集合与函数(月考)
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2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题一、单选题1.已知集合{}220A x x x =-≤,{}1,0,3B =-,则()R A B ⋂=ð()A .∅B .{}0,1C .{}1,0,3-D .{}1,3-【正确答案】D【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ,再由集合的补集和交集运算可求得答案.【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤,所以{R |0A x x =<ð或}2x >,又{}1,0,3B =-,所以(){}1,3R A B ⋂=-ð,故选:D .2.已知函数()f x =()()3y f x f x =+-的定义域是()A .[-5,4]B .[-2,7]C .[-2,1]D .[1,4]【正确答案】D【分析】由函数解析式可得2820x x +-≥,解不等式可得24x -≤≤,再由24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩即可求解.【详解】由()f x =2820x x +-≥,解得24x -≤≤,所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩,解得14x ≤≤,所以函数的定义域为[1,4].故选:D 3.不等式3112x x-≥-的解集是()A .3{|2}4x x ≤≤B .3{|2}4x x ≤<C .{>2x x 或3}4x ≤D .3{|}4x x ≥【正确答案】B【分析】把原不等式的右边移项到左边,通分计算后,然后转化为()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩,求出不等式组的解集即为原不等式的解集.【详解】解:不等式3112x x --可转化为31102x x ---,即4302x x --,即4302x x --,所以不等式等价于()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩,解得:324x <,所以原不等式的解集是3{|2}4x x <.故选:B .4.命题“∀x ∈R ,∃n ∈N+,使n ≥2x+1”的否定形式是()A .∀x ∈R ,∃n ∈N+,有n<2x+1B .∀x ∈R ,∀n ∈N+,有n<2x+1C .∃x ∈R ,∃n ∈N+,使n<2x+1D .∃x ∈R ,∀n ∈N+,使n<2x+1【正确答案】D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述:条件中的∀→∃、∃→∀,然后把结论否定,即可确定答案【详解】条件中的∀→∃、∃→∀,把结论否定∴“∀x ∈R ,∃n ∈N+,使n ≥2x+1”的否定形式为“∃x ∈R ,∀n ∈N+,使n<2x+1”故选:D本题考查了全称命题、特称命题的否定形式,其原则是将原命题条件中的∀→∃、∃→∀且否定原结论5.已知12a b ≤-≤,24a b ≤+≤,则32a b -的取值范围是()A .3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .5,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .5,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .7,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】令32()()a b m a b n a b -=-++求,m n ,再利用不等式的性质求32a b -的取值范围.【详解】令32()()()()a b m a b n a b m n a n m b -=-++=++-,∴32m n n m +=⎧⎨-=-⎩,即51,22m n ==,∴55()5,121()222a b a b ≤-≤≤+≤,故73272a b ≤-≤.故选:D6.如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,16AB =,点P 是斜边AB 上任意一点,过点P 作PQ AB ⊥,垂足为P ,交边AC (或边CB )于点Q ,设AP x =,APQ △的面积为y ,则y 与x 之间的函数图象大致是()A .B .C .D .【正确答案】D【分析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ,由ABC 中,90ACB ∠= ,30A ∠= ,可求得B ∠的度数与AD 的长度,再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时,去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式,进一步选出图象.【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ,因为90ACB ∠= ,30A ∠= ,16AB =,所以60B ∠= ,142BD BC ==,12AD AB BD =-=.如图1,当012AD ≤≤时,AP x =,tan 30PQ AP x =⋅ ,所以21236y x x x ==,如图2:当1216x <≤时,16BP AB AP x =-=-,所以)tan 6016PQ BP x =⋅=-,所以)211622y x x x =-=-+,故选:D此题考查了动点问题,注意掌握含30 直角三角形的性质与二次函数的性质;注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.7.已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭,则()f x 的解析式为()A .()()2211x f x x x =≠-+B .()()2211xf x x x =-≠-+C .()()211xf x x x =≠-+D .()()211xf x x x =-≠-+【正确答案】A 【分析】令11x t x -=+,则11tx t-=+,代入已知解析式可得()f t 的表达式,再将t 换成x 即可求解.【详解】令11x t x -=+,则11tx t-=+,所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭,所以()()2211xf x x x=≠-+,故选:A.8.已知0x >,0y >,且2121x y+=+,若2231x y m m +>--恒成立,则实数m 的取值范围是()A .1m ≤-或4m ≥B .4m ≤-或m 1≥C .14-<<mD .41m -<<【正确答案】C 由2121x y +=+得121y x=+,利用基本不等式求出2x y +的最小值,再将不等式恒成立转化为最值,解不等式可得结果.【详解】由2121x y +=+得212(1)y x x y ++=+,所以12x xy +=,所以121y x=+,所以121x y x x +=++13≥=,当且仅当1,1x y ==时,等号成立,所以()min 23x y +=,所以2231x y m m +>--恒成立,可化为2331m m >--,即2340m m --<,解得14-<<m .故选:C结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立,则max ()k f x ≥;②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立,则min ()k f x ≤;③若()k f x ≥在[,]a b 上有解,则min ()k f x ≥;④若()k f x ≤在[,]a b 上有解,则max ()k f x ≤;二、多选题9.有以下判断,其中是正确判断的有().A .()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B .函数()22122x f x x =+++的最小值为2C .函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个D .若()1f x x x =--,则112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】CD【分析】根据函数的定义域可判断A 的正误,根据基本不等式可判断B 的正误,根据函数的定义可判断C 的正误,根据函数解析式计算对应的函数值可判断D 的正误.【详解】对于A ,()xf x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ,而()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ,两个函数的定义域不同,故两者不是同一函数.对于B ,由基本不等式可得()221222f x x x =++≥+,但221x +=无解,故前者等号不成立,故()2f x >,故B 错误.对于C ,由函数定义可得函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个,故C 正确.对于D ,()1012f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故D 正确.故选:CD.10.下面命题正确的是()A .“3x >”是“5x >"的必要不充分条件B .“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件C .“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件D .设,R x y ∈,则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件【正确答案】ABC【分析】利用充分条件,必要条件的定义逐项判断作答.