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第2章 随机变量及其分布为了更深刻地揭示随机现象的统计规律性，有必要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果及实数对应起来，可以凭借更多的数学工具研究随机试验的结果，因此需要引入随机变量的概念.2.1 随机变量及其分布函数随机变量的概念定义 2.1 设E 是随机试验，Ω是其样本空间. 如果对每个Ω∈e ，总有一个实值函数)(e X X =及之对应，则称Ω上的实值函数)(e X 为E 的一个随机变量.随机变量常用大写字母Z Y X ,,等表示，其取值用小写字母z y x ,,等表示.若一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量.若一个随机变量取值充满数轴上的一个区间),(b a ，则称其为连续随机变量，其中a 可以是∞-,b 可以是∞+.通过以下几个例子，可以很好地理解上述随机变量抽象的定义.（1） 掷一颗骰子,出现的点数X . （2） 单位时间内某手机被呼叫的次数Y .（3）某品种杨树的寿命T . （4）测量某物理量的误差ε.（5）若某个试验只有两个结果，例如，播种一颗银杏种子，可以定义随机变量.值得注意的是：（1）对任意实数x ，}{x X ≤表示随机事件；（2）可以求出概率)(x XP ≤.在上面的例子中，,316161)6()5()4(=+==+==>X P X P X P 等；但是不能求得以下概率，如)100(=Y P ,)1500(>T P ,5.1|(|≤εP 等，因此还需要引入随机变量分布函数的概念.随机变量的分布函数定义2.2 设X 是一个随机变量,对任意实数x ,称)()(x X P x F ≤= （）为随机变量X 的分布函数.且称X 服从)(x F ，记为)(~x F X .有时也可用)(x F X （把X 作为F 的下标）以表明是X 的分布函数. 例2.1 向半径为r 的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X 的分布函数)(x F ,并求.解 事件“x X ≤”表示所抛之点落在半径为)0(r x x ≤≤的圆内,故由几何概率知222)()()(r x rx x X P x F ==≤=ππ，从而43)21(1)2(1)2(1)2(2=-=-=≤-=>r F r X p r Xp . 从分布函数的定义可以看出,任一随机变量X （离散的或连续的）都有一个分布函数.有了分布函数,就可据此计算得及随机变量X 有关事件的概率.下面先给出分布函数的3个基本性质.定理 2.1 任一随机变量的分布函数)(x F 都具有如下三条基本性质：（1）单调性 )(x F 是定义在整个实数轴),(∞+-∞上的单调非减函数，即对任意的21x x <，有)()(21x F x F ≤.（2）有界性 对任意的x ，有1)(0≤≤x F ，且 0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ，1)(lim )(==+∞+∞→x F F x . （3）右连续性 )(x F 是x 的右连续函数，即对任意的0x ，有 )()0(00x F x F =+.值得注意，满足这3个性质的函数一定是某个随机变量的分布函数.例2.2 设随机变量X 的分布函数为 +∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan )(，试求：⑴待定系数B A ,；⑵随机变量X 落在（-1，1）内的概率.解 ⑴ 由0)(=-∞F ，1)(=+∞F ， 可得 ， 解得 ，于是+∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π.⑵ )1()1()11()11(--=≤<-=<<-F F X P X P .利用随机变量X 的分布函数，可以计算有关X 的各种事件的概率.例如，对任意的实数b a ,，有 )()()(a F b F b X a P -=≤<，)0()()(--==a F a F a XP ，)0(1)(--=≥b F b X P ， )(1)(b F b XP -=>， )()0()(a F b F b X a P --=<<， )0()()(--=≤≤a F b F b Xa P ，)0()0()(---=<≤a F b F b X a P . 特别当)(x F 在a 及b 连续时，有 )()0(a F a F =-，)()0(b F b F --. 例2.3 设随机变量X 的分布函数为 ，试求：（1）)31(≤<X P ；（2）)2(>XP ；（3）)5.1(=X P . 解 （1）6.04.01)1()3()31(=-=-=≤<F F X p ； （2）4.06.01)2(1)2(=-=-=>F X p ； （3）04.04.0)05.1()5.1()5.1(=-=--==F F X p .