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⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品自学考 料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯全国 2018 年 7 月高等教育自学考试数论初步试题课程代码： 00418一、单项选择题（本大题共30 小题，每小题 1 分，共 30 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．m, n 是整数，下列式子可能成立的是（ ）A ． 2m=2n+1B ． 4n=4m+1C ． 3m=5n+1D ． 6m=4n+12．下列说法正确的是（ ）A ． -2 除以 -3 余数为 1B ． -5 除以 2，余数为 -1C ． -10 除以 -3，余数为 -7D ． 19 除以 2，余数为 33．任意 12 个连续整数中能被 4 除余数为 2 的数有（）个。
A ． 2B ． 3C ． 4D ． 54．设 m 为整数，则必有（ ）A ． 6|m(m+1)(m+2)B ． 5|m(m+1)(m+2)C ． 4|m(m+1)(m+2)D ． 7|m(m+1)(m+2)(m+3)5．若 m 为偶数， n 为整数，下列说法正确的是（ ）A ．mn是整数B ． m(n1)是偶数22334n是整数C ．nm n 是整数D ．m226．下列数中是合数的是（ ）A ． 17B ． 23C ． 20D ． 19 7．不超过 36 的与 12 互质的自然数有（ ）个。
A ． 11B ． 12C ． 13D ． 148．已知整数 c>0，则（ a ,b） =1 是 c=（ a, b ）的（）c c1A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．关系不确定，取决于 c 的奇偶数 9．自 1 到 82 的整数中， 7 的倍数有（ ）个 A ． 12 B ． 13 C ． 10D ． 1110． x, y 为任意实数，则下列式子一定正确的是（ ）A ． [x+y] ≤ [x]+[y]B ． {x+y}<{x}+{y}C ． {x+y} ≤ {x}+{y}D ． [-x]=-[x]-111． 30!的标准分解式中，最高幂指数是 1 的质因数有（）个。
1全国2018年7月高等教育自学考试数论初步试题课程代码：00418一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共20分)1. 如果n 是一个自然数，那么n(n+1)是（ ）。
A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n 奇偶性而定 2. 19983除以9后的余数是（ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 0 3. 下列哪一对数是互为亲和数？（ ） A. 220，284B. 5，7C. 16，18D. 3，6 4. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（ ）。
A. 0，1，2，3，…8，9B. 1，2，3，…9，10C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4D. 11，12，13，…19，205. 1500的标准分解式是（ ）。
A. 2×2×5×5×5×3B. 3×53×22C. 22×3×53D. 2×2×3×5×5×5 6. 85340 .是（ ）。
A. 纯循环小数B. 混循环小数C. 有限小数D. 无理数 7. 有一批同样砖块，宽30cm ，长45cm ，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（ ）A. 4B. 6C. 9D. 24 8. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（ ） A. 2B. 3C. 4D. 无数 9. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（ ） A. 23B. 35C. 24D. 11 10. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（ ）。
A. xyz=9B. 5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=62 二、填空题(每空2分，共20分)1. d(6300)=____________,σ(6300)=____________, (6300)=____________。
自考数论初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A2. 一个数n是合数，那么它的因数个数至少是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 欧拉函数φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，那么φ(10)的值是：A. 4B. 8C. 6D. 10答案：C4. 模n的同余方程ax ≡ b (mod n)有解的充分必要条件是：A. a和n互质B. b能被a整除C. a和n的最大公约数能整除bD. a和n的最大公约数不能整除b答案：C5. 以下哪个算法是用于计算最大公约数的？A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 欧拉算法D. 斐波那契算法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果p和q都是素数，那么p*q是____。