【详解】对于A ,3x >不能推出5x >,而5x >,必有3x >,“3x >”是“5x >"的必要不充分条件,A 正确;对于B ,若0ac <,一元二次方程20ax bx c ++=判别式240b ac ∆=->,方程有二根12,x x ,120cx x a=<,即12,x x 一正一负,反之,一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根12,x x ,则120cx x a=<,有0ac <,所以“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件,B 正确;对于C ,当1x ≠时,若3x =,有2430x x -+=,当2430x x -+≠时,1x ≠且3x ≠,因此“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件,C 正确;对于D ,,R x y ∈,若4x y +≥,取1,4x y ==,显然“2x ≥且2y ≥”不成立,而2x ≥且2y ≥,必有4x y +≥,设,R x y ∈,则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件,D 不正确.故选:ABC11.函数()1,Q0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数,则下列结论成立的是()A .函数()D x 的值域为[]0,1B .若()01D x =,则()011D x +=C .若()()120D x D x -=,则12x x -∈Q D .x ∃∈R ,(1D x =【正确答案】BD【分析】求得函数()D x 的值域判断选项A ;推理证明判断选项B ;举反例否定选项C ;举例证明x ∃∈R ,(1D x =.判断选项D.【详解】选项A :函数()D x 的值域为{}0,1.判断错误;选项B :若()01D x =,则0Q x ∈,01Q x +∈,则()011D x +=.判断正确;选项C :()()2ππ000D D -=-=,但2ππ=πQ -∉.判断错误;选项D :当x =时,((()01D x D D ===.则x ∃∈R ,(1D x =.判断正确.故选:BD12.已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集,则下面正确的是()A .224a b -≤B .214a b+≥C .若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ,则120x x >D .若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ,且124x x -=,则4c =【正确答案】ABD【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程,求得,a b 的关系式,对A ,利用二次函数性质可判断;对B ,利用基本不等式可判断;对CD ,利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集,所以2240,4a b a b ∆=-==,由于0a >,所以0b >.A ,()22224244a b b b b -=-=--+≤,当2,b a ==时等号成立,故A 正确.B ,21144a b b b +=+≥=,当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立,故B 正确.C ,不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ,120x x b =-<,故C 错误.D ,不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ,即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ,且124x x -=,则1212,x x a x x b c +=-=-,则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==,4c ∴=,故D 正确,故选:ABD三、填空题13.已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,求()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.【正确答案】5【分析】先求()1f -,再根据()1f -值代入对应解析式得()1.f f ⎡⎤-⎣⎦【详解】因为()()1212,f -=-⨯-=所以()[]1241 5.f f f ⎡⎤-==+=⎣⎦求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现(())f f a 的形式时,应从内到外依次求值.14.已知正实数a 、b 满足131a b+=,则()()12a b ++的最小值是___________.【正确答案】13+13+【分析】由已知可得出3ba b =-且3b >,化简代数式()()12a b ++,利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数a 、b 满足131a b +=,则03b a b =>-,由0b >可得3b >,所以,()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫++=++=++=++⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()33515222313131333b b b b b -+=++=-++≥+=+--当且仅当62b =时,等号成立.因此,()()12a b ++的最小值是13+.故答案为.13+15.对于[]1,1a ∈-,()2210x a x a +-+->恒成立的x 取值________.【正确答案】()(),02,-∞+∞ 【分析】设()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+关于a 的一次函数,只需()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即可求解.【详解】令()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+,因为对于[]11a ∈-,,不等式()2210x a x a +-+->恒成立,所以()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即220320x x x x ⎧->⎨-+>⎩解得:0x <或2x >.故答案为.()()02-∞⋃+∞,,方法点睛:求不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈(λ是实参数)恒成立,将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立,进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈,求()g x 的最值即可.(2)数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系(相对于x 轴)求解.此外,若涉及的不等式转化为一元二次不等式,可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.(3)主参换位法把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解,一般情况下条件给出谁的范围,就看成关于谁的函数,利用函数的单调性求解.16.若函数2()2f x x x =+,()2(0)g x ax a =+>,对于1x ∀∈[]1,2-,[]21,2x ∃∈-,使12()()g x f x =,则a 的取值范围是_____________.【正确答案】(]0,3【分析】由题意可知函数()g x 在区间[]1,2-的值域是函数()f x 在区间[]1,2-的值域的子集,转化为子集问题求a 的取值范围.【详解】()()20g x ax a =+>在定义域上是单调递增函数,所以函数在区间[]1,2-的值域是[]2,22a a -+函数()22f x x x =+在区间[]1,2-是单调递增函数,所以函数()f x 的值域是[]1,8-,由题意可知[][]2,221,8a a -+⊆-,所以21228a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得.3a ≤故答案为.(]0,3本题考查双变量等式中任意,存在问题求参数的取值范围,重点考查函数的值域,转化与化归的思想,属于中档题型.四、解答题17.已知{|13}A x x =-<≤,{|13}B x m x m =≤<+(1)若1m =时,求A B ⋃;(2)若R B A ⊆ð,求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)(1,4)A B =-U ;(2)()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .(1)利用集合的并集定义代入计算即可;(2)求出集合R A ð,利用集合包含关系,分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况,列出关于m 的不等式,求解可得答案.【详解】(1)当1m =时,{|14}B x x =≤<,则{|14}A B x x ⋃=-<<即(1,4)A B =-U .