高中数学_§2-3.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）学习目标1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.重点；归纳的得出理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理难点：正确的理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确的区分“分类”与分步“课前热身某班有男三好甲乙丙三人，女三好A,，B 二人，（1） 从中任选一人，上台领奖，有几种选法？（2） 若选男女各一人参加座谈会，有几种选法？新知探究问题（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .设计目的:选择学生身边的素材作为新课引入的实例,利用简单的熟悉的问题情境激发学生学习的积级性,让学生在迫切要求下去探究。

新知：分类计数原理－加法原理：如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m 种方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有n m 种不同的方法.推广：如果完成一件工作有n 类不同的方案，由第1类方案中有m 1种方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，……..第n 类办法有m n 种方法那么，完成这件工作共有( )种不同的方法.设计目的:学生通过具体事例的分析、计算，找到规律，用自己的语言表述出来，锻炼了学生的概括能力。

※ 典型例题例1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ,B 两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?变式：如果C 大学强项专业有金融专业，新闻学，人力资源学，这名同学可能的专业选择共有多少种?问题2；从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同的路线有 条.问题3：用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以1212,,,,,A A B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？ 新知分步乘法原理:完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m 种不同的方法，完成第2步有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有n m ⨯种不同方法。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。

（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。

（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。

2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。

3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。

四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。

2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。

3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。

五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。

2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。

3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。

4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。

六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。

《分类计数原理与分步计数原理》教学设计课题：分类计数原理与分步计数原理课型：新授课一、教材分析1、教材的地位与作用《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，是高中数学人教A版选修2-3第一章第一节课。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。

2、教学目标（1）知识目标掌握计数的两个基本原理,并能正确的用它们分析和解决一些简单的问题.（2）能力目标通过计数基本原理的理解和运用,提高学生分析问题和解决问题的能力,开发学生的逻辑思维能力.（3）情感目标培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。

3、重点、难点重点：分类计数原理与分步计数原理难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理二、学情分析1、认知水平：已有使用计数原理的生活经验，但缺少思维上升，将通过再现生活情境帮助自我建构；2、心理特点：他们热爱数学，但缺少数学自信，让他们在体验生活应用和实践的成功乐趣，从而爱上数学，爱上学习；3、能力水平：动手操作能力强，但抽象思维能力弱，将通过体验性，过程性来实现。

三、教法分析科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。

基于此，我准备采用的教法：是启发引导，学生讨论相结合的方法，这样可以充分调动学生的积极性，增强同学们的参与机会，让学生在学中思，在思中学，培养学生的数学观察猜想能力，启迪学生的探索灵感。

让学生有一个直观的感受，然后在教师的引导下让学生形成感性认识。

通过设问，让学生充分进行讨论，逐步引导学生形成概念。

四、学法指导“授人与鱼，不如授人与渔”。

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，运用观察分析讨论总结的学习方法。

五、教学过程设计（一）提出课题――引入新课首先,提出本节课的课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

