1 高等数学第六版(上册)第七章课后习题答案习题7-11.设 u =a -b +2c ,v =-a +3b -c .试用 a 、b 、c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c=5a -11b +7c .2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明这是平行四边形.→ → → → → →证 AB =OB -OA ;DC =OC -OD ,→ → → →而OC =-OA ,OD =-OB , → → → → → →所以 DC =-OA +OB =OB -OA =-AB .这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD ,从而四边形 ABCD 是平行四边形.3.把∆ABC 的BC 边五等分,设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4,再把→各分点与点A 连接.试以AB =c 、 → → →→BC =a 表示向量D 1A 、D 2 A 、D 3 A 、→ D 4 A .→ → → 解 D 1A =BA -BD 1 =-c -5a , → → → 2 D 2 A =BA -BD 2 =-c -5a , → → → 3 D 3 A =BA -BD 3 =-c -5a , → → → 4 D 4 A =BA -BD 4 =-c -5a .62 +72 +(-6)2 4.已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1,-1, 0).试用坐标表示式表→ →示向量M 1M 2 及-2M 1M 2 .→解 M 1M 2 =(1, -1, 0)-(0,1, 2) =(1, -2, -2) ,→ -2M 1M 2 =-2(1, -2, -2)=(-2, 4, 4) .5.求平行于向量 a =(6, 7,-6)的单位向量.解 |a |= =11,平行于向量a =(6, 7,-6)的单位向量为 1a =(6, 7, -6) 或-1a =(-6, -7, 6) .|a | 1111 11 |a | 11 11116.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限？A (1,-2, 3);B (2, 3,-4);C (2,-3,-4);D (-2,-3, 1).解A 在第四卦限,B 在第五卦限,C 在第八卦限,D 在第三卦 限.7.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指 出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0,-1, 0).解 在 xOy 面上,点的坐标为(x ,y , 0);在 yOz面上,点的坐标为(0,y ,z );在 zOx 面上,点的坐标为(x , 0,z ).在 x 轴上,点的坐标为(x , 0, 0);在 y 轴上,点的坐标为(0,y , 0) ,在z 轴上,点的坐标为(0,0,z ).A 在 xOy 面上,B 在 yOz 面上,C 在 x 轴上,D 在 y 轴上.8.求点(a ,b ,c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a ,b ,c )关于xOy 面的对称点为(a ,b ,-c ),点(a ,b ,c )关于yOz 面的对称点为(-a ,b ,c ),点(a ,b ,c )关于zOx面的对称点为(a ,-b ,c ).(2) 点(a ,b ,c )关于x 轴的对称点为(a ,-b ,-c ),点(a ,b ,c )关于y 轴的对称点为(-a ,b ,-c ),点(a ,b ,c )关于 z 轴的对称点为(-a , -b ,c ).(3) 点(a ,b ,c )关于坐标原点的对称点为(-a ,-b ,-c ).9.自点P 0(x 0,y 0,z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标.解 在 xOy 面、yOz 面和 zOx 面上,垂足的坐标分别为(x 0,y 0, 0)、(0,y 0,z 0)和(x 0, 0,z 0).在 x 轴、y 轴和 z 轴上,垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0),(0,y 0, 0) 和(0, 0,z 0).10.过点P 0(x 0,y 0,z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 在所作的平行于 z 轴的直线上,点的坐标为(x 0,y 0,z );在所作的平行于 xOy 面的平面上,点的坐标为(x ,y ,z 0).11.一边长为a 的立方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点在 x 轴和 y 轴上,求它各顶点的坐标.解因为底面的对角线的长为标分别为2a ,所以立方体各顶点的坐 (,(a ) ,2 , 0, 0), 2, 0, a ), 2 (0,, 0) ,(0, , a ) , 2, 2) . 212.求点 M (4,-3, 5)到各坐标轴的距离.(-3)2 +52 34 42 +52 41 ⎩ 解点M 到x 轴的距离就是点(4,-3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离,即d x = = .点M 到y 轴的距离就是点(4,-3, 5)与点(0,-3, 0)之间的距离,即d y = = .点 M 到 z 轴的距离就是点(4,-3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即d z = =5 .13.在 yOz 面上,求与三点 A (3, 1, 2)、B (4,-2,-2)和 C (0, 5, 1) 等距离的点.解设所求的点为P (0,y ,z )与A 、B 、C 等距离,则→ |PA |2=32 +(y -1)2 +(z -2)2 ,→ |PB |2=42+(y +2)2+(z +2)2,→ | PC |2=(y -5)2 +(z -1)2 .由题意,有→ → → | PA |2=| PB |2=| PC |2 ,⎧32+(y -1)2+(z -2)2=(y -5)2+(z -1)2 ⎨42+(y +2)2+(z +2)2=(y -5)2+(z -1)2 解之得 y =1,z =-2,故所求点为(0, 1,-2).14.试证明以三点 A (4, 1, 9)、B (10,-1, 6)、C (2, 4,3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.解因为42 +(-3)2 即(2-4)2 +(4-1)2 +(3-9)2 (2-10)2 +(4+1)2 +(3-6)2 2→ |AB |= →|AC |= → |BC |= → → → =7 ,=7 ,=7 ,→ →所以|BC |2=|AB |2+|AC |2,|AB |=|AC |.因此∆ABC 是等腰直角三角形.→ 15.设已知两点M 1(4, 的模、方向余弦和方向角.