江苏省南通市2021届高三第一学期期中考试考前热身练 数学试题

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（）A．B．1C．2D．32．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（）A．3B．4C．6D．73．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（）A．30B．60C．120D．2405．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）A．x2+y2+4x+1＝0B．x2+y2+4x+3＝0C．x2+y2﹣4x﹣1＝0D．x2+y2﹣4x+1＝06．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（）A．B．4πC．12πD．6π7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（）A．B．C．D．8．函数y＝tan2x﹣2tan x的最大值为（）A．B．3C．0D．﹣3二、多项选择题（共4小题）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（）A．直线A1E∥平面ACD1B．直线B1D⊥平面ACD1C．平面A1EF∥平面ACD1D．平面A1B1CD⊥平面ACD110．下列关于函数的描述正确的是（）A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X ＝n）＝P n，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（）A．P4＝2P2B．C．E（X）＝4D．12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A．B．|k1﹣k2|＝2C．AB过定点（2，0）D．AF•BF的最小值为8三、填空题（共4小题）13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝．14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为；实数λ满足，则λ取值范围为．16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为．四、解答题（共6小题，总分70分）17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．（1）求BC边上的高；（2）求sin（A﹣C）．18．数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求通项a n；（2）若等差数列{b n}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC 的中点，．（1）证明：EF∥平面ABB1A1；（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL ）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572 3700460040004300440034003200380044003500肺活量胸围7083789181749176104903600450037004100470037004600400047003700肺活量（1）求a的值；（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．（参考公式及数据：，，，．）附：相关性检验的临界值表n﹣2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x．（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（）A．B．1C．2D．3【分析】根据模的定义即可求出．解：a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则1+a2＝4，解得a＝，故选：A．2．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（）A．3B．4C．6D．7【分析】根据题意可看出N一定含元素0，可能含元素1，2，从而可得出集合N的个数．解：∵M＝{1，2}，M∪N＝{0，1，2}，∴N一定含元素0，可能含元素1，2，∴集合N的个数为：22＝4．故选：B．3．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出，然后即可得出a，b，c的大小顺序．解：∵，log25＞log24＝2，1＝log33＜log37＜log39＝2，∴b＞c＞a．故选：D．4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（）A．30B．60C．120D．240【分析】根据题意，先计算“5人排成一排”的排法数目，又由其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，分析可得答案．解：根据题意，将5人排成一排，有A55＝120种排法，其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，则甲排在乙左边的排法有×120＝60种，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）A．x2+y2+4x+1＝0B．x2+y2+4x+3＝0C．x2+y2﹣4x﹣1＝0D．x2+y2﹣4x+1＝0【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得圆的半径，即有圆的标准方程，化为一般式方程可得结论．解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，则F（2，0），双曲线的渐近线方程为x±y＝0，由题意可得F到渐近线的距离为d＝＝，即有圆F的半径为，圆心为（2，0），则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝3，化为x2+y2﹣4x+1＝0，故选：D．6．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（）A．B．4πC．12πD．6π【分析】首先判断SA，SB，SC两两垂直，再将三棱锥补为正方体，运用正方体的对角线即为其外接球的直径，求得半径，再由球的表面积公式可得所求值．解：由正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，且22+22＝（2）2，可得SA，SB，SC两两垂直，以SA，SB，SC为正方体的三条相邻的棱，将正四棱锥扩展为正方体，可得正方体的对角线即为该棱锥外接球的直径，设球的半径为R，可得2R＝2，即R＝，可得球的表面积为S＝4πR2＝12π，故选：C．7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（）A．B．C．D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：根据函数的图象可得A＝1.5﹣1＝0.5，＝4﹣0，ω＝，结合五点法作图，φ＝0，故所给的图为y＝sin（x）+1的图象，故将函数的图象向右平移个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象，故选：B．8．函数y＝tan2x﹣2tan x的最大值为（）A．B．3C．0D．﹣3【分析】利用二倍角公式化简函数y＝tan2x﹣2tan x，再利用换元法求出分母的最小值，即可求出y的最大值．