大学物理(上)

大学物理上册所有公式第一章质点运动学和牛顿运动定律1.1平均速度=1.2瞬时速度v==1.3速度v=1.6平均加速度=1.7瞬时加速度（加速度）a==1.8瞬时加速度a==1.11匀速直线运动质点坐标x=x0+vt1.12变速运动速度v=v0+at1.13变速运动质点坐标x=x0+v0t+at21.14速度随坐标变化公式:v2-v02=2a(x-x0)1.15自由落体运动1.16竖直上抛运动1.17抛体运动速度分量1.18抛体运动距离分量1.19射程X=1.20射高Y=1.21飞行时间y=xtga—1.22轨迹方程y=xtga—1.23向心加速度a=1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=at+an1.25加速度数值a=1.26法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同an=1.27切向加速度只改变速度的大小at=1.281.29角速度1.30角加速度1.31角加速度a与线加速度an、at间的关系an=at=牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。

牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a的大小与外力F的大小成正比，与物体的质量m成反比；加速度的方向与外力的方向相同。

1.37F=ma牛顿第三定律：若物体A以力F1作用与物体B，则同时物体B必以力F2作用与物体A；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。

万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线1.39F=GG为万有引力称量=6.67×10-11Nm2/kg21.40重力P=mg(g重力加速度)1.41重力P=G1.42有上两式重力加速度g=G(物体的重力加速度与物体本身的质量无关，而紧随它到地心的距离而变)1.43胡克定律F=—kx(k是比例常数，称为弹簧的劲度系数)1.44最大静摩擦力f最大=μ0N（μ0静摩擦系数）1.45滑动摩擦系数f=μN(μ滑动摩擦系数略小于μ0)第二章守恒定律2.1动量P=mv2.2牛顿第二定律F=2.3动量定理的微分形式Fdt=mdv=d(mv)F=ma=m2.4＝＝mv2－mv12.5冲量I=2.6动量定理I=P2－P12.7平均冲力与冲量I==(t2-t1)2.9平均冲力＝＝＝2.12质点系的动量定理(F1+F2)△t=(m1v1+m2v2)—(m1v10+m2v20)左面为系统所受的外力的总动量，第一项为系统的末动量，二为初动量2.13质点系的动量定理：作用在系统上的外力的总冲量等于系统总动量的增量2.14质点系的动量守恒定律（系统不受外力或外力矢量和为零）==常矢量2.16圆周运动角动量R为半径2.17非圆周运动，d为参考点o到p点的垂直距离2.18同上2.21F对参考点的力矩2.22力矩2.24作用在质点上的合外力矩等于质点角动量的时间变化率2.26如果对于某一固定参考点，质点（系）所受的外力矩的矢量和为零，则此质点对于该参考点的角动量保持不变。