→2,1) 和M 2(3, 0, 2).计算向量M 1M 2 解 M 1M 2 =(3-4, 0- →|M 1M 2 |= 2, 2-1) =(-1, = 2 ;2,1) ;cos α=-1, 2 cos β 2 cos γ=1; 2α=2π, 3 β=3π, 4 γ=π. 316.设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1;(3) cos α=cos β=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解(1)当cos α=0时,向量垂直于x 轴,或者说是平行于yOz面.(2) 当cos β=1时,向量的方向与y 轴的正向一致,垂直于 zOx 面.(3) 当cos α=cos β=0时,向量垂直于x 轴和y 轴,平行于z轴,垂直于 xOy 面.17.设向量r 的模是4,它与轴u 的夹角是60︒,求r 在轴u 上的投影.(10-4)2 +(-1-1)2 +(6-9)2 (-1)2 +( 2)2 +12解 Pr j r =|r |⋅cos π=4⋅1=2 .u 3 218.一向量的终点在点 B (2,-1, 7),它在 x 轴、y 轴和 z轴上的投影依次为 4,-4, 7.求这向量的起点 A 的坐标.解设点A 的坐标为(x ,y ,z ).由已知得⎧⎪2-x =4 ⎨-1-y =-4 ,⎪⎩7-z =7解得 x =-2,y =3,z =0.点 A 的坐标为 A (-2, 3, 0).19.设m =3i +5j +8k ,n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k .求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为a =4m +3n -p=4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k ,所以 a =4m +3n -p 在 x 轴上的投影为 13,在 y 轴上的分向量 7j .17 习题 7-21.设 a =3i -j -2k ,b =i +2j -k ,求(1)a ⋅b 及 a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及 a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解(1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,i j k a ⨯b = 3-1 - 2 =5i +j + 7k .1 2 -1(2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b =-6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)cos(a ,^b )=|a ⋅b |= 3 =3 .|a ||b |14 6 2212.设 a 、b 、c 为单位向量,且满足 a +b +c =0,求 a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解因为a +b +c =0,所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =-1(a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c )=-1(1+1+1)=-3.2 2 2→ → 3.已知M 1(1,-1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3).求与M 1M 2 、M 2M 3 同时垂直的单位向 量.→ 解 M 1M 2=(3-1,3+1,1-2)=(2,4,-1),→M 2M 3 =(3-3,1-3, 3-1) =(0, - 2, 2) . → → i j k n =M 1M 2⨯M 2M 3 = 2 4 0 -2 -1 =6i - 4 j - 4k ,2|n |=36+16+16=2,e =±1(6i - 4 j -4k )=±1(3i - 2 j - 2k ) 为所求向量.2 17 174.设质量为100kg 的物体从点 M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点 M 2(1, 4,2),计算重力所作的功(长度单位为 m ,重力方向为 z 轴负方向).解 F =(0, 0,-100⨯9. 8)=(0, 0,-980), →S =M 1M 2 =(1-3, 4-1, 2-8) =(-2, 3, -6) .W =F ⋅S =(0, 0,-980)⋅(-2, 3,-6)=5880(焦耳).→ 5.在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处,有一与O P 1 成角θ1的力F 1→作用着;在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处,有一与OP 2 成角θ1的力F 1作用着.问 θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,再注意到对力矩正负的22 + 22 +12OA OB 规定可得,使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1-x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6.求向量 a =(4,-3, 4)在向量 b =(2, 2, 1)上的投影.解Pr j b a =a ⋅e b =a ⋅b =1a ⋅b = 1 (4,-3,4)⋅(2,2,1)=1(4⨯2-3⨯2+4⨯1)=2. |b ||b | 3 7.设 a =(3, 5,-2),b =(2, 1, 4),问 λ与 μ有怎样的关系,能使得 λa +μb 与 z 轴垂直? 解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ,-2λ+4μ),λa +μb 与 z 轴垂 ⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ, 5λ+μ,-2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即-2λ+4μ=0,所以 λ=2μ.当 λ=2μ时,λa +μb 与 z 轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.→ → 证明 设 AB 是圆 O 的直径,C 点在圆周上,则OB =-OA ,→ →|OC |=|OA | .→→→ → → → → → → → →→ 因为 AC ⋅BC =(OC -OA )⋅(OC -OB ) =(OC -OA )⋅(OC +OA ) =|OC |2 -|OA |2 =0 ,→ →所以 AC ⊥BC ,∠C =90︒.9.