(2){|1R A x x =≤-ð或}(]()3,13,x >=-∞-⋃+∞,由R B A ⊆ð,可分以下两种情况:①当B =∅时,13m m ≥+,解得:12m ≤-②当B ≠∅时,利用数轴表示集合,如图由图可知13131m m m <+⎧⎨+≤-⎩或133m m m <+⎧⎨>⎩,解得3m >;综上所述,实数m 的取值范围是:12m ≤-或3m >,即()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 易错点睛:本题考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是要注意:∅是任何集合的子集,所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论,考查学生的逻辑推理能力,属于中档题.18.(1)已知a b c <<,且0a b c ++=,证明:a a a c b c<--.(2213a a a a ---(3)a ≥【正确答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】(1)利用不等式的性质证明即可;(2)a 3a -<1a -2a -,对不等式两边同时平方后只需证明()3a a -<()()12a a --.【详解】证明:(1)由a b c <<,且0a b c ++=,所以0a <,且0,a cbc -<-<所以()()0a c b c -->,所以()()a c a c b c -<--()()b c a c b c ---,即1b c -<1a c -;所以a b c ->a a c -,即a a c -<a b c-.(2213a a a a ---,(3)a ≥a 3a -<1-a 2a -,即证(3)(3)(1)(2)2(1)(2)a a a a a a a a +-+--+-+--()3a a -<()()12a a --即证(3)(1)(2)a a a a -<--;即证02<,显然成立;213a a a a ---19.已知二次函数y =ax 2+bx ﹣a +2.(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2>0的解集是{x |﹣1<x <3},求实数a ,b 的值;(2)若b =2,a >0,解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2>0.【正确答案】(1)a =﹣1,b =2(2)见解析【分析】(1)根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可;(2)根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】(1)由题意知,﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2=0的两根,所以132(1)3b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩,解得a =﹣1,b =2;(2)当b =2时,不等式ax 2+bx ﹣a +2>0为ax 2+2x ﹣a +2>0,即(ax ﹣a +2)(x +1)>0,所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,当21a a-=-即1a =时,解集为{}1x x ≠-;当21a a -<-即01a <<时,解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-;当21a a ->-即1a >时,解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.20.(1)求函数()3f x x 在区间[]2,4上的值域.(2)已知二次函数2()1(R)f x x mx m m =-+-∈.函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ,求()g m 的值域;【正确答案】(1)12,4⎤-⎦;(2)(]0-∞,【分析】(1)t =,可得函数()22()36318g t t tt t =--=+-,讨论其值域即可求解;(2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间[]1,1-的关系,分别表示出函数的最小值,表示为分段函数形式,作出图象即可求解.【详解】(1)函数()3f x x =,t =,则26x t =-∵[]2,4x ∈2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t t t =--=+-其对称轴16t =-,2t ≤≤时()g t 单调递增,∴()(2)g g t g ≤≤,12()4g t -≤≤-,故得()f x的值域为12,4⎤--⎦.(2)2()1f x x mx m =-+-,二次函数对称轴为2m x =,开口向上①若12m <-,即2m <-,此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增,所以最小值()(1)2g m f m =-=.②若112m -≤≤,即22m -≤≤,此时当2m x =时,函数()f x 最小,最小值2()124m m g m f m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.③若12m >,即m>2,此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减,所以最小值()(1)0g m f ==.综上22,2()1,2240,2m m m g m m m m <-⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪>⎪⎩,作出分段函数的图像如下,所以当2m <-时,()(,4);g m ∈-∞-当22m -≤≤时,[]4,0;g(m)∈-当m>2时,()0g m =,综上知()g m 的值域为(]0.,-∞21.今年,我国某企业为了进一步增加市场竞争力,计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万,每生产x (千部)手机,需另投入成本()R x 万元,且()2101001000,040100007018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩,由市场调研知,每部手机售价0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润()W x (万元)关于年产量x (千部)的函数关系式;(2)2023年产量为多少(千部)时,企业所获利润最大?最大利润是多少?【正确答案】(1)()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)2023年产量为100(千部)时,企业所或利润最大,最大利润是8000万元【分析】(1)根据已知条件求得分段函数()W x 的解析式.(2)结合二次函数的性质、基本不等式求得()W x 的最大值以及此时的产量.【详解】(1)当040x <<时,()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-;当40x ≥时,()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩;(2)若040x <<,()()210307750W x x =--+,当30x =时,()max 7750W x =万元;若40x ≥,()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当10000x x=即100x =时,()max 8000W x =万元.答:2023年产量为100(千部)时,企业所或利润最大,最大利润是8000万元.22.已知()11282,0,11f x f x x x x x ⎛⎫+=+-≠≠ ⎪-⎝⎭,(1)求()f x 的解析式;(2)已知()()()22,22g x mx mx g x x f x m =--<-+在()1,3上有解,求m 的取值范围.【正确答案】(1)1()2f x x=+,0,1x x ≠≠;(2)3m <.【分析】(1)根据给定条件,用11,1x x x--依次替换x ,再消元求解作答.(2)由(1)结合已知,变形不等式,分离参数构造函数,求出函数在()1,3的最大值作答.【详解】(1)0,1x x ≠≠,11()2()821f x f x x x +=+--,用11x-替换x 得:11()2912()1x f f x x x x -+=-+--,则有1114()4()8222(9)1011x f x f x x x x x x x --=+---+=-+---,用1x x-替换x 得:1112()2()82(1)711x f f x x x x x x x -+=+--=++--,于是得99()18f x x =+,则1()2f x x=+,所以()f x 的解析式为1()2f x x=+,0,1x x ≠≠.(2)(1,3)x ∈,2221()()22(2)22g x x f x m mx mx x m x-<-+⇔--+<-+,即22(2)22m x x x x -+<++,于是得22222x x m x x ++<-+,令2222(),132x x h x x x x ++=<<-+,依题意,(1,3)x ∈,()m h x <有解,当(1,3)x ∈时,222223()22323()22222222[()][()]23333x x x x h x x x x x x x -++-==+=+-+-+-+--++322316219(2333x x =+≤+-++-,当且仅当1629233x x -=-,即2x =时取等号,因此当2x =时,max ()(2)3h x h ==,则3m <,所以m 的取值范围是3m <.。
