2103高考数学试卷

2023年江西省九江市十校高考数学第二次联考试卷（理科）1. 已知集合，集合，则( )A. B.C. D.2. 若复数是虚数单位的共轭复数是，则的虚部是( )A. B. C. D.3. 2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间.如图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是( )A. 昼夜温差最大为B. 昼夜温差最小为C. 有3天昼夜温差大于D. 有3天昼夜温差小于4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致为( )A. B. C. D.6. 在中，，，若D是BC的中点，则( )A. 1B. 3C. 4D. 57. 已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个对称中心是( )A. B. C. D.8. 设函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式其中e为自然对数的底数的解集是( )A. B. C. D.9. 在锐角中，，，若BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R，则( )A. 4B. 2C. 1D.10. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是( )A. B. C. D.11.已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱和棱的中点，G为棱BC上的动点不含端点①三棱锥的体积为定值；②当G为棱BC的中点时，是锐角三角形；③面积的取值范围是；④若异面直线AB与EG所成的角为，则以上四个命题中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知抛物线C：的焦点F与双曲线的右焦点重合，斜率为k的直线l与C的两个交点为A，若，则k的取值范围是( )A. B.C. D.13. 2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕.随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛如图，某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为______ .14. 已知：，与一条坐标轴相切，圆心在直线上.若与相切，则的一个方程为：______ .15. 已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点P在DO上，且若平面PBC，则实数______ .16. 著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，，且，，则______ .17. 设数列的前n项和为，，是等比数列，，求数列的通项公式；求数列的前n项和18. 甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x个红球、y个黄球和z个蓝球，现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.当，，时，求乙胜的概率；若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分，求乙得分均值的最大值，并求此时x，y，z的值.19. 如图，在直三棱柱中，D为上一点，平面求证：；若，，P为AC的中点，求二面角的余弦值.20. 已知函数，其中，当时，讨论的单调性；若函数的导函数在内有且仅有一个极值点，求a的取值范围.21. 已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点.若为直角三角形，且求的值；若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆锥曲线C的极坐标方程为，、为C的左、右焦点，过点的直线l与曲线C相交于A，B两点.当时，求l的参数方程；求的取值范围.23. 设函数，其中当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；若，且不等式的解集是，求a的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，集合，或，则故选：求出集合M，，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：复数是虚数单位的共轭复数是，，，，则的虚部是故选：利用复数运算法则求出复数，从而，进而求出，由此能求出的虚部．本题考查复数运算法则、复数概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，1月11日昼夜差最大为，故A正确；对于B，1月15日昼夜温差最小为，故B正确；对于C，1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于，故C错误；对于D，1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于，故D正确．故选：直接看图求出每天的昼夜温差即可判断求解．本题考查折线图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：因为，所以，两边平方得则故选：由已知结合二倍角公式及同角平方关系进行化简即可求解．本题主要考查了二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：当，，判断选项A、当，，判断选项故选：通过x的范围，判断函数值的范围，判断选项即可．本题考查函数的图象与性质的应用，是基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，设，，，由，得，在中，由余弦定理可得，，即，，是BC的中点，，，两式作和可得，，即，则故选：由题意画出图形，由数量积得到，然后结合余弦定理得答案．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到图象，再根据所得图象关于y轴对称，，，令，，求得，，可得函数的对称中心为，故选：由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：设，，即，，在R上单调递减，又，不等式，即，，原不等式的解集为故选：设，由已知结合导数可得函数的单调性，由可得，则答案可求．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，构造函数是关键，是中档题．9.【答案】B【解析】解：是锐角三角形，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R，，又，，，，两式相加得：，即，，，又，，故选：由题意可知，代入，即可求出的值，进而可求得，求出，再利用正弦定理求解即可．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：构造函数，，则，当时，，在内单调递增，当时，，在内单调递减，，当且仅当时取等号，，，，，，，故选：构造函数，，证明，结合幂函数的性质能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：设CD中点为M，若G为BC中点，则有，，，则平面MFG，则，因为，所以，所以是直角三角形，故选项①不正确；因为，点G到平面的距离为定值，是定值，则三棱锥的体积为定值，故选项②正确；在侧面内作垂足为N，设N到EF的距离m，则边EF上的高为，故其面积为，当G与C 重合时，，，当G与B重合时，，，故选项③正确；取中点为N，连接EN，因为，所以异面直线AB与EG所成的角即为，在直角三角形NEG中，，当G为BC中点时，，当G与B，C重合时，，故所以选项④正确，故命题正确的个数为故选：设CD中点为M，若G为BC中点，证明，所以是直角三角形，故①不正确；因为，三棱锥的体积为定值，故②正确；在侧面内作垂足为N，设N到EF的距离m，其面积为，数形结合即得解，③正确；取中点为N，连接EN，异面直线AB与EG所成的角即为，数形结合分析即得，④正确．本题考查几何体的表面积，体积，考查异面直线所成的角，是中档题．12.【答案】A【解析】解：双曲线的标准方程是，其右焦点是所以，，抛物线C是斜率为k的直线l设为，联立消去y，化简整理得由得，，因为，所以，即而，即，解得代入，得到，，或故选：求出双曲线的右焦点坐标，然后求解抛物线方程，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用判别式以及韦达定理，结合，求解直线的斜率的范围即可．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．13.【答案】【解析】解：由图可知，比赛共有4场，半决赛2场，季军赛1场，总决赛1场，选其中3场的基本事件共有4场，其中季军赛，总决赛被选上的基本事件共有2场，故概率为，故答案为：先求出事件个数，再根据古典概型求解即可．