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数列的知识点大题总结一、数列的概念和分类1. 数列的概念数列是指按一定规律排列的一组数。
在数列中，每个数都有其特定的位置，这些位置往往由自然数来表示，如1、2、3、4等。
2. 数列的分类根据数列的规律和性质的不同，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他特殊类型的数列。
（1）等差数列等差数列指的是数列中任意相邻两项的差都相等的数列，这个公差可以是正数、负数或零。
例如：1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
（2）等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都相等的数列，这个比值可以是正数、负数或零。
例如：2，6，18，54就是一个比值为3的等比数列。
（3）特殊类型数列特殊类型数列指的是除了等差数列和等比数列以外的数列，如递减数列、递增数列、周期数列等。
二、数列的常用记号与符号1. 数列的一般形式数列一般用字母a表示，同时用n表示这个数列中的第n项。
即数列的一般形式可以表示为{a1, a2, a3, …, an}。
2. 数列的通项公式数列的通项公式指的是用代数式表示数列中任意一项的公式，通常用an或者Un表示数列中第n项。
例如：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d；等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 数列的前n项和数列的前n项和指的是数列中前n个数项的和，通常用Sn表示。
其计算公式为Sn = a1 +a2 + a3 + … + an。
三、数列的性质和公式1. 等差数列的性质（1）公差的性质：在等差数列中，任意两项的公差相等。
（2）通项公式：等差数列的通项公式有通用的形式，即an = a1 + (n-1)d；（3）前n项和的公式：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)。
2. 等比数列的性质（1）公比的性质：在等比数列中，任意两项的比值相等。
（2）通项公式：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)；（3）前n项和的公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
数列知识点归纳数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定规律排列的数所构成的。
在数学和其他科学中，数列常常被用来描述和分析各种变化的现象和问题。
本文将对数列的基本概念、性质以及常见的数列类型进行归纳总结。
一、基本概念1. 数列的定义：数列是由一系列具有固定顺序的数所构成的集合。
通常用字母表示数列，如a1,a2,a3,…,an，其中a1表示数列的第一项，an表示数列的第n项。
2. 数列的项数和项的通项公式：项数指数列中的项的个数，通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
3. 数列的和与差：数列的和是指将数列中的所有项相加所得到的结果，数列的差是指相邻两项之间的差值。
4. 数列的递增和递减：如果数列中的每一项都比它前面的项大，则称这个数列为递增数列；如果数列中的每一项都比它前面的项小，则称这个数列为递减数列。
二、性质与定理1. 数列的有界性：一个数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果一个数列的所有项都在某一范围内，则称它是有界数列；如果一个数列存在项无限大或无穷小的情况，则称它是无界数列。
2. 数列的极限：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列中的数趋于的值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无穷大或无穷小。
3. 数列的收敛与发散：如果一个数列存在极限，并且极限是有限的，则称这个数列是收敛数列；如果一个数列不存在极限，或者极限是无限大或无穷小，则称这个数列是发散数列。
4. 数列的递推公式和通项公式：递推公式是指通过前一项或前几项计算出后一项的公式；通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
三、常见数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d 是公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r 是公比。
数列知识点归纳总结学生在学习数学的过程中，数列是一个非常基础且重要的概念。
数列可以说贯穿于中学及高中数学的各个知识点，理解并掌握好数列的相关知识对学生来说十分必要。
本文将对数列的相关知识点进行归纳总结，帮助学生更好地理解和应用数列知识。
一、数列的基本概念数列是按照一定顺序排列的一组数值，数值之间的顺序关系可以是递增、递减、等差或等比等。
数列常用字母表示，比如a1, a2, a3等。
其中第n项表示为an。
二、等差数列1. 概念: 若一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，则称这个数列为等差数列，这个差值称为公差，通常用d表示。
2. 通项公式: 若等差数列的第一项为a1，公差为d，则该等差数列的第n项(an)可用以下公式表示：an = a1 + (n - 1)d。
3. 前n项和公式: 若等差数列的第一项为a1，公差为d，前n项和Sn可用以下公式表示：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等比数列1. 概念: 若一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等，则称这个数列为等比数列，这个比值称为公比，通常用q表示。
2. 通项公式: 若等比数列的第一项为a1，公比为q，则该等比数列的第n项(an)可用以下公式表示：an = a1 * q^(n-1)。
3. 前n项和公式: 若等比数列的第一项为a1，公比为q，前n项和Sn可用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q) (q ≠ 1)。
四、递推公式与通项公式的推导方法1. 递推公式的推导: 递推公式是指通过前一项的值推导出下一项的公式。
对于等差数列，递推公式为an = an-1 + d。
对于等比数列，递推公式为an = an-1 * q。
2. 通项公式的推导: 通项公式是指通过项数n或前n项和Sn推导出每一项的公式。
具体的推导方法会在相关知识点中详细介绍。
五、常见数列及其性质1. 等差数列：首项为a1，公差为d，有通项公式和前n项和公式，常见性质有：对称性、倒序性、相邻两项之和相等等。
小学生数列与函数的知识点梳理数列和函数是小学数学中的重要知识点，对于小学生来说，掌握数列和函数的概念以及相关的知识点是非常重要的。
本文将从数列和函数的基本概念、数列的分类、数列的通项、函数的概念和函数的图像等方面，对小学生数列和函数的知识点进行梳理。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定顺序排列的数字组成，这些数字可以是自然数、整数、分数或小数等。