高一数学教学质量检测 2012.9本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{0,1,2,3,4}U =,集合{0,1,2}A =,集合{2,3}B =,()U C A B( )A .∅B .{1,2,3,4}C .{0,1,2,3,4}D .{2,3,4} 2.集合2{0,2,},{1,},{0,1,2,4,16}A a B a A B ==⋃=若,则a 的值为( )A .0B .1C .2D .43.集合{5|<∈+x N x }的另一种表示法是( )A .{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C. {0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}4.集合M={1,9}的子集个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 45.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -1 (x ≥2)-x 2+3x (x <2),则f (-1)+f (4)的值为( )A .-7B .3C .-8D .46.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )的解析式是( )A .3x +2B .3x +1C .3x -1D .3x +47.若函数)1(-=x f y 的定义域为()2,0,则函数)1(+=x f y 的定义域是( )A .()2,0B .()0,1-C .()0,2-D .()4,08.设集合{}02M x x =≤≤,{}02N y y =≤≤,给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 ( ) 21x yO 2xy O 2 21x y O 22O y x 12(A ) (B ) (C ) (D )9.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( )A .xx y y ==,1 B .1,112-=+-=x y x x y C .33,x y x y ==D . 2)(|,|x y x y == 10.若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈,则有( )A .M N M =B . M N N =C . M N M =D .M N =∅11.若集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =⋃,则m 的值为( )A .1B .1-C .1或1-D .1或1-或012.函数x x xy +=的图象是( )第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a =________.14.设全集U =Z ,A ={1,3,5,7,9},B ={1,2,3,4,5,6},则右图中阴影部分表示的集合是________15.函数24++=x x y 的定义域为 .16.已知2(21)2f x x x +=-,则(3)f =____________三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分) 已知集合}64|{},52|{,≤≤=≤≤-==x x B x x A R U 。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)月考数学试卷(8月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={y|y =x 2,x ∈R},B ={x|y =1−x },则A ∩B =( )A. ⌀B. RC. [0,1]D. [−∞,1]2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若B =30°,a =1,c =3,则b =( )A. 1B.3 C. 2 D.73.设x ,y ∈R ,且x <y <0,则( )A. yx +xy >2B. y 2>xyC. 1x <1yD. x +y2>xy4.天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1−m 2=2.5(lgE 2−lgE 1).其中星等为m i 的星的亮度为E i (i =1,2).已知“河鼓二”的星等约为0.75,“天津四”的星等约为1.25,“河鼓二”的亮度是“天津四”的r 倍,则与r 最接近的是( )(注:结果精确到0.01,当|x|较小时,10x ≈1+2.3x +2.7x 2)A. 1.56B. 1.57C. 1.58D. 1.595.已知sinα−cosα=15,0<α<π,则cos2α=( )A. −725B. 725C. 2425D. −24256.如图为函数y =f (x )在[−6,6]上的图像,则f (x )的解析式只可能是( ).A. f (x )=ln (x 2+1+x )cos xB. f (x )=ln (x 2+1+x )sin x C. f (x )=ln (x 2+1−x )cos x D. f (x )=ln (x 2+1−x )sin x7.已知23sinα=1+2cosα,α∈(2π3,7π6),则sin (2α−π6)=( )A. 7+3516B. −78C. 7−3516D. 788.已知函数f(x)的定义域为R ,且满足f(x)+f(3−x)=4,f(x)的导函数为g(x),函数y =g(1+3x)−1为奇函数,则f(32)+g(2024)=( )A. −3B. 3C. −1D. 1二、多选题:本题共3小题,共15分。
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知i 为虚数单位,复数12iz i+=,则z 的实部为________. 2.若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数,则实a =________. 3.若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =,2()3P B =,且相互独立,则()P A B =________.4.已知集合(){}2|log 1A y y x ==−,{}3|27B x x =≤,则A B =________.5.设{}n a 是等比数列,且13a =,2318a a +=,则n a =________.6.现有一球形气球,在吹气球时,气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=,当2d =时,气球体积的瞬时变化率为________. 7.已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,且3Y aX =+,若[]2E Y =−,则实数a =________. 8.记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ,若()f T =,9x π=为()f x 的零点,则ω的最小值为________.9.若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60,则2a b +的最小值为________.10.顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ,底面半径为25cm ,A ,B 是底面圆周上的两点,O 为底面中心,且35AOB π∠=,则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm .(精确到0.1cm )11.已知△ABC 中,22AB BC ==,AB 边上的高与AC 边上的中线相等,则tan B =2________.12.给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ,若存在无穷数列{}n b 满足: ①对任意正整数n ,都有1n n b a −≤②在21b b −,32b b −,…,20252024b b −中至少有1012个为正数,则d 的取值范围是________. 二、单选题(本大题共4小题,共18.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 13.“1a b +>”是“33a b >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件14.如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数,那么表明( ) A .两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系,即同时涨或同时跌 B .两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系,即涨或跌是相反的 C .两种证券的收益有同向变动的倾向 D .两种证券的收益有反向变动的倾向15.设0k >,若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =,且2()b a c b −=−,则满足条件的k 的取值可以是( )A .1B .2C .3D .416.设1A ,1B ,1C ,1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ,PB ,PC ,PD 上的点.给出以下两个命题,①若ABCD 是平行四边形,但不是菱形,则1111A B C D 可能是菱形;②若ABCD 不是平行四边形,则1111A B C D 可能是平行四边形.( ) A .①真②真 B .①真②假 C .①假②真 D .①假②假三、解答题(本大题共5小题,共78.0分.)17.(本小题14.0分)如图,在圆柱中,底面直径AB等于母线AD,点E在底面的圆周⊥,F是垂足.(1)求证:AF DB⊥;(2)若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π,求直线DE与平面ABD所成角的大小.3418.(本小题14.0分)李先生是一名上班旋,为了比较上下班的通勤时间,记录了20天个工作日内,家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间(单位:分钟),如下茎叶图显示两类时间的共40个记录:(1)求出这40个通勤记录的中们数M ,并完成下列22⨯列联表:(2)根据列联表中的数据,请问上下班的通勤时间是否有显著差异?并说明理由. 附:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++,()2 3.8410.05P χ≥≈.519.(本小题14.0分)如图,某城市小区有一个矩形休闲广场,20AB =米,广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域,为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松,现决定在广场上安置两排休闲椅,其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN (宽度不计),点M 在线段AD 上,并且与曲线CE 相切;另一排为单人弧形椅沿曲线CN (宽度不计)摆放,已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元,单人弧形椅的造价每米为a 元,记锐角NBE ∠=θ,总造价为W 元。