本题主要考查古典概型，属于基础题．14.【答案】或或或，一个圆的方程即可．【解析】解：当与x轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，所以方程为或，当与y轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，所以方程为或，故答案为：或或或，一个圆的方程即可．设圆心，根据与一条坐标轴相切且与相切，列出方程，求解a值，确定圆的个数．本题考查圆的方程的求解问题，直线与圆的位置关系的应用，属中档题．15.【答案】【解析】解：如图，设，则，，，平面PBC，平在PBC，，在中，由勾股定理得，，解得故答案为：不妨设，由圆锥DO的轴截面为等边三角形，为底面的内接正三角形，得到，，然后根据平面PBC，得到，在中，利用勾股定理能求出结果．本题考查圆锥的结构特征、轴截面、勾股定理、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】128【解析】解：函数，，，化为，，且，数列为等比数列，公比为2，首项为1，故答案为：函数，可得，代入，化为，代入，化简整理利用等比数列的通项公式即可得出结论．本题考查了导数的运算法则、“牛顿数列”、等比数列的通项公式、数列递推关系、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：，当时，，当时，，，当时，符合题意，故数列的通项公式为；由得，则，，，在等比数列中，公比，，，数列的前n项和【解析】利用数列的递推式，即可得出答案；由得，则，求出，则，利用分组求和法，即可得出答案．本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：同色时乙胜，同为红色：甲取红球且乙取红球：，同为黄色：甲取黄球且乙取黄球：，同为蓝色：甲取蓝球且乙取蓝球：，所以乙胜的概率为；得分均值等于每种颜色的获胜概率乘以对应分数，再求和，即，因为，所以，所以当y最大时，均值最大，x，z的最小值为1，所以y最大为4，所以乙得分均值的最大值为，此时，，【解析】同色时乙胜，则计算3种颜色分别相同的概率，求和即可；得分均值等于每种颜色的获胜概率乘以对应分数，再求和，即，再结合求解即可．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了均值的求法，属于中档题．19.【答案】证明：三棱柱为直三棱柱，平面ABC，又平面ABC，，平面，且平面，又平面，平面，，平面，又平面，解：由知平面，平面，从而，如图，以B为原点建立空间直角坐标系，平面，其垂足D落在直线上，在中，，，，，在直三棱柱中，在中，，则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，即，得，平面的一个法向量为，则，二面角平面角的余弦值是【解析】由已知得平面ABC，，由此能证明由知平面，从而，以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：当时，，则，因为，所以，，因此，故函数在内单调递增．由，，由得，显然不是的根，当时，，令，，则，由，得，当或时，；当时，，故在，上单调递减，在单调递增，又，，，所以极大值为，故当或时，与在内有唯一交点，，当附近，，，当附近，，，故是在内的唯一极小值点，同理是在内的唯一极大值点，故a的取值范围为【解析】代入a的值，求出函数的导数，根据导函数的符号求出函数的单调区间即可；先对函数求导，求出时，，构造函数，，对求导，结合导数分析的单调性，然后结合函数极值存在条件可求．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．21.【答案】解：由椭圆的方程：可得，，所以，即，所以以为直径的圆与椭圆只有两个交点，即椭圆的上下顶点，因为，所以只有或为直角，当为直角时，即，这时；当为直角时，则，所以，所以；综上所述：或；设，联立，整理可得：，，可得，且，，所以AB的中点，由题意可得，整理可得：，代入可得，解得，即m的范围为【解析】由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，可得以为直径的圆与椭圆只有两个交点，因为为直角三角形，且，所以可能或为直角，分别求出这两种情况时的，的大小，进而求出所求的代数式的值；联立直线l的方程与椭圆的方程，判别式大于0，可得k，m的关系，求出两根之和，进而求出AB的中点D的坐标，进而求出DN的斜率，由题意可得k，m的关系，代入判别式大于0的代数式中，可得m的范围．本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，分类讨论的思想，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为；故，，由于，所以，故直线的倾斜角为；故经过点的直线的参数方程为为参数把直线l的参数方程为参数代入，得到；故，所以，由于故，即的取值范围为【解析】首先把曲线C的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步求出曲线的焦点坐标，再利用直线的平行关系求出直线的倾斜角，最后求出直线的参数方程；利用直线和曲线的位置关系整理出一元二次方程，进一步利用根和系数的关系和三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数的关系，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．23.【答案】解：根据题意，当时，，，设；直线与交于点，与直线交于点，且，点到直线的距离，则要求图形的面积；当时，，即，解可得，此时有，当时，，即，解可得，又由，则，此时有，综合可得：不等式的解集为，则有，解可得；故【解析】根据题意，分析可得，求出曲线与直线的交点坐标，进而计算答案；根据题意，结合a的范围，分析求出不等式的解集，由此可得关于a的方程，解可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解集，属于基础题．。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．94．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．27．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．48．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}二、填空题（共4小题）.13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}解：由题意得∁U A＝{2，4，6，8}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}，故选：B．2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数，则＝﹣i，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．9解：设第n天募捐到a n元，则数列{a n}是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和S n＝250n（n+3）．因为S7＝17500，S8＝22000，所以至少需要8天可完成募捐目标．故选：C．4．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：根据题意，设与的夹角为θ，因为，所以，即，向量＝（1，），则||＝，则有，解得，又由0≤θ≤π，则θ＝，故与的夹角为；故选：D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求．综上所述，优秀者为甲．故选：A．6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．2解：设左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2的中点为坐标原点，F1，F2所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则F1（﹣1，0），F2（1，0）．设曲线上任意一点P（x，y），则，化简得该卡西尼卵形线的方程为（x2+y2）2＝2（x2﹣y2），显然其对称中心为（0，0）．由（x2+y2）2＝2（x2﹣y2）得（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝﹣4y2≤0，所以（x2+y2）2≤2（x2+y2），所以0≤x2+y2≤2，所以．当且仅当时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为．故选：B．7．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．4解：模拟程序的运行，可得：当i＝1时，v＝1；当i＝2时，v＝2；当i＝3时，v＝4；…当i＝7时，v＝64，所以u＝MOD（64，7）＝1．