设已知向量 a =2i -3j +k ,b =i -j +3k 和 c =i -2j ,计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8,a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k ,b +c =2i -3j +3k ,i j (a +b )⨯(b +c )=3 -4 2 -3 k 4 =-j -k . 3i (3) a ⨯b = 2 1 j k -3 1 =-8i -5 j +k , -1 3(a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.→ 10.已知OA =i +3 j , →OB =j +3k ,求 ∆OAB 的面积.→→ → →解 根据向量积的几何意义,于是∆OAB 的面积为S =1| →⨯→| . 2|OA ⨯OB | 表示以OA 和 OB 为邻边的平行四边形的面积,19 →→ i jk →→因为OA ⨯OB = 1 0 3 =-3i -3 j +k , |OA ⨯OB |=0 1 3 (-3)3 +(-3)2 +12= ,所以三角形∆OAB 的面积为 S =1|→⨯→|=1 19 . 2 OA OB 2 12.试用向量证明不等式:a 2 +a 2 +a 2b 2 +b 2 +b 2 ≥|a b +a b +a b | , 1 2 3 1 2 3 11 2 2 33其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数,并指出等号成立的条件.解设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则有a ⋅b =|a |⋅|b |cos(a ,^b )≤|a |⋅|b | ,于是 a 2 +a 2 +a 2b 2 +b 2 +b 2 ≥|a b +a b +a b | , 1 2 3 1 2 3 11 2 2 3 3其中当cos(a ,^b ) =1时,即 a 与 b 平行是等号成立.14 6 x 2 +y 2 +z 2(x - 2)2 +(y -3)2 +(z - 4)2 29 y 2 +z 2 x 2 +y 2 习题 7-31.一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离,求这动点的轨迹方程.解设动点为M (x ,y ,z ),依题意有(x -2)2+(y -3)2+(z -1)2=(x -4)2+(y -5)2+(z -6)2,即4x +4y +10z -63=0. 2.建立以点(1, 3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程.解 球的半径R =12+32+(-2)2= ,球面方程为(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14, 即 x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0.3.方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0 表示什么曲面?解由已知方程得(x 2-2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1,即(x -1)2+(y +2)2 +(z +1)2=(6)2 ,所以此方程表示以(1,-2,-1)为球心,以为半径的球面.4.求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2 的点的全体所组成的曲面的方程,它表示怎样曲面？解设点(x ,y ,z )满足题意,依题意有=1 , 2 化简整理得(x +2)2 +(y +1)2 +(z +4)2 =116,3 3 9它表示以(-2,-1,-4)为球心,以2 为半径的球面.3 3 35.将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解将方程中的z 换成± 得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x . 6.将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解将方程中的x 换成± 得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7.将 xOy 坐标面上的双曲线 4x 2-9y 2=36 分别绕 x 轴及 y轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x2-9y2-9z2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x2+4z2-9y2=36.8.画出下列方程所表示的曲面:(1) (x -a)2 +y2 =(a)2 ;2 2(2) -x2 +y2=1 ;4 9(3) x2 +z2 =1 ;9 4(4)y 2-z =0;(5)z =2-x 2.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:(1)x =2;解在平面解析几何中,x =2 表示平行于y 轴的一条直线;在空间解析几何中,x =2 表示一张平行于 yOz 面的平面.(2)y =x +1;解 在平面解析几何中,y =x +1 表示一条斜率是 1,在 y 轴上的截距也是 1的直线;在空间解析几何中，y =x +1 表示一张平行于 z 轴的平面.(3)x 2+y 2=4;解 在平面解析几何中,x 2+y 2=4 表示中心在原点,半径是 4 的圆;在空间解析几何中, x 2+y 2=4 表示母线平行于 z 轴,准线为 x 2+y 2=4 的圆柱面.(4)x 2-y 2=1.解 在平面解析几何中,x 2-y 2=1 表示双曲线;在空间解析几何中,x 2-y 2=1表示母线平行于 z 轴的双曲面.10.说明下列旋转曲面是怎样形成的:(1) x 2 +y 2 +z 2 =1 ; 4 9 9解这是xOy 面上的椭圆x 2 +y 2 =1绕x 轴旋转一周而形成的,或是zOx 面上的椭圆 4 9x2 +z2 =1 绕 x 轴旋转一周而形成的.4 9(2) x2 -y2+z2 =1 ; 4解这是xOy 面上的双曲线x2 -y2=1 y 轴旋转一周而形成的,或是yOz 面上的双曲4线-y2+z2 =1绕 y 轴旋转一周而形成的.4(3)x2-y2-z2=1;解这是xOy 面上的双曲线x2-y2=1 绕x 轴旋转一周而形成的,或是zOx 面上的双曲线x2-z2=1 绕 x 轴旋转一周而形成的.(4)(z-a)2=x2+y2.解这是zOx 面上的曲线(z-a)2=x2绕z轴旋转一周而形成的,或是yOz面上的曲线(z-a)2=y2绕 z 轴旋转一周而形成的.11.画出下列方程所表示的曲面:(1)4x2+y2-z2=4;(2)x2-y2-4z2=4;(3)z=x2 +y2 .3 4 9⎨y =2 4-x 2-y 2 ⎨x -y =0 ⎨x 2+2 2z 习题 7-41.画出下列曲线在第一卦限内的图形:(1) ⎧x =1 ; ⎩(2)⎧z = ; ⎩(3) ⎧x 2 +y 2 =a 2 . ⎩⎨y =2x -3 ⎩ ⎩⎨x 2+2 2z -y =0 ⎨x 2+2 2z -y =0 ⎨x 2+2 2z -y =0 ⎨z =0 ⎨y =x 2.