河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试(含答案共8页)

2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试（全国卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合10,2x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{}24B x x =≤，则()()R R A B ⋃=（ ）A ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2)[1,)-∞--+∞C ．(2,1)--D ．[2,1]--【答案】B【解析】先根据题意得(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，再根据集合运算即可求解. 【详解】因为集合{}210,42x A x B x x x ⎧⎫+=>=⎨⎬-⎩⎭，所以(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，[2,1)A B ⋂=--，()()()(,2)[1,)RRRA B A B ⋃=⋂=-∞-⋃-+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，考查运算能力，是基础题.2．设a R ∈，若复数1ia i-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y x =上，则a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】化简复数写出其在复平面内对应的点的坐标，再代入直线方程即得参数. 【详解】 化简221(1)()1(1)11i i a i a a ia i a a -----+==+++，故复平面内对应点的坐标是2211,11a a a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为复数1i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =上，所以221111a a a a +--=++，所以0a =. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数在复平面内对应的点的特征，属于基础题. 3．设()πxf x -=，()πlog g x x =，()πxh x =，则()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 的大小关系是（ ）A ．()()()0.30.30.3g f h <<B ．()()()0.30.30.3f g h <<C ．()()()0.30.30.3f h g <<D ．()()()0.30.30.3g h f <<【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 取值范围，即可求解. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得()0.3000.3ππ1f -<=<=，()0.30.3π1h =>，根据对数函数的性质，可得()π0.3log 0.30g =<， 所以()()()0.30.30.3g f h <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个关于“奇偶归一”的猜想，对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，若输入a 的值为3，则输出结果为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】根据程序框图，列出循环过程中的a与对应的i，计算循环结果. 【详解】根据程序框图，列出循环过程中的a与i，a 3 10 5 16 8 4 2 1i 1 2 3 4 5 6 7 8所以输出的结果为8i=.故选：C【点睛】本题考查程序框图，重点考查循环过程，属于基础题型.5．函数()21sin()21xxxf x-⋅=+的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】先判断出()f x 的奇偶性，然后通过特殊值()1f 与0的关系即可确定出()f x 所对应的函数图象. 【详解】因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()()()21sin 12sin 21sin 211221xxxxxxx x x f x f x ---⋅--⋅--⋅-====+++，所以()f x 是偶函数，排除A ，D ；又因为(21)sin1(1)021f -=>+，排除B.故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，难度一般.分析函数解析式对应的函数图象可从函数的奇偶性、函数的单调性、特殊值等方面入手.6．某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动.为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下： 你最喜欢的社团类型是什么？—您选哪一项？（单选） A ．体育类如：羽毛球、足球、毽球等 B ．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等 C ．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等 D ．文化类如：公关演讲、书法、文学社等 E.其他由两个统计图表可以求得，选择D 选项的人数和扇形统计图中E 的圆心角度数分别为（ ） A ．500，28.8° B ．250，28.6°C ．500，28.6°D ．250，28.8°【答案】A【解析】根据扇形统计图和条形统计图得选择A 的人数为300，占比为15%，进而得接受调查的学生的总人数为2000，故选D 的人数为500，进而得E 的圆心角度数. 【详解】解：设接受调查的学生的总人数为x ， 由调查结果条形图可知选择A 的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%， 所以30015%x=，解得2000x =， 而选择D 的人数为：200025%500⨯=，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(115%12%40%25%)36028.8︒︒----⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的应用，考查数据分析与处理，是中档题. 7．已知M 为抛物线2:4C x y =上一点，C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ，过点P 向C 再作另一条切线2l ，则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】先根据C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，求出a 的值，再求得点3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后再求过点P 抛物线的切线方程. 【详解】设()00,M x y ，由题意知，214y x =，则12y x '=， C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，所以001122x x y x =='=所以01x = ，则11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭， 将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-，即111:24l y x =- 抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- 则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ， 则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，解得04x =-或01x =（舍去）， 则(4,4)N -，所以2l 的方程为24y x =--. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题. 8．已知||||1CA CB ==，设2a CA CB =-，22b CA CB =+.若0a b ⋅=，则sin ,CA CB 〈〉的值为（ ）A．0 B ．2C ．1D ．1-【答案】C【解析】依题意设12,CA e CB e ==，由0a b ⋅=可得120e e ⋅=，从而得到1e ，2e 的夹角为2π，即可得解； 【详解】解：根据题意，设12,CA e CB e ==，则121e e ==，则122a e e =-，1222b e e =+.因为0a b ⋅=，即)()1212220e e e -⋅+=，即2211222220e e e e +-⋅=，所以120e e ⋅=，所以向量1e ，2e 的夹角为2π，sin 12π=.故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律，向量夹角的计算，属于中档题.9．如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C【解析】||cos2AB d α=⋅，故选项A 不正确；||||sin DC BD d α==，故选项D 不正确；2||sin NC d α=⋅，故选项B 不正确；2||(||)2dDC d AB =⋅-，故选项C 正确. 【详解】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽，所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查几何选讲和三角函数，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】根据题意做出图形，取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，取OA 上离O 点近的三等分点记为F ，自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，再根据几何关系计算即可得答案. 【详解】解：如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心， 取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ， 自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ， 则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角， 所以AOC △是边长为34232⨯=33OE =. 在POE △中，30POE ︒∠=， 所以23PE =.又433CE =， 所以133PC R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何体的外接球的半径求解，考查空间思维能力，是中档题.11．