§2.2 离散型随机变量的分布律定义2.3 设X 是一个离散型随机变量，其所有可能的取值是 ,,,,21i x x x ，则称X 取i x 的概率 ,2,1,)(===i x X P p i i（）为X 的概率分布律或简称为分布律，记为}{~i p X ，分布律也可用列表的方法来表示：或记成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ii p p px x x X 2121~ 分布律的基本性质： （1） ,2,1,0=≥i p i ；（2）.由离散型随机变量X 的分布律很容易写出X 的分布函数：∑≤=≤=xx i i p x X P x F )()(.它的图形是有限级（或无穷级）的阶梯函数.在离散场合，常用分布律来描述分布，很少用到分布函数.因为求离散随机变量X 的有关事件的概率时，用分布律比用分布函数来得更方便.例 设离散型随机变量X 的分布律为试求)5.0(≤X P ，)5.25.1(≤<XP 并写出X的分布函数.解 25.0)1()5.0(=-==≤X P XP ，5.0)2()5.25.1(===≤<X P XP ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++<≤=+<≤-<=3,125.05.025.021,75.05.025.010,25.01,0)(x x x x x F .)(x F 的图形如图2—1所示._x特别地,常量c 可看作仅取一个值的随机变量X ，即 1)(==c XP .这个分布常称为单点分布或退化分布，它的分布函数是 . （） 其图形如图2—2.以下例子说明，已知离散型随机变量的分布函数，可以求出它的分布律.例2．5 设随机变量X 的分布函数为 ， 则X 的分布律为2.3 常见离散型随机变量分布1.两点分布_ 图 2 — 2_x若离散型随机变量X 的分布律为则称随机变量X 服从参数为p 的两点分布（或10-分布），记为),1(~p B X .例 播种一颗银杏种子，银杏的发芽率为0.9，定义随机变量,则)9.0,1(~B X . 2.二项分布若离散型随机变量X 的分布律为kn k p p k n k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==)1()(，n k ,,2,1,0 =. （2.4）则称随机变量X 服从参数为p 的二项分布，记为),(~p n B X .两点分布是二项分布中当1=n 时的特例.例2.7 假设银杏移栽的成活率为，现移栽10颗，问至少有8颗成活的概率是多少？解 设移栽银杏的颗数为X ，则)95.0,10(~B X ，而所求概率为)10()9()8()8(=+=+==≥X P X P X P XP9885.005.095.01010010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 3.泊松分布若离散型随机变量X 的分布律为， ,2,1,0=k ， （2.5）其中参数0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λP X.例 已知某种产品表面上的疵点数服从参数5.0=λ的泊松分布，若规定疵点数不超过一个的产品为合格品，疵点数至少为两个的产品为不合格品.试求此产品为不合格品的概率. 解 设X 为此产品表面上的疵点数，则)5.0(~P X,即， ,2,1,0=k .于是有)1()0(1)2(1)2(=-=-=<-=≥X P X P X P X P. 4．几何分布若离散型随机变量X 的分布律为 1)(-==k pq k XP ， ,2,1=k ， （2.6）其中p q p -=<<1,10，则称随机变量X 服从参数为p 的几何分布，记为)(~p G X.设E 为一随机试验，A 为其事件，p A P =)(，q p A P =-=1)(，现作独立重复试验直到A 出现为止. 以X 表示事件A 出现的总次数，则随机变量X 可取值 ,,,2,1k .以k A 表示在第k 重试验中事件A 出现的事件，则 )()(121k k A A A A P k XP -===)()()()()(A P A P A P A P A A A A P = =1-k pq ， ,2,1=k . 5. 超几何分布若离散型随机变量X 的分布律为， （2.7） 其中N n N M ≤≤≤≤0,0，k 是满足不等式 ),min(),0max(M n k m N n ≤≤+-的所有整数，则称随机变量X 服从参数为N M n ,,的超几何分布，记为),,(~N M n H X.例 设一批木工板共N 张，其中有M 张次品（N M ≤≤0），M N -n （N n ≤≤0）张，以X表示所取得的次品数，试求随机变量X 的分布律.解 若M N n -=，则X 可取的最小数显然为0；若M N n ->，则X 可取的最小数为)(M N n --. 这样，X 可取的最小数是 ),0max(m N n +-.