又△χ＞0，且f′(χ)＞0，则0＜dy＜△y 故应选A．知识模块：微积分9．(06年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则【】A．f(0)＝0且f′－(0)存在．B．f(0)＝1且f′－(0)存在．C．f(0)＝0且f′＋(0)存在．D．f(0)＝1且f′＋(0)存在．正确答案：C解析：由＝1，知f(h2)＝0，又f(χ)在χ＝0连续，则f(h2)＝f(0)＝0 则故应选C．知识模块：微积分10．(07年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，下列命题错误的是【】A．若存在，则f(0)＝0．B．存在，则f(0)＝0．C．若存在，则f′(0)存在．D．若存在，则f′(0)存在．正确答案：D解析：由存在及f(χ)在χ＝0处的连续性知，f(0)＝0，从而有＝f′(0)，所以，命题A和C是正确的；由存在，＝0知，(f(χ)＋f(－χ))＝2f(0)＝0，则f(0)＝0，所以，命题B也是正确的．事实上，命题D是错误的．例如，令f(χ)＝｜χ｜，显然＝0，但f(χ)＝｜χ｜在χ＝0处不可导，即f′(0)不存在．故应选D．知识模块：微积分11．(07年)曲线y＝＋ln(1＋eχ)渐近线的条数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于＝∞，则χ＝0为原曲线的一条垂直渐近线．而＝ln1＝0，则y＝0为原曲线的一条水平渐近线．则y＝χ为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以，本题应选D．知识模块：微积分12．(07年)设某商品的需求函数为Q＝160－2p．其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是【】A．10B．20．C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由＝1知p＝40．故应选D．知识模块：微积分13．(10年)设函数f(χ)，g(χ)具有二阶导数，且g〞(χ)＜0．若g(χ0)＝a是g(χ)的极值，则f(g(χ))在χ0取极大值的一个充分条件是【】A．f′(a)＜0．B．f′(a)＞0．C．f〞(a)＜0．D．f〞(a)＞0．正确答案：B解析：令φ(χ)＝f[g(χ)]，则φ′(χ)＝f′[g(χ)]g′(χ) φ′(χ0)＝f′[g(χ0)]g′(χ0)＝0 φ〞(χ)＝f〞[g(χ)]g′2(χ)＋f′[g(χ)]g〞(χ) φ〞(χ0)＝f′[g(χ0)]g〞(χ0)＝f′(a)g〞(χ0) 若f′(a)＞0，则φ〞(χ0)＜0，故φ(χ)在χ0处取极大值．知识模块：微积分填空题14．(03年)设f(χ)＝其导函数在χ＝0处连续，则λ的取值范围是_______．正确答案：λ＞2解析：当χ≠0时f′(χ)＝当χ＝0时f′(0)＝由上式可知，当λ＞1时，f′(0)存在，且f′(0)＝0 又由上式可知，当λ＞2时，f′(χ)＝0＝f′(0) 即导函数在χ＝0处连续．知识模块：微积分15．(03年)已知曲线y＝χ3－3a2χ＋b与χ轴相切，则b2可以通过a表示为b2＝_______．正确答案：4a6解析：设曲线y＝χ3－3aχ2＋b在χ＝χ0处与χ轴相切，则3χ02－3a2＝0且χ03－3a2χ0＋b＝0 即χ02＝a2且χ0(χ02－3a2)＝－b 从而可得b2＝4a6 知识模块：微积分16．(06年)设函数f(χ)在χ＝2的某邻域内可导，且f′(χ)＝ef(χ)，f(2)＝1，则f″′(2)＝_______．正确答案：2e3解析：由f′(χ)＝ef(χ)及f(2)＝1知，f′(2)＝e f〞(χ)＝ef(χ)f′(χ)＝[f′(χ)]2，从而有f〞(2)＝e2 f″′(χ)＝2f′(χ)f〞(χ)，则f″′(2)＝2e3 知识模块：微积分17．(07年)设函数y＝，则y(n)(0)＝_______．正确答案：解析：y＝＝(2χ＋3)-1；y′＝(－1)(2χ＋3)-2.2；y〞＝(－1).(－2)(2χ＋3)-3.22 则y(n)＝(－1)nn!(2χ＋3)-(n+1).2n；y(n)(0)＝(－1)nn!3-(n+1).2n＝知识模块：微积分18．(09年)设某产品的需求函数为Q＝Q(p)，其对价格P的弹性εp＝0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_______．正确答案：8000解析：由于收益R＝pQ(p) ＝pQ′(p)＋Q(p) 而0．2＝ξp＝则pQ′(p)＝(－0．2)×Q(p) 故＝(－(－0．2)×Q(p)＋Q(p) ＝0．8Q(p)＝0．8×10000＝8000 知识模块：微积分19．(10年)设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1＋P3，其中P为价格，且R(1)＝1，则R(p)＝_______．正确答案：解析：由题设知＝1＋p3 lnR＝lnp＋p3＋C 由R(1)＝1知，C＝－lnR＝lnp＋R＝．知识模块：微积分20．(10年)若曲线y＝χ3＋aχ2＋1有拐点(－1，0)，则b＝_______．正确答案：3解析：曲线y＝χ3＋aχ2＋bχ＋1过点(－1，0)，则0＝1＋a－b＋1，a＝－b y＝χ3－bχ2＋bχ＋1 y′＝3χ2－2bχ＋b y〞＝6χ－2b y〞(－1)＝－6－2b＝0，则b＝3 知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。