10.6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲传真 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．1．(人教A 版教材习题改编)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )A ．50个B ．45个C ．36个D ．35个【解析】 根据题意，十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．【答案】 C2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A ．10B ．11C ．12D ．15【解析】 若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24.由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.【答案】B3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A．504 B．210 C．336 D．120【解析】分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．【答案】A4．(2012·大纲全国卷)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种【解析】第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)．【答案】C5．从4名男生，2名女生中，选2人参加某项活动，至少有一名女生参加的选法有________种．【解析】法一分两类，①一男一女，共有4×2＝8种；②两女，只有1种，共有8＋1＝9种．法二间接法C26－C24＝15－6＝9种．【答案】9分类加法计数原理某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种【思路点拨】由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．【尝试解答】赠送一本画册，3本集邮册．需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C14种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画册，其余2人送邮册，有C24种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C14＋C24＝10(种)．【答案】B,1．本题常见错误：①忽视相同画册，相同集邮册条件，错用排列计算．②找不准分类标准．求解的关键在于抓住赠送画册的本数进行分类．2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．图10－1－1如图10－1－1所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．【答案】40分步乘法计数原理(2012·大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【思路点拨】先排第一列三个位置，再排第二列第一行上的元素，则其余位置上元素就可以确定．【尝试解答】先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A33种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．【答案】A,1．利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．2．分步必须满足两个条件：(1)步骤互相独立，互不干扰．(2)步与步确保连续，逐步完成．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．【解】(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y ＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况．因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.两个计数原理的综合应用图10－1－2如图10－1－2所示，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种【思路点拨】解答本题应注意两点：(1)每一个点都有可以和它同色的两个点．(2)涂色的顺序不同影响解题的难度，可先涂A、D、E，再分类涂B、F、C.【尝试解答】先涂A、D、E，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法，另一类是B与E 和D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法，故涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．【答案】B,1．给B、C、F涂色时，在每一类下又有两种情况，应切实掌握好分类的标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．2．用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(2013· 杭州模拟)如图10－1－3，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________．图10－1－3【解析】按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法，故由分类计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.【答案】96两个原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，构成完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．两点提醒1.分类时，标准要明确，应做到不重不漏．2．分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取．从近两年高考试题看，两个计数原理是高考考查的热点，一般与排列、组合等知识结合，考查分类讨论的数学思想．主要涉及数字问题、几何问题、涂色问题，有时也出现与其它知识相结合的新定义题型．创新探究之十二与计数原理有关的新定义题(2012·江苏高考)设集合P n＝{1，2，…，n}，n∈N*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A .(1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．【解】 (1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数；若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2(或n ＋12)， 所以f (n )＝⎩⎨⎧2n 2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.创新点拨：(1)以集合的概念和运算为背景，求解计数问题．(2)一题两问，体现由特殊到一般的数学思想，考查归纳、抽象概括能力．防范措施：(1)通过阅读、分析，弄清新定义，弄清利用新定义所解决的问题，如本题中f (n )表示集合A 的个数，且集合A 满足三个条件．(2)从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确．1．(2012·课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种【解析】 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．【答案】A2．(2013·济南质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．【解析】第一类：恰有三个相同的数字为1，选2，3，4中的一个数字排在十、百、千位的一个位置上，有C13·A13种方法，四位“好数”有9个．第二类：相同的三个数字为2，3，4中的一个，这样的四位“好数”为2221，3331，4441共3个．由分类加法计数原理，共有“好数”9＋3＝12个．【答案】12。

1.1 分类加法计数原理和分布乘法计数原理（1）教学设计教材分析“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排2个课时，本节课为第1课时．两个计数原理在本章中起到承前启后的作用，它不仅是解决计数问题的最基本、最重要的方法，更是后续学习排列、组合和二项式定理的理论依据．学情分析在幼儿园和小学阶段，我们可以通过一个一个地数数的方法，数出相应的数；在初中学习“随机事件的概率”和高中学习“古典概型”时，学生已学会了用列举法和树状图法解决最简单的计数问题，这是学生学习两个计数原理的认知基础．在本节课中，如何让学生借助已有的数学活动经验引导学生归纳概括出两个计数原理，并体会抽象思维、由特殊到一般的数学思想、类比思想在计数原理学习中的重要作用，是本课的难点．区分清楚“分步”与“分类”问题，是选择两个计数原理解决计数问题的关键．教学目标知识与技能理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题．过程与方法通过引导，探究得出结论，培养学生的理解能力和抽象概括能力；通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力．情感、态度与价值观通过实例引入体会抽象思维、由特殊到一般的数学思想、类比思想在计数原理学习中的重要作用.教学重点归纳出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题．教学难点借助学生已有的认知基础和经验，通过实例抽象概括出两个计数原理，并体会抽象思维、由特殊到一般的数学思想、类比思想在计数原理学习中的重要作用.教学方法本节课是概念原理课的教学典范．采用探究式教学为主，辅以启发式、讨论式的教学方式．教学用具粉笔、课本、导学案、多媒体．教学过程一、情境引入日常生产、生活中计数问题大量存在.例如：手机可以设置6位开机密码，一共可以设置多少个密码？QQ号码已经从最初的5位数上升了到现在的11位数，增加了多少用户呢？学校要举行篮球比赛，在确定赛制后，体育组老师要算一算共要举行多少场比赛……，这些问题的解决有赖于我们本节课将要学习的“计数原理”.二、合作探究[探究1]有一个女孩小丽准备去逛街，当她决定自己要穿什么衣服时，发现衣柜中有连衣裙红、黄各一件，休闲装红、绿、蓝各一套,那么她共有多少种选择？【设置意图】探究1以一个有趣的实际问题引出计数问题，激发学生的求知欲，让学生认识到学习计数原理的重要性，提高学生主动参与学习的积极性．[探究2]小华因身形瘦弱准备增肥，他为自己制定了2个方案：一是只吃水果，有苹果、葡萄、榴莲、龙眼4种选择；二只是吃肉，有鸡肉、牛肉、羊肉3种选择。