数列中的每个数字被称为数列的项，用a₁，a₂，a₃，…表示。
数列通常可以用一个通项公式来表示，以便求出数列中任意一项的值。
二、数列的分类数列可以按不同的规律分类，常见的数列分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列。
1. 等差数列：等差数列是一个数列中，任意两项之间的差值都相等的数列。
公差为常数，用d表示。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
2. 等比数列：等比数列是一个数列中，任意两项之间的比值都相等的数列。
公比为常数，用q表示。
等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个数列中，后一项等于前两项之和的数列。
若第一项与第二项分别为1和1（或者0和1），则斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2。
三、数列的通项公式数列的通项公式是通过分析数列中规律找出的，通常用于计算数列中任意一项的值。
以等差数列为例，它的通项公式an = a₁ + (n - 1)d，其中an表示第n项，a₁表示第一项，d表示公差，n表示项数。
通过这个公式，我们可以根据已知的数列的首项和公差，计算出数列中任意一项的值。
四、函数的概念函数是数学中一个非常重要的概念，函数可以简单理解为一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。
函数通常用f(x)或者y表示，其中x称为自变量，y称为因变量。
函数的表达式可以用图像、表格或者公式来表示。
五、函数的图像函数的图像是用来描述函数关系的一种方式。
数列的知识点笔记总结一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合，通常用$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$表示，其中$a_n$称为数列的第n个项，n称为项数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
1.2 数列的表示方式数列可以通过公式、图形、语言描述和递归式等方式表示。
常见的数列表示方式有：1.2.1 显式公式表示，如$a_n = f(n)$1.2.2 递归公式表示，如$a_1 = c, a_{n+1} = f(a_n)$1.2.3 图形表示，如数轴上的点或直角坐标系中的折线图1.2.4 语言描述，如“从1开始，每项是前一项的两倍”1.2.5 总和/平均值表示，如$\sum_{n=1}^{k} a_n$或$\frac{1}{k}\sum_{n=1}^{k} a_n$1.3 数列的性质数列有许多重要的性质，包括有界性、单调性、等差性和等比性等。
这些性质对于研究和应用数列都具有重要意义。
1.3.1 有界性如果数列中的项都属于某个有限的区间，那么这个数列就是有界数列。
有界数列可以是上有界、下有界或同时具有上下有界。
1.3.2 单调性如果在数列中$n \geq m$时总有$a_n \geq a_m$，则称该数列是单调增加的；如果在数列中$n \geq m$时总有$a_n \leq a_m$，则称该数列是单调减少的。
1.3.3 等差性如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列可以用公差d表示，即$a_n = a_1 + (n - 1)d$。
1.3.4 等比性如果一个数列中任意两项之比都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列可以用公比r表示，即$a_n = a_1 r^{n-1}$。
1.3.5 其他性质数列还具有许多其他重要的性质，如周期性、周期函数的性质、递推式的性质等。
二、数列的运算2.1 数列的加法与减法设有两个数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，则这两个数列的和、差分别为$\{a_n+b_n\}$和$\{a_n-b_n\}$。
数列知识点数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定顺序排列的数组成。
数列的知识点包括数列的定义、分类、性质以及数列的求和等。
以下是数列知识点的总结：1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，通常用小写字母表示，如数列{a_n}。
2. 数列的分类：- 有穷数列：项数有限的数列。
- 无穷数列：项数无限的数列。
- 等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
- 等比数列：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。
3. 数列的性质：- 单调性：数列的项按照大小顺序单调递增或递减。
- 有界性：数列的项值在一定的范围内变动，即存在上下界。
- 收敛性：数列的项值随着项数的增加趋向于一个固定值。
4. 数列的通项公式：数列的通项公式是表示数列中第n项的公式，如等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。
5. 数列的求和：- 等差数列求和公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)，其中S_n 是前n项和。
- 等比数列求和公式：S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r 是公比，且|r| < 1。
6. 数列的极限：数列的极限是指数列的项值随着项数的增加趋向于某个值的性质，记作lim (n→∞) a_n = L。
7. 数列的递推关系：数列的递推关系是指通过数列中前一项或几项来确定下一项的公式，如斐波那契数列的递推关系为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)。
8. 数列的应用：数列在数学分析、概率论、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
9. 数列的收敛判别法：- 比较判别法：通过比较数列与已知收敛性数列的项来确定数列的收敛性。
- 比值判别法：通过计算数列项的比值来判断数列的收敛性。
- 根值判别法：通过计算数列项的n次方根来判断数列的收敛性。
10. 数列的级数：数列的级数是指将数列的项相加形成的无穷和，如级数∑a_n。
数列知识点梳理总结一、数列的定义数列是由一系列按照特定规律排列的数所构成的有序集合。
数列中的每个数被称为该数列的项，数列的项数可以是有限的，也可以是无限的。
数列通常用以下形式表示：a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …其中a₁, a₂, a₃, …, aₙ 分别表示数列的第1、2、3、…、n 个项。
二、数列的分类1. 有限数列有限数列是指数列中的项数是有限的，例如 1, 2, 3, 4, 5 就是一个有限数列。
2. 无限数列无限数列是指数列中的项数是无限的，例如 1, 2, 3, 4, ... 就是一个无限数列。
3. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差值是相等的，这个相等的差值被称为公差，通常用d表示，例如 1, 3, 5, 7, 9 就是一个等差数列，它的公差为2。
4. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值是相等的，这个相等的比值被称为公比，通常用q表示，例如2, 4, 8, 16, … 就是一个等比数列，它的公比为2。
5. 其他特殊数列还有一些特殊的数列，例如斐波那契数列、调和数列等，它们都有着自己独特的规律。
三、数列的性质1. 数列的通项公式数列的通项公式是指用一个公式来表示数列中任意一项的一般形式，在不知道数列的具体项数时，可以借助通项公式来计算任意一项的值。
对于等差数列，通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d对于等比数列，通项公式为：aₙ = a₁q^(n-1)2. 数列的前 n 项和公式数列的前 n 项和是指数列中从第1项到第n 项的和，在求解数列的和时，可以借助前 n 项和公式来快速求解。
对于等差数列的前 n 项和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2对于等比数列的前 n 项和公式为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)3. 等差数列的性质等差数列有着许多独特的性质，包括：- 等差数列的任意一项等于该数列的首项与该项的位置减一的乘积加上公差。
数列复习知识点总结 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020数列一、知识梳理1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则n n S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{bn}的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b =（ ）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
数列的概念重要知识点讲解一、知识梳理：1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2、递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
3、数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n 注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、巩固练习：1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ A ）（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）232．在数列}{n a 中，11++=n n a n ，且9=n S ，则=n 99 ．3． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴=+++n a a a 21212121n n -=--. 4.已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为______________（答：125）； 5.数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为_________（答：n a <1+n a ）；6.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围___________（答：3λ>-）；7.给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）（答：A ）A B C D8．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d 由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d >∴2d =∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+。
数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。
2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。
数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。
（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。
（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。
（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。
（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。
（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。
2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。
（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。
3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim(n→∞) aₙ=L。
（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。
4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。
（2）数列的无穷和：如果lim(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。
数列知识梳理⏹数列的概念
数列的函数特性：数列是一种特殊的函数数列的相关概念
数列的分类
按项数分类：有穷数列、无穷数列
按项与项间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列
按其他标准分类：有界数列、摆动数列
⏹等差数列
等差数列的有关概念
等差数列与一次函数的关系
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的常用性质
等差数列{an }的前n和Sn的性质
等比数列
等比数列的有关概念
等比数列中的函数关系
等比数列的前n项和
等比数列的性质
等比数列的常用性质
等比数列{an }的前n和Sn的性质
数列求和
公式法
分组(并项)法求和
错位相减法求和
裂项相消法求和
倒序相加法求和
数列的综合应用
数列与函数的综合
数列是一种特殊的函数，它的图象是一些孤立的点，此类问题大部分要归于对函数性质的研究，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想求解
数列与不等式
1.判断数列中的不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数
列对应的函数的单调性比较大小
2.数列中的恒成立问题，可转化为函数求最值问题解决.