答案：合数2. 一个数n的最小素数因子是3，那么n至少是____。
答案：33. 如果a和b互质，那么a*b的欧拉函数φ(a*b)等于____。
答案：φ(a) * φ(b)4. 模n的乘法逆元是指一个数x，使得ax ≡ 1 (mod n)，如果a和n 互质，那么a在模n下的乘法逆元是____。
答案：存在且唯一三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：如果p是一个大于3的素数，那么p一定能被6整除或者p-1能被6整除。
答案：证明：设p为大于3的素数，p除以6的余数只能是1、2、3、4、5中的一个。
因为p是素数，所以p不能被2整除，因此p除以6的余数不能是2或4。
如果p除以6的余数是3或5，那么p-1除以6的余数就是3或5的补数，即3或5，因此p-1能被6整除。
如果p除以6的余数是1，那么p-1除以6的余数是5，因此p-1也能被6整除。
综上，p一定能被6整除或者p-1能被6整除。
2. 已知a=2，b=3，n=7，求模7的同余方程2x ≡ 3 (mod 7)的解。
答案：首先，我们需要找到2在模7下的乘法逆元，即找到一个数y，使得2y ≡ 1 (mod 7)。
全国2018年4月高等教育自学考试数论初步试题课程代码：00418、单项选择题（本大题共 30小题，每小题1分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。
错选、多选或未选均无分。
B .若干个奇数之和必是偶数C . 一个奇数与一个偶数之和必是奇数D .若干个奇数之积必是奇数7 •若九位数6p2345987能被9整除，则p 为 A . 7 B . 2 C . 4D . 18•以下关于偶质数、奇质数的说法，错误的是（ ）A •偶质数只有一个B •最小的奇质数是 3C . 一切奇质数都可表示成 4m+1的形式（其中 m € N ）A . 1B . —1 C.D .1 22. —130除以3的带余除法的表达式是（)A . —130= 3X(— 43)— 1B . —130= 3X C. —130= 3 X(— 45)+ 5D . —130= 3X 3.甘 Ale F=f clA m ［［卡万.rfrA 日 ( ) 若b|a 且cp U 卜夕列式定成立的是（A . a|cB . a|bC . b|a+cD . c|a+b4. 下列四个整数中，不能被 25整除的是（) A . 38272600B . 49223325 C. 293778875D . 55333655. 30以内所有的质数个数为（ )A . 10B . 11C .12D . 13 1.已知a 、b 为整数，则1-2b 的值不可能是 )) (-44)+ 2 (-42)- 46 •关于奇数、偶数，下列说法错误的是（ A .奇数不等于偶数D .奇质数一定是奇C .梅森数B .费马数一定是质数C .任意两个不同的费马数一定互素D .最小的梅森数与最小的费马数一定不相等C . 对于任意整数n ,下列 n 3 nf(n)6 n 2 nf(n) 2 2 f (n)不是整值函数的是( B . D . f(n) f(n) ) n 2(n 2 1) 12 n 2 n 1 10.自1到82的整数中, A . 27 个 3的倍数有( ) B . 28 个 C . 26 个 D . 25 个 11•对于一切非负实数 [X ]＞： y : B . [x+y ]＞： x : + :y ] [—(x+y): =—[ x+y :D . :x ] :y ]W[ xy ] {— 3.2}=( )—3 B .— 4 0.2 D . 0.8780的所有正约数之和为( )2352 B . 2382 24 D . 1448 y ，若x > y ，则以下结论不一定正确的是(X 、 A . C . 12. A . C . 13. A . C . m 的最小正完全剩余系是( )14.模 1, 2, 3…，m — 2, m — 11, 2, 3,…，m — 1, m C . 2, 3, 4,…，m , m + 1 —(m — 1),…，一2,— 1 —m , 15.与"n = 7 ( mod8)”表述形式不能等价的是 A . n=7+8k , k 是整数 C . n — 7被8整除B .)n 被8除余7 D . n — 8被7整除 16.设a 为正整数, A .完全数 a 一定是a 的所有正约数之和为 2a ,则 B .亲和数 17.若c 为正整数, (a,b )= 1，则下列错误的是( A . (a+b , ab ) =1 C .若 b | ac ,贝U b 18.关于梅森数与费马数，下列说法正确的是( A .梅森数M P —定是质数 B .D . [a, b ] =a • b 若 a I c ,贝U ab | cD .费马数19.模15的最小正简化剩余系有多少个数？（A . 15 C . 8 20. 下列式子不能成立的是（ A . 31 三一11（mod21） C . 8+7 = 85（mod10） 21. 