指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形:(1) ⎧y = 5x +1 ; ⎩ 解 在平面解析几何中,⎧y = 5x +1 表示直线y =5x +1 与y =2x -3 的交点(-4, -17) ;在空 ⎨y =2x -3 3 3 间解析几何中,⎧y = 5x +1 表示平面y =5x +1 与y =2x -3 的交线,它表示过点(-4, -17, 0) ,并且行于 z 轴.⎨y =2x -3 3 3 ⎧⎪x 2+y 2 =1(2)⎨4 9 .⎪⎩y =3 ⎧⎪x 2+y 2 =1x 2 y 2 解 在平面解析几何中, ⎨4 9 ⎪⎩y =3 表示椭圆 4 9 =1 与其切线y =3 的交点(0,3);在 ⎧⎪x 2+y 2 =1 x 2 y 2 空间解析几何中, ⎨4 9 ⎪⎩y =3 表示椭圆柱面 4 +9 =1 与其切平面 y =3 的交线. 3.分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线⎧2x 2 +y 2 +z 2 =16 的柱面方程. ⎩解把方程组中的x 消去得方程3y 2-z 2=16,这就是母线平行于x 轴且通过曲线⎧2x 2 +y 2 +z 2 =16 的柱面方程. ⎩把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16,这就是母线平行于y 轴且通过曲线⎧2x 2 +y 2 +z 2 =16 的柱面方程. ⎩ 4.求球面 x 2+y 2+z 2=9 与平面 x +z =1 的交线在 xOy 面上的投影的方程.解由x +z =1 得z =1-x 代入x 2+y 2+z 2=9 得方程2x 2-2x +y 2=8,这是母线平行于z 轴,准线为球面x 2+y 2+z 2=9 与平面x +z =1 的交线的柱面方程,于是所求的投影方程为⎧2x 2 - 2x +y 2 =8 . ⎩5.将下列曲线的一般方程化为参数方程:(1) ⎧x 2 +y 2 +z 2 =9 ; ⎩⎨z =0 ⎨z =0解将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9 得2x 2+z 2=9,即令 x =3cos t ,则 z =3sin t .2故所求参数方程为x 2 3 2 +z 2 =1 . 32 x = 3cos t , 2 y = 3cos t ,z =3sin t .2(2) ⎧(x -1)2 +y 2 +(z +1)2 = 4 . ⎩ 解 将 z =0 代入(x -1)2+y 2+(z +1)2=4 得(x -1)2+y 2=3.令 x =1+ 3cos t ,则 y =3 sin t ,于是所求参数方程为x =1+ 3 cos t , y = 3 sin t ,z =0.⎧⎪x =a c os θ 6.求螺旋线⎨y =a sin θ在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.⎪⎩z =b θ解由前两个方程得x 2+y 2=a 2,于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎧x 2 +y 2 =a 2 . ⎩由第三个方程得θ=z 代入第一个方程得 bx =cos z ,即 z =b arccos x ,a b a于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎧⎪z =b arccos x . ⎨ a ⎪⎩y =0由第三个方程得θ=z 代入第二个方程得 by =sin z ,即 z =b arcsin y ,a b a于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎧⎪x =0 ⎨z =b arcsin y ⎩⎪ a .a 2 -x 2 -y 2 a 2 -x 2 -y 27.求上半球0≤z ≤的投影. 与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上 解圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax ,它含在半球0≤z ≤在 xOy 面上的投影 x 2+y 2≤a 2内,所以半球与圆柱体的公共部分在 xOy 面上的投影为 x 2+y 2≤ax .为求半球与圆柱体的公共部分在 zOx 面上的投影,由圆柱面方程 x 2+y 2=ax 得 y 2=ax -x 2,代入半球面方程z = ,得z =zOx 面上的投影为(0≤x ≤a ),于是半球与圆柱体的公共部分在0≤z ≤a 2 -ax (0≤x ≤a ),即 z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a ,z ≥0.8.求旋转抛物面 z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解 令 z =4 得 x 2+y 2=4,于是旋转抛物面 z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在 xOy 面上的投影为 x 2+y 2≤4. 令 x =0得 z =y 2,于是旋转抛物面 z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在 yOz 面上的投影为 y 2≤z ≤4.令 y =0得 z =x 2,于是旋转抛物面 z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在 zOx 面上的投影为 x 2≤z ≤4.a 2 -x 2 -y 2 a 2 -ax习题 7-51.求过点(3, 0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程.解所求平面的法线向量为n=(3,-7, 5),所求平面的方程为3(x-3)-7(y-0)+5(z+1)=0,即 3x-7y+5z-4=0.2.求过点M0(2, 9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.解所求平面的法线向量为n=(2, 9,-6),所求平面的方程为2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0,即 2x+9y-6z-121=0.3.求过(1, 1,-1)、(-2,-2, 2)、(1,-1, 2)三点的平面方程.解 n1=(1,-1, 2)-(1, 1,-1)=(0,-2,3),n1=(1,-1, 2)-(-2,-2, 2)=(3, 1,0),所求平面的法线向量为i jn=n1⨯n2= 0 -23 1所求平面的方程为k3 =-3i +9 j +6k , 0-3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0,即 x-3y-2z=0.4.指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面:(1)x=0;解 x=0 是 yOz 平面.