1.a n =222)(ωωR RR R v == a t =αωR dt d R dt dv == 2.F=dtdPdt mv d =)(=ma 3.冲量I=F ∆t =⎰21t t Fdt4.动量定理的微分形式Fdt=mdv dp=⎰21t t Fdt ＝⎰21)(v v mv d ＝mv 2－mv 15.动量定理 I=P 2－P 1=mv-mv 06,质点系的动量守恒定律（系统不受外力或外力矢量和为零）∑=ni ii v m 1=∑=ni i i vm 1=常矢量7.L =R ×P =R ×m V 力矩M=R ×F 8.dtdLM ==R ×F 9000ωωJ J L L dL Mdt LL t t -=-==⎰⎰10质点的角动量守恒L=L 0=常矢量,（拉小球有心力，枪打杆） 11J=∑i mir 2 定轴转动定理M=J β（滑轮）类F=ma 角动量L=Jw12环中J=2/3mr 2边J=5/3mr 2,盘中J=1/2mr 2边J=3/2mr 2杆中J=1/12ml 2边J=/3ml 213刚体的机械能守恒mgz c +1/2J ω2=常数（杆摆下θ时角速度lg θωsin 3=，θsin 21l z c =）14热力学温度 T=273.15+t15.==222111T V P T V P 常量 即TV P =常量 16PV=RT M Mmol17理想气体压强公式 P=231v mn =2/3n εt 平均动能εt=1/2mv 2=2/3KT （只与温度有关）P=VNn nkT T N R V N mV N NmRT V M MRT A A mol ====(18kT it 2=ε i 为自由度数=3,5,7 29E=RT iM M E M M E mol mol 200==υ 20 Q=∆E+A dQ=dE+dA 准静态Q=∆E+⎰21dv V V P dQ=dE+Pdv21.等容过程2211 T P T P V RM M T P mol ===或常量 )(12T T C M M Q v mol v -==∆E=)(212T T R iM M mol - 22.等压过程)(12T T C M MQ p molp -=C P =R+C V =A+∆E 2211 T V T V P R M M T V mol ===或常量 R C C v p =- R i C R i C p v 222+==23内能增E 2-E 1= RdT iM M dE mol 2=24.等温：12ln V VRT M M A Q mol T ==（全部转化为功） 25绝热 )(12T T C M ME A v mol--== 261212111Q Q Q Q Q Q A -=-==η 27.2122Q Q Q A Q -==ω Q2为从低温热库中吸收的热量28卡诺η=211211-1T T T T T -=- 2121T TQ Q = 29电偶极子（大小相等电荷相反）E 3041r Pπε-= 电偶极距P =q l30细直棒θπεθλθπελsin 4sin r 4dl 2020ad dE x ==无限长E=a20πελ31圆环E=23220)r (4+R qx πε（x 表示到轴线上的点到圆环中心的距离） 32薄圆盘E=02εσχ(-2x1)(122R X +）R ∞→E=02εσX 很大E 204x q πε≈ 33无限长直棒 rE 02πελ=（λ代表线密度） 34无限大均匀带点平面02εσ=E 35高斯定理:∑⎰=∙int 0q 1εSdS E均匀带电球面 ) ˆ4120R r r r Q E 〉=（πεE=0 (r<R)36球体E=r 20e r 4πεQ (r>R)rRQr304πε(r<R) 37均匀带电圆柱面E=r 0e r2πελ(r>R ）0(r<R)38圆柱体E=r 0e r 2πελ(r>R)rRe 220πελ(r<R ） 39圆环21220)(4x R Q U +=πε40毕奥-萨伐尔定律：20sin 4rIdl dB θπμ=41直导线⎰-==)cos (4sin 421020θθπμθπμcon rI r Idl B ’无限长r I B πμ40=半无限长rIB πμ20=延长线上B=0 42圆电流轴232220)(2χμ+=R IR B （x 表示到圆心的距离）圆心处 RIB 20μ=任意一段圆弧在圆心处B=ϕπμRI40 很远处圆形或半弧长302xISB πμ≈S 为原线圈面积，磁矩n e NIS P m =则302xP B mπμ=43单个运动电荷在距离r 处产生的磁304rq B ⨯=πμ 44螺线管B=)cos (cos 2120θθμ-nI无限长B=nI 0μ半无限端口B=½nI 0μ 45圆盘B=20Rσωμ(面密度，角速度)46通过任一曲面S 的总磁通量 ⎰∙=ΦSm dS B通过闭合曲面的总磁通量⎰=∙SdS B 0 磁感应强度B 沿任意闭合路径L 的积分I dl B L 0μ=∙⎰外为047直导线矩形面积的磁通量B=120ln 2d d Il πμ. 48螺线管内的磁场I RNB πμ20= 49圆柱面rIB πμ20=(r>R)内部为0 50圆柱体B=202R Ir πμ(r<R)B=r Iπμ20(r>R ）51无限大平面20iμ（i 为面密度)。