课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景引入课题展示图片教师：播放天安门、长城、北大、清华大学四张图片学生：观看教师：（根据学生的兴趣，提出有机会去北京旅游，需计划行程，老师查出行程）播音员（学生配音）：报路线（问题1）教师：提出问题1学生：解决问题（以旅游为主线）通过展示雄伟壮观的天安门、巍峨蜿蜒长城、同学们梦想的北大和清华这四张图片，激发同学们旅游的兴趣，不仅可以调动学生的积极性，点燃学生的热情，而且能通过提出问题，解决问题的形式引出课题通过问题（1）探究加法原理问题1：从临沂到北京，每天有3个航班的飞机，有2个班次的汽车，那么乘坐以上交通工具从临沂到北京，在一天中一共有多少种不同的选择？问题剖析问题1完成一件什么事？完成这件事有几类方案？每类方案中有几种不同的方法？每类方案中每种方法能否独立完成这件事？完成这件事共有多少种不同的方法？教师：再次提出问题1学生：填写表格教师：你能举出生活中类似的例子吗？学生：（分组讨论）举出生活实例教师:这些例子有哪些共同点？学生：回答教师：总结共同点（ 1.完成一件事 2.分类完成 3.每一类方案都能独立完成这件事 4.加法运算）教师:能试着归纳出一个一般原理吗？学生：归纳总结给出分类加法计数原理教师：（利用幻灯片播放分类加法计数原理）板书（完成一件事、分类、加法）并强调原理再一次呈现问题1，学生通过具体的表格解决问题，并体会这类问题的特点，由教师引导，学生大胆举出生活例子，让学生感受数学与生活紧密相连，从而激发学生学习的兴趣；通过具体例子发现这类问题的共同点，通过提出问题、解决问题，最后让学生归纳原理，培养学生的抽象概括能力，最后教师纠正完善，并给出分类加法计数原理。

板书设计：这节课我们以旅游为主线贯穿始终，归纳出了两个原理，并利用两个原理解决了很多实际问题。

仔细回顾并分析整个教学过程，我认为：无论是从课堂气氛还是从教学效果来看，这节课都相当成功。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生应能：1.掌握分类加法计数原理的基本概念与计算方法；2.理解分步乘法计数原理的基本概念与计算方法；3.能够灵活运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题。

二、教学重难点1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解与运用；2.引导学生学会灵活运用计数原理解决实际问题。

三、教学准备多媒体教学设备、教学课件、题目练习资料。

四、教学过程1.情境导入（5分钟）教师通过引入生活中的实际问题，比如：小明有两张红色的贴纸和三张绿色的贴纸，他把这些贴纸都收集在一个盒子里，请问他一共有多少张贴纸？引导学生思考该问题。

2.引入分类加法计数原理（10分钟）老师引导学生将红色的贴纸和绿色的贴纸分别进行分类，并进行计数，然后通过分类加法计数原理，将两个分类中的数量相加，得到总数。

师生共同完成示例题目。

3.分类加法计数原理的运用（10分钟）教师给出一组题目，鼓励学生自己尝试用分类加法计数原理解决。

同时教师巡视指导，及时纠正学生解题错误。

4.引入分步乘法计数原理（10分钟）教师通过引导学生思考生活中实际问题，如不重复的选择一件上衣和一条裤子，共有几种搭配方式。

引导学生发现选择上衣和选择裤子的方式是分步的，然后通过分步乘法计数原理，计算有多少种搭配方式。

5.分步乘法计数原理的运用（15分钟）教师给出一组题目，鼓励学生自己尝试用分步乘法计数原理解决。

同时教师巡视指导，及时纠正学生解题错误。

6.计数原理的综合运用（20分钟）教师给出综合性应用题，要求学生结合分类加法计数原理与分步乘法计数原理进行综合运用，解决实际问题。

7.总结与扩展（10分钟）教师梳理本节课的重点知识，对分类加法计数原理与分步乘法计数原理进行总结。

然后教师布置课后作业，拓展学生的思维。

五、教学延伸1.老师可以引导学生思考计数原理在日常生活中的应用，如超市货物的分类与计数、人物影视剧中演员的选择等。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计一、教学内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理（人教A版普通高中数学选修2-31.1 P2-P6，第1课时）二、教材分析本节内容总结、辨析两个基本计数原理以及它的简单应用。

选自人教A版普通高中数学选修2-3第一章第一节，从知识上看，两个基数原理本身是有用的，可以直接用于解决计数问题；其次，它为后面学习排列、组合、二项式定理、随机变量的概率问题奠定基础；从方法上看，它是处理计数问题最基本、重要的方法；数学思想上，它巩固了学生“分类”与“分步”的思想，有助于学生更有条理的思考问题，有助于学生的终身发展。

总的来说，两个基本计数原理是学生进一步学习排列组合、二项式定理的基础和关键，也是进一步学习研究统计、概率以及高等数学有关分支准备知识，更是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。