3.数列中的不等式证明问题，可构造函数进行证明，或者采用放缩法进行
证明
数列在实际应用中的常见模型：等差模型、等比模型、递推数列模型。
数列、不等式一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
（3）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（4）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥题型.利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．1.已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则2.设数列{}n a 的前n 项和11,21n n a S a ==-，则二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA += 即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2）题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （5）在等差数列{}n a 中，{}n n a b λμ±仍然为等差数列。
数列有关知识点总结一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每个数称为这个数列的项，数列中的每一项与其前一项之间的关系称为数列的通项公式。
数列通常用{}或者()表示，用逗号分隔其中的各个项。
数列中的项有时需要按照一定的规律排列，这种规律可以是数列的相邻项之间的关系，也可以是数列中的某一特定项与其位置之间的关系。
数列中的项有时根据其位置的不同，有着不同的名称。
例如，第一个项称为首项，最后一个项称为末项，任意两个相邻的项之间的差称为公差。
数列的性质和规律可以用各种方式进行刻画和描述，例如，常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
“等差数列”是指数列中任意相邻两项之差均为一个常数的数列。
“等比数列”是指数列中任意相邻两项之比均为一个常数的数列。
“斐波那契数列”是指数列中的每一项都是其前两项之和的数列。
这些数列都有着各自独特的特点和应用。
二、数列的性质和规律数列不仅有着丰富多彩的形式，同时也具有一些重要的性质和规律。
在数列的研究中，我们经常需要深入了解和运用这些性质和规律。
1. 首项和公差在等差数列中，首项和公差是两个非常重要的概念。
首项是指等差数列中的第一个项，通常用a1表示；公差是指等差数列中的任意两项之间的差，通常用d表示。
首项和公差决定了整个等差数列的性质和规律，因此在分析等差数列时，首先要了解其首项和公差的具体数值。
2. 通项公式通项公式是指数列中任意一项与其位置之间的关系。
在等差数列中，通项公式通常为an=a1+(n-1)d；在等比数列中，通项公式通常为an=a1*r^(n-1)。
通项公式可以帮助我们更好地理解数列中各项之间的关系，从而更好地分析和运用数列的性质和规律。
3. 前n项和在数列的研究中，我们经常需要计算数列的前n项和。
数列的前n项和通常用Sn表示，它是指数列中前n项的和。
通过计算数列的前n项和，可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律，从而更好地解决和运用相关的问题。
数列知识点梳理一、数列的相关概念 (一)数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列可以看做定义域为*N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
(二)数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
(三)数列的分类1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小（作差或作商） (四)数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 二、等差数列的相关知识点1．定义：)2()()()(11≥∈=-∈=-•-•+n N n d a a N n d a a n n n n 且常数或常数。
当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。
2．通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1d =11--n a a n ，d =mn a a mn -- 是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+-Bn An +=2 {nS n}是等差数列。
4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 6．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q 特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += (2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.(4)若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈均是等差数列，公差分别为：(5)若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则 2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分 别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nn b a ___________，=77b a __________ （6）n S 的最值：法1、可求二次函数2n S an bn =+的最值；法2、求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.例：若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和 0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量d a ,1;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a +-,,, 四数：d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇，项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n nS S 偶奇.例、项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.