2018年第23届华罗庚金杯赛小中组决赛试题和答案

第23届华杯赛中年级试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 在第23届华杯赛中，关于数学原理的应用，下列哪项是正确的？A. 函数的增长速度与其导数无关B. 微积分基本定理说明函数的原函数存在C. 线性方程组的解集总是非空D. 概率论中的大数定律与小数定律是相同的2. 在第23届华杯赛物理原理部分，下列哪项描述了牛顿第一定律？A. 力是改变物体运动状态的原因B. 力与物体的加速度成正比C. 物体在平衡力的作用下保持静止或匀速直线运动D. 力总是成对出现，大小相等方向相反3. 第23届华杯赛化学原理中，下列哪项关于酸碱中和反应的说法是正确的？A. 中和反应只发生在水溶液中B. 中和反应产生的盐一定是中性的C. 酸碱中和反应一定会放热D. 中和反应中，酸的质子会转移到碱上4. 在第23届华杯赛生物学原理中，下列哪项关于细胞结构的描述是正确的？A. 所有细胞都有细胞壁B. 细胞核是细胞内最大的细胞器C. 真核细胞和原核细胞的主要区别在于是否有细胞核D. 细胞膜是细胞内最不活跃的部分5. 在第23届华杯赛地理原理中，下列哪项关于板块构造理论的描述是正确的？A. 地球表层由几块不动的板块组成B. 板块内部相对稳定，板块交界处地壳活动频繁C. 海沟总是位于板块的张裂边界D. 火山活动只发生在板块的俯冲边界二、判断题（每题1分，共5分）1. 第23届华杯赛中的数学原理表明，任何连续函数在其定义域内必有最大值和最小值。

（）2. 在第23届华杯赛物理原理中，能量守恒定律指出能量可以从一种形式转换为另一种形式，但总能量保持不变。

（）3. 第23届华杯赛化学原理中，所有的氧化还原反应都涉及到电子的转移。

（）4. 在第23届华杯赛生物学原理中，所有生物的遗传物质都是DNA。

（）5. 第23届华杯赛地理原理中，地球上的气候是由纬度、海陆分布和地形共同决定的。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 在第23届华杯赛数学原理中，若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的切线斜率是______。

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（小学高年级组·练习用） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 如图，一个4 ⨯ 4 方形点阵，每个点与其相邻的上、下、左、右点的距离都相等. 以这些点为端点的、不同长度的线段共有 条. 2. a , b , c , d 四个数，每次去掉 2 个数，将其余 2 个数求平均数， 这样计算了 6 次，得到 6 个数是: 23，26，29，32，24，31，则四个数a , b , c , d 的平均数是 . 3. 甲、乙两车从同一地点出发沿同一高速公路从 A 地到 B 地。

甲车先出发 2 小时，乙车出发后经 5 小时与甲车同时到达 B 地。

如果乙车时速增加 8 千米， 那么，出发后 4 小时可追上甲车。

A 地与 B 地的距离是 千米. 4. 如图, 一个6⨯9 方格网. 先将其中的任意几个方格染黑, 然后按照以下规则继续染色: 如果某个方格至少与2 个黑格都有公共边, 那么就将这个方格染黑. 要按照这个规则将整个棋盘都染成黑色, 所需要的最少初始染黑方格是 个。

5. 有五张标有 A ，B ，C ，D ，E 的卡片，从左到右排成一行，已知： （1）C 和 E 都不和 B 相邻； （2）C 和 E 都不和 D 相邻； （3）B 和 E 都不和 A 相邻； （4）A 的右边是 D 。

请问：这个五张卡片的从左到右排列顺序是 。

6. 如图，由 6 个正方形与 12 个等边三角形构成的图形，整个图形的面积是 2018，阴影部分的面积是 .7. 圆周有 101 个格子，从某格 A 开始，沿着逆时针方向，第一次移动1格，第二次移动2 格， ，每次比前次多移动1格，移动到的格子中放一枚棋子，最多有 个格子放有棋子.总分 学校姓名参赛证号密封线内请勿答题第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组)8. 从 1 到 2018 这 2018 个数中，任取 2 个数 x , y ，使得9| x 3 + y 3 ，这样的数对(x , y ) 有 对.二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 求 22 + 3 + 32 + 3 + 42 + 3 + 52 + 3 + 22 -1 32 -1 42 -1 52 -1 + 20172 + 3 的整数部分。

第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛2018年一、选择题（每小题10分，共60分）1.A、B均为小于1的小数，算式A×B+0.1的结果( )。

A.大于1 B．小于l C．等于1 D．无法确定和l的大小2．小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等。

然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。

那么，反面上的三个数的平均数是( )。

A．11 B．12 C．39 D．403．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有( )种。

A. 12 B．17 C．22 D．104．在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6的网格中共有( )枚黑色围棋子。

A. 18 B．14 C．12 D．105．数字和等于218的最小自然数是个n位数，则n=( )。

A. 22 B．23 C．24 D．256．I型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，I型每5分钟跑1圈，Ⅱ型每3分钟跑1圈。

某同一时刻，I型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则I型比Ⅱ型提前( )分钟开始跑动。

A．32 B．36 C．38 D．54二、填空题（每小题10分，共40分）7．题图是某市未来十日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100为优良。

从图上看，连续两天优良的是____号，____号。

8．如图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形纸片。

第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移了3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ。

