函数专题七方程根的分布及相关不等式问题解法总结
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函数专题七——方程根的分布及相关不等式问题解法总结根的分布指的是探讨方程在指定区间内根的存在性、个数的问题，高中数学常见于一元二次函数或与一元二次函数有关的问题中。
一、一次方程根的分布例1、已知函数4mx 2)x (f +=，若在区间[2-，1]上存在0x ，使0)x (f 0=，则实数m 的取值 范围是_______________。
小结：一次方程根的分布可以直接解得根后满足条件或在区间（a ，b ）上利用()()0b f a f <处理。
二、一元二次方程()0a 0c bx ax 2≠=++根的分布下面讨论当a>0时一元二次方程0c bx ax 2=++根的分布。
（一）不限制根的区间：（1）无根：Δ<0；（2）一根：Δ=0；（3）两根：Δ>0。
（二）限制根的区间 1、指定区间内有两根 ⑴、两个根在不同区间内①21x m x <<；②p x n x m 21<<<<；③21x n m x <<<；④q x p n x m 21<<<<<。
⑵、两个根在同一个区间内①21x x m ≤<；②m x x 21<≤；③n x x m 21<≤<。
∞+⑴至少有一个根①在（m ，∞+）内至少有一根：分两种情况：①在（m ，∞+）内恰有一根；②在（m ，∞+）内有两根。
②在（∞-，m ）内至少有一根：分两种情况：①在（∞-，m ）内恰有一根；②在（∞-，m ）内有两根。
③在（m ，n ）内至少有一根：分两种情况：①在（m ，n ）内恰有一根；②在（m ，n ）内有两根。
⑵至多有一个根①在（m ，∞+）内至多有一根：分三种情况：①在（m ，∞+）内恰有一根；②在（∞-，m]内有两根；③无根。
②在（∞-，m ）内至多有一根：分三种情况：①在（∞-，m ）内恰有一根；②在[m ，∞+）内有两根；③无根。
③在（m ，n ）内至多有一根：分四种情况：①在（m ，n ）内恰有一根；②在（∞-，m]内有两根；③在[n ，∞+）内有两根；④无根。
小结：一元二次方程根的分布关键在于正确地作出符合题意的抛物线．．．．．．．．．．．．．（．实际作图时最容易发生情况遗漏）．．．．．．．．．．．．．．．，．一般要先理解习题要求，再根据需要依次考虑习题中抛物线的四个方面（①开口方向、②判别式、③对称轴与区间的相对位置、④区间端点的函数值的符号）的可能性进行作图。
一、基础题型例2、已知关于x 的二次方程01222=+++m mx x ，分别求满足下列条件的m 的范围。
⑴一根比1小，另一根比1大； ⑵一根比0小，另一根比1大； ⑶两根都大于0；⑷两根∈1x （-1，0），∈2x （1，2）； ⑸两根都在区间（0，1）内； ⑹恰有一根在（1，+∞）内； ⑺至少有一根在（1，+∞）内。
小结：要正确作图可分以下几个步骤：⑴理解清楚题意：方程有没有根？有几个根？根分布在哪（两）个区域？是否需要分情况讨论？⑵开始作图：依次考虑以下方面：①开口方向有没有确定？②符合题意的“Δ”有哪些情况？③是否需要考虑对称轴相对与根的分布区间的位置关系？④分布区间的端点在图象上对应点位置在x 轴上？上方？下方？例3、已知a 3ax x )x (f 2-++=，若x ∈[2-，2]，2)x (f ≥恒成立，求a 的取值范围。
小结：①不等式问题要先转化为方程的根的分布问题。
②不等式恒成立问题也可用变量分离法求解。
练：1、已知关于x 的方程()0m 24x 1m 2x 2=-+-+，求满足下列条件的m 的取值范围。
⑴两个正根 ； ⑵有两个负根； ⑶两个根都小于1；⑷一个根大于2，一个根小于2 ； ⑸两个根都在（0，2）内；⑹两个根有且仅有一个在（0，2）内；⑺一个根在（2-，0）内，另一个根在（1，3）内；二、综合应用例4、关于x 的方程0b 2ax x 2=+-的一个实根在[0，1]上，另一根在[1，2]上，则b 3a 2+的最大值 为_____。
例5、已知集合A=(){}1m x x y |y ,x 2-+-=，B=(){}3x 0,3y x |y ,x ≤≤=+，若A ∩B 是单元素集，求实数m 的取值范围。
例6、已知函数()2x x 6x f -+=的定义域为A ，函数()3k x 4kx 1x g 2+++=的定义域为B ，若A B ⊆，求实数k 的取值范围。
例7、求函数()2x 1x x 1x y 2->+++=的值域。
三、复合型方程根的分布复合方程在探讨根的情况时，一般按复合函数的方法先换元成基本函数，然后按照从外到内的顺序讨论方程根的情况。
例8、已知函数)x (f y =和)x (g y =的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]x (g [f =有且仅有6个根 ②方程0)]x (f [g =有且仅有3个根③方程0)]x (f [f =有且仅有5个根 ④方程0)]x (g [g =有且仅有4个根 其中正确的命题是____________。
（将所有正确的命题序号填在横线上）例9、若关于x 的方程08a 3a 49a 2xx =-+⋅+⋅在x ∈[1-，1]上有解，求实数a 的取值范围。
例10、设定义域为R 的函数4x )x (f 2-=，若关于x 的函数c )x (f 4)x (f y 2+-=有8个不同的零点，则实数c 的取值范围是________________。
小结：复合型方程根的分布问题运用换元法先转化为基本函数问题，按照从外而内的思路分步解决问题。
y=f(x)y=g(x)练：2、设关于x 的方程∈=--+b b x x(0241R ），⑴若方程有实数解，求实数b 的取值范围；⑵当方程有实数解时，讨论方程实根的个数。