已知函数2(),()2ln ,()4x f x e g x x h x x x m ===-+，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B .若对任意12,[1,]t t e ∈都有()2||AB h t >成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),2ee -∞+ B ．(,4)e -∞+ C ．()2,5e e-∞-D ．(,3)e -∞+【答案】D【解析】先根据题意将恒成立问题转化成最值问题，再利用导数求最值，计算参数范围即可. 【详解】由题意，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B ，故||2ln xAB e x =-设()()2ln 1xF x e x x e =-≤≤，则问题可以转化为在区间[1,]e 内min max ()()F x h x >.因为12()20xF x e e x'=-->，所以()F x 在[1,]e 上单调递增，故min ()(1)F x F e ==.因为2()4h x x x m =-+，其对称轴2x =，所以在区间[1,]e 上，(1)()f f e > 即max ()(1)143h x h m m ==-+=-，所以e 3m >-，即3m e <+.故选：D. 【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数最值和利用二次函数求最值，属于中档题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2021220210122021(12)x b b x b x b x -=++++，数列{}n a 的首项12202111122021,222n n n b b b a a S S ++=+++=⋅，则2021S =（ ） A ．12021-B ．12021C ．2021D ．2021-【答案】A【解析】通过对二项展开式赋值12x =求解出1a 的值，然后通过所给的条件变形得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而求解出{}n S 的通项公式，即可求解出2021S 的值. 【详解】令12x =，得202112202102202111202222b b b b ⎛⎫-⨯=++++= ⎪⎝⎭. 又因为01b =，所以1220211220211222b b b a =+++=-. 由111n n n n n a S S S S +++==-，得111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，所以1111n n S S +-=-， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =-，公差为1-的等差数列，所以11(1)(1)nn n S =-+-⋅-=-， 所以1n S n =-，所以202112021S =-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意11n n n a S S ++=-的运用.二、填空题13．若实数x ，y 满足2,,3,x y y x x +⎧⎪≤⎨⎪⎩则232z y x =-+的最小值为__________.【答案】9-【解析】化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合找到最优解，联立方程组求出最优解的点的坐标，代入目标函数即可求出结果. 【详解】 由约束条件作出由232z y x =-+，得3222z y x -=+， 作直线3:2l y x =，将直线l 平移经过M 点时在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值. 联立203x y x +-=⎧⎨=⎩ 解得：(3,1),M -代入232z y x =-+可得：min 9z =- 故答案为：9-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，属于基础题.14．在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】先由余弦定理求出AC =sin B =，再由正弦定理可得答案. 【详解】在ABC中，易求sin 3B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin 3AC r B ===，所以4r =.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形和利用正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题. 15．已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为__________. 【答案】815【解析】分三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，分别计算概率即可. 【详解】可分为三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以2211223233332222264646C C C C C C 1681C C C C C 3015P =⨯+⨯+⨯==.故答案为：815【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件与相互独立事件的概率计算，考查分类讨论的思想.16．过椭圆2221(1)x y a a+=>上一点P 及坐标原点O 作直线l 与圆2221x y a +=+交于A ，B 两点.若存在一点P 满足2||||1a PA PB =+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[2,)+∞【解析】将||||PA PB 整理化简得22||||1||PA PB a OP =+-结合22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，得21||||PA PB a ≤⋅≤，即可得2211a a ≤-≤，解不等式即可. 【详解】 如图所示：22||||(||||)(||||)1||PA PB OA OP OA OP a OP =-+=+-.又因为22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，所以21||||PA PB a ≤⋅≤.若存在一点P ，使得2||||1a PA PB =+，即2211a a ≤-≤，解得2a ≥故答案为：2,)+∞ 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，涉及不等式的性质，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()1,3n n S ++在抛物线2y x 上.（1）求n a ；（2）求数列{}9n a -的前n 项和n T .【答案】（1）21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩；（2）2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩. 【解析】（1）由条件可得222n S n n =+-，当1n =时，111a S ==；当2n 时，由1n n n a S S -=-可求出答案.（2）28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩,分4n 和5n ，分别求和，得出答案.【详解】解：（1）因为点()1,3n n S ++在抛物线2yx 上，所以23(1)n S n +=+，所以222n S n n =+-. 当1n =时，111a S ==； 当2n 时()22122(1)2(1)221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.所以21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩（2）易求28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩当4n 时，22922972n n T S n n n n n n =-+=--++=-++； 当5n 时，[]()22449(4)142222936726n n T T S S n n n n n n =+---=++---+=-+. 综上，2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩【点睛】本题考查根据前n 项和求通项公式，等差数列加绝对值的求和问题.属于中档题.18．近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占7，而务农户中对新政策满意的占1.（1）完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.附表：2.072参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.【解析】（1）根据题意补全列联表，再根据独立性检验的知识求解即可；（2）根据题意从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35，随机变量满足二项分布，即：3~5,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布的知识求解即可.【详解】解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2200(70503050)258.333 6.635100*********k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是12032005=，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35.由题意知3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，05053232(0)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 141532240(1)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 232532720(2)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3235321080(3)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 414532810(4)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 505532243(5)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为3()535E X np ==⨯=.【点睛】本题考查独立性检验，二项分布，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题. 19．