第一步操作后两张纸片重叠的面积与第二步操作后两张纸片重叠的面积相等，那么这个正方形纸片ABCD的面积是____平方厘米。

2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝．2．（10分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于度．3．（10分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了角．4．（10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为．5．（10分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是元．6．（10分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶千米．7．（10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．8．（10分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝61 ．【分析】根据除法的性质，原式＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61，据此解答即可．【解答】解：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61；故答案为：61．2．（10分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于360 度．【分析】连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，这样就转化成四边形的内角和了，四边形的内角和是360度．【解答】解：连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠EDC+∠ECD＝四边形ABCD的内角和，180×（4﹣2）＝180×2＝360（度）答：∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于 360度．故答案为：360．3．（10分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了47 角．【分析】将14.57元化为整数是1457分，售价应是不超过42的奇数，容易试出答案．【解答】1457分解质因数是1457＝31×47，47超过了21的2倍，31符合条件，所以售价是31分，进而数量是47张，47×（31﹣21）＝470分＝47角故答案为：47．4．（10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为37 ．【分析】设一班a人，二班b人，则有3a+5b＝115，求两班人数最多，算式转化成：3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b尽可能的小，b＝2时，a+b ＝37．【解答】解：设一班a人，二班b人，则3a+5b＝115，3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b尽可能的小，b＝1时，得出a不是整数，b＝2时，3（a+2）+2×2＝1153a+6+4＝1153a＝105a＝35a+b＝35+2＝37（人）答：两班人数之和最多的是37人．故答案为：37．5．（10分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是 4 元．【分析】设第一天每支笔售价x元，卖出y支，那么根据总价＝单价×数量可知：第一天卖出的钱数就是xy元，第二天的单价就是x﹣1元，卖出的支数是y+100支，第二天卖出的总价就是（x﹣1）（y+100）；同理得出第三天卖出的总价，再分别根据第一天卖出的钱数与第二天和第三天卖出的钱数分别相等列出方程组，再化简求解．【解答】解：设第一天的单价为x元，数量为y只，那么有：化简得：解得：答：第一天每支笔售价是 4元．故答案为：4．6．（10分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶10 千米．【分析】在流水行船问题中，两船相遇的速度即两船的速度和，两船追及速度即两船的速度差．相向而行两船所行的路程是A、B两个码头之间的距离，同向而行两船的距离差也为A、B两个码头之间的距离，因此根据路程相等，设乙船的速度是x千米/小时，列出方程（x+6）×4＝（x﹣6）×16，解决问题．【解答】解：设乙船的速度是每小时x千米，（x+6）×4＝（x﹣6）×164x+24＝16x﹣9612x＝120x＝10答：乙在静水中划船每小时行驶10千米．故答案为：10．7．（10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是62 ．【分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；据此解答即可．【解答】解：2、3、4、5的最小公倍数是：2×3×2×5＝60，已知这个两位数是偶数，在60～70之间5的倍数是65，又知这个两位数加上3是5的倍数，所以这个两位数是65﹣3＝62，答：这个两位数是62．故答案为：62．8．（10分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于7 ．【分析】通过分析可知：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，可得方程：可得3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水＝19×3＝57而1～8的和是36，则有2尽+1力+1山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力＝21 “力”为4，此时山＝5，心＝3，尽＝6；（1）式满足：6+3+6+4＝19；（3）式：5+穷+水+6＝19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7若水最大取8时，有但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大为7．据此解答即可．【解答】解：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，可得方程：（1）+（2）+（3）可得：3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水＝19×3＝57而1～8的和是36，则有2尽+1力+1山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力＝21 “力”为4，此时山＝5，心＝3，尽＝6；（1）式满足：6+3+6+4＝19；（3）式：5+穷+水+6＝19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7若水最大取8时，有但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大为7．故答案为：7．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？【分析】根据题意知道，这批作业的总数本变，即工作总量一定，那么计划与实际的工作效率与工作时间成反比例，据此设出原计划x小时批改完，列出方程先求出原计划用的小时数，再根据工作效率×工作时间＝工作量进而得解．【解答】解：设原计划x小时批改完，由题意得：6×2+8（x﹣3﹣2）＝6x12+8x﹣40＝6x8x﹣6x＝282x＝28x＝14．6×14＝84（本）；答：这批作业有84本．10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）【分析】用五种不同的颜色涂正方体的六个面．先确定1种颜色染一组对面，剩下的4种颜色（用a、b、c、d表示）有abcd、acdb、acbd，3种染色方法，有•3＝15种；据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，•3＝5×3＝15（种）；答：共有15种不同的涂色方法．11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？【分析】可以按照数字找位置来分析，数字2不能在1附近，数字3有不在2附近，可以根据数字的位置枚举出来进行分析即可．【解答】解：相邻两个圆圈内的数字的差至少为2，设如图所示字母为a，b，c，d，e所以2只能填在d和e．（1）d处填2，2的周围不能有3．所以3只能填在a处.3的周围不能填4，4只能填在c和e．，5、6不能在一起，所以5填在b.6和4可以在c 和e交换，此时2种填法；（见中图）（2）e处填2，3填a或者b处．3填a处，4、5、6必有两个相邻，没有满足条件的填法；3填b处，4只能填入c处，5只能填入a处，6填入d处．1种填法；（见右图）故共2+1＝3种填法．答：共有3种不同的方法．12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？【分析】首先需要将阴影部分和已知的正方形的边长的关系找到，可根据△APG转换成同底等高的△DPG，然后再根据等积变形的原理与边长为6的正方形联系起来即可解决．【解答】解：依题意可知：将△APG移到△DPG（如上面中图），连接DB，DB与GE平行．△DGE等于△BGE的面积（如上面右图）．S阴＝6×6÷2＝18cm2．答：影部分APEG的面积是18cm2．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:15；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学中年级组）（时间: 2016年3月12日10:00～11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算: =-⨯⨯+⨯÷⨯-⨯)332525624()86797698(________.2. 从1, 2, 3, 4, 5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中□ + □ > □ + □,有________种不同的填法使式子成立.（提示: 3251+>+和3215+>+是不同的填法.）3. 将下图左边的大三角形纸板剪3刀, 得到4个大小相同的小三角形纸板 (第一次操作), 见下图中间. 再将每个小三角形纸板剪3刀, 得到16个大小相同的更小的三角形纸板 (第二次操作), 见下图右边. 这样继续操作下去, 完成前六次操作共剪了________刀.4. 一个两位数与109的乘积为四位数, 它能被23整除且商是一位数, 这个两位数最大等于________.5. 右图中的网格是由6个相同的小正方形构成. 将其中4个小正方形涂上灰色, 要求每行每列都有涂色的小正方形. 经旋转后两种涂色的网格相同, 则视为相同的涂法, 那么有________种不同的涂色方法.学校____________ 姓名_________ 参赛证号密 封 线 内 请 勿 答 题第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学中年级组)6.有若干个连续的自然数, 任取其中4个不同的数相加, 可得到385个不同的和,则这些自然数有________个.7.在44 方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数, 每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等. 右图给出了几个所填的数, 那么五角星所在的小方格中所填的数是________.8.甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑, 甲的速度是5米/秒, 乙的速度是3米/秒. 若他们同时从同一端出发跑了15分钟, 则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9.右图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角形AEF, E在AB的延长线上, 则图中阴影部分的面积为多少平方厘米?10.有10个两两不同的自然数, 其中任意5个的乘积是偶数, 全部10个数的和是奇数. 则这10个自然数的和最小是多少？11.在1到200这200个自然数中任意选数, 至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？12.最初, 盒子中有三张卡片, 分别写着数1, 2, 3. 每次, 从盒子里取出两张卡片,将上面的数之和写到另一张空白卡片上, 再把三张卡片放回盒子. 如此5次后, 除了最后一张写数的卡片外, 其它的卡片都至少取出过一次, 不超过两次. 问: 此时盒子里面卡片上的数最大为多少？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（小学中年级组）第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学中年级组）一、填空（每题10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9.【答案】22平方厘米10.【答案】5111.【答案】19812.【答案】28。

