第十二章结构动力学6-1复习提纲

高二年级《结构与设计》复习提纲单元结构与设计一、常见的结构的认识：结构结构与力从力学角度说，结构是指可承受一定力的架构形态，它可以抵抗能引起形态和大小改变的力。

内力：当一个结构受到外力作用时，内部各质点之间的相互作用会发生改变，产生一种抵抗的力，应力：是构件的单位横截面上所产生的内力。

应力达到一定极限值时，结构就会遭到破坏。

用公式表示应力为：σ=F/s，其中，F是内力，S是受力面积，σ是应力。

构件的基本受力形式：拉力、压力、剪切力、扭转力和弯曲力。

结构的类型实体结构——受力特点：外力分布在整个体积中。

框架结构——受力特点：支撑空间而不充满空间。

通常是指结构体本身由细长的构件组成，如窗户、画框、房子的架构等等。

壳体结构——受力特点：外力作用在结构体的表面上。

如贝壳、头盔、汽车飞机的外壳等等生活中很多物体的结构是由两种或两种以上的基本结构类型组合而成，称为组合结构二、稳固结构的探析：结构与稳定性结构的稳定性——结构在负载的作用下维持其原有平衡状态的能力。

结构的强度——结构具有的抵抗被外力破坏的能力。

影响结构稳定性的主要因素：重心位置的高低、结构与地面接触所形成的支撑面的大小、结构的形状)重心位置的高低：重心越低,稳定性越好；重心越高,稳定性越差。

结构重心所在点的垂线是否落在结构底面的范围内，落在就是稳定的，没有就是不稳定的。

)结构的底座，结构与地面接触所形成的支撑面的大小。

支撑面越大越稳定，越小越不稳定。

如：高塔的共同特点都是上端小而下端大。

)结构的形状：结构的形状不同，其稳定性也不同。

影响结构稳定性的因素是相互关联的，需要综合考虑各种因素来讨论结构的稳定性。

对于一个结构而言，如果重心所在点的垂线落在结构底面的范围内，就是稳定的，不会出现倾倒。

结构与强度-结构的强度——结构具有的抵抗被外力破坏的能力。

影响结构强度的主要因素：结构的形状、使用的材料、构件之间的连接方式等。

①结构的形状：三角形是框架结构中最基本的形状之一,它结实、稳定，所用材料最少。

第2章 单自由度系统
§2.4 简谐荷载的强迫振动
2.4.1 无阻尼系统
1、运动方程
mx kx F0 sin t
2、解的形式
x x x
设：
x A sin t
(m 2 k ) A F0
第2章 单自由度系统
解得：
A
A
(m 2 k )
F0 k xst (1 2 2 ) (1 2 )
已知
结构
荷载
响应
荷载
已知或未知
结构
已知
第1章 绪论
§1.2 研究对象
1、结构——弹性恢复力 fk(x) 2、外力——时变特性 fp(t)
§1.3 研究内容
1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼 2、结构响应——位移、速度、加速度
第1章 绪论
§1.4 研究方法
1、时域法——解析法、逐步积分法 2、频域法——谱分析法

k m
①简支梁问题
m l
第2章 单自由度系统
1 k
l3 48 EI
k
48EI l3
48EI ml 3

第2章 单自由度系统
②悬臂梁问题 弯曲变形
x

l 3EI
3
m
k
3EI l3
k
剪切变形
l3 12EI
k
12EI l3
弯曲变形 剪切变形
第2章 单自由度系统

2 i i ,max m xi ki xi2,maxi
第2章 单自由度系统
m x
i 2 i i ,max
2 2 J max m2 xmax
1 2 2 m1l 2 max m2l 2 max 3 1 2 m1l 2 m2l 2 max 3

输出 （动力反应）
.
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
本课程主要介绍结构的反应分析
任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找
结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
.
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
11
l3 3 EI
柔度系数
m y (t)3lE3 Iy(t)P(t)
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
.
二、刚度法
P(t)
m
1
m y(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11y(t)
k 1y 1 (t)P (t) m y (t)
EI
m
l/2
l/2
W
m y(t)
1
11
st y(t)
Y(t)y(t)st
加速度为
Y(t) y(t)
y (t) s t 1[P 1 (t) W m y (t)]
st W11
结构动力学

一1、结构动力学计算的特点？（对比静力问题）○1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。

○2与静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响。

2、结构动力学是研究什么的？包含什么内容？结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和 方法的一门理论和技术学科。