若M n ≤，则X 可取的最大数为n ；若M n >，则X 可取的最大数为)(M N n --. 这样，X 可取的最大数是 ),min(M n . 按古典概型计算得 ，其中，N n N M ≤≤≤≤0,0，k 是满足不等式),min(),0max(M n k m N n ≤≤+-的所有整数.2.4 连续型随机变量的概率密度函数定义 2.4 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数)(x f ，使得对任意实数x ，有⎰∞-=xdt t f x F )()(，（2.8）则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X的概率密度函数，简称为密度函数.在)(x F 的可导点处有 ()()F x f x '=.（2.9）密度函数的基本性质： （1）0)(≥x f ； （2）⎰∞+∞-=1)(dx x f .（3）若X 的密度函数为)(x f ，则 ，其中I 为某一区间.（4）若X 为连续型随机变量，则=<<)(b X a P =<≤)(b X a P =≤<)(b X a P )(b X a P ≤≤.注意及离散情形的区别.例 已知随机变量X 的密度函数为，求（1）常数c ；（2）)3/10(<<X p ；（3）分布函数)(x F . 解 （1）由⎰∞+∞-=dx x f )(1，得2=c ； （2）912)3/10(3/1023/10===<<⎰x xdx X p ； （3）根据x 的取值情况来确定积分⎰∞-=x dt t f x F )()(.当0<x 时，00)(==⎰∞-xdt x F ；当10<≤x 时，⎰∞-=00)(dt x F 202x dt t x=+⎰； 当1≥x 时，⎰∞-=00)(dt x F ⎰+102dt t 101=+⎰xdt . 从而得随机变量X 的密度函数为 ，_x)(x F 的图形如图2—3.例2.11 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x f ，试求随机变量X 的分布函数)(x F .解 当0<x 时，0)()(==⎰∞-xdt t f x F ； 当10<≤x 时，；当21<≤x 时，122)2()(2110-+-=-+=⎰⎰x x dt t dt t x F x；当2≥x 时，1)2()(2110=-+=⎰⎰dt t dt t x F . 综上所述，得X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=2,121,12210,20,0)(22x x x x x x x x F)(x F 的图形如图2—4.2.5 常见连续型随机变量分布1.均匀分布若连续型随机变量X 的密度函数（见图2—5（1））为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,1)(b x a ab x f ， （0） 则称X 服从区间],[b a 上的均匀分布，记为),(~b a U X ，其分布函数为（见图2—5（2））._ 图 2 — 4_x0,(),1,x a x aF x a x b b ax b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩.（2.11）例1 设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，现对X 进行4次独立观测，试求至少有3次观测值大于1/2的概率. 解 设Y 是3次独立观测中观测值大于1/2的次数，则),4(~p B Y ，其中.由)1,0(~U X ，知X的密度函数为.所以211)21(121==>=⎰dx X p p ，于是0413)1(44)1(34)4()3()3(p p p p Y P Y P Y P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+==≥ 165)21()21()21(443=+⨯=.2.指数分布若连续型随机变量X 的密度函数为（0>θ）， （2.12）1/(b-a)a图2—7(1)p(x)x图2—7(2)F(x)x则称X 服从参数为θ的指数分布，记为.例2 设某电子产品的使用寿命X （h ）服从参数为500=θ的指数分布，试求该电子产品的使用寿命超过1000h 的概率. 解 由，知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,5001)(500x x e x f x. 于是1353.05001)1000(210005005001000≈===>-∞+--∞+⎰e e dx e X p xx.3.正态分布正态分布是概率论及数理统计中最重要的一个分布，后面还要指出正态分布是一切分布的中心.1）正态分布的密度函数和分布函数 若连续型随机变量X 的密度函数为， +∞<<∞-x ， （2.13）则称X 服从参数为2,σμ的正态分布，记为),(~2σμN X.