1999年5月1日是星期六，则 A .星期四 C .星期六 22. 下列既约分数能化成有限小数的是B . 14 D . 9)B . 112= 1(mod3) D . 199 三 2(mod9)1999年7月1日是()B .星期五 D .星期三( ) 5 2 1 33729875A . 10B . 11C . 0D . 1 24. 下列分数不能化为纯循环小数的是（ ) A . 3 m 4 B.— 37 19 9 2 C . D.— 34 13 25. 下列分数中，不能化为混循环小数的是（ ) A .15 m 3B.—308 1423 4 C . D . 990 7726. 下列不属于不定方程组的是（ ）A .15x 3y z 103x 3 x y z 7 B . 2xx y 0 x C . D .x 2y 3z 72 y 27. 下列不构成勾股数组的是（ ）A . 7, 24, 25B . 15,C . 12, 6, 13D . 20,23.同余式286x 三121（mod341）共有解的个数是（ 8, 17 0 07y 5y 21, 2928.任意调换五位数12345的各位上数字的位置，所得的五位数中，有多少个质数？（2 10z 8A . 1 C . 329.六位数abcabc —定能被下列哪个数整除？（ ）A . 13B . 25C . 9D . 630. 301!中末尾0的个数是（ ）A . 74B . 75C . 72D . 60_ 、填空题（本大题共 10小题，每小题1 分 、 共 10 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
《初等数论初步》习题1贾祥雪1.1 整除1.证明：（1）若|a b ，0m ≠，则|ma mb ；（2）设,a b 为正整数，|a b 且|b a ，则a b =;*(3) 设,a b 为正整数，|a b 且|c d ，则|ac bd 。
2.证明：三个连续正整数之和是3的倍数。
3.证明：若6|()a b +，则336|()a b +。
4.设n 为正整数，证明6|[(1)(21)]n n n ++。
5.15位校友聚会，能否每个人都握手5次?6.设1n >，(1)|(11)n n -+，求n 。
1.2 素数与合数1.判断359是不是素数。
2.利用厄拉多塞筛法找出100以内的全体素数。
3.找出5个连续自然数，每个数都是合数。
4.证明：大于11的自然数可以表示成两个合数之和。
1.3带余除法1.写出2011-被17除的带余除法表示式。
2.请在503后面添加3个数字，使所得的6位数能被7,9,11整除。
3.将101表成3进制数。
4.5642⨯=是什么进制的乘法？1.4 辗转相除法与最大公约数1.求(198,252)，(1008,1260)。
2.求(1008,1260,882,1134)。
3.证明：对任意的整数,x y ，12121122(,)(,)(,)a a a a a x a a y a =+=+。
4.证明：当(,)1c a =时，有(,)(,)c ab c b =。
5.证明：当(,)1a b =时，有(,)(,)(,)c ab c a c b =。
6.证明：,1(,)(,)a b a b a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
7.证明：214n +与143n +互素。
*8. 证明：当(,)1c a =且|c ab 时，有|c b 。
*9.两组整数12,,,n a a a L 与12,,,n b b b L ，第一组中任意一个与第二组中任意一个互质，则求证12n a a a L 与12n b b b L 互质。
数论初步1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。
2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是。
3、下面这个199位整数：1001001001…1001 被13除，余数是多少？4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是-----。
5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。
这个三位自然数是----。
6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是----，----，----。
7、如果20052005…200501能被11整除，那么N的最小值是-------。
8、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。
9、在下面的方框中各填入一个数字，是六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是------。
10、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能的小，那么所加的整数是------。
11、用数字6,7,8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除。
这个六位数是-----。
12、在算式□+91=○中，已知□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数。