解：当＜x＜时，tan x＞1，函数y＝tan2x﹣2tan x＝﹣2tan x＝＝，设t＝，t∈（0，1）；则f（t）＝t3﹣t，所以f′（t）＝3t2﹣1；令f′（t）＝0，解得t＝；当t∈（0，）时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；当t∈（，1）时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；所以t＝时，f（t）取得最小值为f（）＝﹣＝﹣，所以y的最大值为＝﹣3．故选：A．二、多项选择题（共4小题，每小题有多个选项符合要求，每小题5分）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（）A．直线A1E∥平面ACD1B．直线B1D⊥平面ACD1C．平面A1EF∥平面ACD1D．平面A1B1CD⊥平面ACD1【分析】利用反证法思想说明A与C错误；证明直线与平面垂直判断B；再由平面与平面垂直的判定判断D．解：如图，取CC1的中点G，连接D1G，EG，可证A1D1＝EG，A1D1∥EG，得四边形A1EGD1为平行四边形，则A1E∥D1G，若直线A1E∥平面ACD1，则D1G∥平面ACD1或D1G⊂平面ACD1，与D1G∩平面ACD1＝D1矛盾，故A错误；由正方体的结构特征可得A1B1⊥平面AA1D1D，则A1B1⊥AD1，又AD1⊥A1D，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面DA1B1，得AD1⊥B1D，同理可证AC⊥B1D，又AD1∩AC＝A，∴直线B1D⊥平面ACD1，故B正确；而B1D⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面ACD1，故D正确；连接A1C1，A1B，BC1，由A1A∥C1C，A1A＝C1C，可得四边形AA1C1C为平行四边形，则A1C1∥AC，∵A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1，同理AD1∥平面A1BC1，又AC∩AD1＝A，∴平面A1BC1∥平面ACD1，若平面A1EF∥平面ACD1，则平面A1EF与平面A1BC1重合，则EF⊂平面A1BC1，与EF∥平面A1BC1矛盾，故C错误．故选：BD．10．下列关于函数的描述正确的是（）A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数y＝f（x）是奇函数，若其定义域步包含0，f（0）＝0一定不成立，反之若f（0）＝0，即函数图象过原点，函数f（x）不一定为奇函数，故f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的既不充分又不必要不充分条件，A错误；对于B，“两面派”函数既是奇函数又是偶函数，可以为x轴关于原点对称的一部分，其定义域有无数种情况，即两面派”函数一定有无数个，B正确；对于C，若f（x）为奇函数且在其定义域内可导，函数f（x）的图象关于原点对称，则其图象任意一点的切线斜率必定关于y轴对称，即其导函数必为偶函数，C正确；对于D，f（x）＝，其导数f'（x）＝，是奇函数，但f（x）不是偶函数，D错误；故选：BC．11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X ＝n）＝P n，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（）A．P4＝2P2B．C．E（X）＝4D．【分析】求出对应的点P，从而求出对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，推导出P （X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，由此能求出结果．解：由题意得对应的点P有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），∴对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，对于A，p4＝P（X＝4）＝≠2P2＝，故A错误；对于B，P（3≤X≤5）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝＝，故B正确；对于C，E（X）＝＝4，故C正确；对于D，V（X）＝（2﹣4）2×+（3﹣4）2×+（4﹣4）2×+（5﹣4）2×+（6﹣4）2×＝，故D正确．故选：BCD．12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A．B．|k1﹣k2|＝2C．AB过定点（2，0）D．AF•BF的最小值为8【分析】设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边对x求导，可得切线的斜率，切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．解：由题意可得F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对y2＝4x两边对x同时求导，可得2yy′＝4，即y′＝，所以过A的切线的方程为x﹣x1＝＝（y﹣y1），化为x＝y﹣①，同理可得过B的切线方程为x＝y﹣②，由①②解得x＝，由P的横坐标为﹣2，即＝﹣2，则y1y2＝﹣8，k1k2＝＝﹣，故A正确；因为|k1﹣k2|＝||＝||不为定值，故B错误；因为AB的直线方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝y1+x﹣，即y＝（x﹣2），所以AB恒过定点（2，0），故C正确；将|AF|，|BF|转化为到准线的距离，即|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+（+）＝5+（+）≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，所以|AF|•|BF|的最小值为9，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题5分）13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝﹣．【分析】利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可．解：正三角形ABC的边长为3，，，可得＝，＝，则＝（）•（）＝﹣+•＝﹣+﹣＝﹣．故答案为：﹣．14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝﹣39．【分析】把（1﹣2x）5按照二项式定理展开，可得a0和a3的值，从而得到a0+a3的值．解：∵（1﹣2x）5（1+x）＝（1﹣10x+40x2﹣80x3+80x4﹣32x5）•（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝1+（﹣80+40）＝﹣39，故答案为：﹣39．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为；实数λ满足，则λ取值范围为[2，+∞）．【分析】题意可知a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），△＝b2﹣4ac＝0，所以，进而得到，再利用基本不等式即可求出ac的最大值，由已知条件可得λ＝2+﹣2，利用基本不等式结合0＜a＜1，即可求出λ取值范围．