其中参数+∞<<∞-μ，0>σ.其密度函数)(x f 图形如图2—6（1）所示.)(x f 的图形是一条钟形线，其对称轴为μ=x .)(x f 在μ=x 处取最大值，曲线上对应于图2—8（1）x图2—8（2）σμ±=x 的点为拐点.正态分布),(2σμN 的分布函数为⎰∞---=xt dtex F 222)(21)(σμσπ.（2.14）它是一条光滑上升的S 形曲线，见图2—6（2）.图2—7给出了在μ和σ变化时，相应正态密度曲线的变化情况.(1)从图2—7（1）中可以看出：如果固定σ，改变μ的值，则图形沿x 轴平移，而不改变其形状.也就是说正态密度函数的位置由参数μ所确定，因此也称μ为位置参数.(2)从图2—7（2）中可以看出：如果固定μ，改变σ的值，则σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平.也就是说正态函数的尺度由参数σ所确定，因此也称σ为尺度参数.2）标准正态分布称0=μ，1=σ的正态分布)1,0(N 为标准正态分布. 记标准正态分布的密度函数为)(x ϕ，分布函数为)(x Φ，即，+∞<<∞-x ，图2—9（1）图2—9（2）)(x Φ，+∞<<∞-x .由于标准正态分布的分布函数不含任何未知参数，故其值)()(x X P x ≤=Φ完全可以算出，附表2对0≥x 给出了)(x Φ的值，利用这张表可以算得(1)-=-Φ1)(x )(x Φ. (2))(1)(x x XP Φ-=>. (3))()()(a b x Xa P Φ-Φ=<<.(4)1)(2)|(|-Φ=<c c X P . 例3 设)1,0(~N X，利用附表1，求下列事件的概率：（1）8944.0)25.1()25.1(=Φ=≤X p .（2）1056.08944.01)25.1(1)25.1(=-=Φ-=>X p .（3）1056.08944.01)25.1(1)25.1()25.1(=-=Φ-=-Φ=-<X p . （4）7888.018944.021)25.1(2)25.1(=-⨯=-Φ=≤X p . 3）一般正态分布的标准化为了计算及一般正态变量有关的事件的概率，需要将一般正态分布进行标准化，然后再查标准正态分布函数表. 若),(~2σμN X，则(1). （2.15） (2))()()(σμσμ-Φ--Φ=≤<a b b X a P .（2.16）例4 设)4,86(~N X ，试求 （1）)9282(<<X p ； （2）常数a ，使得95.0)(=<a XP .解 （1）)28682()28692()9282(-Φ--Φ=<<X p1)2()3()2()3(-Φ+Φ=-Φ-Φ= 9759.019772.09987.0=-+=. （2）由95.0)286()(=-Φ=<a a X p ，或，其中1-Φ为Φ的反函数.从附表1由里向外反查得 9495.0)64.1(=Φ，9505.0)65.1(=Φ，再利用线性内插法可得95.0)645.1(=Φ，即645.1)95.0(1=Φ-，故 ， 从中解得29.89=a .2.6 随机变量函数的分布设)(x g y =是定义在直线上的一个函数，X 是一个随机变量，那么)(X g Y=作为X 的一个函数，同样也是一个随机变量. 我们所要研究的问题是：已知X 的分布，如何求)(X g Y=的分布.2.6.1 离散型随机变量函数的分布设X 是一个离散型随机变量，X 的分布律为则)(X g Y =也是一个离散型随机变量，此时Y 的分布律可表示为Y)()()(21i x g x g x gPip p p 21当 ),(,),(),(21i x g x g x g 中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并将对应的概率相加即可.例2.15 已知X 的分布律为（1）求121+=X Y 的分布律；（2）求X X Y -=32的分布律. 解 （1）121+=X Y 的分布律为(2) X X Y -=32的分布律为再将相等的值合并得2.6.2 连续型随机变量函数的分布通过以下几则例子，介绍求连续型随机变量函数的分布的一种方法，称之为分布函数法.例2.16 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f X ， 试求随机变量12+=X Y 的密度函数)(y f Y .解 )12()()(y X P y Y P y F Y ≤+=≤=))1(21(21)()(-='=y p y F y f X Y Y.一般地，还可以利用分布函数法证明以下定理. 定理 设X 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f X .)(X g Y=是另一个随机变量.若)(x g y =严格单调，其反函数)(y h 有连续导函数，则)(X g Y=的密度函数为⎩⎨⎧<<'=其他,0,|)(|)]([)(b y a y h y h f y f X Y .