如图，四边形ABCD 是菱形，2,22,AB AP BG DE DE ===⊥平面ABCD .（1）证明：P ，E ，C ，G 四点共面.（2）若2,23PA AC ==，求二面角P CE D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15. 【解析】（1）取PA 的中点M ，根据条件可证明四边形PMBG 和四边形MECB 是平行四边形，利用平行的传递性可证明四边形PGCE 是平行四边形，从而证明四点共面；（2）由菱形和AC 的长，可求出60BAD ︒∠=，又AP ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，取PA 的中点M ，连接,EM BM . 因为22AP BG MP ==，所以MP BG =， 所以四边形PMBG 是平行四边形， 所以PG MB =.由题意知,ME AD AD BC ==，所以ME BC =， 所以四边形MECB 是平行四边形， 所以MB EC =，所以PG EC = 所以四边形PGCE 是平行四边形， 所以P ，E ，C ，G 四点共面.（2）解：因为DE⊥平面ABCD，//AP DE，所以AP⊥平面ABCD.在ABC中，由余弦定理得2222222(23)23cos222223AB AC BCBACAB AC+-+-∠===⋅⨯⨯，所以30BAC︒∠=，所以60BAD︒∠=.以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-.则(0,0,2),(3,3,0),(0,2,1),(0,2,0),(3,3,2),(3,1,1),(0,0,1) P C E D PC CE DE=-=--=设平面PCE的法向量为()111,,n x y z=，则0,0,n PCn CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111113320,30.x y zx y z⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩令11y=，得1132,xz⎧=⎪⎨⎪=⎩所以3,1,2n⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面CDE的法向量为()222,,m x y z=，则0,0,m DEm CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,30.zx y z=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x=，得223,0,yz⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以(1,3,0)m=-.设二面角P CE D--的平面角为θ，所以222223131013cos,4||||3121(3)3n mn mn m⨯+⋅〈〉===⎛⎫++⨯+⎪⎝⎭，所以2115sin 144θ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以二面角P CE D --的正弦值为15. 【点睛】本题考查空间向量求二面角，考查证明点共面，考查学生的空间想象能力以及计算能力，熟记定理和公理是解决立体几何证明的关键，本题属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是32，短轴长为2，A ，B 分别是E的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）21-. 【解析】（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆E 的离心率32c e a ==，短轴长为2，所以1b =. 又因为222a b c =+，解得2,3a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y nx ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B -所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++， 同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥，因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++.又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++.设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>， 当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大.联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S==+. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆中三角形面积的最值问题，属于中档题.21．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈=.（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求函数的导数，再分1a ≤和1a >两种情况讨论求函数的单调区间；（2）结合题意分析可知1a a e -<+，由1x e a >+，可证明1111a a a +>-+，再利用分析法转化为证明11111a e a a -+>+-+，通过构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】 （1）解：由题意，()222222()x x x x a x x a f x e e --+-++-'==， 令2()22,44g x x x a a =-++-∆=-.①当1a 时，0∆，此时()0f x '，函数()f x 在R 上单调递减；②当1a >时，>0∆，令()0g x =，则11x =21x =，当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<，所以()f x 单调递减，当(1x ∈-+时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当(1)x ∈++∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减.综上所述，当1a 时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间为(,1-∞-和(1)++∞，单调递增区间为(1+.（2）证明：由（1）知1a >，因为(1)0g >，所以210a g e -⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得1a a e -<+， 要证1111a a a +>-+，只需证11111a e a a -+>+-+. 对于函数()1x h x e x =--，有()1x h x e '=-.因为()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=， 所以()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，即不等式1x e x +恒成立，当且仅当0x =时“=”成立，故当1a >时，1a e a >+，即11a e a ->+①. 因为1a a e -<+且1a >，所以1a a e --<， 可得11a e a >-，所以111e a >>-②. 由①+②得，11111a e a a -+>+-+， 故1111a a a +>-+得证. 【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，重点考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力，属于难题，本题的难点是第二问，需构造函数()1xh x e x =--，通过分析函数的性质，以及转化变形，证明不等式. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，a R ∈）. （1）若1a =，求1C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，若1C 与2C 相切，求实数a 的值.【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=；（2）73a =或133a =-. 【解析】（1）消去参数θ，直接可得曲线1C 的普通方程；（2）将参数方程，极坐标方程都化为普通方程，由直线与圆相切列方程即可得a 值.【详解】（1）当1a =时，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），消去θ， 所以22(1)(1)4x y -+-=；（2）曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 消去θ可得22()(1)4x a y -+-=，所以曲线1C 是圆心为(,1)a ，半径为2的圆，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，可化为3410x y +-=， 若1C 与2C 相切，则1C 的圆心到2C 的距离等于1C 的半径，即2d ==， 解得：73a =或133a =-. 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查了转化与化归的思想.23．已知函数()2123f x x x =-++.（1）求不等式21239x x -++≤的解集；（2）若关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1k k ≤-或}4k ≥. 【解析】（1）分类讨论法去绝对值、解不等式组、求并集即可；（2）将问题转化为方程()f x =23k k -有解，再根据绝对值三角不等式求最小值，列不等式求解，即可得答案.【详解】（1）原不等式等价于12(21)(23)9x x x ⎧>⎪⎨⎪-++≤⎩或3122(21)(23)9x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--++≤⎩或32(21)(23)9x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩ 解得1724x <≤或3122x -≤≤或11342x -≤<-， 所以不等式的解集为11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为212321234x x x x -++≥---=，方程2()30f x k k -+=有解，关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，只需234k k -≥，解得1k ≤-或4k ≥.所以实数k 的取值范围为{1k k ≤-或}4k ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，方程有解问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.。