三、等比数列的相关知识点（类比等差数列） 1、定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠+∈≠N n a n ,0,）或 时，常数数列当时，摆动数列当时，递减数列且；且当时，递增数列且；且当1q 0q 10100100101111=<><<<><<<>>q a q a q a q a2、通项公式：11-=n n q a a =（0,1≠q a ）m n m n q a a -==3、前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意q 的讨论）A Aq n-=（q ≠1）4、等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______5、等比数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:221++•=n n n a a a(3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S nn -=6、性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··特别地，当2m n p +=时，则有2.pn m a a a =例：在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=（答：10）。
数列知识点归纳总结小学一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用a1，a2，a3，…表示。
2. 数列的通项公式：对于一个数列，如果能找到一个式子，使得第n项可以由n表示，并且能够表示出数列的通项公式，那么这个式子就叫做数列的通项公式。
二、常见的数列类型1. 等差数列：如果一个数列中，任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：如果一个数列中，任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指前两项为1，后面的每一项都等于前两项之和的数列。
其通项公式为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
三、数列的性质1. 数列的有界性：如果一个数列的项数有限，那么这个数列就是有界的。
反之，如果一个数列的项数是无穷的，那么这个数列就是无界的。
2. 数列的单调性：如果一个数列中的每一项都比它前面的项都大（或都小），那么这个数列就是单调递增（或单调递减）的。
3. 数列的数和：数列的数和是指数列中所有项的和。
求等差数列、等比数列的数和有对应公式。
四、数列的应用1. 数列在几何图形中的应用：数列可以用来表示几何图形中的一些特定的数值，例如等差数列可以表示等差数列的公差、等比数列可以表示等比数列的公比。
2. 数列在金融中的应用：数列可以用来表示一些金融中的模型，例如投资收益、贷款利息等。
3. 数列在自然界中的应用：斐波那契数列在自然界中有许多应用，例如植物的叶子排列方式、鸟类的繁殖规律等。
总结起来，数列是数学中非常基础和重要的一部分，它在日常生活、自然界和其他学科中都有着广泛的应用。
学生在学习数列的过程中，除了要熟练掌握其基本概念和性质，还应该能够应用数列来解决实际问题，培养数学建模的能力。
数列知识点归纳总结复习一、数列的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数的集合，通常用表示为{an}，其中an表示数列的第n个项。
例如，1, 2, 3, 4, 5,… 就是一个简单的递增数列。
2. 数列的常见表示方式数列可以用公式、递推关系或者图形等方式来表示。
比如，斐波那契数列可以用递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)来表示，而调和数列可以用公式表示为{1, 1/2, 1/3, 1/4, …}。
3. 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、等差-等比数列、递归数列、调和数列等多种类型。
在实际问题中，我们需要根据数列的特点来选择合适的方法进行求解。
二、数列的常用公式与性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质包括递推公式、前n项和公式、通项求和公式等，在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列同样具有递推公式、前n项和公式、通项求和公式等性质，其在金融、生物学、物理学等领域都有着重要的应用。
3. 通项公式对于一些特定的数列，我们可以通过观察数列的规律得到其通项公式，这样就能方便地计算数列中任意一项的值。
通项公式的求解是数列问题中的常见技巧，需要灵活运用代数方法和数学归纳法进行推导。
4. 前n项和对于一个数列{an}，其前n项和S(n)可以用数学方法得到一个通用的公式。
对于等差数列和等比数列，其前n项和公式分别为Sn = n/2(a1+an) 和 Sn = (a1(q^n-1))/(q-1)，这些公式在实际问题中有着重要的应用。
5. 数列的极限当n趋向无穷大时，数列{an}的极限值称为数列的极限。
数列的极限可以用来判断数列的趋势和发散性，以及在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
数列一、知识梳理1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.；6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.*等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项;如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列{1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠qq ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.；3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质 ~⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）[1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；《2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{bn}的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） 4、等差数列{}n a ,{}nb 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b =（ ）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