目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。

二、1、动力系数（有阻尼、无阻尼。

简谐、半功率点法、位移计……）2、动力系数和哪些因素有关动力放大系数受阻尼比控制，Rd 曲线形状可以反映出阻尼比的影响。

主要有两点：其一是峰值大小；其二是曲线的胖瘦。

3、动力系数在工程（隔震、调频减震）的应用4、如何用动力系数测阻尼比三、1、阻尼 阻尼也称阻尼力，是引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的作用。

阻尼的来源：1固体材料变形时的内摩擦，或材料快速反应引起的热耗散；2结构连接部位的摩擦；3结构周围外部介质引起的阻尼。

2.阻尼比常用的测量方法及其优缺点：（1）对数衰减率法：相邻振动峰值比的自然对数值称为对数衰减率。

采用自由振动试验，测一阶振型的阻尼比较容易。

测量高阶振型阻尼比的关键是能激发出按相应振型的自由振动。

（2） 共振放大法：采用强迫振动试验，通过共振得到（Rd ）max 由于静荷载下的位移较难确定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的处理还是可以用的。

（Ust 是零频时的静位移，不容易测得。

）（3） 半功率点（带宽）法：采用强迫振动试验，测出Rd-w/wn 图上振幅值等于倍最大振幅的点，对应的长度的1/2即为阻尼比。

不但能用于单自由度体系，也可以用于多自由度体系，对多自由度体系要求共振频率稀疏，即多个自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率的半功率点时不受相邻自振频率的影响。

3、等效粘滞阻尼比○1、粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析计算的优点。

结构动力学复习资料
目录
第二章 单自由度系统的振动......................................................................................................... 1 2.1 单自由度系统的自由振动（ F (t ) = 0 ）........................................................................ 1 1）无阻尼自由振动......................................................................................................... 1 2）有阻尼自由振动......................................................................................................... 2 2.2 单自由度系统的强迫振动................................................................................................ 4 1）系统对于简谐激励的响应......................................................................................... 4 2）系统对周期激励的响应............................................................................................. 7 3）非周期激励的响应..................................................................................................... 8 第三章 二自由度系统的振动....................................................................................................... 10 3.1 无阻尼自由振动.............................................................................................................. 10 3.2 二自由度系统的强迫振动（简谐激励）...................................................................... 12 第四章 分析动力学基础............................................................................................................... 13 4.1 虚位移原理...................................................................................................................... 13 4.2 拉格朗日方程.................................................................................................................. 13 4.3 汉密尔顿原理.................................................................................................................. 14 第五章 多自由度系统的振动....................................................................................................... 14 5.1 运动方程的建立.............................................................................................................. 14 5.2 无阻尼自由振动.............................................................................................................. 15 5.3 主振型的正交性.............................................................................................................. 17 5.4 正规化与正规坐标.......................................................................................................... 18 5.5 半正定系统...................................................................................................................... 19 5.6 系统对初始条件的响应................................................................................................... 20 5.7 瑞雷—李兹法.................................................................................................................. 20 第六章 连续弹性体系统的振动................................................................................................... 22 6.1 弦的振动.......................................................................................................................... 22 6.2 杆的纵向振动.................................................................................................................. 23 6.3 轴的扭转转动.................................................................................................................. 25 6.4 梁的弯曲振动.................................................................................................................. 26 6.5 振型函数的正交性.......................................................................................................... 29 6.6 主振型叠加法.................................................................................................................. 29

或
myky 0
设方程的特解为
y1 y2
X1 X2
sin( t sin( t
) )
代入方程,得
k11X1 k12 X 2 m1 2 X1 0
k21X1 k22 X 2 m2 2 X 2 0
(kk1211
k12 k22
m1
0
0 m2
2
)
X1 X2
0 0
(k 2m)X 0
X1 11m1 2 X1 12m2 2 X 2
X1 X2
12m2 2 1 11m1
2
X11 12m212 1 X 21 1 11m112
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
X12 X 22
1
12m2
2 2
11m1
2 2
1
1
1
第一振型 1
1
X
1
1 1
X
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
12
22
l/3 l/6
1 1 第二振型
X
1
1 1
X
2
1 1
对称系的振型分 成两组: 一组为对称振型
---振型方程
k 2m 0
---频率方程
解频率方程得 2的两个根 值小者记作 1 称作第一频率