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河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、单选题
1．设集合{}2430A x x x =-+≤，{}15B x x
=∈<<Z ，则A
B
=（ ） A ．{}2
B ．{}3
C ．{}2,3
D ．{}1,2,3 【答案】C
2．若复数1i z =-，则1z z
=-（ ） A ．1
B
C ．
D ．4 【答案】B 3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为（ ）
A ．19
B ．38
C ．55
D ．65 【答案】D 4．数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A ．505
B ．673
C ．674
D ．1010 【答案】B
5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=-，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．2π3
B ．π2
C ．π3
D ．π6
【答案】C。

2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试（全国卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =-->，{}lg(1)1B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{39}x x <≤B ．{}23x x -≤≤ C ．{}29x x -≤≤ D ．{13}x x -<≤【答案】D【解析】求出集合A 、B 、RA ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得:{}{260|2A x x x x x =-->=<-或}3x >，所以{}23RA x x =-≤≤，{}{}{}lg(1)1011019B x x x x x x =+≤=<+≤=-<≤，故(){13}RA B x x ⋂=-<≤.故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，涉及解一元二次不等式、对数不等式，属于基础题.2．在复平面内，复数|34|12i i-+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用模长公式和复数的除法运算化简可得对应的点，进而得出所在象限． 【详解】()()()512|34|51212121212i i i i i i i --===-+++-，对应点为(1,2)-，在第四象限.故选：D 【点睛】本题考查复数的定义与运算，考查学生计算能力，属于基础题． 3．若角α的终边经过点()sin60,cos120︒︒，则tan2α=（ ）A ．3-B ．33-C ．3 D ．3【答案】A【解析】先求出角α的终边经过点3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，进而求出tan α，然后利用倍角公式进行求解即可 【详解】因为角α的终边经过点()sin60,cos120︒︒即角α的终边过点3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3tan α=-， 所以22tan tan 231tan ααα==--. 故选:A 【点睛】本题考查倍角公式的使用，主要考查学生的运算能力，属于基础题 4．函数()2sin ln 1y x x=⋅+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据函数值的分布判断选项.【详解】函数sin y x =是奇函数，()2ln 1y x=+是偶函数，所以函数()2sin ln 1y x x =⋅+为奇函数，函数图象关于原点对称，排除A ，C ；当0πx <<时，0y >，排除D. 故选：B 【点睛】本题考查识别函数图象，重点考查函数性质和函数图象，属于基础题型.5．已知数列{}n a 为等差数列，415222,21a a a a =+=-.若2020m a =，则m =（ ） A ．671 B ．672C ．2013D ．2014【答案】B【解析】设公差为d ，利用等差数列的通项公式列出关于1,a d 的方程组，求解代入2020m a =，即可求出m .【详解】 设公差为d ， 由5211411121422122322a a a d a d a a a d a =-+=+-⎧⎧⇒⎨⎨=++=+⎩⎩，得137d a =⎧⎨=⎩，则由13(1)73(1)2020m a a m m =+-=+-=， 解得672m =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式.属于较易题.6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为120，则判断框内应补充的条件为（ ）A ．4i <B ．4iC ．5i <D ．5i【答案】D【解析】由题意结合循环结构的特征，注意变量取值的变化，逐步运行即可得解. 【详解】当1i =时，0S =； 当2i =时，3S =； 当3i =时，12S =； 当4i =时，39S =； 当5i =时，120S =. 故选：D. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．“ABC 为锐角三角形”的充分不必要条件是（ ） A ．0AB AC ⋅>B ．sin sin sin cos cos cos A BC A B C ++>++ C ．A ，B ，C 成等差数列，且||3A C π-<D ．222AC BC AB +> 【答案】C【解析】A 选项，由0AB AC ⋅>，可得A 为锐角，进而可作出判断； B 选项，由已知022B A ππ<-<<可得sin cos A B >，sin cos B C >，sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，进而得证； C 选项，易得2A+C =B ，3B π=，又由33A C ππ-<-<，可得A ，C 均小于2π，进而得证；D 选项，易得cos 0C >，所以C 为锐角，无法确定ABC 的形状. 【详解】A 选项，由0AB AC ⋅>，可得A 为锐角，不满足条件； B 选项，若ABC 为锐角三角形，则022B A ππ<-<<，则sin sin 2A B π⎛⎫>-⎪⎝⎭，即sin cos A B >， 同理可得sin cos B C >，sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++， 若,24AB C，不等式成立，但此时A 并非锐角，不满足条件；C 选项，因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2A+C =B ，3B π=，又由33A C ππ-<-<，可得A ，C 均小于2π， 所以ABC 为锐角三角形；反之若ABC 为锐角三角形，若85,10A B C ==︒=︒， 则A ，B ，C 成等差数列，且||3A C π-<不成立，满足充分不必要条件；D 选项，由222AC BC AB +>，得cos 0C >， 所以C 为锐角，无法确定ABC 的形状. 故选：B . 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 8．已知向量,OA OB 的夹角为60︒，||1,||2OA OB ==，点C 为AOB ∠的平分线上的一点，且(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn=（ ） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】利用点C 为AOB ∠的平分线上的一点，可利用菱形对角线平分对角进行作图，构造出四边形11OB CA 为菱形，由||1,||2OA OB ==，设1OA kOA =，则11OA k OB ==，则12kOB OB =，所以，利用向量的线性运算，即可得到11OC OA OB =+=2kkOA OB mOA nOB +=+，进而求解m n 即可【详解】如图，过点C 作11//,//CA OB CB OA ，则可得四边形11OB CA 为菱形，所以11OA OB =.设1OA kOA =，则11OA k OB ==，则12kOB OB =，所以11OC OA OB =+=2k kOA OB +.又因为OC mOA nOB =+，所以22m kkn ==. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生的数形结合能力，属于基础题9．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，,AC BD 是其两条对角线，8BD =，且ACD △为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．3C ．243D ．323【答案】B【解析】由已知和托勒密定理可得AB a a BC a BD ⋅+⋅=⋅，即 8AB BC BD +==.再由三角形的面积公式可求得选项. 【详解】设AD DC AC a ===，由托勒密定理知，AB a a BC a BD ⋅+⋅=⋅， 所以8AB BC BD +==. 又因为3ABD ACD π∠=∠=，3CBD CAD π∠=∠=，所以四边形ABCD 的面积为ABDBCDS SS=+=113sin sin ()16323234AB BD BC BD AB BC BD ππ⋅+⋅=+⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查数学文化，数学定理的应用，以及解三角形，属于中档题.10．已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P 在直线:20l x y +-=上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ） A ．||||PM PN +的最小值为2B ．PM PN ⋅为定值 C ．SPT ∠的最大值为3πD ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为16 【答案】B【解析】利用对称性可求得||||PM PN +的最小值，判断选项A ；利用平面向量基本定理和数量积的定义判断选项B ；利用圆的切线的性质判断选项C ；利用梯形中位线可得8SS TT ''+=，即当S T ''最长时，四边形SS T T ''的面积最大． 【详解】设(2,0),(2,0)M N -，则N 关于l 对称的点为(42,422)N '，所以||||PM PN +的最小值为62MN '=故A 正确；2()()4PM PN OM OP ON OP OP ⋅=-⋅-=-不是定值，故B 错误；当OP 最小，且当,PS PT 为圆O 的切线时，SPT ∠最大，此时3SPT π∠=，故C 正确；在四边形SS T T ''中，//SS TT ''，且8SS TT ''+=.