巩固训练：1、若关于x 的方程()01x 1a x 2=+-+有两相异实根，且两根均在区间[0，2]上，求实数a 的取值范围。
2、求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x 。
⑴有两个实根，且一个比２大，一个比２小； ⑵有两个实根βα,，且满足410<<<<βα； ⑶至少有一个正根。
3、关于x 的方程02ax x 2=++至少有一个小于1-的根，求实数a 的取值范围。
4、若二次函数()01p p 2x 2p 2x 4)x (f 22=+----=在区间[1-，1]内至少存在一个实数c ，使0)c (f >，求实数p 的取值范围。
5、设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
6、已知方程0m 2)1m 2(2m x x2=+⋅-+⋅在（∞-，1）上有两个根，求m 的取值范围。
参考答案：例1、简析：（一）令04mx 2)x (f =+=，显然0m ≠，解得：m 2x -=，∴1m22≤-≤-，∴2m -≤或1m ≥。
（二）由题意，有()()()()04m 24m 41f 2f ≤++-=-，∴2m -≤或1m ≥。
例2、简析：设函数()1m 2m x 2x x f 2+++=，则()()4m 8m 41m 24m 222--=+-=∆。
⑴01m 2m 21)1(f <+++=，∴21m -<。
⑵()()⎩⎨⎧<<+=01f 01m 20f ，∴21m -<。
⑶法（一）()⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆00f 0m 0，∴21m 21-≤<-。
法（二）涉及到根的正负问题也可用韦达定理解决：⎪⎩⎪⎨⎧>+=>-=+≥∆01m 2x x 0m x x 02121，∴21m 21-≤<-。
⑷(){()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-02f 01f 00f 01f ，∴21m 65-<<-。
⑸()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆01f 00f 1m 00，∴21m 21-≤<-。
⑹⎩⎨⎧>-=∆1m 0或()⎩⎨⎧<>∆01f 0，∴21m -<。
⑺⎩⎨⎧>-=∆1m 0或()⎩⎨⎧<>∆01f 0或()⎪⎩⎪⎨⎧>>->∆01f 1m 0，∴21m -<。
例3、简析：设函数()()0a 1ax x 2x f x g 2≥-++=-=对任何x ∈[2-，2]恒成立，∴如图有3种可能情形：①Δ=0；②()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<->∆02f 22a 0；③()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>->∆02f 22a 0，练：1、简析：设函数()()m 24x 1m 2x x f 2-+-+=，()()()()5m 23m 2m 2441m 22+-=---=∆⑴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>--≥∆0m 240f 021m 20，∴25m -≤。
⑵()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<--≥∆0m 240f 021m 20，∴2m 23<≤。
⑶()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<--≥∆041f 121m 20，∴23m >。
⑷06m 2)2(f <+=，∴3m -<。
⑸()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>-=<--<≥∆06m 22f 0m 240f 221m 200，∴φ∈m ⑹()()()()06m 2m 242f 0f <+-=，∴3m -<或2m >。
⑺(){()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=<-=>-=-010m 43f 041f 0m 240f 0m 6102f ，∴φ∈m 。
例4、简析：设函数()b 2ax x x f 2+-=，则()()()⎪⎩⎪⎨⎧><>02f 01f 00f ， 得⎪⎩⎪⎨⎧<-->-->02b a 01b 2a 0b ， 作出可行域，如图，设l ：b 3a 2z +=，当直线l 过点A （3，1）时，z=2a+3b 有最大值为9。
例5、简析：由题意，联立方程组()⎩⎨⎧≤≤=+-+-=3x 03y x 1mx x y 2，消去y ，得：()()3x 004x 1m x 2≤≤=++-恰有一解，∴()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤=-+=-+=∆321m 003m 5m 161m 2或()⎪⎩⎪⎨⎧=>+03f 321m 或()03f <，∴310m >或3m =。
例6、简析：[]3,2A -=，函数)x (g 定义域：03k x 4kx 2>+++，设函数()3k x 4kx x h 2+++=，∵A B ⊆，∴有①②()⎩⎨⎧≤+-=∆<03k k 4160k 或③()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+=≤-=-<-<->∆<015k 103h 05k 52h 3k 24200k ，解得：4k -≤或23k 4-≤<-，即23k -≤。