my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。

前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。

1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。

二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。

2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。

克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。

之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。

为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。

本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。

所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。

达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

以下黑体字是注释，其它为原书文字。

[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。

为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。

2 1
a 11 1
0

0 1
1
0 1 sign a 11
a

2
则有
P1 a10 1 0 0 0T
第 6 节 矩 阵 的 QR 分 解
第 一 章 基 础 知 识
于是 A 0 在H变换矩阵 P1

的作用下成为
A P
u
W
S
x
x 2
x 2
x1
-
P x y
第 6 节 矩 阵 的 QR 分 解
第 一 章 基 础 知 识
其中： x 1 即
与 W
垂直，在S平面中：
W T x 1 0 T x 1 W 0
x 2 与 W 平行， x 2 x 2 , W W W , x 2 W T x 2 W W T W x 2 W 可验证： P x 1 x 1 P x 2 x 2
则
P I 2 W W T
性质：
第 6 节 矩 阵 的 QR 分 解
第 一 章 基 础 知 识
（1）对称性：
P
T
I 2 W W

T

T
P
（2）正交性：
P P I
T
证：
即
P
T
T
P P
1
P T P I 2 W W T I 2 W W T
T T
2

2
x
T
T x e 1 e1

结构动力学
*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。 **学习本章注重动力学的特征------惯性力。 *结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化 的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。 *动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。 一、 本章重点 1．振动方程的建立 2．振动频率和振型的计算 3．振型分解法求解多自由度体系 4．最大动位移及最大动应力 二、 基础知识 1．高等数学 2．线性代数 3．结构力学 三、 动力荷载的特征 1．大小和方向是时间 t 的函数 例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等 2．具有加速度，因而产生惯性力 四、 动力荷载的分类 1．周期性动力荷载 例如：①机械运转产生的动力荷载，②打桩时的锤击荷载。 P（t） P（t）

Δt 时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为 v (t ) = 的自由振动。 由（3）式可知：
p∆t p ( ∆t ) 2 ，初位移为 y(t ) = =0 m 2m
y(t ) = y 0 cosωt +
v0 p∆t sinωt sinωt = ω mω
---------------------（9）
& (t ) FD= - C y
，称为粘滞阻尼力，阻尼力 与运动方向相反。
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括 EI ①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的紫力） ③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 ④通过基础散失的能量 2．弹性恢复力 FE= - K y(t) ，K 为侧移刚度系数，弹性恢复力 与运动方向相反。 3．惯性力
，阻尼系数为 C ，横梁具有分布质量 m =
m L
。

第12章　结构动力学复习思考题1．怎样区别动力荷载与静力荷载？动力计算与静力计算的主要差别是什么？答：（1）静力荷载：指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载；动力荷载：指将使结构产生不容忽视的加速度，因而必须考虑惯性力的影响的荷载。

主要差别在于是否考虑惯性力的影响。

（2）计算上的差别：①计算式中是否加入惯性力的数值；②静力计算时，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化；而动力计算时，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化；③动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法与荷载类型无关。

2．何谓结构的振动自由度？它与机动分析中的自由度有何异同？如何确定结构的振动自由度？答：（1）结构振动的自由度是指结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。

（2）机动分析中的自由度简称静力自由度（又称动力自由度）。

①两者相同点：在数学意义上是一致的，都是强调体系空间质量所需的几何参量的个数。

②不同点：静力自由度是机构移动即刚体位移，排除了各个组成部件的变形运动；而动力自由度是变形位移导致机构位置改变，即体系变形过程质量的运动自由度。

（3）确定结构振动自由度的两种方法：①直接由确定质点位置所需的独立参数数目来判定；②加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的振动自由度数目即等于所加入链杆的数目。

3．建立振动微分方程有哪两种基本方法？每种方法所建立的方程代表什么条件？答：（1）建立振动微分方程的两种基本方法：刚度法和柔度法。

（2）刚度法代表力的平衡条件，柔度法代表变形协调条件。

4．为什么说结构的自振频率和周期是结构的固有性质？怎样改变它们？答：（1）自振频率和周期是结构的固有性质的原因：结构的自振频率和周期只取决于结构自身的质量和刚度，反映着结构固有的动力特性，而外部干扰力只能影响振幅和初相角的大小并不能改变结构的自振频率。