高一数学(必修1)第一次月考试题(集合与函数及指数函数)一、选择题(每小题5分,共60分)1.下列关系式正确的是( )A.0{0}∈,B.0{0}=,C.0{0}⊆,D.{0}∅=。
2.设 :f M N →是集合M 到集合N 的映射,下列说法正确的是( )A.M 中每一个元素在N 中必有输出值,B.N 中每一个元 素在M 中必有输入值,C.N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的,D.N 是M 中所有元素的输出值的集合。
3.设定义域在 R 上的函数()f x x x =⋅,则()f x ( )A.既是奇函数又是增函数,B.既是偶函数又是增函数,C.既是奇函数又是减函数,D.既是偶函数又是减函数。
4.集合11{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ==+∈==+∈,则( )A.M N =, B.M N ⊆ C.N M ⊆,D.M N =∅。
5.已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=,则(5)f 的值为( )A.19,B.13,C.-19,D.-136.若0a <,则函数(1)1xy a =--的图象必过点( ) A.(0,1), B.(0,0), C.(0,-1), D.(1,-1)。
7.要得到函数 (2)1y f x =-+的图象,只需将函数()y f x =的图象( )A.向右平移2个单位向下平移1个单位,B.向左平移2个单位向下平移1个单位,C.向右平移2个单位向上平移1个单位,D.向左平移2个单位向上平移1的一种运算:1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中,若{1,2,3}A =,{1,2}B =,则A B *中的所 有元素数字之和为。
9.已知函数()312f x ax a =+-在区间(-1,1)上 存在0x ,使得0()0f x =,则( )A.115a -<<,B.15a >,C.1a <-或15a >,D.1a <-。
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷(三)一、单选题1.设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===,则()A .AB =∅B .A B C= C .A C C= D .A C B= 2.在复平面内,复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称,则12z z =()A .34i-+B .34i--C .5D3.已知向量a ,b 满足3a = ,b = 且()a ab ⊥+ ,则b 在a方向上的投影向量为()A .3B .3-C .3a- D .a-r 4.已知函数()f x 的定义域为R ,()54f =,()3f x +是偶函数,[)12,3,x x ∀∈+∞,有()()12120f x f x x x ->-,则()A .()04f <B .()14f =C .()24f >D .()30f <5.若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上,则该正四棱锥的侧面积为()A .24B .32C .96D .1286.已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切,则实数a 的值为()A .1B .2C .3D .47.在直角坐标系中,绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点,若A 点的纵坐标为1213,且OAB △的面积为4,则B 点的纵坐标为()A .2-B .C .D .8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为()0,,A F c 是双曲线C 的右焦点,点P 在直线2x c =上,且tan APF ∠C 的离心率是()A .B .2C .D .4+二、多选题9.函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则下列选项中正确的有()A .()f x 的最小正周期为2πB .2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C .()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .把函数=的图象上所有点向右平移π12个单位长度,可得到函数3sin 2y x =的图象10.在长方体1111ABCD A B C D -中,1222AB AA AD ===,点P 满足AP AB AD λμ=+,其中[0,1]λ∈,[0,1]μ∈,则()A .若1B P 与平面ABCD 所成角为π4,则点P 的轨迹长度为π4B .当λμ=时,1//B P 面11ACD C .当12λ=时,有且仅有一个点,使得1A P BP ⊥D .当2μλ=时,1A P DP +11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中,中国队以69.800分的成绩夺得金牌,这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案,它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 、、后所得三条曲线与C 围成的(如图阴影区域),,A B 为C 与其中两条曲线的交点,若1p =,则()A .开口向上的抛物线的方程为212y x =B .A =4C .直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D .阴影区域的面积大于4三、填空题12.若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则2a =.13.已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩,若函数()2y f x =-有3个零点,则实数a 的取值范围是.14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积,若n n T a m +=,其中常数0m >,数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则m =.四、解答题15.记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()b c a b c a bc +-++=.(1)求A ;(2)若D 为BC 边上一点,3,4,BAD CAD AC AD ∠∠==,求sin B .16.如图,三棱柱111ABC A B C -中,160A AC ∠=︒,AC BC ⊥,1A C AB ⊥,1AC =,12AA =.(1)求证:1A C ⊥平面ABC ;(2)直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4,求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值.17.人工智能(AI )是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人,参与一场答题挑战.若开始基础分值为m (*m ∈N )分,每轮答2题,都答对得1分,仅答对1题得0分,都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12,每轮答题相互独立,每轮结束后机器人累计得分为X ,当2X m =时,答题结束,机器人挑战成功,当X 0=时,答题也结束,机器人挑战失败.(1)当3m =时,求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望;(2)当4m =时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18.已知椭圆G22+22=1>>0的长轴是短轴的3倍,且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,A B 是椭圆左右顶点,过,A B 做椭圆的切线,取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q (P 在Q 的左侧),并过,P Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点,直线RP 交点A 的切线于I ,直线RQ 交点B 的切线于J ,过R 作AB 的垂线交IJ 于K .(1)求椭圆的标准方程.(2)若()1,2R ,直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ,求12k k 的值.(3)求证:IK IA JKJB=19.对于函数()f x ,若实数0x 满足00()f x x =,则称0x 为()f x 的不动点.已知0a ≥,且21()ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A .以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素.(1)若0a =,求A 的元素个数及max A ;(2)当A 恰有一个元素时,a 的取值集合记为B .(i )求B ;(ii )若min a B =,数列{}n a 满足12a =,1()n n n f a a a +=,集合141,3nn k k C a =⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑,*N n ∈.求证:*N n ∀∈,4max 3n C =.。