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组·练习用）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）1. 点O 为线段 AB 上一点， ∠AOC = 10︒ ， ∠COD = 50︒ ，A O B则 ∠BOD =或．2.已知 m ＞0 ，且对任意整数 k ，2018123k m+均为整数，则 m 的最大值为 ．3. [ x ] 表示不超过x 的最大整数，如[-1.3] = -2 ， [1.3] = 1 ． 已知129[][][]=4101010a a a ++++++ ，则 a 的取值范围是 ．4. 使 2n +1 和11n +121都是平方数的最小正整数 n 为 ．5. 在3⨯ 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为 3， 10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等 于．6. 已知某三角形的三条高线长 a ，b ，c 为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值为 ．7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数 的和为 17，共有 种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字 的顺序，视为相同的分法．)8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则423abcab bc ca-+的最小值为．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年年初交10 万元，第6 年年初返6 万元，以后每年处返1.5万元；方案二：购买一款年利率5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款10 万元，接下来两年每年年初追加本金10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 +1.053 +1.052=3.47563125）10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整的一个“角”，考古专家判定D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ， D 两个顶点之间隔有一个顶点．经过测量∠CDE =135︒，DE =13厘米．原正多边形的周长是多少厘米？11. 一筐苹果，若分给全班同学每人3 个，则还剩下25 个；若全班同学一起吃，其中5 个同学每人每天吃1 个，其他同学每人每天吃2 个，则恰好用若干天吃完．问筐里最多共有多少个苹果？12. 给定一个5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续 3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格）．如果开始时所有25 个小方格均为白色，请问：能否经过8 次这样的操作，使得5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前4 次操作中至多变色1 次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 求证：不存在3 个有理数的平方和等于15．14.如图，一个由41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任意8 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与2 个黑格都有恰好1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染成黑色？第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中一年级组）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9.【答案】：方案二更划算.解：方案二，第4，5 年年初将之前的本息全部续存，到第6 年年初时，共有本息10⨯ (1+ 5%)5 +10⨯ (1+ 5%)4 +10⨯ (1+ 5%)3 ≈10.5⨯3.4756 ≈36.5 （万元），F C D提取 6 万元后仍有约36.5 - 6 = 30.5（万元）可不断续存，以后每年可提取利息约30.5⨯5% =1.525 （万元）．在前期投入及回报一致的情况下，显然比方案一以后每年返1.5 万元划算．而且方案二还可以随时提取或部分提取30.5万元储蓄用于应急或者选择其它更理想的理财方式，而方案一无此选择权．综上所述，方案二更划算．10. 【答案】156 厘米【解答】如图，设原图是正n 边形，其中C ， D 间的 顶 点 为 F ， 连 接 CF， DF ， 则∠CFD = ∠FDE = (n - 2 )︒ ，n因为 C F = F ，180所以∠C D F = ∠ =1 8 0︒ - ∠C F D 2=1 8 ，nF D C = ⨯所以 ∠C D E = ∠ F D E - ∠ 解得n =12 ．n - 31 8 ︒01= ︒3，n所以原本多边形是正 12 边形，周长为13⨯12=156 （厘米）．11. 【答案】130.【解答】解答 1：设全班同学有n 人，根据题意， 3n + 25 是2n - 5 的倍数，则 n + 30为整2n - 5数．又∵ n + 30 = 1 ⋅ 2n - 5 + 65 = 1 ⎛1+ 65 ⎫， 2n - 5 2 2n - 5 22n - 5 ⎪∴652n - 5⎝ ⎭是奇数，∴ 2n - 5最大为 65， n 最大为 35，∴ 筐里最多共有3⨯35 + 25 =130 个苹果．解答 2：设全班同学有n 人，根据题意， 3n + 25 是2n - 5 的倍数，则 n + 30 为整2n - 5数． 记n + 30= k ， k 为正整数，则n + 30 = k (2n - 5) ，两边同乘 2，得到2n - 52n + 60 = 2k (2n - 5) ， 2n + 60 = 2n - 5 + 65 ， 2n - 5 + 65 = 2k (2n - 5) ，(2k -1)(2n - 5) = 65 = 5⨯13 ．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)2k -1 =1时，2n - 5 = 65 ，n = 35，2k -1 = 5 时，2n -5=13，n =9 ，2k -1 =13 时，2n -5= 5，n = 5，2k -1 = 65 时，2n -5=1，n = 3，n 为35 时，苹果数最多，此时筐里的苹果数为35⨯3 + 25 =130 ．12.【答案】可以【解答】操作如下：（1）经过4 次操作可染成如下：第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)，（2）继续操作第5 次第6 次第7 次第8 次三、解答下列各题（每题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13.证明：注意到(-x)2 =x2 ，只需考虑非负有理数的平方和．假设存在3 个有理数n，q，t，其中m，n，p，q，k，t 是自然数，m p k且(m，n) =1，( p，q) =1，(k，t) =1 ，使得15 =n 2+q 2+t 2，( ) ( ) ( ) m p k那么15m2n2 p2 = (npk)2 + (mqk)2 + (mpt)2 ，第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)1即15d 2 = a 2 + b 2 + c 2 ，其中a ，b ，c ，d 是自然数．（1） 如果d 为偶数，那么经过有限次如下步骤，可使得d 为奇数．假设d = 2d ，若a ，b ，c两奇一偶，则a 2 + b 2 + c 2 被 4 除余 2，而15d 2 被 4整除，矛盾！所以a ，b ，c 都是偶数，故令a = 2a 1 ， b = 2b 1 ， c = 2c 1 （ a 1，b 1，c 1都是自然数），所以15d 2 = a 2 + b 2 + c 2 （其中a + b + c < a + b + c ）．如果d 还11 1 1 1 1 1 1是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数．（2） 如果d 为奇数，即d = 2r +1（ r 是自然数），那么15d 2 = 15(2r +1)2 = 15(4r (r +1) +1) ，即15d 2 被 8 除余 7．另一方面，若a ，b ，c 为三个奇数，那么a 2 + b 2 + c 2 被 8 除余 3；若a ，b ，c为两偶一奇，那么a 2 + b 2 + c 2 被 8 除余 1 或 5；第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)矛盾！因此，假设不成立，故不存在 3 个有理数的平方和等于 15． 14. 【答案】不可能【理由】如右图，可以将棋盘上的方格分为两类，灰色方格和白色方格．由染色规则可知，两类方格的染色互不影响， 因此需要分别考虑．首先考虑灰色方格．将只属于 1 个黑色方格的顶点数量称为“边界顶点数”．由染色的规则可以知道，每染一个方格，“边界顶点数”不会增加．将所有灰色方格都染黑，此时的“边界顶点数”为 20虑白色方格．将所有白色方格都染黑， 此时的“边界顶点数”此白色方格中初始染为黑色的至少需要 4 个．所以初始染色方格数为 8 时，无法将整个棋盘都染成黑 色．初始染色方格数为 9 时，如右图所示，将蓝色和红色方格作为初始的染黑方格，可以将整个棋盘染黑．。