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），∴a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），∵开口向上且值域为[0，+∞），∴△＝b2﹣4ac＝0，∴b＝2，∴，∴，∴，∴1＝，即，当且仅当a＝c＝时，等号成立，∴，即ac，当且仅当a＝c＝时，等号成立，∴ac的最大值为（当且仅当a＝c＝时最大），∵＝1﹣b＝a+c＝a+（1﹣）2＝2a﹣2+1，∴λ＝2﹣2+＝2+﹣2，∵a+c＝2a﹣2+1＝1﹣b＜1，即2a﹣2＜0，∴a﹣＜0，∴a﹣＝＜0，∴0，∴0＜a＜1，∴＝2，当且仅当即a＝时，等号成立，又∵a→0时，→+∞，∴λ∈[2，+∞），故答案为：，[2，+∞）．16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为77．【分析】设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，由题意可知n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，得到m＝798﹣9n，再根据100＜m＜110求出n的取值范围，进而得到n的值．解：由题意可知，20位老人的年龄之和为1748，设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，则有n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，整理得：m＝798﹣9n，∴100＜798﹣9n＜110，∴76.4＜n＜77.5，∴n＝77，即20位老人中年龄最小的岁数为77岁．故答案为：77．四、解答题（共6小题，总分70分）17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．（1）求BC边上的高；（2）求sin（A﹣C）．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求sin A的值，结合A为锐角，可得A＝，由余弦定理可得a的值，根据三角形的面积公式即可求解BC边上的高．（2）由余弦定理可求cos C的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，根据两角差的正弦公式即可求解sin（A﹣C）的值．解：（1）因为b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为＝bc sin A＝sin A，解得sin A＝，因为A为锐角，可得A＝，由余弦定理可得a＝＝＝，设BC边上的高为h，则ah＝×h＝，解得h＝．即BC边上的高为．（2）因为cos C＝＝＝，可得sin C＝＝，sin（A﹣C）＝sin A cos C﹣cos A sin C＝×﹣＝﹣．18．数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求通项a n；（2）若等差数列{b n}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用已知条件求出数列，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，①，当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得a n+1＝3a n，即（常数），所以数列{a n}是以a2＝3为首项，3为公比的等比数列．所以（首项符合通项），所以．（2）设公差为d的等差数列{b n}的各项均为正数，且，即b1+b2+b3+b4＝24，已知a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以，故，解得或（舍去），故b n＝2n+1，所以，故①，②，①﹣②得：﹣2T n＝3+2（3+9+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n＝，整理得：．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，．（1）证明：EF∥平面ABB1A1；（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．【分析】（1）取A1B1的中点M，连接ME，MB，易证四边形MEFB为平行四边形，从而有EF∥MB，故而得证；（2）过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，由平面ACC1A1⊥平面ABC，推出C1O⊥平面ABC．选择条件①：先求得OC＝1，可证OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次得平面ACC1A1和平面EFG的法向量与，再由cos＜，＞＝，得解；选择条件②：易知∠C1CO＝60°，从而得OC＝1，接下来同①；选择条件③：易知∠A1AE＝30°，从而有∠C1CO＝60°，接下来同②中．【解答】（1）证明：取A1B1的中点M，连接ME，MB，则ME∥B1C1∥BF，ME＝B1C1＝BC＝BF，∴四边形MEFB为平行四边形，∴EF∥MB，∵EF⊄平面ABB1A1，MB⊂平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1．（2）解：过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，∴C1O⊥平面ABC，选择条件①：三棱锥C1﹣ABC的体积V＝•C1O•S△ABC＝•C1O•×2×＝1，∴C1O＝，在Rt△C1OC中，OC＝＝1，∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），E（0，﹣1，），F（，，0），G（0，，），∴＝（，，﹣），＝（0，，），∵OB⊥AC，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，OB⊂平面ABC，∴OB⊥平面ACC1A1，∴平面ACC1A1的一个法向量为＝（，0，0），设平面EFG的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝1，则x＝，z＝，∴＝（，1，），∴cos ＜，＞＝＝＝，故平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值为．选择条件②：∵C1C与底面所成的角为60°，∴∠C1CO＝60°，∴OC＝1，∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，下面的过程同条件①中的步骤．选择条件③：∵BB1∥AA1，∴∠A1AE即为异面直线BB1与AE所成的角，即∠A1AE＝30°，∵AA1＝2，A1E＝1，∴∠AA1E＝60°，即∠C1CO＝60°，下面的过程同条件②中的步骤．20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL ）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572 3700460040004300440034003200380044003500肺活量胸围708378918174917610490 3600450037004100470037004600400047003700肺活量（1）求a的值；（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．（参考公式及数据：，，，．）附：相关性检验的临界值表n﹣2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.537【分析】（1）把样本点的中心坐标代入线性回归方程，即可求得值；（2）由已知数据及相关系数公式求得r值，结合临界值表得结论；（3）求出全校高一男生大肺活量的概率，再由二项分布的概率计算公式求解．