独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或 其它广义量。
质量块mg 无质量弹簧k
(a) 弹簧－质点
2ust
动力反应
u
(b) 静力和动力反应
静力问题和动力问题位移反应的区别
1.4 结构离散化方法
离散化：把无限自由度问题转化为有限自由 度的过程
三种常用的离散化方法： 1、集中质量法、 2、广义坐标法、 3、有限元法。
F (t) = Asinωt F (t) = Acosωt F (t) = Asin(ωt − φ)
可以是机器转动引起的不平衡力等。
p(t)
t
(a) 简谐荷载
1.2 动力荷载的类型
（2）非简谐周期荷载
荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不
能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
n =1
nπx
L
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件；
bn(t)— 广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。
∑ u( x, t )
=
N n =1
bn
(t)
sin
nπx
L
2、广义坐标法
悬臂梁：
x
(b) 悬臂梁
用幂级数展开：
∞
∑ u(x) = b0 + b1x + b2 x2 + L = bn xn n=0
结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位 置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义 的不同。

l
EI
EI
1
1
6EI
l2
6EI
l2
12EI
l3
k11
6EI
l2
6EI l2
M1图
12EI 12EI 24EI k11 l3 l3 l3
k11
12EI l3
1
k11 m
24 EI ml 3
§14-3 单自由度结构的自由振动
上面杆端剪力称为杆件的侧移刚度，同层各杆侧移刚度之和称为 结构的层间刚度。 杆件的侧移刚度与杆端约束有关
§14-3 单自由度结构的自由振动
k11 1 g g (d)
m
m11
mg11
Δst
刚度法 柔度法
重力法
g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。
式(d)表明：ω随Δst的增大而减小，即把质点放在结构最大位 移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。
讨论：质量自重力对自振频率的影响。
则有 a
y02
y02
2
, tan
y0
y0 /
式(b)可写为 y a sin( t ) (c)
简谐振动如图c
a
a —为振幅，表示质点的最大位移； —为初相角。
T 2π —周期
2π —角频率或频率
T
f 1 T
—工程频率
讨论：结构振动主要由三个参数a、φ和ω 有关。a和φ与外因（初 位移、初速度）有关， ω只与结构特性有关，是结构固有特性，决 定了结构的动力特性，即两个结构只要ω相同，动力反应相同。
10ma2 4a2k 0
4a2k 10ma 2
0
2k 0
5m 2 2k
5m

2．求如图 12-12 所示体系的自振频率。[福州大学 2007 研]
图 12-12 解：在质点 m 处加一个水平向右的单位力，作出弯矩图如图 12-13 所示。
图 12-9 解：（1）图示结构为对称结构，则结构的振动有两种形式：水平方向和竖直方向的振 动。当结构在竖直方向上振动时为正对称结构，取左边半结构为研究对象，竖向单位荷载作 用下的弯矩图如图 12-10 所示。
7 / 18
图 12-10 由图乘法可得柔度系数为δ22＝0.1833a3/（EI），则由柔度法可得振动频率为
第 12 章 结构动力学
一、填空题 1．设直杆的轴向变形不计，则图 12-1 所示体系的质量矩阵[M]＝______。[西南交通大 学 2007 研]
图 12-1
【答案】
2m1
0
0
m1
【解析】首先判断结构有两个动力自由度：最右端 m1 的竖向自由度和水平方向上的自
由度。竖向自由度对应的质点的质量为 m1，水平自由度对应的质点的质量为 2m1，故该结
··
··
因此质量 m 处的惯性力向下，大小为 mu，质量 3m 处的惯性力向下，大小也为 mu，弹
··
性力向上为 2ku/3。对左端铰支座处取矩，列运动方程为：mu＋ku/3＝0。所以体系的自
k
k
振频率为
，因此体系要发生共振，荷载频率θ＝
。
3m
3m
2．如图 12-4 所示体系（不计阻尼）的稳态最大动位移 ymax＝4Pl3/（9EI），则最大的 动力弯矩为（ ）。[浙江大学 2007 研]
2．可用下述方法求如图 12-8（a）所示单自由度体系的频率；由图 12-8（b）可知δ
11＝1/（4k），

结构动⼒学复习重点整理笔记1.结构动⼒分析的⽬的：确定动⼒荷载作⽤下结构的内⼒和变形，并通过动⼒分析确定结构的动⼒特性。

2.动⼒荷载的类型：是否随时间变化：静荷载、动荷载；是否已预先确定：确定性荷载（⾮随机）、⾮确定性荷载（随机）；随时间的变化规律：周期荷载：简谐荷载、⾮简谐周期荷载；⾮周期荷载：冲击荷载、⼀般任意荷载3.结构动⼒计算的特点（与静⼒计算的差异）：1）动⼒反应要计算全部时间点上的⼀系列解，⽐静⼒问题复杂且要消耗更多的计算时间2）考虑惯性⼒的影响，是结构动⼒学和静⼒学的⼀个本质的，重要的区别。