2016第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解析（小学中年级)决赛试题A(小学中年级组)一、填空题1、计算：（98×76-679×8）÷（24×6+25×25×3-3）=_________。

解析：此题考察计算能力。

完全靠计算也能算出正确答案。

现在看一看有没有简便的方法。

原式=(98×76-97×7×8)÷[24×6+(25×25-1)×3]=(97×76+76-97×56)÷(24×6+24×26×3)=(97×20+76)÷(24×84)=2016÷2016=12、从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中：□ + □ > □ + □有_________种不同的填法使式子成立。

（提示：1+5>2+3和5+1>2+3是不同的填法）解析：此题意在考察同学们的推理思维能力。

右边小，先从右边1、2开始考虑(当然从左边最大5、4考虑起也可以，按个人习惯)当右边为：(1)1、2时，左边可为3、4，3、5，4、5根据题意，交换也算是不同填法，则右边为1、2的种类为3×2×2=12(2)1、3时，左边可为2、4，2、5，4、5同样种数为12(3)2、3时，左边可为1、5，4、5，此时种数为2×2×2=8(4)1、4时，与2、3相同，也是8种(5)2、4时，左边可为3、5，此时种数为2×2=4(6)1、5时，与2、4相同，也是4种其余数字无法满足式子，即总的种数为12+12+8+8+4+4=483、将下图左边的大三角形纸板剪三刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作）。

见下图中间。

再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见下图右边。

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组·练习用）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）2019 2 2 1009 2 20181.计算1 2 2018.2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装置都可以从三角形的一边到另一边旋转60º来回喷水．假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是平方米．3. 从 2， 3， 4， 5 这四个数中，任取两个数p,q( p q) ，构成函数y px 2 和y x q ，如果这两个函数图象的交点在直线x 2 的左侧，那么这样的有序数对( p,q) 共有个．4. 设p 为质数，如果二次方程x2 2px p2 5p 1 0的两个根都是整数，那么p 可能取的值有个.5. 如果1295 (6n 1) （其中n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的个数是.6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 内放有一个正方形MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，且MN //BC ．若正方形MNPQ 的面积为12 6 3 平方厘米，则正六边形ABCDEF 的面积是平方厘米．7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有种．8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小为．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距8 2千米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南45 度路线行走，且 A队与 B 队的速度比是 2 ，求A，B 两队最近时的距离．10. 如果实数x, y,z 同时满足关系式x( y2 z) z(z xy) ，y(z2 x) x(x yz) ，z(x2 y) y( y zx) ，那么，实数x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．11. 如图，在四边形ABCD 中， ABC BCD 120 ，AB BC ．对角线AC ，BD 相交于点E ．若AE 3CE ，求证：AB 2CD ．12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是p ，求p 的值．三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 如图，在五边形ABCDE 中，AB AE 1 ， CAD 45 ， E DE EAB B 90 ，求点A到直线CD 的距离． CA B14. 如图，一个由 81 个小方格组成的9 9 网格．先将其中的任意n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染成黑色，那么n的最小值是多少？说明你的结论．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中二年级组）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案2018 1 24π 36 3 5 2 83 322304 14二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）16 1059. 【答案】A ，B 两队最近时的距离是千米．【解答】如图，以B 队初始位置为原点，正东、正北方向为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，B(0,0) ，A( 8,8)．不妨y设B 队的速度为 1，那么A队的速度为 2 ，经过时间t A A1x后，B 队所在位置是 2 2B ( t, t) ，A队所在位置是12 2B1BA1( 8 2t,8) ，于是此时两队的距离d 满足2 2 2 2 2 28 2d ( 8 2t t) (8 t) 5t 16 2t 128，当t 时，d取到最2 2 5小值512 16 10千米．5 510. 【答案】x, y,z 一定都相等．【证明】将原关系式变形，得xy(y z) z(z x) ①，yz(z x) x(x y) ②，zx(x y) y(y z) ③．（1）当(x y()y z ()zx) 0 时，不妨设x y ，由③得y 0 或者y z ．若y z ，则x y z ；若y 0 ，有x 0 ，代入①，得z 0 或者z x 0 ，即x y z 0 ．（2）当(x y)(y z)(z x) 0 时，将①②③相乘得xyz(xyz 1) 0，即xyz 0 或xyz ．如果xyz 0 ，不妨设y 0 ，由（1）知z 0或者z x ，矛盾！如果xyz 1，1- 1 -不妨设x≥y≥z ，显然x 0 ．假设x y ，考虑②式，有x(x y) 0 ，又1yz 0，xz x ，所以yz(z x) 0 ．矛盾！所以x y z ．证毕！11. 【证明】作BM AC于M.因为△ABC 中，AB BC ， ABC=120 ，所以AM CM, CAB ACB 30 ．因此AB 2BM ．由于 ACB 30 ，所以 ACD 90 ．又由AE 3CE 和AM CM 得：AM ME 3CE ，即CM ME 3CE ．即(ME CE) ME 3CE 所以2ME 2CE ，故ME CE ．在 Rt△BME 与 Rt△DCE 中，因为ME CE ， BEM DEC ，所以Rt△BME ≌Rt△DCE ．因此BM CD ．由于AB 2BM （已证），所以AB 2CD ．12. 【答案】p 的值为 1，2，19，38．【解答 1】p 的值是 1，2，19，38．做抽屉，每个抽屉内有差为p 的两个数，或仅有一个数：当p≥39 时, 有两类抽屉，第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是p ：{76,76 p}，{75, 75 p}，…，{p 2,2}，{p 1,1}，个数是76 p ；第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于p 的非零自然数，但与p 的和大于76：{77 p}，{78 p}，…，{p}个数是76 2 (76 p) 2p 76 ．此时，抽屉总数是p 个．从每个抽屉各取一个数，因为p≥39 ，这些数中不存在差是p 的两个数．当p≤38时，做抽屉：{1, p 1},{2, p 2},{3, p 3} ,{4, p 4}…{p,2 p} ,{2p 1,3p 1},{2p 2,3p 2},{2p 3,3p 3} ,…{3p,4p} ,……,- 2 -76 76 76 762p 1 1, 2p 1 p 1 , 2p 1 2, 2p 1 p 2 ,2p 2p 2p2p76 76．2p p,2p2p2p①若76 762p 2p，则抽屉到此为止，共有 38 个抽屉，从中任取 39 个，必有2 个取自同一个有两个数的抽屉，差是p ．所以，p 1, 2,19, 38 ．②若76 762p 2p，则还有抽屉：76 762p 1 , 2p 2 ,{76}，2p 2p76个数是76 2p2p．得到抽屉的个数是：76 76 76 76 76 76p p p p p76 2 76 76 38p p p p p p2 2 2 2 2 276 76 76其中，2p 2p2p ，此时，p76≥1，抽屉的个数≥39．从其中 392p个抽屉各取 1 个数，不存在两个数的差是p ．所以，p 的值是 1, 2, 19, 38．【解答 2】记76 kp r ，0 r p ，把 1 到 76 按照下面排成p 行，1 2r p 1 p2 pr 2p2p1 (k1)2rp(k1) p(k1) pkp1kp2kprkpk 为偶数时，记k 2l （注,当k 为偶数时，由于 76 是偶数，r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行可以取l 个数，这lp 个数任意两个数的差不等于p ．kp 76 r rr r r 382 2 2k 为奇数时，记k 2l 1（注,当k 为奇数时，由于 76 是偶数，p r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行也可以取l 1个数，这2(l 1) p (2l 1) p p kp p 76 r p p r(l 1) p 38 个数任意两个数2 2 2 2 2的差不等于p ．r 当r 0时， 02p r与 0，因此任取 38+1=39 个数时，任意两个数的差2- 3 -。

