平行四边形及特殊的平行四边形证明习题

平行四边形及特殊的平行四边形

1．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ；

（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．

2. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接

AD ．

（1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ， 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

3．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上

任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

B

A

C

D F

M 第1题图

E

第2题图

A

D

F

C

E

G

B

A D

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.

4. 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），

连结

AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD

于F ． （1）求证：BF

FD =；

（2）A ∠在什么围变化时，四边形

ACFE 是梯形，并说明理由；

（3）A ∠在什么围变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1

4

DG DA =，并说明

理由

5. 如图15，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =

，BC =对角线AC BD ，相

交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．

A

B

C D F

E

M

（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．

6. 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．

7. 如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射

线BC 上，且PE=PB .

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

E

B A

A B

C

O F E

8. 数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，

且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证

AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由

9. 在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P

A

B

C

P

D

E

A D F

B 图1 A D F B 图2 A

D F

C E B 图3

从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．

(1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋

3

3

PQ ； （2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x

的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值围）；

（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长。