因此，当S T ''最长，即||4S T ST ''==时面积最大，最大值为16，故D 正确 故选：B 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线，考查平面向量数量积的应用，属于中档题．11．一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一个平面α，使得α与小球恰好相切，则α与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ） A ．5 B ．12C ．2 D ．35【答案】D【解析】作出当平面α与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时的剖面图，再由直线与圆相切时的性质求得12DE =，由面面角的定义可求得该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值. 【详解】当平面α与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时，轴截面如下图所示，2CF CH ==，DE DH =，所以DC DE CF =+，2EF =，在Rt GDC △中，由勾股定理222(2)2(2)DE DE +=+-得12DE =， 所以该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值为1323221552+22-==. 故选：D.【点睛】本题考查面面角的求解方法，空间想象能力，属于中档题.12．已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，令(),0,()(),0,f x xh xg x x≤⎧=⎨>⎩则方程22()e h x x e=+解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】首先利用图象关于y x=对称,求出()h x解析式，22()e h x x e=+可化为2()1xh xe=+，求函数()y h x=与21xye=+的图象的交点个数，然后分0x≤、01x<<、1x>分别讨论即可求解.【详解】因为函数()g x与()f x的图象关于直线y x=对称，()xf x e=，所以()lng x x=，,0,()ln,0,xe xh xx x⎧⎪=⎨>⎪⎩所以()h x的图象如图所示.方程22()e h x x e=+可化为2()1xh xe=+，即求函数()y h x=与21xye=+的图象的交点个数.当0x≤时，21xye=+的图象恒过点(0,1)，此时有两个交点；当01x<<时，21xye=+与()y h x=的图象有一个交点；当1x>时，设斜率为21e的直线与lny x=的切点为()00,lnx x，由斜率211ke x==，所以2x e=，所以切点为()2,2e，此时直线方程为()2212y x ee-=-，即21xye=+，所以直线21xye=+与z x y=+恰好相切，有一个交点.综上，此方程有4个解. 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数与方程知识，方程的根的个数也即是两个函数图象交点的个数，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足20,210,1,x y x y x -≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则x y +的最小值为_____.【答案】1【解析】画出可行域，再分析直线y x z =-+取最小值时的最优解即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.令z x y =+，则y x z =-+.作出直线:l y x =-，将直线l 平移经过点M 时在y 轴上的截距最小，由20210x y x y -=⎧⎨-+=⎩得12,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以x y +的最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了线性规划求最小值的问题，属于中档题.14．随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x （单位：百人）与销售额y （单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示. x 2 3 45 6 y 2.23.86.57.0已知x 与y 具有线性相关关系，且线性回归方程 1.230.08y x =+，则表中污损数据应为_____. 【答案】5.5【解析】先计算出x ，再由线性回归方程过点(),x y ，可得答案. 【详解】 由表可知2345645x ++++==.因为线性回归方程过点(),x y ，所以1.2340.085y =⨯+=，所以表中数据应为55(2.2 3.8 6.57.0) 5.5⨯-+++=. 故答案为：5.5. 【点睛】本题考查线性回归方程过样本中心点，属于基础题. 15．已知向量(2,),(ln ,2)a y b x ==-，且a b ⊥，那么yx的最大值为_____. 【答案】1e【解析】先根据向量的垂直关系得到,x y 之间的关系式，再将yx表示为关于x 的函数，利用导数分析求解出yx的最大值. 【详解】由题意可知0a b ⋅=，即ln ,y x = 所以ln (0)y x x x x =>，令()()ln 0x f x x x =>，即求()f x 的最大值，且()21ln xf x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0,()fx f x '>在区间()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在区间(),e +∞上单调递减，所以当x e =时，()()max 1f x f e e ==，即yx 的最大值为1e. 故答案为：1e. 【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数与利用导数求解最值的综合应用，主要考查学生的计算与转化能力，难度一般.16．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O 为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm .【答案】21)【解析】设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，根据题意求方程，根据双曲线的性质求解得答案. 【详解】解：设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.因为渐近线相互垂直，所以a b =.由题意知，2222(20)401a a b+-=， 解得30,302a b c ===故该双曲线的一个焦点位于点O 以下30(21)cm . 故答案为： 21)- 【点睛】本题考查双曲线的实际应用，是基础题.三、解答题17．在ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C的对边，,4B AB S π==为ABC的面积，()2222sin S a b c C =+-.（1）求C ；（2）若点D 在直线CB 上，且AD AC ⊥，求线段CD 的长度. 【答案】（1）3C π=；（2）【解析】（1）利用余弦定理和三角形的面积公式可得1cos 2C =，即可得答案； （2）在ABD △中利用正弦定理可得AD =，在Rt ACD △中可求得线段CD 的长度; 【详解】解：（1）由余弦定理，得2222cos a b c ab C +-=， 所以22cos sin S ab C C =， 即sin 2cos sin ab C ab C C =， 解得1cos 2C =. 因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由题意及（1）知，6ADC π∠=.在ABD △中，因为3sinsin64ABADππ=，所以AD =所以在Rt ACD △中，sin3AD CD π===【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图.（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询.如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下.（i）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ii）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.【答案】（1）应抽取小吃类商贩40（家），果蔬类商贩15（家）；（2）（i）152.5元；（ii）3.5【解析】（1）根据各类频率之和为1先求小吃类占的频率，再求小吃类、果蔬类商贩的家数即可（2）（i）用各个区间的中点乘以所占的频率，最后求和即可（ii）求出该果蔬经营点的日收入超过200元的天数，其中超过250元的有2天，先列出所有可能的情况，再找出两天的日收入至少有一天超过250元的情况，最后求概率即可.【详解】-----=，解：（1）由题意知，小吃类所占比例为125%15%10%5%5%40%⨯=（家），按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩10040%40⨯=（家）.果蔬类商贩10015%15（2）（i）该果蔬经营点的日平均收入为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. (750.0021250.0091750.0062250.0022750.001)50152.5（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：(0.0020.001)500.15+⨯=，0.15406⨯=，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为12,a a ，其余4天为1234,,,b b b b 随机抽取两天的所有可能情况为：()()()()()1211121314,,,,,,,,,a a a b a b a b a b ，()()()()21222324,,,,,,a b a b a b a b ，()()()121314,,,,,b b b b b b ，()()2324,,,b b b b ，()34,b b 共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：()()()121112,,,,,a a a b a b ，()()()131421,,,,,a b a b a b ，()()()222324,,,,,a b a b a b 共9种.所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为93155=. 【点睛】考查饼形图、平均数以及古典概型的应用，中档题.19．