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线的渐近线方程为，在△OPF2中，，所以a＝b，离心率．故选：D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）解：由题中图象可得T＝4，所以ω＝＝＝，又函数图象过原点（0，0），所以sinφ＝0，又|φ|＜π，所以φ＝0，所以，由的图象得g（x）的图象，只需将f（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得．故选：C．10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．解：由题意得，所以当时，f（x t）有最大值，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为，故选：A．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．解：根据题意，因为P为直线l上的动点，设P（2，t），圆C：x2+y2＝1，其圆心C的坐标为（0，0），半径为1，以线段PC为直径的圆N的方程为x2+y2﹣2x﹣ty＝0，则有，联立可得2x+ty﹣1＝0，即两圆公共弦AB的方程为2x+ty﹣1＝0，即ty＝2（x﹣），所以直线AB过定点．故选：A．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}解：构造函数．因为g（﹣x）＝ln（+3x）+sin（﹣x）+x＝ln﹣sin x+x＝﹣ln（﹣3x）﹣sin x﹣x＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，因为，（sin x﹣x）'＝cos x﹣1≤0，所以g（x）在区间（0，+∞）上是减函数．因为g（x）是奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上是减函数．不等式等价于，即，所以，解得﹣1＜x＜1，即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．解：由题意得，则．故答案为：．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．解：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，联立，解得交点为时，由z＝4x+y，得y＝﹣4x+z，由图可知，当直线y＝﹣4x+z过点时，z取最小值，，故答案为：．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为4或﹣2．解：设直线l：y＝x+b与曲线f（x）＝e x相切于点，由，得x0＝0，所以切点坐标为（0，1），所以直线l的方程为y＝x+1．又由直线l与曲线g（x）相切，得，化简得x2﹣2（m﹣1）x+9＝0，△＝4（m﹣1）2﹣36＝0，解得m＝4或m＝﹣2．故答案为：4或﹣2．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．解：由，得，即，所以由正弦定理得，所以，所以，设△ABC外接圆半径为R，因此，所以，即外接圆半径的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．解：（1）因为数列{a n}的公比q为2，所以a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4．因为a2，a3，a4﹣4成等差数列，所以2a3＝a2+a4﹣4,即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，所以；（2）由（1）可得b n＝＝，所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝（6+16+…+10n﹣4）+（2+4+…+2n）＝＝5n2+n+2n+1﹣2＝2n+1+5n2+n﹣2．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y 总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）由题意得，解得p＝8，所以q＝40﹣8＝32，所以x＝16+8＝24，y＝44+32＝76；（2）由列联表中的数据可得K2的观测值，所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关；（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比，因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为A1，A2，A3，A4，女性人，记为B1，B2，从这6人中抽取2人的所有方式为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∵PA⊥BD．又∵，∴PA2+AB2＝PB2，得PA⊥AB．又∵AB，BD⊂平面ABCD，AB∩BD＝B，PA⊥平面ABCD；（2）解：由（1）得PA⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，可得△PBC为等腰三角形．在△PBC中，由余弦定理得．∵BM⊥PC，∴，则．可得，又，∴．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．解：（1）由椭圆E的方程可得A（﹣a，0），B（a，0）．设M（x0，y0），则N（x0，﹣y0），所以．．又点M（x0，y0）在椭圆E上，所以，所以，所以，所以椭圆E的离心率．（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为．设直线l的方程为y＝x+m，R（0，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为S （x S，y S），联立消去y，得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，则△＝64m2﹣20（4m2﹣4）＝16（5﹣m2）＞0，解得m2＜5，所以，所以，所以,由，得RS⊥PQ，所以，解得,又因为以线段PQ为直径的圆过点R，所以PR⊥QR，所以．又y1＝x1+m，y2＝x2+m，代入上式整理得，即，解得m＝±1．所以直线l的方程为y＝x±1．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），（1分）则．令f'（x）＝0，得．因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0．当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x1）x1（x1，0）（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0﹣﹣0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以函数y＝f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）令，得x＝a，则a是函数f（x）的唯一零点．因为，所以0＜a＜x2，所以．当0＜x＜a时，f（x）＞0；当x＞a时，f（x）＜0．由（1）可知函数f（x）在区间上单调递减，在区间（x2，+∞）上单调递增，所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为，其中．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），由cos2α+sin2α＝1，可得圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝8，由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，可得极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝4．（2）的直角坐标为A（4，4），圆C（x﹣2）2+y2＝8的圆心为（2，0），半径为2，，当∠MCN＝90°时，面积最大，此时，圆心C到直线l的距离．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），即kx﹣y+4﹣4k＝0，圆心C到直线l的距离，解得，即3x﹣4y+4＝0．综上，直线l的方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题意得f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|＝,当时，令﹣x≥﹣1，解得；当时，令3x﹣2≥﹣1，解得．综上所述，f（x）≥﹣1的解集为．（2）由（1）得f(x)＝,当，﹣x＜ax﹣1，即（a+1）x﹣1＞0，此时，应有，解得a＞1；当时，3x﹣2＜ax﹣1，即（a﹣3）x+1＞0，此时，应有，解得1≤a≤3．综上所述，实数a的取值范围是（1，3]．。