大学物理（I ）试题汇总《大学物理》（上）统考试题一、填空题（52分）1、一质点沿x 轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t +6t 2-t 3 (SI) 则 (1) 质点在t =0时刻的速度=v __________________；(2) 加速度为零时，该质点的速度=v ____________________． 2、一质点作半径为 0.1 m 的圆周运动，其角位置的运动学方程为： 2214πt +=θ (SI) 则其切向加速度为t a =__________________________．3、如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为μ，当这货车爬一与水平方向成θ角的平缓山坡时，要不使箱子在车底板上滑动，车的最大加速度a max ＝____________________．4、一圆锥摆摆长为l 、摆锤质量为m ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与铅直线夹角θ，则(1) 摆线的张力T ＝_____________________；(2) 摆锤的速率v ＝_____________________．5、两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝_______；它们各自收拢绳索，到绳长为 5 m 时，各自的速率v＝_______．6、一电子以0.99 c 的速率运动(电子静止质量为9.11×10-31 kg ，则电子的总能量是__________J ，电子的经典力学的动能与相对论动能之比是_____________．7、一铁球由10 m 高处落到地面，回升到 0.5 m 高处．假定铁球与地面碰撞时 损失的宏观机械能全部转变为铁球的内能，则铁球的温度将升高__________．（已知铁的比热c ＝ 501.6 J ·kg -1·K -1）8、某理想气体在温度为T = 273 K 时，压强为p =1.0×10-2 atm ，密度ρ = 1.24×10-2 kg/m 3，则该气体分子的方均根速率为___________． (1 atm = 1.013×105 Pa) 9、右图为一理想气体几种状态变化过程的p －V 图，其中MT 为等温线，MQ 为绝热线，在AM 、BM 、CM 三种准静态过程中：(1) 温度升高的是__________过程； (2) 气体吸热的是__________过程． 10、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为φ –φ1 = π/6．若第一个简谐振动的振幅为310 cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅为___________________ cm ，第一、二两个简谐振动的相位 差φ1 - φ2为____________．11、一声波在空气中的波长是0.25 m ，传播速度是340 m/s ，当它进入另一介质时，波长变成了0.37 m ，它在该介质中传播速度为______________．12、折射率分别为n 1和n 2的两块平板玻璃构成空气劈尖，用波长为λ的单色光垂直照射．如果将该劈尖装置浸入折射率为n 的透明液体中，且n 2＞n ＞n 1，则劈尖厚度为e 的地方两反射光的光程差的改变量是_________________________．13、平行单色光垂直入射在缝宽为a =0.15 mm 的单缝上．缝后有焦距为f =400mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8 mm ，则入射光的波长为λ=_______________．14、一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹．若已知此光栅缝宽度与不透明部分宽度相等，那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第_____________级和第____________级谱线．15、用相互平行的一束自然光和一束线偏振光构成的混合光垂直照射在一偏振片上，以光的传播方向为轴旋转偏振片时，发现透射光强的最大值为最小值的5倍，则入射光中，自然光强I 0与线偏振光强I 之比为__________．16、假设某一介质对于空气的临界角是45°，则光从空气射向此介质时的布儒斯特角是_______________________．二、计算题（38分）17、空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自由转动，转动惯量为J 0，环的半径为R ，初始时环的角速度为ω0．质量为m 的小球静止在环内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r <<R .)18、3 mol 温度为T 0 =273 K 的理想气体，先经等温过程体积膨胀到原来的5倍，然后等容加热，使其末态的压强刚好等于初始压强，整个过程传给气体的热量为Q = 8×104 J ．试画出此过程的p －V 图，并求这种气体的比热容比γ = C p / C V 值． (普适气体常量R =8.31J·mol -1·K -1)19、一质量为0.20 kg 的质点作简谐振动，其振动方程为 )215cos(6.0π-=t x (SI)．求：(1) 质点的初速度； (2) 质点在正向最大位移一半处所受的力．17、20、一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．(1) 求P 处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式；(3) 若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程．21、在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1nm (1 nm=10-9 m)的单色光照射，双缝与屏的距离D ＝300 mm ．测得中央明条纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2 mm ，求双缝间的距离．22、在惯性系S 中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生∆t =2s ；而在另一惯性系S ＇中，观测第二事件比第一事件晚发生∆t '=3s ．那么在S ＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？三、问答题（5分）23、两个大小与质量相同的小球，一个是弹性球，另一个是非弹性球．它们从同一高度自由落下与地面碰撞后，为什么弹性球跳得较高？地面对它们的冲量是否相同？为什么？《大学物理》（下）物探统考试题一、填空题1，如图所示，在边长为ａ的正方形平面的中垂线上，距中心０点21ａ处，有一电量为ｑ的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量为____________．2_______________________。