（2.17）其中)}(),(min{+∞-∞=g g a ，)}(),(max{+∞-∞=g g b .证明 不妨设)(x g y =是严格单调递增函数，这时它的反函数)(y h 也是严格单调递增函数，且)(>'y h .记)(-∞=g a ，)(+∞=g b ，这就意味着)(x g y =仅在区间),(b a 取值，于是当a y <时，0)()(=≤=y Y P y F Y ； 当b y >时，1)()(=≤=y Y P y F Y ； 当b y a ≤≤时，))(()()(y X g P y Y P y F Y ≤=≤= =dt t f y h X P y h X ⎰∞-=≤)()())((. 由此得Y 的密度函数为⎩⎨⎧<<'=其他,0,)()]([)(by a y h y h f y f X Y .同理可证当)(x g y =是严格单调递减函数时，结论也成立.但此时应注意0)(<'y h ，所以要加绝对值符号，这时，)(+∞=g a ，)(-∞=g b .利用上述定理，可以证明以下一个很有用的结论. 定理2.3 若),(~2σμN X，则.证明 是严格递增函数，仍在),(∞+-∞上取值，其反函数为μσ+==y y h x )(，σ=')(y h ，由定理可得2221)()()]([)(y X X Y e y f y h y h f y f -=+='=πσμσ，所以.定理 设随机变量X 服从正态分布),(~2σμN X ，则当0≠a 时，有~b aX Y +=),(~22σμa b a N X +.证明 当)0(0<>a 时，b ax y +=是严格递增（减）函数，仍在),(∞+-∞上取值，其反函数为a b y y h x /)()(-==，a y h /1)(='，由定理可得|1|)(|)(|)]([)(aa b y f y h y h f y f X X Y -='= }2)]([exp{)|(|21222σμσπa b a y a +--=. 这是正态分布),(22σμa b a N +的密度函数，结论得证.这个定理表明：正态变量的线性函数仍为正态变量.特别地，取σ/1=a ，σμ/-=b ，则~b aX Y +=)1,0(N ，此即定理2.3.定理 若X 的分布函数)(x F X 为连续严格递增的连续函数，则)(X F YX =服从区间)1,0(上均匀分布)1,0(U .证明 由于分布函数)(x F X 仅在区间]1,0[上取值，所以 当0<y 时，0))(()()(=≤=≤=y X F P y Y P y F X Y . 当1≥y 时，1))(()()(=≤=≤=y X F P y Y P y F X Y . 当10<≤y 时，))(()()(y X F P y Y P y F X Y ≤=≤= y y F F y F X P X X X ==≤=--)(()((11.从而⎩⎨⎧<<='=其他,010,1)()(x y F y f Y Y ，所以~Y )1,0(U .前面的例子及定理，都要求)(x g 严格单调，这在有些场合不能满足.以下的两个例子是更一般的情形.例 设随机变量X 服从标准正态分布)1,0(N ，试求2X Y =的分布.解 由于02≥=X Y ，所以当0≤y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y . 当0>y 时，)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤= ， 从而21)()21)((21)()()(-=---='=yy yy yy y F y f Y Y ϕϕϕ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,00,21)(221y y e y y f y Y π.（2.6.2）具有上述密度函数的分布称为自由度为1的卡方分布，记为)1(~2χY .例 设随机变量X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,2)(2ππx x x f X ，求X Y sin =的密度函数)(y f Y .解 由于X 在区间),0(π内取值，所以X Y sin =的可能取值为区间)1,0(.在Y 的可能取值区间外，0)(=y F Y .当10<<y 时，)(sin )()(y X P y Y P y F Y ≤=≤=)arcsin ()arcsin 0(ππ≤≤-+≤≤=X y P y X Pdt t f y X )(arcsin 0⎰=dt t f y X )(arcsin ⎰-+ππ 从而 22222121)arcsin (21arcsin 2)()(y y y y y y F y f Y Y -=--+-='=ππππ.综合得 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,010,12)(2y yy f Y π.。