4 侧视图22013年浙江文数试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合S ＝{x |x ＞﹣2}，T ＝{x |﹣4≤x ≤1}，则S ∩T ＝A ．[﹣4，+∞)B ．(﹣2，+∞)C ．[﹣4，1]D ．(﹣2，1] 【答案】D【解析】画出如右数轴即可的答案：S ∩T ＝(﹣2，1]． 2、已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i 【答案】C【解析】(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝6＋5i －1＝5＋5i ． 3、若α∈R ，则“α＝0”是“sin α＜cos α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】α＝0时，sin α＜cos α；α＝π6时，sin α＜cos α．故选A ．4、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 【答案】C【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m ⊥n 或m 与n 相交或m 与n 异面．B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交．D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β或m β．故选C ． 5、已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3 【答案】B【解析】作出如下立体图．该图是由长方体截去一个三第1题答图棱锥所得．体积为：6×6×3－(4×4×12 )×3×13＝100 cm 3．6、函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 【答案】A【解析】f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x ＝12 sin2 x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3 )，T ＝2π|ω|＝π，A ＝1． 7、已知a 、b 、c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若f (0)＝f (4)＞f (1)，则 A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0 【答案】A【解析】 f (0)＝f (4)，对称轴：x ＝﹣b2a ＝2，4a ＋b ＝0，f (4)＞f (1)，表明离对称轴越远值越大，故a ＞0．8、已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x ) 的图像如右图所示，则该函数的图像是【答案】B【解析】观察其导函数y ＝f ′(x )的图像易得，x 从﹣1到1，其导数值为正，即斜率都大于0，函数y ＝f (x )应为递增函数；x 从﹣1到0，其导数值增大，即函数y ＝f (x )斜率增大；x 从0到1，其导数值减小，即函数y ＝f (x )斜率减小．对应答案易得选B ．第5题答图9、如图F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共 点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 A ．2 B ．3 C ．32 D ．62【答案】D【解析】c 2＝3，F 1(﹣ 3，0)，F 2(3，0)，设C 2：x 2a 2－y 2b2＝1，A (m ，n )．a 2＋b 2＝3……①．若四边形AF 1BF 2为矩形，则：AF 1⊥AF 2，即：22141m n ⎧+=⎪⎪=-，解得：283m =，213n =．代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得：8a 2－1b 2＝3……②．联立①②得：a 2＝2，b 2＝1，e ＝ 1＋(b a )2＝62． 10、设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝ a ，a ≤b b ，a ＞b a ∨b ＝ b ，a ≤b a ，a ＞b若正数a 、b 、c 、d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 【答案】C【解析】采取特例法是解决本题的最好方法．如，令a ＝1，b ＝4，a ∧b ＝1，排除AB 选项；令c ＝0，d ＝1，c ∨d ＝1，排除C 选项；故选C ． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、已知函数f (x )＝x －1，若f (a ) ＝3，则实数a ＝___________． 【答案】10【解析】f (a ) ＝a －1，a －1＝9，a ＝10．12、从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_________．【答案】15【解析】P ＝3×26×5 ＝15． 13、直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于_________． 【答案】4 5【解析】圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3，4)，r ＝5，d ＝|2×3－4＋3|22＋12 ＝ 5 ．弦长为：r 2－d 2 ＝4 5 ．14、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________． 【答案】95【解析】S ＝32 ，k ＝2；S ＝53 ，k ＝3；S ＝74 ，k ＝4；S ＝95，k ＝5，跳出程序．15、设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k ＝________． 【答案】2【解析】由题得：21+2224x y x y x ≥⎧⎪⎪≤⎨⎪≥-⎪⎩，作出可行域如右所示：目标函数：设y ＝﹣kx ＋z ，z 的最大值肯定是过点B (4，4)时的截距，代入得：4＝﹣4k ＋12，则k ＝2． 16、设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于______________． 【答案】－1【解析】观察当x ＝1时，0≤1－1＋a ＋b ≤0，即a ＋b ＝0， b ＝﹣a ．……(※)，代入得：04第15题答图≤x 4－x 3＋ax ﹣a ≤(x 2－1)2，即：0≤(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，下面研究x ≥1时情况：当x ≥1时，x －1≥0，x 3＋a ≥0，a ≥﹣x 3，由恒成立条件知：a ≥﹣1．……①．(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2，即：x 3＋a ≤x 3＋x 2－x －1，即：a ≤x 2－x －1，由恒成立条件知：a ≤﹣1．……②．综合①②知a ＝﹣1，代回(※) 知b ＝1．故：ab ＝﹣1．17、设e 1、e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x 、y ∈R ．若e 1、e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于_______． 【答案】2【解析】由余弦定理易得：|b |2＝x 2＋y 2－2xy cos 5π6＝x 2＋y 2＋ 3 xy ，当x ＝0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2| x |2＝222x y x +＝21y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214y x ⎛++ ⎝⎭≥14 ，故：|x ||b |≤2，则|x ||b |的最大值等于2．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)2sin sin sin a ba B A B==由及正弦定理，得sin 2A =A 因为是锐角，所以π3A =． (Ⅱ)2222cos a b c bc A =+-由余弦定理，得2236b c bc +-=．8b c +=又，所以283bc =． 1sin 2S bc A =由三角形面积公式，3ABC ∆得的面积为19、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ；(Ⅱ) 若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |． 解：(Ⅰ) 由题意得23125(22)a a a ⋅=+，即2340d d --=．故14d d =-=或．所以11N 46N n n a n n a n n **=-+∈=+∈，或，．(Ⅱ){}0()111n n n a n S d d a n <=-=-+设数列的前项和为．因为，由Ⅰ得，．则11n ≤当时，212312122n n a a a a S n n ++++==-+ ．12n ≥当时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+ ．综上所述，2123212111221211101222n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪++++=⎨⎪-+≥⎪⎩ ，，，．20、如图，在在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°，G 为 线段PC 上的点． (Ⅰ)证明：BD ⊥面P AC ；(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与P AC 所成的角的正切值；(Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值． 证：(Ⅰ)O AC BD 设点为，的交点．AB BC AD CD BD AC ==由，，得是线段的中垂线． O AC BD AC ⊥所以为的中点，．PA ABCD BD ABCD ⊥⊂又因为平面，平面，所以PA BD⊥所以BD APC ⊥平面．(Ⅱ) ()OG OD APC DG APC OG ⊥连结．由Ⅰ可知平面，则在平面内的射影为，OCG DG APC ∠所以是与平面所成的角．由题意得12OG PA == ABC ∆在中，AC ==所以12OC AC == O第20题答图OCD ∆在直角中，2OD ==．OCD ∆在直角中，tan OD OGD OG ∠==DG APC 所以与平面 (Ⅲ) OG PC BGD OG BGD PC OG ⊥⊂⊥连结．因为平面，平面，所以．PAC PC ∆=在直角中，得 所以5AC OC GC PC ⋅==．从而5PG =所以32PG GC =．21、已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ．(Ⅰ)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (Ⅱ)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0，|2a |]上的最小值． 解：(Ⅰ) 21()6126a f x x x '==-+当时，，所以(2)6f '=．(2)4f =又因为，所以切线方程为68y x =-．(Ⅱ) ()()[02]g a f x a 记为在闭区间，上的最小值．2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--．()0f x '=令，得到121x x a ==，．1a >当时，2(0)0()(3)f f a a a ==-比较和的大小可得2013()(3)3a g a a a a <≤⎧=⎨->⎩，，，．1a <-当时，得()31g a a =-． ()[02]f x a 综上所述，在闭区间，上的最小值为2311()013(3)3a a g a a a a a -<-⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，，，，，．22、已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1）．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．解：(Ⅰ) 2C 2(0)x py p =>由题意可设抛物线的方程为，则 12p =， C 所以抛物线的方程为24x y =．(Ⅱ) 1122()()A x y B x y AB 设，，，，直线的方程为1y kx =+．214y kx y x y=+⎧⎨=⎩由，消去，整理得2440x kx --=，所以121244x x k x x +==，．从而12x x -=由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，， M 解得点的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---．N 同理点的横坐标284N x x =-． 所以284M NMN x x =-=-== 34304t k t t k +-=≠=令，，则． 0t >当，MN => 0t <当，MN =≥25433t k MN =-=-综上所述，，即，。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2013北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1B.23C.1321D.6109875.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x关于y轴对称，则f(x)=A.1e x+ B. 1e x- C. 1e x-+ D. 1e x--6.若双曲线22221x ya b-=，则其渐近线方程为A.y=±2xB.y= C.12y x=±D.2y x=±7.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A.43B.2C.83D.138.设关于x,y的不等式组210,0,x yx my m-+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 .10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA=3，916P D D B =：：，则PD= ；AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ= .14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