专题01 数 列（知识梳理）一、数列的概念及表示 （一）数列的概念1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫这个数列的项.数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，…n a ，…，或简记为}{n a .其中1a 是数列的第1项(又称首项)，n a 是数列的第n 项(又称通项). 例1-1．判断下列各组元素能否构成数列： (1)a ，3-，1-，1，b ，5，7，9； (2)2020年各省参加高考的考生人数.2、通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集.(1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.(2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列. (3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集+N (或它的有限子集}321{n ，，，，⋅⋅⋅)的函数. 4、数列的分类：(1)根据数列项数的多少分：①有穷数列：项数有限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6.是有穷数列. ②无穷数列：项数无限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列. (2)根据数列项的大小分：①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. ②递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. ③常数数列：各项相等的数列.④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. (3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：①有界数列；②无界数列. （二）数列的表示方法 1、列表法(又称列举法).2、图像法：图像过一四象限或x 轴正半轴，横坐标为正整数.是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性.3、解析法：用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示数列.例2-1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ).B 、21)1(+-=n n aC 、23)1(1+-=+n n aD 、|2sin|2π-=n a n （三）根据数列的前n 项写出这个数列的通项公式1、编号：把序号1、2、3、…、n 标在相应项上，便于突出第n 项n a 与项数n 的关系，即n a 如何用n 表示. 2、变形：(1)出现正负间隔用n )1(-或1)1(+-n 进行调整.(2)出现分数首先考虑分子、分母是否存在规律，然后考虑通分成同分母分数. (3)找不到规律可以考虑1±后再观察.(4)当一个数列间隔几项才具有相同规律(特别是奇数项与偶数项)时，不妨用分段函数来表示其通项公式.3、常见数列：如等差、等比数列及常见的特殊数列的通项公式：例3-1(1)3，5，9，17，33，…… (2)32，154，356，638，9910，……(3)0，1，0，1，0，1，……(5)1，0，31-，0，51，0，71-，0，……(6)1，3，3，5，5，7，7，9，9，……（四）根据图像写出这个数列的通项公式1、如果给出图像，求通项公式，一般不要把图像转换为数字，而是要通过图像的变化规律来推出数列的通项公式.例4-1．已知，则第n 个图中有 个点.例4-2．已知，则第n 个图中有 个点.例4-3．已知，则第n 个图中有 个点.2、如果给出图像变化的规律，求某一点的变化规律，可寻找一定的规律或周期，从而简化试题，然后推出所求的某一点.例4-4．如图，n 个连续自然数按规律排成下表，则从2018到2020的箭头方向依次为( ).A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓（五）根据周期性求数列的某一项1、周期数列的定义及主要性质：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T (+∈N T )，恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是最小正周期为T 的周期数列.2、周期数列的表示方式：周期数列的通项公式通常都可以用分段的方式表示出来，一般只需要求出它的一个最小正周期即可.例5-1．已知数列}{n a 满足21=a ，nn a a 111-=+，求n a .3、对于求数字比较大的某一项或分段表示的数列一般考虑周期性.例5-2．已知数列}{n a 中，31=a ，52=a ，且21---=n n n a a a (2>n )，则2021a 的值为( ).A 、5-B 、2-C 、2D 、3例5-3．在数列}{n a 中，01=a ，nn n a a a 3131-+=+，则=2021a ( ).A 、3-B 、0C 、3D 、32（六）数列单调性的判定及其应用 1、根据定义判定：2(1)b kn a n +=为一次函数形式：①0>k 时为递增数列；②0<k 时为递减数列. (2)c tn kn a n ++=2为二次函数形式：只有对称轴232<-k t 才时有增减性：①0>k 时为递增数列；②0<k 时为递减数列. (3)nka n =为反比例函数形式：①0>k 时为递减数列；②0<k 时为递增数列. (4)n n k a =为指数函数形式：只有0>k 且1≠时才有增减性：①1>k 时为递增数列；②10<<k 时为递减数列. 例6-1．数列}{n a 满足222+-=pn n a n ，+∈N n ，且数列}{n a 是递增数列，则实数p 的取值范围是 .变式6-1．数列}{n a 满足222+-=pn n a n ，+∈N n ，且数列}{n a 满足从且只从第三项开始为递增数列，则实数p 的取值范围是 .3、分段数列单调性的判定：分段数列的单调性可根据各段内单调性进行判断，但要注意如果整体具有单调性则需注意临界点应符合要求.例6-2．设函数⎩⎨⎧>-≤--=767)3)(3()(x mx x x m x f ，，，数列}{n a 满足)(n f a n =，+∈N n ，且数列}{n a 是递增数列，则实数m的取值范围是 .4、数列中的项的最值的求法：根据数列与函数之间的对应关系，构造相应函数)(n f a n =，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值.5、前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0≥m a ，且01<+m a ，则m S 最大；若0≤m a ，且01>+m a ，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.例6-3．