(2)3y-1=0;解3y-1=0 是垂直于y 轴的平面,它通过y 轴上的点(0, 1, 0).322 +(-2)2 +11(3)2x -3y -6=0;解 2x -3y -6=0 是平行于 z 轴的平面,它在 x 轴、y轴上的截距分别是 3 和-2.(4)x - 3y =0;解x - 3y =0是通过z 轴的平面,它在xOy 面上的投影的斜3(5)y +z =1;解y +z =1 是平行于x 轴的平面,它在y 轴、z 轴上的截距均 为 1.(6)x -2z =0;解 x -2z =0 是通过 y 轴的平面.(7)6x +5-z =0.解 6x +5-z =0 是通过原点的平面.5.求平面 2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦.解此平面的法线向量为 n =(2,-2, 1).此平面与yOz 面的夹角的余弦为cos α=cos(n ^,i )=n ⋅i = 2 =2;|n |⋅|i | 22+(-2)2+11 3此平面与zOx 面的夹角的余弦为cos β=cos(n ,^j )=n ⋅j = -2 =-2;|n |⋅|j | 3此平面与xOy 面的夹角的余弦为cos γ=cos(n ,^ k )=n ⋅k = 1 =1.|n |⋅|k | 22+(-2)2+11 36.一平面过点(1, 0,-1)且平行于向量 a=(2, 1, 1)和 b=(1,-1, 0),试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为i jn=a⨯b=2 11-1 所求平面的方程为k1 =i +j -3k , 0(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0,即 x+y-3z-4=0.7.求三平面x+3y+z=1, 2x-y-z=0,-x+2y+2z=3 的交点.解解线性方程组⎧⎪x+3y+z=1⎨2x-y-z=0⎪⎩-x+2y+2z=3得 x=1,y=-1,z=3.三个平面的交点的坐标为(1,-1, 3).8.分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx面且经过点(2,-5,3);解所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0),于是所求的平面为0⋅(x-2)-5(y+5)+0⋅(z-3)=0,即 y=-5.(2)通过 z 轴和点(-3, 1,-2);解 所求平面可设为 Ax+By=0.因为点(-3, 1,-2)在此平面上,所以-3A+B=0,将B=3A 代入所设方程得Ax+3Ay=0,所以所求的平面的方程为x+3y=0,(3)平行于 x 轴且经过两点(4, 0,-2)和(5, 1, 7).解所求平面的法线向量可设为n=(0,b,c).因为点(4,0,-2) 和(5, 1, 7)都在所求平面上,所以向量n1=(5, 1, 7)-(4, 0,-2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的,即b+9c=0,b=-9c ,于 是 n=(0,-9c,c)=-c(0, 9,-1).所求平面的方程为9(y-0)-(z+2)=0,即 9y-z-2=0.9.求点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0 的距离.解点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0 的距离为d =|1+2⨯2+2⨯1-10|=1.12 + 22 +22⎨2x +y +z =4 ⎨2x +y +z =4 ⎨2x +z =4习题 7-6 1.求过点(4,-1, 3)且平行于直线 x -3=y =z -1的直线方程.2 1 5解所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5),所求的直线方程为x -4=y +1=z -3.2 1 52.求过两点 M 1(3,-2, 1)和 M 2(-1, 0, 2)的直线方程.解 所求直线的方向向量为 s =(-1, 0, 2)-(3,-2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为x -3=y +2=x -1.-4 2 13.用对称式方程及参数方程表示直线⎧x -y +z =1 . ⎩解 平面 x -y +z =1 和 2x +y +z =4 的法线向量为 n 1=(1,-1, 1), n 2=(2, 1, 1),所求直线的方向向量为i s =n 1⨯n 2 = 1 2 j k-1 1 =-2i +j +3k . 1 1在方程组⎧x -y +z =1 ⎩ 中,令 y =0,得⎧x +z =1 ⎩,解 得 x =3, z =-2.于是点(3, 0,-2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为x -3=y =z +2;-2 1 3参数方程为x =3-2t ,y =t ,z =-2+3t .⎨3x +5y -2z +1=0 ⎩ ⎩⎨-2x +y +z =7 ⎨2x -y -z =0 4.求过点(2, 0,-3)且与直线⎧x -2y +4z -7=0 ⎩垂直的平面 方程.解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量,即i j n =(1, -2, 4)⨯(3, 5, -2)= 1- 2 3 5 k 4=-16i +14 j +11k . -2所平面的方程为-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0,即 16x -14y -11z -65=0.5.求直线⎧5x -3y +3z -9=0与直线⎧2x +2y -z +23=0的夹角 的余弦.⎨3x -2y +z =0 ⎨3x +8y +z -18=0 解两直线的方向向量分别为i s 1 = 5 3 i j k-33 =3i + 4 j -k , -2 1j ks 2 = 22 38 -1 =10i -5 j +10k . 1两直线之间的夹角的余弦为cos(s ,^s )= s 1⨯s 2 1 2 | s |⋅|s | 1 2= 3⨯10+4⨯(-5)+(-1)⨯10 =0. 32 +42 +(-1)2 102 +(-5)2 +1026.证明直线⎧x +2y -z =7 ⎩ 与直线⎧3x +6y -3z =8平行. ⎩解两直线的方向向量分别为i j s 1=1 2 -21 i j k-1 =3i +j +5k , 1ks 2 = 3 2 6 -3=-9i -3j -15k .-1-1因为 s 2=-3s 1,所以这两个直线是平行的.7.求过点(0, 2,4)且与两平面 x +2z =1 和 y -3z =2平行的直线方程. 解因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1,-3)不平行,所以两平面相交于一直线,此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s ,即i j s = 10 01 k 2=-2i +3j +k . -3所求直线的方程为 x =y -2=z -4.