如图，四棱锥S ABCD -的各侧棱长均为2，底面ABCD 为矩形，22,2AB AD ==过底面对角线AC 作与直线SB 平行的平面α，且平面α交SD 于点E.（1）试确定点E 的位置，并说明理由； （2）求三棱锥E ABC -的体积.【答案】（1）点E 为SD 的中点；答案见解析；（2）23. 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，由于//SB 平面AEC ，故根据线面平行的性质定理得//EO SB ，由于为O 为BD 中点，进而得E 为SD 中点； （2）连接SO ，证明SO ⊥底面ABCD ，进而根据12E ABC S ABC V V --=求体积即可得答案. 【详解】解：（1）点E 为SD 的中点.理由如下：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，如图.因为//SB 平面,AEC SB ⊂平面SBD ，且平面AEC 平面SBD EO =，所以//EO SB .在SBD 中，因为O 为BD 中点，所以E 为SD 中点.（2）如图，连接SO .由题意知，SB SD =，所以SO BD ⊥； 同理，SO AC ⊥. 因为ACBD O =，所以SO ⊥底面ABCD .又因为22,2AB AD ==， 所以23BD =1SO =，所以1111222212232E ABC S ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的性质定理，线面垂直的证明，几何体体积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C 上运动时，12PF F △的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，132PF =. （1）求C 的方程.（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1,,AM AN k k k-成等差数列，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意可得22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程组即可得答案；（2）设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，利用韦达定理可得,k m 之间的关系，即可得答案； 【详解】（1）解：由题意知，22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以2,1,a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意知，(2,0)A -.设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，得221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2223484120kxkmx m +++-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则12221228,34412,34km x x km x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()12121212121212432(2)2222242AM AN y y kx m kx m x x k k k m k x x x x x x x x m k+++++=+=+=+-⋅==+++++++-12k-⨯， 所以2k m =.所以:2(21)l y mx m m x =+=+，恒过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21．已知函数()(1)ln()a xf x x a R e=-∈. （1）若关于x 的不等式()ln 1f x x a +-对任意的正数x 恒成立，求实数a 的取值范围.（2）证明：()*111ln(1)231n n N n +>+++∈+. 【答案】（1）(,1]-∞；（2）证明见解析.【解析】（1）由()ln 1f x x a +-，化简不等式，得ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立，然后，利用参变分离法或者最值分析法进行求解即可（2）由（1）知，当1a =时，ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立，即1ln 1x x-，当1x =时等号成立，进而可以令1n x n +=，得11ln 111n n n n n +>-=++，整理得，递推式1ln(1)ln 1n n n +->+，然后分别令1,2,3,,n n =，然后累加即可得证【详解】（1）解：()(1)ln(1)(ln )ln ln a xf x x x x a x x x ax a e=-=--=--+， 由()ln 1f x x a +-，得ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立. 解法一：即ln 11ln x x ax x x+=+对任意的正数恒成立， 令1()ln g x x x=+，只需min ()a g x .则22111()x g x x x x-'=-=，当1x >时，()0,()'>g x g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 当01x <<时，()0,()g x g x '<在区间(0,1)上单调递减. 所以min ()(1)1g x g ==.所以1a ，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. 解法二：令()ln 1g x x x ax =-+， 则()ln 1(0)g x x a x '=+->. 当()10,a x e -∈时，()0,()g x g x '<在区间()10,a e -上单调递减，当()1,a x e-∈+∞时，()0,()'>g x g x 在区间()1,a e -+∞上单调递增，所以()1111()(1)11a a a a g x g eea ae e ----=--+=-，所以110a e --，即1a . 所以实数a 的取值范围为(,1]-∞.（2）证明：由（1）知，当1a =时，ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立，即1ln 1x x-，当1x =时等号成立.令1n x n +=，则11ln111n n n n n +>-=++. 所以1ln(1)ln 1n n n +->+，1ln 3ln 23->，1ln 2ln12->累加，得111ln(1)ln1231n n +->++++， 即111ln(1)231n n +>++++. 【点睛】本题考查参变分离法和最值分析法的运用，以及利用递推式的关系，证明不等式成立，属于难题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3,3sin 4x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， （1）求C 的极坐标方程；（2）若直线l 过点(4,2)P ，且与C 交于,M N 两点，点P 恰好为线段MN 的中点求直线l 的斜率及||MN .【答案】（1）26cos 8sin 160ρρθρθ--+=；（2）直线l 的斜率为12；||4MN =. 【解析】（1）消参得22(3)(4)9x y -+-=，再利用222cos ,sin x x y y ρθρρθ=⎧+=⎨=⎩，化简即可得到答案；（2）设直线l 的参数方程为4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角），代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，利用韦达定理和已知条件得到1tan 2α=，即可求出斜率，利用12||MN t t =-即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得曲线C 的直角坐标方程为22(3)(4)9x y -+-=，即2268160x y x y +--+=，所以C 的极坐标方程为26cos 8sin 160ρρθρθ--+=.（2）设直线l 的参数方程为4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角），代入曲线C 的直角坐标方程， 得2(2cos 4sin )40t t αα+--=. 设点,M N 对应的参数分别为12,t t ， 因为点P 恰好为线段MN 的中点， 所以124sin 2cos 0t t αα+=-=， 即1tan 2α=， 所以直线l 的斜率为12. 又12124,2t t t t ===， 所以1212||4MN t t t t ==+=-. 【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系的应用.属于较易题.23．已知函数()|2||1|f x x m x =+-+. （1）若2m =-，求不等式()8f x 的解集；（2）若关于x 的不等式()|3|f x m x +对于任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4(,4],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）不等式()|3|f x m x +对于任意实数x 恒成立，转化为|2||1||3|x m x x ++++对于任意实数x 恒成立，记|2|()|1||3|x g x x x +=+++， 将()g x 写成分段函数形式，判断函数的单调性，依据单调性求得()g x 的最小值，从而可得可得m 的范围.【详解】解：（1）当2m =-时，34,2,(),21,34,1,x x f x x x x x ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩当2x -时，348x --，解得4x -；当21x -<<-时，不等式无解；当1x -时，348x +，解得43x . 综上，不等式的解集为4(,4],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由题意知，|2|(|1||3|)x m x x ++++，所以|2||1||3|x m x x ++++. 记|2|()|1||3|x g x x x +=+++， 则1,(,3][1,),2()2,(3,1),2x g x x x ⎧∈-∞-⋃-+∞⎪⎪=⎨+⎪∈--⎪⎩， 当31x -<<-时，()()()22122322x x g x x x +⎧-≤<-⎪⎪=⎨--⎪-<<-⎪⎩，则()12g x <， 又当2x =-时，()min 0g x =， 所以1()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12m ， 所以实数m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式恒成立问题.属于中档题.。