历届⼩学华罗庚少年⾦杯赛试题及解答历届⼩学华罗庚少年⾦杯赛试题及解答2010年第⼗五届华杯赛决赛试题C及…2010年第⼗五届华杯赛决赛试题A及…2010年第⼗五届华杯赛决赛试题B及…第⼗四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛…第⼗四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛…第⼗三届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请…第⼗三届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请…第⼗⼆届华杯赛总决赛⼆试试题及解…第⼗⼆届华杯赛总决赛⼀试试题及解…第⼗⼆届华杯赛决赛试题及解答第⼗⼆届华杯赛初赛试题及解答第⼗⼀届华杯赛决赛试题及解答第⼗⼀届华杯赛初赛试题及解答第⼗届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛⼝…第⼗届华杯赛总决赛⼆试试题及解答第⼗届华杯赛总决赛⼀试试题及解答第⼗届华杯赛决赛试题及解答第⼗届华杯赛初赛试题及解答第九届华杯赛总决赛⼆试试题及解答第九届华杯赛总决赛⼀试试题及解答第九届华杯赛决赛试题及解答第九届华杯赛初赛试题及解答第⼋届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼋届华杯赛决赛⼀试试题及解答第⼋届华杯赛复赛试题及解答第七届华杯赛决赛⼆试试题及解答第七届华杯赛决赛⼀试试题及解答第七届华杯赛复赛试题及解答第七届华杯赛初赛试题及解答第六届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第六届华杯赛决赛⼆试试题及解答第六届华杯赛决赛⼀试试题及解答第六届华杯赛复赛试题及解答第六届华杯赛初赛试题及解答第五届华杯赛团体决赛⼝试备⽤题第五届华杯赛团体赛⼝试试题第五届华杯赛决赛⼆试试题及解答第五届华杯赛决赛⼀试试题及解答第五届华杯赛复赛试题及解答第五届华杯赛初赛试题及解答第四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第四届华杯赛决赛⼆试试题及解答第四届华杯赛决赛⼀试试题及解答第四届华杯赛复赛试题及解答第四届华杯赛初赛试题及解答第三届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第三届华杯赛决赛⼆试试题及解答第三届华杯赛决赛⼀试试题及解答第三届华杯赛复赛试题及解答第三届华杯赛初赛试题及解答第⼆届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛⼝…第⼆届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼆届华杯赛决赛⼀试试题及解答第⼆届华杯赛复赛试题及解答第⼆届华杯赛初赛试题及解答第⼀届华杯赛团体赛⼝试试题第⼀届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼀届华杯赛决赛⼀试试题及解答。

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学中年级组·练习用）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1.计算= . 1.919.992199.99931999.9999419999.999995+⨯+⨯+⨯+⨯2.的个位数字是 .()()()()()211221231241220181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+L3.右图是由相同的小正方形组成的4×4方格网,以这些小正方形的顶点为端点可以连成的不同长度的线段共有 条.4.有五个人A, B, C, D, E 一起去看电影,他们从左到右坐在一排椅子上,发现:(1) A 和E 都不和B 相邻;(2) A 和E 都不和D 相邻;(3) B 和E 都不和C 相邻;(4) D 在C 的右边与其相邻.那么这五个人从左到右是 .5.如图,四边形ABCD 和DEFG 都是平行四边形,点为C线段FG 的中点，E 在边AB 上.若三角形DCG 的面积为4平方厘米,则四边形ABCD 的面积为 平方厘米.6.有6名同学平均分成A,B 两组,玩传球游戏,每人只能把球传给不同组的人. 甲在A 组,由甲开始传球,球再次回到甲的手里时已经发生了6次传球.那么这6次传球共有 种不同的传球顺序.7.甲丙两人沿相同的路线从A 地到B 地,乙沿相反的路线从B 地到A 地,两地相距9公里. 已知甲的速度是乙的2倍.三人同时出发, 1小时后甲乙二人相遇. 甲到B 地时，乙丙二人正好相遇, 然后甲立即沿原路返回, 问甲丙二人相遇时,甲离开B 地 分钟.8.右图的8×8网格中的小方格中都填有奇数,有一类由网格线构成的长方形(包括正方形),它里面的数字之和是奇数,那么这类长方形共有 个.二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9.用每个面积为6平方米的正六边形地板砖铺砌地面,P为C,D为顶点的地板砖一条棱上的点（如图所示），阴影六角形ABCPDE的面积是多少?10.将从0开始的一串连续自然数: 0,1,2,3,…,写在一些卡片上,每张卡片上写一个数,然后按照从小到大的顺序叠在一起（小的在上面）.从最上面取走4张卡片,然后将这4张卡片上的数的和,写在一张新卡片上,并将新卡片放到这叠卡片的最下面.重复同样的操作,直到这叠卡片不足4张.如果最后剩下的这些卡片上的数的和是55,那么最后所写的那张卡片上的数是多少?11.从一个正二十边形的20个顶点中任取n个,顺次连结得到n边形,其中是正多边形的有几个? (正多边形是指各边相等, 各内角也相等的多边形)12.由7×7的正方形方格纸沿着方格的边界剪出相等数量的2×2的正方形和的长方形.可以剪出这些图形的最大数量共有多少个?第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛解析（小学中年级组·练习用）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1.计算= . 1.919.992199.99931999.9999419999.999995+⨯+⨯+⨯+⨯答案：108641.87655解析：原式=()2+2203200420005200000.120.0130.00140.000150.00001⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=108641.876552.的个位数字是 . ()()()()()211221231241220181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+L答案：5解析：只要看每个括号里的个位即可：3×5×7×9×1…×7，发现全是奇数并且有5存在，所以个位是5。