-2 3 1 8.求过点(3, 1,-2)且通过直线 x -4=y +3=z 的平面方程.5 2 1 解所求平面的法线向量与直线x -4=y +3=z 的方向向量5 2 1s 1=(5, 2, 1)垂直.因为点(3, 1,-2)和(4,-3, 0)都在所求的平面上,所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2) 也是垂直的.因此所求平面的法线向量可取为⎨x -y -z =0 ⎨x -y -z =0i j n =s 1 ⨯s 2 =5 2 1-4 k 1 =8i -9 j -22k . 2所求平面的方程为8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0,即 8x -9y -22z -59=0.9.求直线⎧x +y +3z =0 与平面 x -y -z +1=0 的夹角. ⎩解已知直线的方向向量为i s =(1,1, 3)⨯(1, -1, -1)=1 1 j k 1 3 -1 -1=2i + 4 j -2k =2(i + 2 j -k ) , 已知平面的法线向量为 n =(1,-1,-1).因为s ⋅n =2⨯1+4⨯(-1)+(-2)⨯(-1)=0,所以 s ⊥n ,从而直线⎧x +y +3z =0 与平面 x -y -z +1=0 的夹角为 0. ⎩10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系: (1) x +3=y +4=z 和 4x -2y -2z =3;-2 -7 3解 所给直线的方向向量为 s =(-2,-7,3),所给平面的法线向量为 n =(4,-2,-2).因为 s ⋅n =(-2)⨯4+(-7)⨯(-2)+3⨯(-2)=0,所以 s ⊥n ,从而所给直线与所给平面平行.又因为直线上的点(-3,-4, 0)不满足平面方程 4x -2y -2z =3,所以所给直线不在所给平面上. (2) x =y =z 和 3x -2y +7z =8;3 -2 7⎩ ⎩解 所给直线的方向向量为 s =(3,-2,7),所给平面的法线向量为 n =(3,-2, 7).因为 s =n ,所以所给直线与所给平面是垂直的. (3) x -2=y +2=z -3和 x +y +z =3.3 1 -4解 所给直线的方向向量为 s =(3,1,-4),所给平面的法线向量为 n =(1, 1, 1).因为 s ⋅n =3⨯1+1⨯1+(-4)⨯1=0,所以 s ⊥n ,从而所给直线与所给平面平行.又因为直线上的点(2,-2,3)满足平面方程 x +y +z =3,所以所给直线在所给平面上. 11.求过点(1,2,1)而与两直线⎧x +2y -z +1=0 和⎧2x -y +z =0平行的平面的方程.⎨x -y +z -1=0 ⎨x -y +z =0 解已知直线的方向向量分别为i s 1=(1,2,-1)⨯(1,-1,1)=1 1 i s 1 =(2, -1,1)⨯(1, -1,1)=2 1 j k 2 -1 =i -2 j -3k ,-1 1j k -1 1 =-j -k . -1 1所求平面的法线向量可取为i n =s 1⨯s 2 =1 0 所求平面的方程为j k -2 -3 =-i +j -k ,-1 -1-(x -1)+(y -2)-(z -1)=0,即 x -y +z =0.12.求点(-1, 2, 0)在平面 x +2y -z +1=0 上的投影.⎨2x -y +z -4=0 解平面的法线向量为n =(1, 2,-1).过点(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为x +1=y -2=z .1 2 -1将此方程化为参数方程x =-1+t ,y =2+2t ,z =-t ,代入平面方程 x +2y -z +1=0 中,得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0,解得t =-2.再将t =-2代入直线的参数方程,得x =-5,y =2, 3 3 3 3z =2.于是点(-1, 2, 0) 在平面x +2y -z +1=0上的投影为点 3 (-5, 2, 2) . 2 3 313.求点 P (3,-1,2)到直线⎧x +y -z +1=0 ⎩ 解已知直线的方向向量为的距离.i s =(1,1,-1)⨯(2,-1,1)=1 2 j k 1 -1=-3j -3k . -1 1过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为-3(y +1)-3(z -2)=0,即 y +z -1=0.解线性方程组⎧⎪x +y -z +1=0⎨2x -y +z -4=0 ,⎪⎩y +z -1=0得 x =1, y =-1, 2 z =3.22 ⎨2x -y +z -4=0 ⎨3x -y -2z -9=0 点P (3,-1, 2)到直线⎧x +y -z +1=0 ⎩与点(1, -1, 3) 间的距离,即的距离就是点P (3,-1, 2) 2 2d =. 214.设M 0是直线L 外一点,M 是直线L 上任意一点,且直线的方向向量为s ,试证:点M 0到直线L 的距离→ d =|M 0M ⨯s |. |s |→解设点M 0到直线L 的距离为d ,L 的方向向量s =MN ,根→ → 据向量积的几何意义,以M 0M 和MN 为邻边的平行四边形的面积为→ → →|M 0M ⨯MN |=|M 0M ⨯s | ,→ → → 又以 M 0M 和 MN 为邻边的平行四边形的面积为 d ⋅|MN |=d ⋅| s | . 因此→d ⋅|s |=| → M 0M ⨯s |, d =|M 0M ⨯s |. | s | 15.求直线⎧2x -4y +z =0 ⎩在平面4x -y +z =1 上的投影直线 的方程.解过已知直线的平面束方程为(2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面,令(4 -1, 1)⋅(2+3λ,-4-λ, 1-2λ)=0,⎩ 即4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得λ=-13.将λ=-13代入平面束方程中,得11 1117x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎧4x -y +z =1 ⎨17x +31y -37z -117 =0 16.画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x =0,y =0,z =0,x =2,y =1, 3x +4y +2z -12=0;(2)x =0,z =0,x =1,y =2, z =y ;4.(3)z=0,z=3,x-y=0,x-3y=0,x2+y2=1(在第一卦限内);(4)x=0,y=0,z=0,x2+y2=R2,y2+z2=R2(在第一卦限内).总习题七1.填空(1)设在坐标系[O;i,j,k]中点A和点M的坐标依次为(x0,y0,z0)和(x,y,z),则在[A;i,j,k]→坐标系中,点M 的坐标为,向量OM的坐标为.