刚体复习重点（一）要点质点运动位置矢量(运动方程) r = r (t ) = x (t )i + y (t )j + z (t )k ，速度v = d r/d t = (d x /d t )i +(d y /d t )j + (d z /d t )k ，动量 P=m v加速度 a=d v/d t=(d v x /d t )i +(d v y /d t )j +(d v z /d t )k曲线运动切向加速度 a t = d v /d t ， 法向加速度 a n = v 2/r .圆周运动及刚体定轴转动的角量描述 θ=θ(t )， ω=d θ/d t ， β= d ω/d t =d 2θ/d t 2，角量与线量的关系 △l=r △θ， v=r ω (v= ω×r )，a t =r β, a n =r ω2力矩 M r F 转动惯量 2i i J r m =∆∑， 2d mJ r m =⎰ 转动定律 t d L M =M J α= 角动量： 质点p r L ⨯= 刚体L=J ω；角动量定理 ⎰tt 0d M =L -L 0角动量守恒 M=0时, L=恒量； 转动动能2k E J ω= (二) 试题一 选择题（每题3分）1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力（答案：C ）(A) 处处相等． (B) 左边大于右边．(C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 2．将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为β．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将 （答案：C ）(A) 小于β． (B) 大于β，小于2 β． (C) 大于2 β． (D) 等于2 β．3. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小. (答案：A ）(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大.(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小.(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大.4. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（答案：C ）(A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关.(B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关.(C) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.(D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.5. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为J 0/3．这时她转动的角速度变为（答案：D ）(A) ω0/3． (B) ()3/1 ω0． (C) 3 ω0． (D) 3ω0．二、填空题1.（本题4分）一飞轮作匀减速运动，在5s 内角速度由40π rad/s 减少到10π rad/s ，则飞轮在这5s内总共转过了 圈，飞轮再经 的时间才能停止转动。

⼤学物理学（上）练习题第1单元质点运动学⼀. 选择题1. 某质点作直线运动的运动学⽅程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作［］。

(A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正⽅向； (B)匀加速直线运动，加速度沿x 轴负⽅向； (C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正⽅向；(D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负⽅向。

2. 质点作曲线运动，r 表⽰位置⽮量，v 表⽰速度，a表⽰加速度，S 表⽰路程，t a 表⽰切向加速度，下列表达式中［］。

(1) a t = d /d v ， (2) v =t /r d d ， (3) v =t S d /d ， (4) t a t =d /d v。

(A) 只有(1)、(4)是对的； (B) 只有(2)、(4)是对的； (C) 只有(2)是对的； (D) 只有(3)是对的。

3. ⼀质点在平⾯上运动，已知质点位置⽮量的表⽰式为 j bt i at r 22+=（其中a 、b 为常量）, 则该质点作［］。

(A) 匀速直线运动； (B) 变速直线运动； (C) 抛物线运动； (D)⼀般曲线运动。

4. ⼀⼩球沿斜⾯向上运动,其运动⽅程为s=5+4t -t 2 (SI), 则⼩球运动到最⾼点的时刻是［］。

(A) t=4s ； (B) t=2s ； (C) t=8s ； (D) t=5s 。

5. ⼀质点在xy 平⾯内运动，其位置⽮量为j t i t r ?)210(?42-+=（SI ），则该质点的位置⽮量与速度⽮量恰好垂直的时刻为［］。

(A) s t 2=；（B ）s t 5=；（C ）s t 4=；（D ）s t 3=。

6. 某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为⼤于零的常量。

当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是［］。

(A) 0221v v +=kt ； (B) 0221v v +-=kt ； (C) 02121v v +=kt ； (D) 02121v v +-=kt 。

习题一1-1 ｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?td d r 和td d r 有无不同?td d v 和td d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，12r r r-=∆；（2）td d r 是速度的模，即t d d r ==v tsd d .trd d 只是速度在径向上的分量.∵有rr ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则tˆr ˆt r t d d d d d d rrr += 式中trd d 就是速度径向上的分量，∴tr t d d d d 与r 不同如题1-1图所示.题1-1图(3)td d v 表示加速度的模，即tv a d d =，tvd d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ(v =v表轨道节线方向单位矢），所以tv t v t v d d d d d d ττ +=式中dt dv 就是加速度的切向分量.(tt r d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =tr d d ，及a ＝22d d t r而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成v =22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =222222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r+=，jty i t xt r a jty i t x t r v222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴故它们的模即为222222222222d d d d d d d d ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v yxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作22d d d d tr a trv ==其二，可能是将22d d d d tr t r 与误作速度与加速度的模。