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛模拟试卷〔小学高年级组〕一、选择题〔每小题10分，共60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．〕1．甲乙丙丁四个人比赛，赛前预测一下结果。

甲说：“我拿不到冠军〞。

乙说：“丙会得冠军〞。

丙说：“冠军会是甲或者丁〞。

丁说：〞乙说的对“。

比赛结束，结果出来，发现只有两个人说对了，并且只有一个冠军。

请问，冠军是谁？A．甲 B．乙 C．丙 D．丁[答案]D[解析]乙和丁只有可能全对或者全错，如果全对，则丙是冠军，甲也对，不符合题意。

如果全错，则甲和丙全对，丙说冠军会是甲或丁，甲说，甲不是冠军，则冠军是丁。

2．已知甲瓶酒精浓度为 10%，乙瓶酒精浓度为 5%，全部混合后浓度为 6%。

那么二分之一的甲瓶酒精与十六分之三的乙瓶酒精混合后的浓度则为〔〕．A．5.5%B．6%C．6.5%D．7%[答案]D[解析]本题用到十字交叉方法10% 1%6%5% 4%所以甲溶液质量与乙溶液质量比为1：4 ，把甲溶液看成4千克，则乙溶液16千克．第二次取甲溶液二分之一，即2千克，乙溶液十六分之三，即3千克．10% 2a5% 3求得：a 7%3．小明在日历里选择了一个四排四列的正方形数表，如图所示，小明在数表中选择四个数，这四个数，任意两个都不在同一排，且不在同一列。

请问这四个数乘积的最大值是〔〕A．3825B．14080C．15632D．7920[答案]B[解析]这四个数和一定，差小积大，则尽可能选择接近的四个数。

即选择4，10，16，22，这四个数，积为14080。

4．在右图所示的算式中，每个字代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最大值是〔〕．A B C+ D E FH I JA．981 B．987 C．891 D．792[答案]A[解析]九个数字和为45，由弃九法可知，前六个字母数字和和后三个字母数字和，差为9的倍数，所以后三个字母数字和，一定是9的倍数，并且小于〔45÷2〕，所以是9，或者18。

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛模拟卷（小学中年级组）总分：100分时间：60分钟一、选择题．（每小题10分，共60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．灰太狼告诉喜羊羊:“2017年共有53个星期日.”聪明的喜羊羊立刻告诉灰太狼:2018年的元旦一定是星期( ).(A)星期一 (B)星期二 (C)星期四 (D)星期日2、2017个同学要坐船过河,渡口处只有一只能载4人的小船(无船工).他们要全部渡过河去,至少要使用这只小船渡河( )次.(A)672 (B)673 (C)1343 (D)13453、如图，在标有*的方格中所填上适当的数( )，可以使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.（A）37 （B）26 （C）19 （D）274、如图所示,用长短相同的火柴棍摆成3×2017的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,一共需用( )根火柴棍.（A）8071 （B）8068 （C）14122 （D）141195、在2017年的公路越野比赛中,2017名志愿者均匀地分散在一条笔直参赛公路上义务服务,比赛公路的起点、终点及途中的各个服务点都安排了一名志愿者.比赛结束后,他们应该在公路的( )服务点集合,就可以使他们从各自的岗位沿公路走到集合地点的路程总和最短.(A)第1007与1008个服务点之间 (B)第1008个服务点(C)第1009个服务点 (D)第1008与1009个服务点之间6、熊大和熊二两人一共带了80 元钱去商店买东西，熊大用自己的一半的钱买了一副眼镜，熊二花了10 元钱买了一块巧克力。

这时熊大剩下的钱恰好是熊二剩下的钱的3 倍。

那么熊二带了( )元.（A）10 （B）20 （C）30 （D）60二、填空题(每小题 10 分，共40分)7.第23届华杯赛初赛将于2017年12月9日举行,如果我们用一种六位数表示日期的方法,如:171209表示的是17年12月09日,也就是从左往右的第一、二位数表示年代、第三、四位数表示月份、第五、六位数则表示日期.若采用这种方法表示2017年的日期,那么全年中六个数字都不相同的日期共有天.8. 2017年上半年,魔法师有一次连续出差几天的日期数加起来恰好是60.韩老师出差日期有种可能(注:日期数指a月b日中的b,如4月16日的日期数是16).9. 连续写出从1开始的自然数,写到2017时停止,得到一个多位数:1234567891011…20162017.这个多位数除以9的余数是.10、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…,这个数列中216出现在第项.参考答案解析版一、选择题．（每小题10分，共60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．灰太狼告诉喜羊羊:“2017年共有53个星期日.”聪明的喜羊羊立刻告诉灰太狼:2018年的元旦一定是星期( ).(A)星期一 (B)星期二 (C)星期四 (D)星期日【解析】选A. 周期问题，最后一天也是周日，2018年1月1日是星期一. 2、2017个同学要坐船过河,渡口处只有一只能载4人的小船(无船工).他们要全部渡过河去,至少要使用这只小船渡河( )次.(A)672 (B)673 (C)1343 (D)1345【解析】每次过河的人数只有3人，最后一次最多过4人，因为2017=3×672+1，所以前面3人一次过了12次，来回一共划了672×2=1344（次），最后一次是4人过河，还要用1次．所以最终需要渡河的次数是1344-1=1343（次）．选C4、如图，在标有*的方格中所填上适当的数( )，可以使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.（A ）37 （B ）26 （C ）19 （D ）27【解析】选D.幻方问题，利用黄金三角得最后一行中间的数为29，再次利用黄金三角即知*=27.4、如图所示,用长短相同的火柴棍摆成3×2017的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,一共需用( )根火柴棍.（A）8071 （B）8068 （C）14122 （D）14119【解析】选C. 找规律，2017×7+3=14122。