已知数列}{n a 的通项公式为20212+-=n n a n . (1)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的定义1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示). (1)公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；(2)对于数列}{n a ，若d a a n n =--1(与n 无关的数或字母)，2≥n ，+∈N n ，则此数列是等差数列，d 为公差. 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=. 有几种方法可以计算公差d ：①1--=n n a a d ；②11--=n a a d n ；③nm a a d nm --=.3、等差中项：数列a 、A 、b 成等差数列的充要条件是2ba A +=，其中A 叫做a 、b 的等差中项. 即有2ba A +=⇔a 、A 、b 成等差数列恒成立. 4、若数列}{n a 的通项公式为q pn a n +=(p 、q 为常数)，则这个数列一定是等差数列.有： (1)若0=p ，则}{n a 是公差为0的等差数列，即为常数列q 、q 、q 、….(2)若0≠p ，则}{n a 是关于n 的一次式，从图像上看，表示数列的各点均在一次函数q px y +=的图像上，一次项的系数是公差，直线在y 轴上的截距为q .(3)数列}{n a 为等差数列的充要条件是其通项q pn a n +=(p 、q 为常数)，又称第3通项公式. (4)判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个. 5、证明}{n a 为等差数列的方法：(1)定义法：d a a n n =--1(d 为常数，2≥n )⇔}{n a 为等差数列；用定义证明等差数列时，常采用的两个式子d a a n n =-+1和d a a n n =--1，但它们的意义不同，后者必须加上“2≥n ”，否则1=n 时，0a 无定义.(2)中项法：212+++=n n n a a a ⇔}{n a 为等差数列； (3)通项法：n a 为n 的一次函数⇔}{n a 为等差数列； (4)前n 项和法：Bn An S n +=2或2)(1n n a a n S +=. 例1-1．在数列}{n a 中，31-=a ，3221++=-n n n a a (2≥n ，且+∈N n ). (1)求2a 、3a 的值； (2)设n n n a b 23+=(+∈N n )，证明：数列}{n b 是等差数列； (3)求n a .（二）等差数列的性质1、在等差数列中，若k p n m +=+，则k p n m a a a a +=+(+∈N k p n m 、、、).注意：但通常由k p n m a a a a +=+推不出k p n m +=+，因为有常数列的存在. 例2-1．设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，若84=S ，208=S ，则=+++14131211a a a a ( ).A 、15B 、16C 、17D 、182、在等差数列}{n a 中，k a 、k a 2、k a3、k a4、…仍为等差数列，公差为kd . 3、若}{n a 为等差数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、…仍为等差数列，公差为d k 2.kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 例2-2．在等差数列}{n a 中，已知3163=S S ，则=126S S( ). A 、51B 、103C 、21D 、158 4、等差数列的增减性：0>d 时为递增数列，且当01<a 时前n 项和n S 有最小值.0<d 时为递减数列，且当01>a 时前n 项和n S 有最大值.5、等差数列}{n a 的首项是1a ，公差为d .若其前n 项之和可以写成Bn An S n +=2，则2d A =，21da B -=，当0≠d 时它表示二次函数，数列}{n a 的前n 项和Bn An S n +=2是}{n a 成等差数列的充要条件. （三）等差数列前n 项和1、等差数列的前n 项和公式1：2)(2)()1(1na a n a a S m n m n n --+=+=. 例3-1．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列前11项和=11S ( ).A 、58B 、88C 、1432、等差数列的前n 项和公式2：d n n n a S n 2)1(1-+=. 3、奇数项及偶数项等差数列的前n 项和 (1)若项数为奇数时：2ndS S =-奇偶；若项数为12-n ，则中偶奇a a S S n ==-，1-=n n S S 偶奇；(2)若项数为偶数时：nS S S n=-偶奇(即这个数列的中间项的值)；若项数为n 2，则nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇.例3-2．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 .4、已知n S ，求n 或者d .例3-3．将含有n 项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 值为( ).A 、20B 、21C 、22D 、235、公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则数列}{n S n 必是首项为1a ，公差为2d的等差数列. 例3-4．数列}{n a 的通项公式是12+=n a n ，前n 项和为n S ，则数列}{nS n的前10项和为 .例3-5．设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{nS n的前n 项和，求n T .6、等差数列中，mnd S S S n m m n ++=+.例3-6．已知等差数列}{n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 .（四）对等差数列前项和的最值问题有三种方法：1、利用n a ：①当01>a ，0<d ，前n 项和有最大值，可由0≥n a 且01≤+n a ，求得n 的值；②当01<a ，0>d ，前n 项和有最小值，可由0≤n a 且01≥+n a ，求得n 的值.注意：求n S 的最值时，当0=n a 时n 取两个值.例4-1．在等差数列}{n a 中，01>a ，129S S =，则前n 项的和最大时n 的值为 .2、利用n S ：由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 例4-2．已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =. (1)求n S ；(2)这个数列前多少项的和最大？求出这个最大值.3、利用函数的单调性例4-3．已知数列}{n a 的通项公式为9998--=n n a n (+∈N n )，则其前30项中最大项的项数与最小项的项数之和为 .