解 M(x-x0,y-y0,z-z0),→OM =(x, y, z) .提示:自由向量与起点无关,它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.(2)设数λ1、λ2、λ3不全为0,使λ1a+λ2b+λ3c=0,则a、b、c三个向量是的.解共面.(3)设a=(2,1,2),b=(4,-1,10),c=b-λa,且a⊥c,则λ= .解 3.提示:因为 a⊥c,所以 a⋅c=0.又因为由a⋅c=a⋅b-λa⋅a=2⨯4+1⨯(-1)+2⨯10-λ(22+12+22)=27-9λ,所以λ=3.(4)设a、b、c都是单位向量,且满足a+b+c=0,则a⋅b+b⋅c+c⋅a= .解 -3.2提示:因为a+b+c=0,所以(a+b+c)⋅(a+b+c)=0,即a⋅a+b⋅b+c⋅c+2a⋅b+2a⋅c+2c⋅a=0,于是a⋅b+b⋅c+c⋅a=-1(a⋅a+b⋅b+c⋅c)=-1(1+1+1)=-3.2 2 2(5)设|a|=3,|b|=4,|c|=5,且满足a+b+c=0,则|a⨯b+b⨯c+c⨯a|= .解36.提示:c=-(a+b),a⨯b+b⨯c+c⨯a=a⨯b-b⨯(a+b)-(a+b)⨯a=a⨯b-b⨯a-b⨯a=3a⨯b,|a⨯b+b⨯c+c⨯a|=3|a⨯b|=3|a|⋅|b|=3⋅3⋅4=36.2.在y轴上求与点 A(1,-3, 7)和点 B(5, 7,-5)等距离的点.解设所求点为M(0,y, 0),则有12+(y+3)2+72=52+(y-7)2+(-5)2,即(y+3)2=(y-7)2,解得 y=2,所求的点为 M(0, 2, 0).3.已知 ∆ABC 的顶点为 A(3,2,-1)、B(5,-4,7)和C(-1,1,2),求从顶点 C 所引中线的长度.解线段AB 的中点的坐标为(3+5, 2-4, -1+7) =(4, -1, 3) .所求中线的长度为2 2 2.→→→4.设∆ABC 的三边BC =a 、CA=b 、AB =c ,三边中点依次为D、E、F,试用向量a、d = (4+1)2 +(-1-1)2 +(3- 2)2 = 30→→→b 、c 表示AD 、BE 、CF ,并证明→→→AD +BE +CF =0 . 解 →=→+→=c +1a , ADABBD 2→=→+→=a +1b , BEBCCE 2→=→+→=b +1c . CFCAAF 2→→→3 3AD +BE +CF =2 (a +b +c )=2(-c +c )=05.试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边,且其长度等于第三边长度的一半.证明设D ,E 分别为AB ,AC 的中点,则有 →=→-→=1( →-→) , DE AE AD 2AC AB→ →→→→BC =BA +AC =AC -AB ,所以→1→DE =2BC ,从而 DE //BC ,且|DE |=1| BC | .26.设|a +b |=|a -b |,a =(3,-5, 8),b =(-1, 1,z ),求 z .解a +b =(2,-4, 8+z ),a -b =(4,-6, 8-z ).因为|a +b |=|a -b |,所以,解得 z =1.7.设|a |=, |b |=1,(a ,^b ) =π,求向量 a +b 与 a -b 的夹角.6解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^b ) =3+1+2|a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^b )=3+1-2 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ,则3 cos π=7 ,63 cos π=1 .6cos θ=(a +b )⋅(a -b )= |a |2 -|b |2 |a +b |⋅|a -b | θ=arccos 2.7|a +b |⋅|a -b | 22 +(-4)2 +(8+z )2 = 42 +(-6)2 +(8-z )2 38.设 a +3b ⊥7a -5b ,a -4b ⊥7a -2b ,求(a ,^b ) . 解 因为 a +3b ⊥7a -5b ,a -4b ⊥7a -2b , 所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0,(a -4b )⋅(7a -2b )=0, 即 7|a |2+16a ⋅b -15|b |2=0, 7|a |2-30a ⋅b +8|b |2=0, 又以上两式可得|a |=|b |= 2 a ⋅b ,于是cos(a ,^b ) =a ⋅b =1,(a ,^b ) =π.|a |⋅|b | 239.设 a =(2,-1,-2),b =(1, 1,z ),问 z 为何值时(a ,^b ) 最小？并求出此最小值. 解 cos(a ,^b ) =a ⋅b =1-2z . |a |⋅|b | 3 2+z 2因为当 0<(a ,^b )<π时,cos(a ,^b ) 为单调减函数.求(a ,^b ) 的最小值也就是求 f (z )=1-2z2的最大值.3 2+z 2令 f '(z ) =1⋅-4-z =0 ,得 z =-4.3 (2+z 2)3/ 2当z =-4时,cos(a ,^b )=2,所以(a ,^b )=2min2 410.设|a |=4, |b |=3, (a ,^b ) =π,求以 a +2b 和 a -3b 为边的平行四边形的面积.6解 (a +2b )⨯(a -3b )=-3a ⨯b +2b ⨯a =5b ⨯a .以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积为|(a + 2b )⨯(a -3b )|=5|b ⨯a |=5|b |⋅|a |sin(a ,^b ) =5⋅3⋅4⋅1=30 .211.设 a =(2,-3, 1),b =(1,-2, 3),c =(2, 1, 2),向量 r 满足 r ⊥a ,r ⊥b , Prj c r =14,求 r . 解 设 r =(x ,y ,z ).因为r ⊥a ,r ⊥b ,所以r ⋅a =0,r ⋅b =0,即 2x -3y +z =0,x -2y +3z =0.又因为Prj cr =14,所以r ⋅1c =14 ,即|c |2x +y +2z =42. 解线性方程组⎪(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2⎧⎪2x -3y +z =0 ⎨x -2y +3z =0 , ⎪⎩2x +y +2z =42得 x =14,y =10,z =2,所以 r =(14, 10, 2).i j k另解 因为 r ⊥a ,r ⊥b ,所以 r 与a ⨯b =2-3 1 -2 1 =-7i -5 j -k 平行,故可设 r =λ(7, 5, 1).3又因为Prj c r =14,所以r ⋅1c =14 ,r ⋅c =42,即|c |λ(7⨯2+5⨯1+1⨯2)=42,λ=2,所以 r =(14, 10, 2).12.设a =(-1, 3, 2),b =(2,-3,-4),c =(-3, 12, 6),证明三向量a 、b 、c 共面,并用a 和b 表示 c .