大学物理教程(第四版)上册（一）引言概述:本文主要介绍了《大学物理教程(第四版)上册》的内容。

该教材是大学物理入门教材的经典之作，旨在为学生提供理论基础和实践应用方面的知识。

通过对物理学的学习，学生将能够深入了解物质、能量和力的性质，并将这些知识应用到解决实际问题中。

本文将按照教材的章节顺序，以五个大点来介绍教程的内容和教学要点。

正文:一、力学基础1. 运动学a. 位移、速度和加速度的概念b. 直线运动与曲线运动的区别c. 根据速度图和位移图分析运动状态2. 牛顿力学a. 牛顿三定律的表述与应用b. 重力和摩擦力的研究c. 常见力的合成和分解问题3. 力的做功和能量a. 力对物体做功的定义与计算b. 动能与势能的概念与转化c. 机械能守恒定律的适用范围与实例4. 线性动量与碰撞a. 线性动量的定义与计算b. 弹性碰撞与非弹性碰撞的区别与应用c. 动量守恒定律与碰撞分析5. 刚体力学a. 刚体的基本概念与特性b. 平面运动、平衡状态与运动学分析c. 转动力学与动力学分析二、热学基础1. 温度、热量与热量传递a. 温度的定义与测量方法b. 热量的传递方式：传导、对流和辐射c. 热平衡与热力学循环的应用2. 热力学第一定律a. 内能与热量传递的关系b. 等容、等压、等温过程的特点与计算c. 热力学循环与效率的计算3. 理想气体状态方程a. 状态方程的定义与推导b. 理想气体的性质及其物态变化c. 维尔纳定律的应用与理解4. 热力学第二定律a. 热力学不可逆性的概念与表述b. 熵的概念与计算c. 卡诺循环与热力学效率的极限5. 热力学性质的应用a. 热传导的应用与热绝缘材料的设计b. 热力学循环在能源转换中的应用c. 热力学性质的实验测量与数据处理三、波动光学基础1. 机械波动a. 波的基本概念与性质b. 声波与弹性波的特点与应用c. 波的叠加与干涉的原理与应用2. 光的波动性质a. 光的波动学说与希尔伯特原理b. 光的干涉、衍射与偏振c. 光的干涉与衍射现象在实际应用中的意义3. 光的几何光学a. 光的传播路径与光线追迹法b. 透镜与光学仪器的成像原理与应用c. 光的反射与折射定律的应用4. 光的颜色与色散a. 光的频率与波长与颜色的关系b. 化学荧光与光的颜色效应c. 光的色散与光谱的应用5. 光的波动光学实验a. 光的干涉与衍射实验设计与操作b. 光的波长测量与频率测量c. 光的光谱分析与光度法测量四、电磁学基础1. 静电场与电势a. 电荷、电场与库仑定律的关系b. 高斯定理与电场强度的计算c. 电势能与等势面的特点与应用2. 电流与电阻a. 电流的定义与电荷守恒定律b. 欧姆定律与电阻的概念与计算c. 电源、电动势与电功率的应用3. 磁场与电磁感应a. 磁力与磁场的关系与定向b. 电磁感应的法拉第定律与楞次定律c. 电磁感应与发电机、电动机的应用4. 电磁波的特性与传播a. 电磁波的产生与性质b. 光速的定义与电磁波的传播c. 声光电效应与电磁波与物质的相互作用5. 电磁学实验与应用a. 静电场与电势测量实验b. 电路电流与电压测量实验c. 磁场与电磁感应实验五、现代物理基础1. 光的粒子性与能量子化a. 光子概念与光子能量计算b. 斯托克斯定律与波函数的性质c. 光谱线与能级跃迁的解释2. 相对论与狭义相对论a. 狭义相对论基本假设与论证b. 时空观念的变化与洛仑兹变换c. 质量、能量与动量的相对论性表述3. 原子基本结构与核物理a. 经典模型与量子模型的比较b. 电子的波粒二象性与波函数c. 原子核的结构与强相互作用4. 系统的熵与热力学统计a. 系统宏观状态与熵的概念与计算b. 统计力学与微观粒子的行为c. 量子力学与统计力学的关系与应用5. 现代物理实践与应用a. 材料科学与能源技术的应用b. 物理实验技术与仪器设计c. 当代物理研究与前沿领域的概述总结:《大学物理教程(第四版)上册》涵盖了力学基础、热学基础、波动光学基础、电磁学基础和现代物理基础五个大点的知识内容。