华罗庚金杯赛数学试题与答案［第1至15届］目录第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (1)第2届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (6)第3届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (14)第4届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (21)第5届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (26)第6届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (31)第7届华杯赛初赛试题及解答 (38)第8届华杯赛初赛试题及解答 (41)第9届华杯赛初赛试题及解答 (45)第10届华杯赛初赛试题及解答 (49)第11届华杯赛初赛试题及解答 (53)第12届华杯赛初赛试题及解答 (60)第13届华杯赛少年邀请赛初赛摸拟试卷 (64)第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (66)第15届华杯赛决赛真题及答案解析 (68)第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案1、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。

问甲班和丁班共多少人?2、一笔奖金分一等奖、二等奖、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。

如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元;如果一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?3、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩。

问另一个长方形的面积是多少亩?4、在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。

一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行?5、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。

问这个数除以12余数是几?6、四个一样的长方形和一个小的正方形(如图)拼成了一个大正方形。

大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。

问长方形的短边长度是几米?7、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带的长度的八分之十三。

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题((初中一年级组初中一年级组) )总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组·练习用）一、填空题（每小题一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）1. 点O 为线段为线段AB 上一点，上一点， ÐAOC = 10° ， ÐCOD = 50° ， AO B则 ÐBOD =或 ． 2.已知已知 m ＞0 ，且对任意整数且对任意整数 k ，2018123km+均为整数，则 m 的最大值为的最大值为 ．3. [x ] 表示不超过表示不超过 x 的最大整数，如[-1.3] = -2 ， [1.3] = 1 ． 已知129[][][]=4101010a a a ++++++K ，则，则 a 的取值范围是的取值范围是 ．4. 使2n +1 和11n +121都是平方数的最小正整数都是平方数的最小正整数 n 为 ． 5. 在3´3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的中填数，使每行每列及每条对角线上的 三数之和都相等．如图，有三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为个方格已经填的数分别为3， 10，2018，则“九宫格”中其余中其余 6 个方格所填数之和等个方格所填数之和等 于 ．6. 已知某三角形的三条高线长已知某三角形的三条高线长a ，b ，c 为互不相等的整数，则为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值的最小值 为 ． 7. 16 张卡片上分别写着张卡片上分别写着1~16 这 16 个自然数，把这个自然数，把这 16 张卡片分成张卡片分成 4 组，使得组，使得 每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数的和为的和为 17，共有，共有 种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的顺序．例如将顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字的顺序，视为相同的分法．)8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则423abcab bc ca-+的最小值为的最小值为 ．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题((初中一年级组初中一年级组))二、解答下列各题（每题二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）要求写出简要过程）9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年每年 年初交年初交 10 万元，第万元，第 6 年年初返年年初返6 万元，以后每年处返1.5 万元；方案二：购方案二：购 买一款年利率买一款年利率 5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款 10 万元，接下来万元，接下来 两年每年年初追加本金两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 + 1.053 + 1.052=3.47563125 ）10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整完整 的一个“角”，考古专家判定考古专家判定 D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ， D 两个顶点之间隔有一个顶点．两个顶点之间隔有一个顶点．经过测量经过测量 ÐCDE = 135° ， DE =13 厘米．原米．原 正多边形的周长是多少厘米？正多边形的周长是多少厘米？11. 一筐苹果，若分给全班同学每人一筐苹果，若分给全班同学每人3 个，则还剩下个，则还剩下 25 个；若全班同学一起吃，吃， 其中其中 5 个同学每人每天吃个同学每人每天吃 1 个，其他同学每人每天吃个，其他同学每人每天吃2 个，则恰好用若干天用若干天 吃完．问筐里最多共有多少个苹果？吃完．问筐里最多共有多少个苹果？12. 给定一个给定一个 5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）（或列） 中的连续中的连续3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白变白 格）．如果开始时所有格）．如果开始时所有25 个小方格均为白色，请问：能否经问：能否经 过 8 次这样的操作，使得使得5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图（如图 所示），且任何一个小方格在前且任何一个小方格在前4 次操作中至多变色作中至多变色 1 次？如次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第（直接画出第4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）； 如果不能，请给出证明．如果不能，请给出证明．三、解答下列各题（每小题三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）要求写出详细过程）13. 求证：不存在求证：不存在 3 个有理数的平方和等于个有理数的平方和等于 15．14.14. 如图，一个由如图，一个由41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任的任 意 8 个方格染黑，个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果色：如果 某个方格至少与某个方格至少与 2 个黑格都有恰好个黑格都有恰好 1 个公共顶点，那么公共顶点，那么就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染去能否将整个棋盘都染 成黑色？成黑色？