2021年三中高考数学保温试卷〔文科〕一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕1．函数与y=ln〔2﹣x〕的定义域分别为M、N，那么M∩N=〔〕A．〔1，2] B．[1，2〕C．〔﹣∞，1]∪〔2，+∞〕D．〔2，+∞〕2．假设，那么复数z对应的点在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．向量，，那么“m=1〞是“〞成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．从编号为1，2，…，79，80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，假设编号为10的产品在样本中，那么该样本中产品的最大编号为〔〕A．72 B．73 C．74 D．755．角α〔0°≤α＜360°〕终边上一点的坐标为〔sin150°，cos150°〕，那么α=〔〕A．150°B．135°C．300°D．60°6．函数的大致图象是〔〕A．B．C．D．7．如图是计算的值的程序框图，那么图中①②处应填写上的语句分别是〔〕A．n=n+2，i＞16？B．n=n+2，i≥16？C．n=n+1，i＞16？D．n=n+1，i≥16？8．某几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A． B．C．D．9．实数x，y满足时，目的函数z=mx+y的最大值等于5，那么实数m 的值是〔〕A．﹣1 B．C．2 D．510．三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，，那么该三棱锥的外接球的外表积为〔〕A．B．C．D．11．动点P在椭圆上，假设点A的坐标为〔3，0〕，点M满足，，那么的最小值是〔〕A．B．C． D．312．函数存在互不相等实数a，b，c，d，有f〔a〕=f〔b〕=f 〔c〕=f〔d〕=m．现给出三个结论：〔1〕m∈[1，2〕；〔2〕a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1〕，其中e为自然对数的底数；〔3〕关于x的方程f〔x〕=x+m恰有三个不等实根．正确结论的个数为〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13．观察以下式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为．14．函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的图象如下图，那么f〔0〕的值是．15．双曲线〔a＞0，b＞0〕上一点M关于渐进线的对称点恰为右焦点F2，那么该双曲线的离心率为．16．在希腊数学家的著作?测地术?中记载了著名的公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，假设三角形的三边长为a，b，c，其面积，这里．在△ABC中，BC=6，AB=2AC，那么△ABC面积的最大值为．三、解答题17．数列{a n}满足，n∈N*．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设，T n=b1+b2+…+b n，求证：对任意的n∈N*，T n＜1．18．在如下图的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，四边形ADEF 为等腰梯形，EF∥AD，AE⊥EC，AB=AF=EF=2，AD=CD=4．〔Ⅰ〕求证：CD⊥平面ADEF；〔Ⅱ〕求多面体ABCDEF的体积．19．天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经历，经过分析推断得到的，在现实的消费生活中有着重要的意义．某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关．〔Ⅰ〕天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1，2，3，4，表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989求由随机模拟的方法得到的概率值；〔Ⅱ〕经过数据分析，一天内降雨量的大小x〔单位：毫米〕与其出售的快餐份数y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量〔毫米〕 1 2 3 4 5快餐数〔份〕50 85 115 140 160试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．〔结果四舍五入保存整数〕附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．在平面直角坐标系xOy中，设圆x2+y2﹣4x=0的圆心为Q．〔1〕求过点P〔0，﹣4〕且与圆Q相切的直线的方程；〔2〕假设过点P〔0，﹣4〕且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B，以OA、OB 为邻边做平行四边形OACB，问是否存在常数k，使得▱OACB为矩形？请说明理由．21．函数f〔x〕=lnx﹣a〔x﹣1〕，g〔x〕=e x．〔1〕求证：g〔x〕≥x+1〔x∈R〕；〔2〕设h〔x〕=f〔x+1〕+g〔x〕，假设x≥0时，h〔x〕≥1，务实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：〔α是参数〕．在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcosθ﹣3=0．点P是曲线C1上的动点．〔1〕求点P到曲线C2的间隔的最大值；〔2〕假设曲线C3：θ=交曲线C1于A，B两点，求△ABC1的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x+1|﹣2．〔1〕求不等式f〔x〕≥1的解集；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，务实数a的取值范围．2021年三中高考数学保温试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕1．函数与y=ln〔2﹣x〕的定义域分别为M、N，那么M∩N=〔〕A．〔1，2] B．[1，2〕C．〔﹣∞，1]∪〔2，+∞〕D．〔2，+∞〕【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】分别求函数与y=ln〔2﹣x〕的定义域，再利用交集的定义写出M∩N．【解答】解：函数的定义域为M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，函数y=ln〔2﹣x〕的定义域为N={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，那么M∩N={x|1≤x＜2}=[1，2〕．应选：B．2．假设，那么复数z对应的点在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解： ==+i，那么复数z对应的点在第一象限．应选：A．3．向量，，那么“m=1〞是“〞成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由，可得：m2﹣1=0，解得m，即可判断出结论、【解答】解：由，可得：m2﹣1=0，解得m=±1，∴“m=1〞是“〞成立的充分不必要条件．应选：A．4．从编号为1，2，…，79，80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，假设编号为10的产品在样本中，那么该样本中产品的最大编号为〔〕A．72 B．73 C．74 D．75【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：样本间隔为80÷5=16，因为第一个号码为10，那么最大的编号10+4×16=74，应选：C．5．角α〔0°≤α＜360°〕终边上一点的坐标为〔sin150°，cos150°〕，那么α=〔〕A．150°B．135°C．300°D．60°【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，特殊角的三角函数值，求得α的正切值以及α的范围，可得α的值．【解答】解：∵角α〔0°≤α＜360°〕终边上一点的坐标为〔sin150°，cos150°〕，即〔，﹣〕，那么α为第四象限角，再根据tanα==﹣，∴α=360°﹣60°=300°，应选：C．6．函数的大致图象是〔〕A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】判断f〔x〕的奇偶性，再判断当x＞1时的函数值的符号即可．