大学物理上册课后习题答案第一章 质点运动学1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及2s 末的瞬时速度，第2s 内的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第2s 内的平均加速度．[解答]（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13= 4(m)．在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23= 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：=Δx /Δt = 4(m·s -1)．（2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，第2s 内的平均加速度为：= [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s 内走过路程s = 30m ，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为，并由上述资料求出量值．[证明]依题意得v t = nv o ，根据速度公式v t = v o + at ，得a = (n – 1)v o /t ， (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2+ 2as ，得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：．计算得加速度为：= (m·s -2)．1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取g = 10m·s -2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = (m·s -1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ，这里的v 0就是v y 0，a = -g ；当人达到最高点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = (s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：v t 2 - v 02= 2a s ，可得上升的最大高度为：h 1 = v y 02/2g = (m)．人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h 2 = h 1 + h = (m)．根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为:= (s)． 因此人飞越的时间为：t = t 1 + t 2 = (s)．人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = (m·s -1)， 所以矿坑的宽度为：x = v x 0t = (m)．（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：v y = gt = (m·s -1)，落地速度为：v = (v x 2 + v y 2)1/2 = (m·s -1)，与水平方向的夹角为：φ = arctan(v y /v x ) = º，方向斜向下．方法二：一步法．图取向上为正，人在竖直方向的位移为y = v y0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程，解得：．这里y = -70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t= (s)．由此可以求解其它问题．1．4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v/d t = -kv2，k为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．[证明]（1）分离变数得，故，可得：．（2）公式可化为，由于v = d x/d t，所以：积分．因此．证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．由于a = d2x/d t2，而 d x/d t = v，a = d v/d t，分离变数得方程：，解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则d v/d t = -kv n．（1）如果n = 1，则得，积分得ln v = -kt + C．当t = 0时，v = v0，所以C = ln v0，因此ln v/v0 = -kt，得速度为：v = v0e-kt．而d v = v0e-kt d t，积分得：．当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此．（2）如果n≠1，则得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．如果n = 2，就是本题的结果．如果n≠2，可得，读者不妨自证．1．5 一质点沿半径为的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]（1）角速度为ω = dθ/d t = 12t2= 48(rad·s-1)，法向加速度为a n= rω2= (m·s-2)；角加速度为β = dω/d t = 24t= 48(rad·s-2)，切向加速度为a t= rβ = (m·s-2)．（2）总加速度为a = (a t2 + a n2)1/2，当a t = a/2时，有4a t2 = a t2 + a n2，即．由此得，即，解得．所以 =(rad)．（3）当a t = a n时，可得rβ = rω2，即： 24t = (12t2)2，解得：t = (1/6)1/3 = (s)．1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v 0x = v 0cos θ，v 0y = v 0sin θ．加速度的大小为a x = a cos α， a y = a sin α． 运动方程为， ． 即 ，．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；(s)． 将t 代入x 的方程求得x = 9000m ．[注意]选择不同的坐标系，如x 方向沿着a 的方向或者沿着v 0的方向，也能求出相同的结果．1．7 一个半径为R = 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A ．在重力作用下，物体A 从静止开始匀加速地下降，在Δt = 内下降的距离h = ．求物体开始下降后3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A 下落加速度．由于，所以a t = 2h /Δt 2 = (m·s -2)．物体下降3s 末的速度为v = a t t = (m·s -1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= (m·s -2)．1．8 一升降机以加速度·s -2上升，当上升速度为·s -1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为． 由题意得h = h 1 - h 2，所以， 解得时间为= (s)．算得h 2 = ，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g ，而初速度为零，可列方程h = (a + g )t 2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．1．9 有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处．已知气流相对于地面的速度为u ，AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为； （2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为； （3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为． [证明]（1）飞机飞行来回的速率为v ，路程为2l ，所以飞行时间为t 0 = 2l /v ．（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u ，向西飞行逆风的速率为v - u ，所以飞行时间为 ．（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作向量三角形，其中沿AB 方向的速度大小为，所以飞行时间为． 