第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中一年级组）一、填空题（每小题每小题10 分, 共 80 分）二、解答下列各题（每小题每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 【答案】：方案二更划算【答案】：方案二更划算. .解：方案二，第解：方案二，第 4，5 年年初将之前的本息全部续存，到第年年初将之前的本息全部续存，到第6 年年初时，共有本息10´ (1+ 5%)5+10´ (1+ 5%)4+10´ (1+ 5%)3≈10.5´3.4756 ≈36.5 （万元），（万元），题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案120°或2 3-0.5 ≤ a ＜- 0.4或者或者 0.4 ≤ a ＜0.5264-11040 91052 15F C D提取提取6 万元后仍有约36.5 - 6 = 30.5（万元）可不断续存，以后每年可提取利息约30.5´5% =1.525 （万元）．在前期投入及回报一致的情况下，显然比方案一以后每年返1.5 万元划算．万元划算．而且方案二还可以随时提取或部分提取30.5万元储蓄用于应急或者选择其它更理想的理财方式，而方案一无此选择权．它更理想的理财方式，而方案一无此选择权．综上所述，方案二更划算．综上所述，方案二更划算．10. 【答案】156 厘米厘米【解答】如图，设原图是正n 边形，其中C ， D 间的间的 顶 点 为 F ， 连 接 CF ， DF ，则 ÐCFD = ÐFDE =(n - 2 ) ° ，n因为 C F = F ，180所以所以ÐC D F = Ð =1 8 0° - ÐC F D 2=1 8 ， nF D C = ´ 所以所以 ÐC D E = Ð F D E - Ð 解得解得n =12 ．n - 31 8 °0 1= °3， n所以原本多边形是正所以原本多边形是正12 边形，周长为13´12=156 （厘米）．11. 【答案】130.【解答】解答解答 1：设全班同学有n 人，根据题意，人，根据题意， 3n + 25 是2n - 5 的倍数，则的倍数，则 n + 30为整为整2n - 5数．数．又∵ n + 30 = 1 × 2n - 5 + 65 = 1 æ1+ 65 ö， 2n - 5 2 2n - 5 2 ç 2n - 5 ÷∴65 2n - 5è ø是奇数，是奇数， ∴2n - 5最大为最大为 65， n 最大为最大为 35， ∴ 筐里最多共有3´35 + 25 =130 个苹果．解答解答 2：设全班同学有n 人，根据题意，人，根据题意， 3n + 25 是2n - 5 的倍数，则的倍数，则 n + 30 为整为整2n - 5数．数．记 n + 30 = k ， k 为正整数，则n + 30 = k (2n - 5) ，两边同乘 2，得到 2n - 52n + 60 = 2k (2n - 5) ， 2n + 60 = 2n - 5 + 65 ，2n - 5 + 65 = 2k (2n - 5) ，(2k -1)(2n - 5) = 65 = 5´13 ．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)2k -1 =1时，时， 2n - 5 = 65 ， n = 35， 2k -1 = 5 时， 2n - 5 =13， n = 9 ， 2k -1 =13 时，时， 2n - 5 = 5， n = 5， 2k -1 = 65 时， 2n - 5 = 1， n = 3，n 为 35 时，苹果数最多，此时筐里的苹果数为35´3 + 25 =130 ． 12. 【答案】可以】可以【解答】操作如下：】操作如下：（1） 经过经过4 次操作可染成如下：次操作可染成如下：第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)，（2） 继续操作继续操作第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次三、解答下列各题（每题每题15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 证明：注意到(-x )2 = x 2 ，只需考虑非负有理数的平方和．，只需考虑非负有理数的平方和．假设存在假设存在 3 个有理数个有理数 n ， q ， t，其中m ，n ，p ，q ，k ，t 是自然数，是自然数， mp k且(m ，n ) =1， ( p ，q ) = 1， (k ，t ) = 1 ，使得15 = n 2 + q 2 + t 2 ，( ) ( ) ( ) mpk那么15m 2n 2 p 2 = (npk )2 + (mqk )2 + (mpt )2 ，第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)1即15d2= a 2+ b 2+ c2，其中a ，b ，c ，d 是自然数．（1） 如果d 为偶数，那么经过有限次如下步骤，可使得d 为奇数．为奇数．假设d = 2d ，若a ，b ，c两奇一偶，则a 2 + b2+ c 2被4 除余 2，而15d 2 被 4整除，矛盾！所以a ，b ，c 都是偶数，故令a = 2a 1 ， b = 2b 1 ， c = 2c 1 （ a 1，b 1，c 1都是自然数），所以15d 2 = a 2 + b 2 + c 2 （其中a +b +c < a + b + c ）．如果d 还11 1 1 1 1 1 1是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数．是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数．（2） 如果d 为奇数，即d = 2r +1（ r 是自然数），是自然数），那么15d 2 = 15(2r +1)2 = 15(4r (r +1) +1) ，即15d 2 被 8 除余除余 7． 另一方面，若a ，b ，c 为三个奇数，那么a2+ b 2+ c2被 8 除余除余3；若a ，b ，c为两偶一奇，那么a2+ b 2+ c2被 8 除余除余1 或 5；第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)矛盾！矛盾！因此，假设不成立，故不存在因此，假设不成立，故不存在 3 个有理数的平方和等于个有理数的平方和等于 15． 14. 【答案】不可能】不可能【理由】如右图，可以将棋盘上的方格分为两类，灰色方格和白色方格．由染色规则可知，两类方格的染色互不影响，色方格．由染色规则可知，两类方格的染色互不影响， 因此需要分别考虑．要分别考虑．首先考虑灰色方格．将只属于首先考虑灰色方格．将只属于1 个黑色方格的顶点数量称为“边界顶点数”．由染色的规则可以知道，每染一个方格，“边界顶点数”不会增加．将所有灰色方格都染黑，此界顶点数”不会增加．将所有灰色方格都染黑，此时的“边界顶点数”为时的“边界顶点数”为 20．因此灰色方格中初始染为黑色的至少需要．因此灰色方格中初始染为黑色的至少需要 5 个．个． 再考虑白色方格．将所有白色方格都染黑，虑白色方格．将所有白色方格都染黑，此时的“边界顶点数”为 16． 因 此白色方格中初始染为黑色的至少需要此白色方格中初始染为黑色的至少需要 4 个．个．所以初始染色方格数为所以初始染色方格数为 8 时，无法将整个棋盘都染成黑时，无法将整个棋盘都染成黑 色．初始染色方格数为色．初始染色方格数为9 时，如右图所示，将蓝色和红色方格作为初始的染黑方格，可以将整个棋盘染黑．为初始的染黑方格，可以将整个棋盘染黑．。

华杯赛试题及答案2018一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数可能是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 100答案：A4. 一个数列的前三项是1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

这个数列的第10项是多少？A. 143B. 133C. 123D. 113答案：A5. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 16答案：B6. 下列哪个分数是最接近1/2的？A. 3/8B. 4/7C. 5/9D. 3/7答案：B7. 一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，它需要多少时间才能行驶180公里？A. 1.5小时B. 2小时C. 3小时D. 4.5小时答案：D8. 一个班级有40名学生，其中2/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 16B. 20C. 24D. 28答案：B9. 一个数的3/4加上12等于这个数本身，这个数是多少？A. 16B. 24C. 32D. 48答案：B10. 下列哪个算式的结果是一个整数？A. 5 × 0.8B. 6 ÷ 1.2C. 7 + 2/3D. 8 - 1/4答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的1/5加上它的1/3等于2，这个数是_________。

答案：1512. 一本书的价格是35元，如果打8折，那么现价是_________元。

答案：2813. 一个长方形的长比宽多5cm，如果宽是10cm，那么长方形的周长是_________cm。

答案：5014. 一个数的2倍减去8等于这个数的3倍，这个数是_________。

答案：815. 一个班级有45名学生，其中3/4是女生，那么这个班级有多少名男生？答案：1116. 一个数除以4的商是6，余数是2，这个数是_________。