【解答】解：f〔﹣x〕===﹣f〔x〕，∴f〔x〕是奇函数，图象关于原点对称，故A，C错误；又当x＞1时，ln|x|=lnx＞0，∴f〔x〕＞0，故D错误，应选B．7．如图是计算的值的程序框图，那么图中①②处应填写上的语句分别是〔〕A．n=n+2，i＞16？B．n=n+2，i≥16？C．n=n+1，i＞16？D．n=n+1，i≥16？【考点】EF：程序框图．【分析】首先分析，要计算的值需要用到直到型循环构造，按照程序执行运算．【解答】解：①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，∴n=n+2②的意图是为直到型循环构造构造满足跳出循环的条件，而分母从1到31一共16项，∴i＞16应选：A．8．某几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A． B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去局部后得到的几何体，因此计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去局部后得到的几何体，体积为=；应选D．9．实数x，y满足时，目的函数z=mx+y的最大值等于5，那么实数m 的值是〔〕A．﹣1 B．C．2 D．5【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义进展求解即可．【解答】解：由z=mx+y，得y=﹣mx+z，∵标函数z=mx+y的最大值等于5，∴直线y=﹣mx+z最大截距是5，即y=﹣mx+5，那么直线y=﹣mx+5过定点〔0，5〕，要使y=﹣mx+z最大截距是5，那么必有直线y=﹣mx+z的斜率﹣m＞0，即m＜0，且直线y=﹣mx+5过点B，由得，即B〔﹣4，3〕，代入y=﹣mx+5得4m+5=3，得m=，应选：B．10．三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，，那么该三棱锥的外接球的外表积为〔〕A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和外表积．【分析】由结合三棱锥和直三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解外表积．【解答】解：在△ABC中，由AB=5，BC=8，∠B=60°，可得AC==7 可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱柱的外接球，∵在△ABC中，设△ABC的外接圆半径r，那么，r=球心到△ABC的外接圆圆心的间隔 d=，故球的半径R=，∴三棱锥S﹣ABC外接球的外表积为：4πR2=4=π．应选：B．11．动点P在椭圆上，假设点A的坐标为〔3，0〕，点M满足，，那么的最小值是〔〕A．B．C． D．3【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由题设条件，结合向量的性质，推导出||2=||2﹣1，再由||越小，||越小，能求出||的最小值．【解答】解：椭圆中，a=6，c===3，∵，∴⊥，∴||2=||2﹣||2∵||=1，∴||2=1，∴||2=||2﹣1，∵||=1，∴点M的轨迹为以为以点A为圆心，1为半径的圆，∵||2=||2﹣1，||越小，||越小，结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，||取最小值a﹣c=6﹣3=3，∴||最小值是=2．应选：C．12．函数存在互不相等实数a，b，c，d，有f〔a〕=f〔b〕=f 〔c〕=f〔d〕=m．现给出三个结论：〔1〕m∈[1，2〕；〔2〕a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1〕，其中e为自然对数的底数；〔3〕关于x的方程f〔x〕=x+m恰有三个不等实根．正确结论的个数为〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意画出函数y=f〔x〕的图象，数形结合逐一分析三个结论得答案．【解答】解：作出函数的图象如图，假设直线y=m与函数y=f〔x〕的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[1，2〕，故〔1〕正确；设y=m与函数y=f〔x〕的交点自左至右依次为a，b，c，d，由﹣2﹣lnx=1，得x=e﹣3，由﹣2﹣lnx=2，得x=e﹣4，∴c∈〔e﹣4，e﹣3]，又﹣2﹣lnc=2+lnd，∴cd=e﹣4，∴a+b+c+d=﹣2+c+在〔e﹣4，e﹣3]上是递减函数，∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1〕，故〔2〕正确；设斜率为1的直线与y=lnx+2相切于〔x0，lnx0+2〕，那么由，可得x0=1，那么切点为〔1，2〕，此时直线方程为y﹣2=1×〔x﹣1〕，即y=x+1，∴当m=1时，直线y=x+m与函数y=f〔x〕有4个不同交点，即关于x的方程f〔x〕=x+m有四个不等实根，故〔3〕错误．∴正确结论的个数是2个．应选：C．二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13．观察以下式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为1+++…+＜．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1+++…+＜故答案为：1+++…+＜14．函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的图象如下图，那么f〔0〕的值是．【考点】HK：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．【分析】根据函数f〔x〕的图象，求出最小正周期T和ω的值，根据五点法画图的定义求出φ的值，写出f〔x〕的解析式，再计算f〔0〕的值．【解答】解：根据函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的图象知，=﹣〔﹣〕=π，∴T=2π，∴ω==1；根据五点法画图知，x=时，ω•+φ=π，解得φ=，∴f〔x〕=sin〔x+〕；∴f〔0〕=sin=，即f〔0〕的值是．故答案为：．15．双曲线〔a＞0，b＞0〕上一点M关于渐进线的对称点恰为右焦点F2，那么该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设M〔m，n〕，右焦点F2〔c，0〕，双曲线的一条渐近线方程为y=﹣x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得m，n，代入双曲线的方程，化简整理，结合双曲线的根本量和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设M〔m，n〕，右焦点F2〔c，0〕，双曲线的一条渐近线方程为y=﹣x，由题意可得﹣•=﹣1①n=﹣•②由①②解得m=，n=﹣，将M〔，﹣〕代入双曲线的方程，可得：﹣=1，由b2=c2﹣a2，化为〔2a2﹣c2〕2﹣4a4=a2c2，即为c2=5a2，可得e==．故答案为：．16．在希腊数学家的著作?测地术?中记载了著名的公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，假设三角形的三边长为a，b，c，其面积，这里．在△ABC中，BC=6，AB=2AC，那么△ABC面积的最大值为12 ．【考点】HR：余弦定理．【分析】设b=x，那么c=2x，根据面积公式得S△ABC=，由三角形三边关系求得2＜x＜6，由二次函数的性质求得S△ABC获得最大值．【解答】解：∵a=6，设b=x，那么c=2x，可得： =3+，∴===由三角形三边关系有：x+2x＞6且x+6＞2x，解得：2＜x＜6，故当 x=2时，S△ABC获得最大值12．故答案为：12．三、解答题17．数列{a n}满足，n∈N*．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设，T n=b1+b2+…+b n，求证：对任意的n∈N*，T n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】〔Ⅰ〕当n＞1时，，n∈N*…①，…②，①﹣②得，；〔Ⅱ〕因为，，累加求和即可证明．【解答】解：〔Ⅰ〕当n＞1时，，n∈N*…①．…②①﹣②得，，当n=1时，a1=2，所以．〔Ⅱ〕因为，．因此=，所以T n＜1．18．在如下图的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，四边形ADEF 为等腰梯形，EF∥AD，AE⊥EC，AB=AF=EF=2，AD=CD=4．