（五）与前n 项和有关的三类问题已知和未知是常用方法.1、知三求二：已知1a 、d 、n 、n a 、n S 中任意三个，可求得其余两个，一般用方程解. 例5-1．已知}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若211=a ，32a S =，则=2a . 2、A d Bn An n da n d S n 2)2(2212=⇒+=-+=. 3、利用二次函数的图像确定n S 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值.应取n 为正整数时的数值.三、等比数列及其前n 项和 （一）等比数列的定义1、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0≠q )，即：q a a n n=-1(2≥n ，+∈N n ，0≠q ).(1)从第二项起与前一项之比为常数q ：}{n a 成等比数列⇔q a a nn =+1(+∈N n ，0≠q ). (2)隐含：任一项0≠n a 且0≠q ；“0≠n a ”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件. (3)1=q 时，}{n a 为常数列.(4)由n n qa a =+1，0≠q 并不能立即断言}{n a 为等比数列，还要验证01≠a . 2、等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a (01≠⋅q a )或m n m n q a a -⋅=(m n >)； 3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.4、等比数列与指数函数的关系：等比数列}{n a 的通项公式11-⋅=n n q a a (01≠⋅q a )，它的图像是分布在曲线xq qa y 1=(0>q )上的一些孤立的点. 当01>a ，1>q 时，等比数列}{n a 是递增数列； 当01<a ，10<<q 时，等比数列}{n a 是递增数列； 当01>a ，10<<q 时，等比数列}{n a 是递减数列； 当01<a ，1>q 时，等比数列}{n a 是递减数列； 当0<q 时，等比数列}{n a 是摆动数列； 当1=q 时，等比数列}{n a 是常数列.5、等比数列的判定与证明方法 (1)定义法：若q a a n n =+1(+∈N n ，0≠q )或q a an n =-1(2≥n ，+∈N n ，0≠q )，则}{n a 是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成n n q c a ⋅=(0≠c ，0≠q ，+∈N n )，则}{n a 是等比数列.例1-1．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S a n n =+.(1)设1-=n n a b ，求证：}{n b 是等比数列；(2)求数列}{n a 的通项公式.（二）等比数列的性质1、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即ab G ±=(a 、b 同号).如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=⇒=⇒=2； 反之，若ab G =2，则Gb a G =，即a 、G 、b 成等比数列， ∴a 、G 、b 成等比数列⇔ab G =2b(0≠ab ).2、等比中项的性质：①112+-⋅=n n na a a (2≥n )；k n k n n a a a +-⋅=2(0>>k n )； ②若k p n m +=+，则k p n m a a a a ⋅=⋅.注意：但通常由k p n m a a a a ⋅=⋅推不出k p n m +=+，因为有非零常数列的存在.3、数列}{n a 首项是1a ，公比为1q ，数列}{n b 首项为1b ，公比为2q ，则数列}{n n b a ⋅是首项为11b a ⋅，公比为21q q ⋅的等比数列，同理数列}{n n b a 是首项为11b a ，公比为21q q 的等比数列. 4、在公比为q 的等比数列}{n a 中，数列m a 、k m a +、k m a 2+、k m a 3+…仍是等比数列，公比为k q .例2-1．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2=n S ，143=n S ，则=n S 4( ).A 、16B 、26C 、30D 、80（三）等比数列的前n 项和n S 公式：1、当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1①或qq a a S n n --=11②；当1=q 时，1na S n =. 当已知1a ，q ，n 时用公式①；当已知1a ，q ，n a 时用公式②.2、等比数列的前n 项和n S 性质：(1)前n 项和公式的函数特性：①当1=q 时1na S n =是n 的正比例函数，②当1≠q 时，n n n q q a q a q q a S ⋅---=--=111)1(111，记qa A -=11，即A q A S n n +⋅-=，是一个指数式与一个常数的和； (2)数列k S 、k k S S -2、k k S S 23-、…仍是等比数列(此时1-≠q ).k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ (3)在等比数列中，若项数为n 2(+∈N n )，偶S 与奇S 分别为偶数项和与奇数项和，则q S S =奇偶； (4)m n n m n S q S S ⋅+=+. 3、等比数列的前n 项和n S 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论，防止因忽略1=q 这一特殊情形导致解题失误.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量1a 、n 、q 、n a 、n S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.例3-1．若数列}{n a 的前n 项和3132+=n n a S ，则}{n a 的通项公式是=n a .例2-2．已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，21=a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)求数列}3{n a 的前n 项和.例2-3．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，其中0≠n a ，1a 为常数，且1a -、n S 、1+n a 成等差数列.(1)当21=a 时，求}{n a 的通项公式；(2)设n n S b -=1，问：是否存在1a ，使数列}{n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值；若不存在，请说明理由.。