证毕．图A AB v v + uv - u ABv uuvv1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作向量三角形．根据题意得tan α = l/h ．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α，其中v 3 = v ⊥/cos α，而v ⊥ = v 2cos θ， 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α， 即 ． 证毕．方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得，所以： ，即 ． 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t 时间内，雨滴的位移为l = (v 1 – v 2sin θ)t ， h = v 2cos θ∙t ．两式消去时间t 即得所求． 证毕．第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律2．1 一个重量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α，方向与初速度方向垂直．其运动方程为x = v 0t ，．将t = x/v 0，代入后一方程得质点的轨道方程为，这是抛物线方程．2．2 桌上有一质量M = 1kg 的平板，板上放一品质m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = ，静摩擦因素为μs = ．求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s -2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力：N m = mg = (N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：f m = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：N M = (m + M )g = (N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：f M = μk N M = (N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．图1h lα图 m（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为 f =μs mg = ma`，可得 a` =μs g ．板的运动方程为F – f – μk (m + M )g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk (m + M )g= (μs + μk )(m + M )g ，算得 F = (N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要的力．2．3 如图所示：已知F = 4N ，m 1 = ，m 2 = ，两物体与水平面的的摩擦因素匀为．求质量为m 2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮品质均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a 2 = 2a 1，而力的关系为T 1 = 2T 2． 对两物体列运动方程得T 2 - μm 2g = m 2a 2， F – T 1 – μm 1g = m 1a 1． 可以解得m 2的加速度为 = (m·s -2)，绳对它的拉力为= (N)．2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k 与k 1和k 2．满足关系关系式； （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k 1 + k 2．[解答]当力F 将弹簧共拉长x 时，有F = kx ，其中k 为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x 1和x 2，产生的弹力分别为 F 1 = k 1x 1，F 2 = k 2x 2． （1）由于弹簧串联，所以F = F 1 = F 2，x = x 1 + x 2， 因此 ，即：． （2）由于弹簧并联，所以F = F 1 + F 2，x = x 1 = x 2， 因此 kx = k 1x 1 + k 2x 2， 即：k = k 1 + k 2．2．5 如图所示，质量为m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T ．（1）小车沿水平线作匀速运动； （2）小车以加速度沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角； （4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b 1 = b ）； （5）以同样大小的加速度（b 2 = b ），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg ．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tan θ = ma/mg ， 所以 θ = arctan(a/g )； 绳子张力等于摆所受的拉力 ：．（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以θ = φ； T = mg cos φ．（4）根据题意作力的向量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边 是mb cos φ，邻边是mg + mb sin φ，由此可得：12图2 图（2）， 因此角度为；而张力为． （5）与上一问相比，加速度的 方向反向，只要将上一结果中的b 改为-b 就行了．2．6 如图所示：质量为m =的小球，拴在长度l =的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v 与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mg sin θ，负号表示角度θ增加的方向为正方向． 小球的运动方程为，其中s 表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为 ， 因此 ， 即 v d v = -gl sin θd θ， （1） 取积分 ， 得 ，解得：= (m·s -1)． 由于：， 所以T B = 2mg = (N)． （2）由（1）式积分得 ，当 θ = 60º时，v C = 0，所以C = -lg /2， 因此速度为．切向加速度为a t = g sin θ；法向加速度为 ．由于T C – mg cos θ = ma n ，所以张力为T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1)． （3）当 θ = 60º时，切向加速度为= (m·s -2)，法向加速度为 a n = 0，绳子的拉力T = mg /2 = (N)．[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则F = mg cos θ．小球的运动方程为，s 表示弧长．图图由于，所以，因此v d v = g cosθd s= g d h，h表示石下落的高度．积分得，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，因此速率为．2．8质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x– 1/x0)/m]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程利用v = d x/d t，可得，因此方程变为，积分得．利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此，即．证毕．[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mv d v = f(x)d x，积分即可求解．如果f(x) = -k/x n，则得．（1）当n = 1时，可得利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = ln x0，因此，即．（2）如果n≠1，可得．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，因此，即．