〔Ⅰ〕求证：CD⊥平面ADEF；〔Ⅱ〕求多面体ABCDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的断定．【分析】〔Ⅰ〕取AD中点M，连接EM，只需证明AE⊥CD，CD⊥AD，即可得CD⊥平面ADEF．〔Ⅱ〕作EO⊥AD，可得EO=，连接AC，那么V ABCDEF=V C﹣ADEF+V F﹣ABC，【解答】解：〔Ⅰ〕证明：取AD中点M，连接EM，∵AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM=AD，∴AE⊥DE，又AE⊥EC，DE∩EC=E∴AE⊥平面CDE，∵CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADEF．〔Ⅱ〕由〔1〕知 CD⊥平面ADEF，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADEF；作EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，EO=，连接AC，那么V ABCDEF=V C﹣ADEF+V F﹣ABC，，，∴．19．天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经历，经过分析推断得到的，在现实的消费生活中有着重要的意义．某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关．〔Ⅰ〕天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1，2，3，4，表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989求由随机模拟的方法得到的概率值；〔Ⅱ〕经过数据分析，一天内降雨量的大小x〔单位：毫米〕与其出售的快餐份数y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量〔毫米〕 1 2 3 4 5快餐数〔份〕50 85 115 140 160试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．〔结果四舍五入保存整数〕附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【考点】BK：线性回归方程．【分析】〔Ⅰ〕找出上述随机数中满足条件的数据，计算对应概率值；〔Ⅱ〕计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程，利用回归方程计算x=6时的值即可．【解答】解：〔Ⅰ〕上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393，一共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为；〔Ⅱ〕由题意可知，，，；所以，y关于x的回归方程为：．将降雨量x=6代入回归方程得：．所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．20．在平面直角坐标系xOy中，设圆x2+y2﹣4x=0的圆心为Q．〔1〕求过点P〔0，﹣4〕且与圆Q相切的直线的方程；〔2〕假设过点P〔0，﹣4〕且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B，以OA、OB 为邻边做平行四边形OACB，问是否存在常数k，使得▱OACB为矩形？请说明理由．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】〔1〕设切线方程为：y=kx﹣4，利用圆心到直线的间隔等于半径求出k，即可求过点P〔0，﹣4〕且与圆Q相切的直线的方程；〔2〕联立得〔1+k2〕x2﹣〔8k+4〕x+16=0，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：〔1〕由题意知，圆心Q坐标为〔2，0〕，半径为2，设切线方程为：y=kx﹣4，所以，由解得所以，所求的切线方程为，或者x=0；〔2〕假设存在满足条件的实数k，那么设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立得〔1+k2〕x2﹣〔8k+4〕x+16=0∵△=16〔2k+1〕2﹣64〔1+k2〕＞0，∴，∴，且y1+y2=k〔x1+x2〕，∵=〔x1+x2，y1+y2〕，∴，又=，要使平行四边形OACB矩形，那么=，所以k=2，∴存在常数k=2，使得平行四边形OACB为矩形．21．函数f〔x〕=lnx﹣a〔x﹣1〕，g〔x〕=e x．〔1〕求证：g〔x〕≥x+1〔x∈R〕；〔2〕设h〔x〕=f〔x+1〕+g〔x〕，假设x≥0时，h〔x〕≥1，务实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】〔1〕构造函数u〔x〕=e x﹣〔x+1〕，求出导函数u'〔x〕=e x﹣1，根据导函数求出函数的最小值即可；〔2〕h〔x〕=f〔x+1〕+g〔x〕=ln〔x+1〕﹣ax+e x，求出导函数．求出=，得出h'〔x〕在[0，+∞〕上递增，对参数a 分类讨论，得出原函数的最小值为1即可．【解答】〔1〕证明：令u〔x〕=e x﹣〔x+1〕，那么u'〔x〕=e x﹣1，所以x＜0时u'〔x〕＜0，x＞0时u'〔x〕＞0，所以u〔x〕≥u〔0〕=0，即e x≥x+1〔2〕解：h〔x〕=f〔x+1〕+g〔x〕=ln〔x+1〕﹣ax+e x，．因为=，所以h'〔x〕在[0，+∞〕上递增①当a＞2时，h'〔0〕=2﹣a＜0，又=那么存在x0∈〔0，lna〕，使得h'〔x0〕=0．所以h〔x〕在〔0，x0〕上递减，在〔x0，+∞〕上递增，又h〔x0〕＜h〔0〕=1，所以h〔x〕≥1不恒成立，不合题意．②当a≤2时，因为h'〔0〕=2﹣a＞0，所以h'〔x〕＞0在[0，+∞〕上恒成立即h〔x〕在[0，+∞〕上为增函数，所以h〔x〕≥h〔0〕=1恒成立，符合题意．综合①②可知，所务实数a的取值范围是〔﹣∞，2]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：〔α是参数〕．在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcosθ﹣3=0．点P是曲线C1上的动点．〔1〕求点P到曲线C2的间隔的最大值；〔2〕假设曲线C3：θ=交曲线C1于A，B两点，求△ABC1的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕求得C1的HY方程，及曲线C2的HY方程，那么圆心C1到x=3间隔 d，点P到曲线C2的间隔的最大值d max=R+d=6；〔2〕将直线l的方程代入C1的方程，求得A和B点坐标，求得丨AB丨，利用点到直线的间隔公式，求得C1到AB的间隔 d，即可求得△ABC1的面积．【解答】解〔1〕曲线C1：〔α是参数〕．整理得：〔x+2〕2+〔y+1〕2=1曲线C2：ρcosθ﹣3=0，那么x=3．那么圆心C1到x=3间隔 d，d=2+3=5，点P到曲线C2的间隔的最大值d max=R+d=6；∴点P到曲线C2的间隔的最大值6；〔2〕假设曲线C3：θ=，即y=x，，解得：，，丨AB丨==∴C1到AB的间隔 d==，那么△ABC1的面积S，S=××=．∴△ABC1的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x+1|﹣2．〔1〕求不等式f〔x〕≥1的解集；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，务实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】〔1〕分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f〔x〕≥3的解集；〔2〕f〔x〕=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|〔x﹣1〕﹣〔x+1〕|﹣2=0，利用关于x的不等式f〔x〕≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，即可务实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕原不等式等价于或者或者解得：或者，∴不等式的解集为或者．〔2〕∵f〔x〕=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|〔x﹣1〕﹣〔x+1〕|﹣2=0，且f〔x〕≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。