河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试生物本试卷8页。

总分100分。

考试时间90分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1．高温使蛋白质分子的空间结构变得伸展、松散，容易被蛋白酶水解，因而煮熟的鸡蛋容易被消化。

下列说法正确的是A．高温破坏蛋白质的肽键，使蛋白质变得伸展、松散B．胃蛋白酶催化鸡蛋蛋白分解的过程中，会有水的生成C．胃蛋白酶是水解蛋白质的酶，自身不会被蛋白酶分解D．胃蛋白酶、鸡蛋中的蛋白质，都是在核糖体上合成的2．我国科研人员在研究细胞迁移的过程中发现了一类由细胞膜包被形成的新的细胞器——迁移小体，该迁移小体与细胞迁移、细胞信息交流有关。

细胞迁移导致TSPAN4蛋白及胆固醇在细胞局部高度富集，增大了富集区域膜的弯曲度，形成直径约为3μm的囊泡，即迁移小体。

最终，这些迁移小体会释放到细胞外。

下列说法错误的是A．迁移小体的形成说明细胞膜具有一定的流动性B．迁移小体释放后可能会被周围的细胞吞噬利用C．迁移小体中可能含有溶菌酶、抗体等信号分子D．抑制TSPAN4蛋白的合成，可能会抑制癌细胞扩散3．启动子是基因的组成部分，控制基因表达的起始时间和表达程度。

多数真核生物基因的启动子中都有一段位于转录起始点上游的DNA序列，其碱基序列为TATAAA（TATA区）。

启动子通过与转录因子及聚合酶结合来实现对基因表达的控制，而单独的启动子本身并不能控制基因活动。

下列说法错误的是A．启动子通过与转录因子以及DNA聚合酶结合来控制基因的复制和转录B．受精卵有些基因的启动子突变可能会影响细胞分裂、分化甚至个体发育C．有些基因的启动子突变可能会引发基因表达的调节障碍而导致性状改变D．将启动子中的TA TA区彻底水解，可以得到4种产物4．电子传递链是一系列电子载体按对电子的亲和力逐渐升高的顺序组成的电子传递系统，其所有组成成分都嵌合于生物膜中。

河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）地理本试卷8页。

总分100分。

考试时间90分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时. 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共22小题,每小题2分,共44分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

我国某丘陵地区M镇分布有富铁矿,早期遍地开挖，采矿卖矿,后来加强整治管理,集中开发。

2017年,该镇开始承接省级行政中心转迁的球墨铸管厂,铸管厂利用当地铁矿冶炼生铁，所产铁水除铸管消耗外,富余的铸铁外销;2018年,两家以铁水为原材料的企业紧邻铸管厂布局。