当n = 2时，即证明了本题的结果．2．9一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的时间T．[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程，分离变数得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此，小球速率随时间的变化关系为．（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为．[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于v = d x/d t，所以，即，积分得，当t = 0时，x = 0，所以，因此 ．（2）如果小球以v 0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为 ，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为．这个公式可将上面公式中的g 改为-g 得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数v m = mg/k ．2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因子为μk ．设物体在某时刻经A 点时速率为v 0，求此后时刻t 物体的速率以及从A 点开始所经过的路程．[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv 2/R ．物体所受的摩擦力为f = -μk N ，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得， 即 ： ．积分得：．当t = 0时，v = v 0，所以， 因此 ．解得 ．由于 ， 积分得，当t = 0时，x = x 0，所以C = 0，因此．2．11 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mg tg θ．珠子做圆周运动的半径为r = R sin θ．根据向心力公式得F = mg tg θ = mω2R sin θ，可得，解得 ．(二)力学中的守恒定律2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k ，A 和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ，积分得冲量为 ， 方法二：利用动量定理．小球的速度为v = d x/d t = -ωA sin ωt ，图设小球的品质为m ，其初动量为p 1 = mv 1 = 0， 末动量为p 2 = mv 2 = -mωA ，小球获得的冲量为I = p 2 – p 1 = -mωA ，可以证明k =mω2，因此I = -kA /ω．2．13一个质量m = 50g ，以速率的v = 20m·s -1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？[解答]小球动量的大小为p = mv ，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义得：， 由此可作向量三角形，可得：．因此向心力给予小球的的冲量大小为= (N·s)． [注意]质点向心力大小为F = mv 2/R ，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量．假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R 运动，拉力的大小就是向心力 F = mv 2/R = mωv ， 其分量大小分别为 F x = F cos θ = F cos ωt ，F y = F sin θ = F sin ωt ，给小球的冲量大小为 d I x = F x d t = F cos ωt d t ，d I y = F y d t = F sin ωt d t ， 积分得，，合冲量为，与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．2．14 用棒打击质量，速率等于20m·s -1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为= 14(m·s -1)，其速度的增量为= (m·s -1)．棒给球冲量为I = m Δv = (N·s)，对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = (N)． 2．15 如图所示，三个物体A 、B 、C ，每个品质都为M ，B 和C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为的细绳，首先放松．B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A 和B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s -2）[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma ，物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动， 加速度大小为a ，可列方程：T = Ma ，联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s -2)．根据运动学公式：s = v 0t + at 2/2，v x Δv v y可得B 拉C 之前的运动时间；= (s)．此时B 的速度大小为：v = at = 2(m·s -1)．物体A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A 和B 拉动C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`，因此C 开始运动的速度为：v` = 2v /3 = (m·s -1)．2．16 一炮弹以速率v 0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？[解答] 炮弹在最高点的速度大小为v = v 0cos θ，方向沿水平方向． 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 总动量，可作向量三角形，列方程得， 所以 v` = v /cos45° = ．2．17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的品质为m ，它与路面的滑动摩擦因子为μk ．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为d s = R d θ．重力的大小为：G = mg ，方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为，积分得重力所做的功为． 摩擦力的大小为：f = μk N = μk mg cos θ，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为，积分得摩擦力所做的功为．要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即 ， 或者 ． 拉力的功元为：， 拉力所做的功为．由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．2．18 一品质为m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点最初的速率是v 0，当它运动1周时，其速率变为v 0/2，求：（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因子；（3）在静止以前质点运动了多少圈？[解答] （1）质点的初动能为：E 1 = mv 02/2，末动能为：E 2 = mv 2/2 = mv 02/8，动能的增量为：ΔE k = E 2 – E 1 = -3mv 02/8， 这就是摩擦力所做的功W ．图（2）由于d W = -f d s = -μk N d s = -μk mgr d θ，积分得： ．由于W = ΔE ，可得滑动摩擦因子为．（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：a t = f/m = -μk g ，根据公式v t 2 – v o 2= 2a t s ，可得质点运动的弧长为，圈数为 n = s/2πr = 4/3．[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs = ΔE k ， 可得 s = -ΔE k /f ，由此也能计算弧长和圈数。