4.结构离散化⽅法实质：把⽆限⾃由度问题转化为有限⾃由度的过程种类：集中质量法、⼴义坐标法、有限元法5.有限元法与⼴义坐标法相似，有限元法采⽤了型函数的概念，但不同于⼴义坐标法在全部体系结构上插值，⽽是采⽤分⽚插值，因此型函数表达式形状可相对简单。

与集中质量法相⽐，有限元中的⼴义坐标也采⽤了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。

6.⼴义坐标：能决定质点系⼏何位置的彼此独⽴的量，称为该体系⼴义坐标；选择原则：使解题⽅便。

7.动⼒⾃由度：结构体系在任意瞬时的⼀切可能的变形中，决定全部质量位置所需的独⽴参数的数⽬。

数⽬与结构体系约束情况有关。

静⼒⾃由度是使结构体系静定所需要的独⽴约束数⽬。

前者是由于系统的弹性变形⽽引起各质点的位移分量；后者指结构中的刚体由于约束不够⽽产⽣的刚体运动。

8.有势⼒⼜称保守⼒：每⼀个⼒的⼤⼩和⽅向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某⼀位置到另⼀位置所做的功只决定于质点的始末位置，⽽与路径⽆关。

有势⼒F沿任何封闭路线所做的功为零。

运动微分⽅程中：弹性反⼒是保守⼒，阻尼⼒与外荷载是⾮保守⼒。

拉格朗⽇⽅程中⼴义⼒计算包括的主动⼒：外⼒和阻尼⼒9.实位移：满⾜约束⽅程且满⾜运动⽅程和初始条件的位移。

可能位移：满⾜所有约束⽅程的位移。

虚位移：在某⼀固定时刻，体系在约束许可的情况下，可能产⽣的任意组微⼩位移。

i (0) i (l ) 0
--基函数（或形状函数） 课件 i ( x)PPT
9
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
集中质量法：独立质量位移数即为自由度数； 广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数；
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
PPT课件
10
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3) 计轴向变形时 W=2 不计轴向变形时 W=1 W=2 为减少动力自由度，梁与 刚架一般可不计轴向变形。
y2
y1
W=2
2)Βιβλιοθήκη 弹性支座不减少动力自由度PPT课件
11
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
EI
W=1
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12
§1.4
体系的运动方程
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
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13
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y

6.2 梁的自振频率和振型
∂ 2u ∂ 2 ∂ 2u m( x) 2 + 2 [ EI ( x) 2 ] = p( x, t ) ∂t ∂x ∂x
由弯曲梁的偏微分运动方程得到梁的无阻尼自由振动方 程为： 2 2 2 ∂u ∂u ∂
m( x )
∂t
2
+
∂x2Βιβλιοθήκη [ EI ( x )∂x
2
]=0
对以上偏微分方程可以采用分离变量法求解，设解的形 式为：
(转动惯量影响项) (剪切变形影响项) (剪切变形和转动惯量耦合影响项)
r2=I/A—惯性半径；A—梁的横截面积；k’A—梁的有效剪切面 积；k’—截面有效剪切系数；G—材料剪切模量。 对于细长梁可以不考虑铁木辛柯梁方程，但对于深梁，其转 动惯性项和剪切变形不可忽略时则必须考虑。但一般考虑 到与线性位移引起的惯性力相比，转动项仍为小量，往往 予以忽略。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第6章 分布参数体系 （无限自由度体系）
第6章 分布参数体系（无限自由度体系）
前面介绍了结构动力分析中最基本方法，处理的是有限 自由度体系的动力反应问题。 真实结构，质量连续分布。描述和确定连续介质的空间 位置，需要用连续介质的空间坐标（空间位置是空间 坐标x、y、z的连续函数）。 结构体系实际上有无限个动力自由度，这时要精确描述 结构体系的运动状态必须用偏微分方程，其独立自变 量除时间外，还包括空间位置坐标，这时的结构体系 称为分布参数体系。
EI(x)=EI为常数，m(x)=m为常数
a =
4
ω 2m
EI
φ ′′′′( x ) − a 4φ ( x ) = 0