证明向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ⨯b )⋅c =0.因为i j a ⨯b =-1 3 2 -3 k2 =-6i -3k ,- 4 (a ⨯b )⋅c =(-6)⨯(-3)+0⨯12+(-3)⨯6=0,所以向量a 、b 、c 共面.设c =λa +μb ,则有(-λ+2μ, 3λ-3μ, 2λ-4μ)=(-3, 12, 6), 即有方程组⎧-λ+ 2μ=-3 ⎨3λ-3μ=12 , ⎪⎩2λ-4μ=6解之得λ=5,μ=1,所以 c =5a +b .13.已知动点 M (x ,y ,z )到 xOy 平面的距离与点 M 到点(1, -1, 2)的距离相等,求点 M 的轨迹方程.解根据题意,有|z |= ,或 z 2=(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2,化简得(x -1)2+(y +1)2=4(z -1),这就是点 M 的轨迹方程.14.指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为 zOx 面上的曲线 z =2x 2,旋转轴为 z 轴.2⎨x =0 ⎨x =0⎨x =0 (2) x 2 +y 2 +z 2=1 ; 36 9 36解 旋转曲面的一条母线为 xOy 面上的曲线 x 2 +y 2=1,旋转轴为 y 轴.(3)z 2=3(x 2+y 2);36 9解 旋转曲面的一条母线为 yOz 面上的曲线 z = 3 y ,旋转轴为 z 轴.(4) x 2 -y 2 -z 2=1. 4 4解 旋转曲面的一条母线为 xOy 面上的曲线 x 2-y 2=1 ,旋转轴为 x 轴.415.求通过点 A (3, 0, 0)和 B (0, 0, 1)且与 xOy 面成 π角的平面的方程.3 解 设所求平面的法线向量为 n =(a ,b ,c ).→BA =(3, 0, -1) ,xOy 面的法线向量为 k =(0, 0, 1).→ 按要求有n ⋅ =0, n ⋅k =cos π,BA⎧⎪3a -c =0 |n |⋅|k | 3即解之得 c =3a , b =± 26a .于是所求的平面的方程为(x -3) ±26 y +3z =0 ,即x + 26y +3z =3,或 x -26 y +3z =3 .16.设一平面垂直于平面z =0,并通过从点(1, -1, 1)到直线⎧y -z +1= 0的垂线,求此平 ⎩面方程.解 直线⎧y -z +1= 0的方向向量为 s =(0, 1,-1)⨯(1, 0, 0)=(0,-1,-1). ⎩设点(1, -1, 1)到直线⎧y -z +1= 0的垂线交于点(x 0,y 0,z 0).因为点(x 0,y 0,z 0)在直线⎩⎨x =0⎧y -z +1= 0上,所以(x 0,y 0,z 0)=(0,y 0,y 0+1).于是,垂线的方向向量为 ⎩s 1=(-1,y 0+1,y 0).显然有s ⋅s 1=0,即-y 0-1-y 0=0, y =-1. 2 从而 s 1 =(-1, y 0 +1, y 0) =(-1, 1, -1) .2 2所求平面的法线向量可取为n =k ⨯s 1 =k ⨯(-i +1j -1k ) =-1i -j ,所求平面的方程为2 2 2 -1(x -1) -(y +1) =0 ,即 x +2y +1=0 217.求过点(-1, 0, 4),且平行于平面3x -4y +z -10=0,又与直线x +1=y -3=z相交的直1 12 线的方程.解过点(-1, 0, 4),且平行于平面3x -4y +z -10=0 的平面的方程为3(x +1)-4(y -0)+(z -4)=0,即 3x -4y +z -1=0. 将直线x +1=y -3=z化为参数方程 x =-1+t ,y =3+t ,z =2t ,代入平面方程 3x -4y +z -1=0,1 12 得3(-1+t )-4(3+t )+2t -1=0,解得t =16.于是平面3x -4y +z -1=0 与直线x +1=y -3=z的交点的坐标为(15, 19,32),这也1 12 是所求直线与已知直线的交点的坐标.所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)-(-1, 0, 4)=(16, 19, 28), 所求直线的方程为x +1=y =z -4. 16 19 2818.已知点 A (1, 0, 0)及点 B (0, 2, 1),试在 z 轴上求一点 C ,使∆ABC 的面积最小.→ 解 设所求的点为 C (0, 0,z ),则 AC =(-1, 0, z ) ,→BC =(0, - 2, z -1) .→→i j k因为 AC ⨯BC =-10 0 - 2 z z -1= 2z i +(z -1) j + 2k ,所以∆ABC 的面积为x 2 +y 2 x 2 +y 2 ⎨z = 22(x -1)+(y -1) ⎩ ⎩ ⎩⎨y =0 ⎩ ⎨x =0 ⎩ ⎩⎨z =0⎩ ⎩S =1|→⨯→|=14z 2 +(z -1)2 + 4 . 2AC BC 2令dS =1⋅ 8z +2(z -1)=0,得z =1,所求点为C (0,0,1). dz 4 4z 2 +(z -1)2 +4 5519.求曲线⎧z = 2-x 2 -y 2 ⎩ 在三个坐标面上的投影曲线的方程. 解在xOy 面上的投影曲线方程为⎧(x -1)2 +(y -1)2 = 2-x 2 -y 2 ,即⎧x 2 +y 2 =x +y .⎨z =0 ⎨z =0 在zOx 面上的投影曲线方程为⎧z =(x -1)2+(± ⎨y =0 2-x 2 -z -1)2 ,即⎧2x 2+ 2xz +z 2- 4x -3z + 2=0 .⎩ 在yOz 面上的投影曲线方程为⎧z =(±⎨x =0 2-y 2 -z -1)2 +(y -1)2 ,即⎧2y 2+ 2yz +z 2- 4y -3z + 2=0 .⎩20.求锥面z =与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影.解锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为⎧2x =x 2 +y 2 ,即⎧(x -1)2 +y 2 =1 ,⎨z =0 ⎨z =0 所以,立体在 xOy 面上的投影为⎧(x -1)2 +y 2 ≤1.⎩ 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为 ⎧⎪z =⎧⎪(z 2-2)2+y 2=1⎨ ,即⎨2 , ⎪⎩x ⎪⎩x =0⎧⎪(z 2-2)2+y 2≤1 所以,立体在yOz 面上的投影为⎨2 .⎪⎩x =0锥面z = 与柱面z 2=2x 与平面y =0 的交线为⎧z =|x |和⎧z = 2x ,⎨y =0 ⎨y =0所以,立体在zOx 面上的投影为⎩x 2 +y 2⎧x ≤z≤ ⎨y =021.画出下列各曲面所围立体的图形:(1)抛物柱面 2y 2=x ,平面 z =0 及x =y=z =1 ;4 2 2(2)抛物柱面 x 2=1-z ,平面 y =0,z =0 及 x +y =1;(3) 圆锥面z = 及旋转抛物面z =2-x 2-y 2;(4) 旋转抛物面x 2+y 2=z ,柱面y 2=x ,平面z =0及x =1.2x.。