问：○盖住的数是多少？13、若四位数9A8A能被15整除，则A代表的数字是--------。
14、如果有一个九位数A19 993 11B能被72整除，试求A、B 两数的差。
（大减小）15、设A、B使得六位数A2000B能被26整除。
所有这样的6位数是-------。
16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。
现已知一个十全数能被1,2,3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是------。
17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。
第一章测试试卷
一、单项选择题。
1、若a,b,c 均为整数，且a+b 被c 整除，则下列一定成立的是（）。
A 、c|a
B 、c|b
C 、c|a-b
D 、c|2
2b a -
2、相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是：（）。
A 、奇数 奇数
B 、奇数 偶数
C 、偶数 奇数
D 、偶数 偶数 3已知a=81,b=16,a 被b 除的带余除法表达式为a=bq+r,则（）。
A 、q=-6 r=15
B 、q=-5 r= -1
C 、q=-4 r=-17
D 、q= -7 r=31
4、已知（a,b,c ）=1,则一定有（）。
A 、（a,b ）=1
B 、(b,c)=1
C 、(a,c)=1
D 、((a,b),c)=1
5、所有不超过152的自然数中，5的倍数有（）个。
A 、28
B 、29
C 、30
D 、31
6、下列关于质数、合数的说法，正确的是（）。
A 、两个质数之和一定是质数
B 、质数一定是奇数
C 、两个合数之和一定是合数
D 、两个质数之积一定是合数
7、已知（a,c ）=1,(b,c)=1,则下列结论不一定正确的是（）。
A 、（ab,c ）=1
B 、(a+b,c)=1
C 、(ac,a+c)=1
D 、(c,b+c)=1
8、对于自然数n,下列结论不一定正确的是（）。
A 、（n,n+1）=1
B 、(n,2n+1)=1
C 、(n-1,n+1)=1
D 、若p 为大于n 的质数，则(n,p)=1
9、两个非零整数a,b ，满足ab=a+b,则2a-b=（）。
A 、4
B 、6
C 、2
D 、-2
10、设a 是大于1的自然数，p 是a 的大于1的最小约数则p 一定是（）。
11、若2｜4a-6b+c ，则以下一定成立的是（）。
A 、2｜a
B 、2｜2a-3b
C 、2|2a+3c
D 、2|b
12、若a 为整数，n 为任意正自然数，以下关于奇、偶数的说法错误的是（）。
A 、若n a 为奇数，则a 必为奇数。
B 、n 个奇数与n 个偶数之和必为奇数。
C 、n n +2一定是偶数。
D 、n n +2一定为偶数。
13、九位数a 37284961能被2整除，同时又能被3整除，则a 为（）。
A 、8
B 、3
C 、4
D 、6
14、若S （m ）,S(n)表示m,n 的所有正约数之和，（m,n ）=1时下列各式正确的是（）。
A 、M 是N 的充分分且必要条件。
B 、M 是N 充分条件
C 、N 是M 的充分条件
D 、M 既不是N 的充公条件，也不是N 的必要条件。
二、填空题：
1、若对于两个正整数a 和b ，ab=96,而(a,b)=24,则(a,b)= 。
2、若p 为质数，则k p 的所有正约数之和为 。
3、360的正约数有 个。
4、使得147｜325⨯224⨯n 的n 最小值为 。
5、[1260,882,1134]= 。
三、计算题。
1、已知2n 是完全平方数，3
n 是立方数，求n 的最小正数值。
2、已知（407，2816）＝11，试确定使等式407x2816＝11成立的x,y 的值。
四、证明题。
1、证明：若n 为自然数，则（21n+4,14n+3）=1。
2、证明：方程200222=-y x 无整数解。
参考答案：
一、D,B,A,D,D D,B,C,C,C B,B,A,B,,B
二、4；p
p k --+111
；24；21；79380； 三、1、解：依题意得，满足条件的数设为N ，则y x N 32= 因为，2n 是完全平方数，3
n 是立方数，则 2｜x-1 , 2|y .而3|x ,3|y-1.
由⎩⎨⎧-x x |31|2可知最小的x=3,⎩⎨⎧-1
|3|2y y 可知最小的y=4,
因此，满足条件的4332=N
2、解：依题意得，
2816=407⨯6+374;
407=374⨯1+33;
374=33⨯11+11;
33=3⨯11.
由表可知，12,83=-=y x 时，才使等式407x+2816y=11成立。
四、（1）证明：不妨设（21n+4,14n+3）=d,则
d|21n+4,d|14n+3,也有d|2 (21n+4),d|3 (14n+3),则d|3⨯14n+9-21n ⨯2-8
即 d|1,则d=1,即(21n+4,14n+3)=1.
(2)证明：假设存在整数x,y 使得20022
2=-y x ,则
（x-y ）(x+y)=2002=2⨯7⨯143;
由右边等式可知x-y 和x+y 必为一奇一偶；
不妨设x+y 为奇数，则x,y 中必有一奇一偶，而x-y ≠偶数，则矛盾。
若x-y=偶数，则x,y 必有双奇双偶；而x+y ≠奇数，则与条件矛盾。
由上述可知，不存在整数x,y 使200222=-y x 。