重庆南开中学高2012级高三7月月考数学(文科)试题一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}3,B={2,3,4},则A B= ( ) A .{}3 B .{}2,4 C .{}1,2,4 D .{}2,3,4 2.函数,()23lg(31)xf x x =++的定义域为( )A .1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B .1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3.函数132xy =-的值域为( )A .1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B .()0,+∞ C .()1,0,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭4.已知f(x)为R 上的减函数,则满足1f x ⎛⎫⎪⎝⎭>()1f 的实数x 的取值范围是( ) A .(-∞,1) B .(1,+∞) C .(-∞,0) (0,1) D .()(),01,-∞+∞5.关于命题P :A ∅=∅ ,命题q :A A ∅= ,则下列说法正确的是( ) A .p ⌝或q 为真 B .p ⌝且q ⌝为真 C .p ⌝或q ⌝为真 D .p ⌝且q 为真 6.已知()221xf x a =--是定义在R 上的奇函数,则179f-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( ) A .13B .-3C .79D .977.函数()22f x x ax =-+与21()1a g x x -=+在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A.1(,1]2-B .1,0(0,1)2⎛⎫- ⎪⎝⎭C .1,0(0,1]2⎛⎫- ⎪⎝⎭D .1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭设[(3)]a g f =,[(2)]b g g =,{[(1)]}c f g f =,则a ,b ,c 之间的关系正确的为( ) A . a=b≠C B.a=b=C C .g≠b≠c D .a≠b=c9.己知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=2,且()f x 的导函数()'f x 在R 上恒有 ()'f x <1,则不等式f(x)<x+1的解集是( ) A .{x|x<-1} B .{x | x>1} C .{x | x<-1或x>1} D .{x|-1<x<1} 10.若对于x ∈[0,1],不等式111kx mx -≤≤-恒戍立,则一定有( )A .k≥0,m≥13B .k≥14,m≤13C .k≥0,m≤1D .k≥12,1二、填空题:(本大题5个小题,每小题5分,共25分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上 (只填结果,不要过程)。
天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分,考试用时120分钟.考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意,求得集合,结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由不等式,解得,所以,又由,所以.故选:C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图,如图所示,则下列说法中不正确的是( )A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ,由各个矩形面积之和为1即可列式求解;对于B ,求最右边两个矩形面积之和即可验算;对于C ,D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ,,故A 正确;对于B ,高三年级取得130分以上的学生约占总数的,故B 正确;对于C ,高三年级的平均分约为,故C 正确;对于D ,设高三年级成绩的中位数为,由于,所以,故D 不正确.故选;D.3. 已知,条件,条件,则是的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质,根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为,所以由得,故由能推出;反之,当时,满足,但是;所以是的充分不必要条件.故选:A .4. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ,由特殊点的函数值即可排除A.【详解】,则的定义域为R ,又,所以为奇函数,图象关于原点对称,故排除CD ,当时,,故排除A .故选:B.5. 已知函数是上的偶函数,且在上单调递增,设,,,则a ,b ,c 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质,函数单调性,只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数,且在上单调递增,所以,即.故选:B.6. 多项式展开式中的系数为( )A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算,进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选:A.7. 已知斜三棱柱中,为四边形对角线的交点,设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为,四棱锥的体积为,则( )A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图,延长,连接,则、,进而得,即可求解.【详解】如图,延长,连接,则,所以,又O 为的中点,所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍,则,所以,即故选:A8. 已知函数(为常数,且)的一个最大值点为,则关于函数的性质,下列说法错误的有( )个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为;②的一个最大值点为;③在上单调递增;④的图像关于中心对称.A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质,求的关系,再根据辅助角公式化简函数,再利用代入的方法,判断函数的性质.【详解】函数,,平方后整理为,所以,,函数的最小正周期为,故①正确;当时,,此时函数取得最大值,故②正确;当时,,位于单调递增区间,故③正确;,故④错误,所以错误的只有1个.故选:B9. 已知双曲线的左焦点为,过作渐近线的垂线,垂足为,且与抛物线交于点,若,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标,再根据,求出坐标,再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意,不妨取双曲线的渐近线方程为,此时,,∴,且是直角三角形,设,则,,代入中,得,即;设,则,,由,则,,∴,则;又在抛物线上,,即,化简得,分子分母同时除以,,且,,.故选:B二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)10. 已知,且满足(其中为虚数单位),则_________.【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组,解该方程组即可.【详解】由题意,可得,P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以,解得,所以.故答案为:211. 著名的“全错位排列”问题(也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行,每个元素都不在自己原来的位置上,求不同的排法总数.”,若将个不同元素全错位排列的总数记为,则数列满足,.已知有7名同学坐成一排,现让他们重新坐,恰有两位同学坐到自己原来的位置,则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项,再结合分步计数原理求解.【详解】第一步,先选出两位同学位置不变,则有种,第二步,剩下5名同学都不在原位,则有种,由数列满足,,则,,,则不同的做法有种.故答案为:.12. 已知在处的切线与圆相切,则_________.