三、学情分析学生在必修3学习古典概型时，已经接触过一些简单计数问题了，解决计数问题时常使用表格、树状图、枚举的方法。

但是还存在两类问题，一是古典概型问题往往涉及数值较小，用简单的计数方法就能解决，当涉及数值较大时，枚举、树状图就无从下手了；二是生活或学习中，学生已经会使用“分类”、“分步”的方法解决问题了，但是对“分类”与“分步”的界定还不明确，特别对一些复杂问题，常常是凭感觉选择“分类”或“分步”。

高中理科学生基本能自我反省和调节思维活动的进程，还能掌握由一般到特殊的演绎过程和有特殊到一般的归纳过程。

思维发展水平由经验型水平到理论性水平转化。

四、教学目标1．知识与技能（1）掌握两个基本计数原理；（2）能初步运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的计数问题。

2. 过程与方法（1）通过实例分析,经历自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能够区分两个计数问题；（2）掌握将实际问题推广为一般原理的方法，增强学生抽象和逻辑思维能力。

3. 情感态度与价值观（1）体会到数学来源于生活,并服务于生活；（2）体验探索发现的过程中的交流、讨论，感受数学学习的乐趣。

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．问题导学知识点一分类加法计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．思考1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？思考2 这几类方案中各有几种方法？思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？梳理(1)完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．(2)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车． 思考1 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？思考2 完成每一个步骤各有几种方法？思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？梳理 (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝______种不同的方法．(2)完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有N ＝______________种不同的方法． 题型探究类型一 分类加法计数原理例1 设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点位于x 轴上的椭圆的有( )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个反思与感悟 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练1 若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对(x，y)共有________个．类型二分步乘法计数原理例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？反思与感悟(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练2 从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________．类型三两个原理的综合应用例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？反思与感悟(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)混合问题一般是先分类再分步．跟踪训练3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？当堂训练1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有( )A．3种 B．6种 C．7种 D．9种2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A．7 B．12 C．64 D．813．把5本书全部借给3名学生，有________种不同的借法．4．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)5．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？小结：1．使用两个原理解题的本质分类―→将问题分成互相排斥的几类，逐类解决―→分类加法计数原理分步―→把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步解决―→分步乘法计数原理2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法种数较少将各种情况一一列举列举法――→正面复杂用总数减去不满足条件的种数间接法――→答案精析问题导学知识点一思考1 两类，即乘飞机、坐火车．思考2 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．思考3 共有7＋6＝13(种)不同的方法．梳理(1)m＋n(2)m1＋m2＋…＋m n知识点二思考1 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津．思考2 第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．思考3 共有7×6＝42(种)不同的方法．梳理(1)m×n(2)m1×m2×…×m n题型探究例1 A [因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．]跟踪训练1 10解析当x＝1时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；当x＝2时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；当x＝3时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(个)有序自然数对．例2 解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码．引申探究解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码．跟踪训练2 100解析由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步乘法计数原理，得抛物线的条数为5×5×4＝100.例3 解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．跟踪训练3 解由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．方法一分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法，此时共有6×3＝18(种)选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法，故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选，可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．当堂训练1．C 2.B 3.243 4.95．解(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法．(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法．第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法．(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法．本节课是人教A版选修2-3第一章第一节，“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决.这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终.学生在初中学过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”.所以这节课我主要是教会学生归纳、总结出加法原理，类比得到乘法原理.知识内容由浅入深、螺旋上升.整节课围绕着“什么事——怎么做——怎么算”这条主线来突破教学难点.而在教学设计上又有不同的侧重点，因为加法计数原理计算比较容易掌握，所以我把侧重点放在“怎么做上”.而在乘法计数原理教学中，因为有了理解加法原理的基础，所以我把侧重点放在“怎么算”上.用例题的变式推广到一般情况和简单的综合运用，最后让学生准确运用两个原理.教材先根据两类和两步的情况归纳出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，再推广到一般形式，由简单到复杂，有特殊到一般，螺旋上升，符合学生学习的心理特点.达到了预期的效果。

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）教学设计一、教学内容解析（一）教材的地位和作用本节课是人教版《数学》选修2-3第一章第一节（第一课时）。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。

返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础。

从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。

这样做的目的是为了分解问题、简化问题。

由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。

（二）教学目标1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；3．经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。

（三）教学重点与难点重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。

难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征、正确地区分“分类”或“分步”。

二、学生学情分析：1.认知基础：在学习必修2 “古典概型”时突出了树形图、列举法在计数中的作用；在学习和生活中，我们会不自觉地使用“分类”和“分步”的方法来思考解决问题。