2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.22a b ab> B.2211ab a b> C.33a b< D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（）A.72e 22e- B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0ek t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22nn n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D由题意可得()(1)e x x f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1xf x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A ，故min ||AB ==.9.ABD当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得3333t -<<；由()0g t '<，得313t -≤<-或313t <≤，则()g t 在31,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和3,13⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在33,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，38339g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，38339g ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以8383()99g t ⎡∈-⎢⎣⎦，即()f x 的值域是838399⎡-⎢⎣⎦，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin 2t x ⎤=∈⎥⎣⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在,13⎤⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以22sin 3C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin 17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以5sin 5C =.（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，5sin 5C =，25cos 5C =，则3254525sin sin()sin cos cos sin 55555B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=.由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==sin sin a Cc A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x x a a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x xx a a f x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x x f x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992nn n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n nn n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。

安徽省2013届高考压轴卷 数学文试题（满分：150分，时间：120分钟）第I 卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数(1)(2)Z i i =+-的实部是m ，虚部是n ，则m n ⋅的值是（ ） A ． 3 B. 3- C. 3i D.3i -2.已知集合{}2|ln(9)A Z B x y x ===-，，则A B 为（ ）A ． {}210--，， B. {}-2-1012，，，， C. {}012，， D. {}-1012，，， 3.已知一组观测值具有线性相关关系，若对于 y bxa =+，求得0.6 2.5 3.6b x y ===，，，则线性回归方程是（ ）A ． 0.6 2.1y x =- B. 2.10.6y x =+ C. 0.6 2.1y x =+ D. 2.10.6y x=-+ 4.已知平面αβ，，直线m ⊂平面α，则“平面//α平面β”是“直线//m 平面β”的（ ） A ．充分不必要条件 B.充要条件 Ｃ.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.实数满足不等式组2303270210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则x y -的最小值是（ ）A ．-1 B. -2 C. 1 D. 2 6.若1sin()34x π+=，则sin(2)6x π+的值（ ） A ．78 B ．78-C. D.7．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ） A ．25 B.710 C.45 D.9108.设12F F ，是双曲线2222100y x a b a b-=>>（，）是上下焦点，若在双曲线的上支上，存在点P 满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率是（ ） A.52 B. 53 C. 54 D. 439.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对于(0)x ∀∈+∞，，都有(2)()f x f x +=-，且(]01x ∈，时，()21xf x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.已知函数3|log |(03)()12(3)3x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，又三个互不相等的αβγ、、满足()()()f f f αβγ==，则αβγ的范围是（）A ．(06)， B. (36)， C. []36， D. (03)，第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在横线上）11.某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据，可得该几何体的体积是______.12.如图在下面的框图输出的S 是363，则条件①可以填______.（答案不唯一）13.如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，…，则在第20给个拐弯处的正整数是_______.14.已知数列{}n a 中满足是1111(2)2(1)n n n n a a a a a n n n --=-=≥-，，则数列{}n a 的通项公式是________.15.给出下列五个命题中，其中所有正确命题的序号是_______. ①函数()f x =3②函数2()|4|f x x =-，若()()f m f n =，且0m n <<，则动点()P m n ，到直线512390x y ++=的最小距离是3-.③命题“函数()sin 1f x x x =+，当1212||||22x x x x ππ⎡⎤∈->⎢⎥⎣⎦，，，且时，12()()f x f x >有”是真命题. ④函数22()sin cos 1f x ax x x ax =++的最小正周期是1的充要条件是1a =. ⑤已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，OA OB 、为不共线的向量，又14026OC a OA a OB =+，若CA AB λ=，则40262013S =.三、解答题（本大题共有6个小题，共计75分。

南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑, 其中11n ii x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合{}2,1,0,1-=U , {}1,1-=A , 则U A ð= 。

2.复数2(12)i -的共轭复数是 。

3.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8, 9, 10, 10, 8, 则该组数据的方差为 。

4.袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 。

5.在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 。

6.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 则目标函数23z x y =+的最大值为 。

7.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 。

8.将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 。

9.现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.则所有真命题的序号是 。

10. 在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC 的值为 。

11.如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , =,12AE EB = , 若12BD AC ⋅=-, 则⋅= 。

12.已知1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 。

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。