【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义,求得切线方程,再由直线与圆相切,列出方程,即可求解.【详解】由函数,可得,则且,所以函数在处的切线方程为,即,又由圆,可得圆心,半径为,2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆,解得.故答案为:.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动,灯谜题目中逻辑推理占,传统灯谜占,一中文化占,小伟同学答对逻辑推理,传统灯谜,一中文化的概率分别为,,,若小伟同学任意抽取一道题目作答,则答对题目的概率为______,若小伟同学运用“超能力”,抽到的5道题都是逻辑推理题,则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率,根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答,答对题目”,则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答,则答对题目的概率为,根据二项式分布知,所以,即的数学期望为.故答案为:,14. 在中,设,,其夹角设为,平面上点满足,,交于点,则用表示为_________.若,则的最小值为_________.【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线,得到和,得出方程组,求得的值,得到,再由,化简得到,得出,结合基本不等式,即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线,则存在实数使得,又因为三点共线,则存在实数使得,可得,解得,所以,由,因为,可得,整理得,可得,所以又因为所以,当且仅当时,即时,等号成立,所以.故答案为:15. 设函数,若函数与直线有两个不同的公共点,则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于,当可直接去绝对值求解,当时,分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论,通过和图像交点情况来求解.详解】由已知,即,则必过点,必过,对于,当时,,此时恒成立,所以,令,即,要有两个不同的公共点,则,解得或或,当时,或当时,和图象如下:此时夹在其两零点之间的部分为,令,得无解,则有两个根有两个根,即有两个解,,符合要求;当和图象如下:【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令,根据韦达定理可得其两根均为正数,对于①,则,解得,对于②,则,解得,综上所述,的取值范围是或或.【点睛】方法点睛:对于方程的根或者函数零点问题,可以转化为函数图象的交点个数问题,图象直观方便,对解题可以带来很大的方便.三、解答题(本大发共5小题,共75分)16. 已知中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且,.(1)求;(2)若,求的面积.【答案】(1(2【解析】【分析】(1)利用正弦定理求关系,再利用余弦定理求出,再利用两角和的正弦定理计算即可;(2)利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为,所以,由正弦定理得,所以,即,所以,在中,,所以【小问2详解】由(1)得当时,,所以17. 已知四棱台,下底面为正方形,,,侧棱平面,且为CD 中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成角的余弦值;(3)求到平面的距离.【答案】(1)证明见详解 (2)sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15(3【解析】【分析】(1)直接使用线面平行的判定定理即可证明;(2)构造空间直角坐标系,然后分别求出两个平面的法向量,再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可;(3)使用等体积法,从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于,,故,而,故四边形是平行四边形,所以,而在平面内,不在平面内,所以平面;【小问2详解】如上图所示,以为原点,为轴正方向,建立空间直角坐标系.则,,,,,,设平面与平面的法向量分别是和,则有和,1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即,,从而,,.故我们可取,,而,故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为,由于,而,所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ,B ,上顶点与两焦点构成等边三角形,右焦点(1)求椭圆的标准方程;(2)过作斜率为的直线与椭圆交于点,过作l 的平行线与椭圆交于P ,Q 两点,与线段BM 交于点,若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可;(2)设出直线方程,利用弦长公式求出求出,,利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离,再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得,则椭圆的标准方程为为;【小问2详解】设直线的方程为:,联立消去得,则,得,,设直线的方程为:,设,联立,消去得,易知,则,所以,由得,所以直线的方程为,即,联立得,所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线,因为,所以,解得.【点睛】方法点睛:直线与椭圆联立问题第一步:设直线方程:有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,都可由点斜式设出直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根的判别式.第四步:写出根之间的关系,由根与系数的关系可写出.第五步:根据题设条件求解问题中的结论.19. 已知数列满足对任意的,均有,且,,数列为等差数列,且满足,.(1)求,的通项公式;(2)设集合,记为集合中的元素个数.①设,求的前项和;②求证:,.【答案】(1),B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-(2)①;②证明过程见解析【解析】【分析】(1)根据等比中项的性质,结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可;(2)①根据不等式的解集特征,结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式,最后根据错位相减法进行求解即可;②运用放缩法,结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的,均有,所以数列是等比数列,又因为,,所以等比数列的公比为,因此;设等差数列的公差为,由;【小问2详解】因为,,所以由,因此有,即有,,当时,有于是有当为大于2的奇数时,()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++,显然也适合,当为大于2的偶数时,,显然也适合.①,,,设,则有,两式相减,得,,;②设,显然,,当时,有,因此,12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时,,即,显然当时,有成立.【点睛】关键点点睛:本题的关键由可以确定从第几项开始放缩,根据数列的通项公式的形式,得到,这样可以进行放缩证明.20. 已知函数.(1)讨论的单调区间;(2)已知,设的两个极值点为,且存在,使得的图象与有三个公共点;①求证:;②求证:.【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)首先求函数的导数,再讨论,结合函数的定义域,即可求函数的单调区间;(2)①要证,即证,只需证,构造函数,,借助导数即可得证;②同①中证法,先证,则可得,利用、是方程的两根所得韦达定理,结合即可得证.【小问1详解】,,N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中,,当时,即,此时恒成立,函数在区间单调递增,当时,即或当时,在区间上恒成立,即函数在区间上单调递增,当,得或当时,,时,,所以函数的单调递增区间是和,单调递减区间是,综上可知,当的单调递增区间是;当的单调递增区间是和,单调递减区间是;【小问2详解】①由(1)知,当时,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是,、是方程的两根,有,,又的图象与有三个公共点,故,则,()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证,即证,又,且函数在上单调递减,即可证,又,即可证,令,,由,则恒成立,故在上单调递增,即,即恒成立,即得证;②由,则,令,,则,故在上单调递增,即,1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时,,由,故,又,故,由,,函数在上单调递减,故,即,又由①知,故,又,故.【点睛】关键点点睛:最后一问关键点在于先证,从而借助①中所得,得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。