当地建链补链、以商招商，以球墨铸管固体废弃物和矿山尾矿砂为原料,以球墨铸管高炉废弃煤气、工业蒸汽为生产能源的多家企业相继在其周边布局,短时间内形成了具有一定规模的工业小镇。

据此完成下面小题。

1. 早期遍地开挖铁矿,会使得M镇（）A. 资源充分利用B. 基础设施完善C. 资源环境破坏D. 人居环境优化2. “建链补链”产生的显著效益有（）①降低生产成本②减轻环境污染③减少耕地占用④提升人口素质A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④3. 工业小镇的形成,体现了（）A. 产业升级的优势B. 工业扩散的优势C. 产业转移的优势D. 工业集聚的优势【答案】1. C 2. A 3. D【解析】【分析】【1题详解】乱挖乱采矿产资源，会导致矿产资源环境破坏，资源利用率低下；同时，会产生环境污染，导致人居环境恶化。

早期M镇基础设施可能有所改善，但缺乏统一的组织规划，不可能完善。

C正确，ABD错，故选C。

【2题详解】由材料可知，当地建链补链，使资源得到充分利用，废弃物资源化，降低了能耗和污染物排放，从而降低生产成本，减轻环境污染，①②正确；相关企业建立，会占用耕地；该地工业应为重工业，对人口素质提升影响不大，③④错。

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总分100分。

考试时间90分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时. 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共22小题,每小题2分,共44分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

我国某丘陵地区M镇分布有富铁矿,早期遍地开挖，采矿卖矿,后来加强整治管理,集中开发。

2017年,该镇开始承接省级行政中心转迁的球墨铸管厂,铸管厂利用当地铁矿冶炼生铁，所产铁水除铸管消耗外,富余的铸铁外销;2018年,两家以铁水为原材料的企业紧邻铸管厂布局。

当地建链补链、以商招商，以球墨铸管固体废弃物和矿山尾矿砂为原料,以球墨铸管高炉废弃煤气、工业蒸汽为生产能源的多家企业相继在其周边布局,短时间内形成了具有一定规模的工业小镇。

据此完成下面小题。

1. 早期遍地开挖铁矿,会使得M镇（）A. 资源充分利用B. 基础设施完善C. 资源环境破坏D. 人居环境优化2. “建链补链”产生的显著效益有（）①降低生产成本②减轻环境污染③减少耕地占用④提升人口素质A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④3. 工业小镇的形成,体现了（）A. 产业升级的优势B. 工业扩散的优势C. 产业转移的优势D. 工业集聚的优势【答案】1. C 2. A 3. D【解析】【分析】【1题详解】乱挖乱采矿产资源，会导致矿产资源环境破坏，资源利用率低下；同时，会产生环境污染，导致人居环境恶化。

早期M镇基础设施可能有所改善，但缺乏统一的组织规划，不可能完善。

C正确，ABD错，故选C。

【2题详解】由材料可知，当地建链补链，使资源得到充分利用，废弃物资源化，降低了能耗和污染物排放，从而降低生产成本，减轻环境污染，①②正确；相关企业建立，会占用耕地；该地工业应为重工业，对人口素质提升影响不大，③④错。

绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试英语本试卷8页。

总分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A.19.15.B.9.18.C.9.15.答案是C.1.What will the man do this evening?A.Do exercise.B. Take a test.C.Study at home.2.What is the probable relationship between the speakers?A.Manager and receptionist.B.Salesgirl and customer.C.Doctor and patient.3.What does the woman think of the rooms?A.They are small.B.They are large.C.They are clean.4.What are the speakers talking about?A.The story of losing weight.B.The life of staying at home.C.The experience of getting together.5.Where does the conversation probably take place?A.At home.B.In a hospital.C.In an office.第二节（共15小题：每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

（全国卷）河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}2430x x x -+≤，B ＝{}15x Z x ∈<<，则AB ＝A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =-，则1zz-＝A ．1BC ．D ．43．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为A ．19B ．38C ．55D ．654．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=-，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3π D ．6π 6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为A ．12011()20- B ．12111()20- C ．12011()21- D ．12111()21-7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G ebxa =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69) A ．155cm B ．150cm C ．145cm D ．135cm8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为A ．5 B ．5C ．1D ．5 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知3cos()55πα+=，则3sin(2)5πα-＝ A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242510．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点，则下列说法定正确的是A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切C ．12x x 为定值D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则A ．(4)()f x f x +=B ．()f x 在区间(﹣2，0)上单调递增C ．()f x 有最大值D ．()sin2xf x π=是满足条件的一个函数12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2(2)(1)0x x t t x ----≤恒成立．则s的值可以为A ．12 B ．12C ．32-D ．32+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知F 1，F 2为双曲线2214y x -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为 ．14．已知实数a ，b ∈，+∞)，且满足2211ln b a b a->，则a ，b 是 ．15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．16．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P —AB —C 的大小为30°，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +-+=+，②12n n n S S a +-=+，③1n n S na +=-(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =， ，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）18．（本小题满分12分）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若X~N(μ，2σ)，则P(x μσμσ-<≤+)≈0.68，P(22x μσμσ-<≤+)≈0.96． 19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝3π，AB ＝3BC ＝3． （1）求sin ∠DAC ；（2）若∠ADC ＝23π，求四边形ABCD 的面积．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA ＝PC ＝AC ． （1）证明：AC ⊥PB ；（2）若PB 与底面所成的角为45°，求二面角B —PC —A 的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点(0，1)，离心率为32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求△OMD 面积的最大值，并求此时点D 的坐标． 22．（本小题满分12分）已知函数1()ln e x x f x x x -=-．（1）求函数()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）证明：（i ）()2f x <；（ii ）任意N n *∈，1e (2ln )n n n n -<-．。