高一数学月考试题(集合与函数)2013.9.28一、选择题(每题5分,共5⨯12=60分,只有一个正确答案,请将正答案填写在题后的表格中) 1、在“①高一数学课本中的难题;②所有的正三角形; ③方程042=-x 的实数解”中,能够表示成集合的是( )(A )② (B )③ (C )②③ (D )①②③ 2、设集合M =,24},17|{=≤a x x 则( ) (A )M a ∈ (B )M a ∉ (C )M a ⊆ (D )M a >3、集合M={1,2,3}的子集是( )(A )6个 (B )7个 (C )8个 (D )9个 4、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是( )(A )2)()(,)(x x g x x f ==(B )22)1()(,)(+==x x g x x f (C )0)(,1)(x x g x f ==(D )⎩⎨⎧-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 5、在映射中B A f →:,},|),{(R y x y x B A ∈==,且),(),(:y x y x y x f +-→,则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为( )(A ))1,3(-(B ))3,1((C ))3,1(--(D ))1,3(6、已知f (x ),g (x )对应值如表则f (g (1))的值为( ) (A )-1 (B )0 (C )1(D )不存在7、方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是 ( )(A ){}0,1x y == (B ){}1,0 (C ){})1,0( (D ){}(,)|01x y x y ==或8、集合{}x A ,4,1=,{}1,2x B =,A B ⊆,则满足条件的实数x 的值为 ( ) (A )1或0 (B )1,0或2 (C )0,2或-2 (D )1或2 学号姓名9、表示图形中的阴影部分( )(A ))()(C B C A ⋃⋂⋃ (B ))()(C A B A ⋃⋂⋃ (C ))()(C B B A ⋃⋂⋃ (D )C B A ⋂⋃)( 10、已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )的解析式是( ) (A )3x +2(B )3x +1 (C )3x -1(D )3x +411、设集合},316|{},,613|{z k k x x N z k k x x M ∈+==∈+==,则M 、N 的关系为( ) (A )N M ⊆ (B )N M = (C )N M ⊇ (D )N M ∈12、调查了我校某班的50名学生参加课外活动小组的情况,有32人参加了数学兴趣小组,有27人参加了英语兴趣小组,对于既参加数学兴趣小组,又参加英语兴趣小组的人数统计中,下列说法正确的是( ) (A )最多32人 (B )最多13人 (C )最少27人 (D )最少9人A BC13、函数2)(2-=x x f 的值域是14、已知函数)(x f 的定义域是(]6,2,则函数)2(x f 的定义域是 .15、若集合{}{}|2,|A x x B x x a =≤=≥,满足{}2A B ⋂=则实数a = . 16、对于集合A,B,定义{}|A B x x A -=∈∉且B ,A⊙B=()()A B B A -⋃-, 设集合{}{}1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,10M N ==,则M⊙N= .三、解答题(10+12⨯5=20分)17(10分)设全集{}|110,U x x x N =≤≤∈且,集合{}{}3,5,6,8,4,5,7,8A B ==,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋃.18(12分)已知集合}82{≤≤=x x A , }61{<<=x x B , R U =.求A B U ,B A C U ⋂)(32+x(2)已知b ax x f +=)( )0(≠a 且89)(+=+x b x af ,求)(x f20(12分)若{}1,12,332+--∈-a a a ,求实数的值.21(12分)已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<+=)2(21)20()0(2)(2x x x x x x x f(1)求⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f f f 的值; (2)若2)(=x f ,求x 的值。
浙师大附中2011学年第一学期第一次月考
高一数学试题卷
命题人 蒋淑飞 审查人 申昱东
一、选择题 : (每小题5分, 共50分.)
1、已知全集}7,6,5{},7,5,3,1{},8,7,6,5,4,3,2,1{===N M U ,则)(N M C U 等于( )
A 、}7,5{
B 、}4,2{
C 、}8,4,2{
D 、}7,6,5,3,1{
2、 集合},1{},,2,0{2a B a A ==,若}16,4,2,1,0{=B A ,则集合}|{2a x x =的子集的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
3、函数R x x x x f ∈=|,|)(,满足( )
A 、既是奇函数又是减函数
B 、既是偶函数又是增函数
C 、既是奇函数又是增函数
D 、既是偶函数又是减函数 4、若∅是},|{2R a a x x ∈≤的真子集,则实数a 的取值范围是( )
A 、),0(+∞
B 、),0[+∞
C 、]0,(-∞
D 、)0,(-∞
5、已知⎪⎩⎪
⎨⎧>+≤--=1||,111||,2|1|)(2x x
x x x f ,则1(())2f f 等于( )
A 、
12
B 、
413
C 、59
-
D 、
2541
6、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且0)3(=f ,则使0)(<x f 的x 的范围为( )
A 、)3,(-∞
B 、),3(+∞
C 、),3()3,(+∞-∞
D 、)3,3(- 7、已知2)(3
5
++-=bx ax x x f ,且17)5(=-f ,则)5(f 的值为( ) A 、-13 B 、13 C 、-19 D 、19
8、定义在R 上的偶函数)(x f ,当]2,1[∈x 时,0)(<x f 且)(x f 为增函数,给出下列四个结论: ①)(x f 在]1,2[--上单调递增; ②当]1,2[--∈x 时,有0)(<x f ; ③)(x f 在]1,2[--上单调递减; ④|)(|x f 在]1,2[--上单调递减 其中正确的结论是( )
A 、①③
B 、②③
C 、②④
D 、③④ 9、
定义两种运算a b ⊕=
a b ⊗=
,则函数2()(2)2
x f x x ⊕=
⊗-为 ( )
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既是奇函数又是偶函数
D 、非奇非偶函数
10、已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有
(1)(1)()xf x x f x +=+,则5
(())2
f f 的值是( )
. A 、0 B 、
12
C 、1
D 、
5
2
二、填空题:(每小题4分, 共28分.) 11、若{}2
1,,
0,,b a a a b a ⎧
⎫=+⎨⎬⎩⎭
,则20112012a
b +的值为_______________; 12、设{}{}43|,|,><=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或,则__________
_,__________==b a ;
13、函数3
2)(--=x x x f 的定义域为________________;
14、已知23)1(2+-=+x x x f ,则=)(x f _______________; 15、若322=+-x x ,则=+-x x 44_____________;
16、如果函数()f x 满足:对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=,且()12f =,则
()()
()()
()()
()()
()()
…2345201012342009f f f f f f f f f f +++++=
_____________________;
17、函数]2,0[,2)(2
∈+=
x x
x x f 的值域为_______________.
三、解答题:(本题5小题,共72分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 18、已知全集R U =,函数x x x f -+
-=
31)(的定义域为A ,函数)
20(,42)(2
≤≤+-=x x x x g 的值域为B ,求:(1)B A ;(2)B A ;(3)B A C U )(
19、已知集合}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x A ,集合}054|{2>--=x x x B , (1)若∅=B A ,求实数a 的取值范围; (2)若A B A = ,求实数a 的取值范围。
20、已知函数)(x f y =为R 上的奇函数,且当0>x 时,x x x f 2)(2+-=, (1)求)(x f 的解析式,并在给出的直角坐标系中画出)(x f y =的图象; (2)写出函数)(x f y =的单调递减区间; (3)求函数)(x f 在区间],1[a -)0(>a 上的值域。
21、某民营企业生产A ,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A ,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A ,B 两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元。
22、已知函数],[,3)(3a a x x x x f -∈-=,0>a
(1)若)(x f 在],[a a -上是减函数,求实数a 的取值范围; (2)当1=a 时,解不等式:0)()1(2>+-t f t f .。