解：（1）由已知可得，＝4030，则样本点的中心的坐标为（80，4030），代入，得4030＝32.26×80.5+a，即a＝1433.07；（2）假设H0：变量x，y不具有线性相关关系，由参考公式，，得r＝＝，由相关性检验临界值表知，r0.01＝0.561，而0.601＞0.561，∴有99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的；（3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500ml的有5个，∴全校高一男生大肺活量的概率为，设从本校高一年级任意抽取4名男同学恰有2名男生是大肺活量的概率为p，则p＝．故从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率是．21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得，解得a2，b2，即可得椭圆E的方程．（2）根据题意设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l的方程与椭圆的方程，消去x，可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，结合韦达定理得y1+y2，y1y2，写出直线BM方程与OQ的方程，联立解得T（，﹣），记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，再作差k2﹣k1＝0，即可得证．解：（1）将（1，e）和代入椭圆E方程得：，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆E的方程为＝1．（2）AT∥BN．理由如下：依题意，A（﹣2，0），B（2，0），直线l不与x轴平行，设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，所以△＞0，且y1+y2＝，y1y2＝，直线BM的方程为y＝（x﹣2），直线OQ的方程为y＝﹣x，联立方程组，解得，即T（，﹣），记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，则k1＝＝﹣，k2＝，所以k2﹣k1＝+＝，由于x1y2+x2y1+2y1y2﹣2（y1+y2）＝[ty1﹣2（t+1）]y2+[ty2﹣2（t+1）]y1+2y1y2﹣2（y1+y2）＝2（t+1）y1y2﹣2（t+2）（y1+y2）＝2（t+1）×﹣2（t+2）×＝0，所以k1＝k2，所以AT∥BN．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x．（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的零点个数即可；（2）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点的个数．解：（1）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x，，f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，由于≤x≤π，cos x≤0，又sin x≤1，∴f′（x）≥0，f（x）在[，π]上单调递增，∵f（）＝﹣3＜0，f（π）＝π﹣1＞0，∴函数f（x）在[，π]上有唯一零点；（2）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x，x∈[0，2π]，则f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，令h（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x，①当0≤x≤时，∵cos x≥，1﹣2cos x＜1﹣2×＝1﹣＜0，∴f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x＝（1﹣2cos x）﹣sin x﹣x cos x＜0，∴函数f（x）在[0，]上无极值点，②当＜x＜π时，h（）＝0，当＜x＜π时，∵cos x＜0，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＞0，∴h（x）在[，π]上递增，h（x）＞h（）＝0，即f′（x）＞0，当＜x＜时，sin x＞cos x，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＝2（sin x﹣cos x）+x sin x＞0，∴h（x）在（，）递增，h（x）＜h（）＝0即f′（x）＜0，∴是f（x）在（，π）上的极小值点，③当π＜x≤时，sin x＜0，cos x≤0，则f′（x）＞0，f（x）无极值点，④当＜x≤2π时，cos x＞0，sin x＜0，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＜0，∴h（x）在（，2π）上递减，且h（）＝2＞0，h（2π）＝﹣2π﹣1＜0，∴h（x）在（，2π）上有唯一零点x2，当＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x2＜x＜2π时，f′（x）＜0，故x＝x2是函数f（x）的一个极大值点，综上，函数f（x）存在2个极值点．。

海门第一中学2021届期中调研测试高三数学一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.记全集U=R,集合2{|16},A x x =³集合B={x|2x ≥2},则()UA B Ç=ð()A.[4,+∞) B.(1,4] C.[1,4) D.(1,4)2.已知57l og 2,l og 2,0.52a b c a ===-,则a,b,c 的大小关系为()A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b3.若35cos(),si n(),,(0,)54132p p a b b a b +=-=Î则cos()4p a +=()33.65A -33.65B -56.65C 16.65D -4.设x ∈R ,则"38x >"是"|x|>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究发现地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+,2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为()A.10-15B.1.5C.lg1.5 1.5.10D 6.函数cos l n ||()si n x x f x x x×=+在[π,0)∪(0,π]的图象大致为()7.已知a,b 为正实数,直线y=x-a 与曲线y=ln(x+b)相切,则11a b +的最小值是()A.2.B C.4.D8.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k 倍值函数.若f(x)=ex+2x 是k 倍值函数,则实数k 的取值范围是()A.(e+1,+∞)B.(e+2,+∞)C.1()e e ++¥D.2(,)e e ++¥二､多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.9.函数()si n(3)()22f x x p p j j =+-<<的图象关于直线4x p =对称,则()A.函数()12f x p +为奇函数B.函数f(x)在[,]123p p 上单调递增C.若12|()()|2,f x f x -=则12||x x -的最小值为3p D.函数f(x)的图象向右平移4p 单位长度得到函数y=-cos3x 的图象10.2020年初,突如其来的疫情改变了人们的消费方式,在目前疫情防控常态化背景下,某超市为了解人们以后消费方式的变化情况,更好地提高服务质量,收集并整理了该超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入法人数据,并绘制如下的折线图.根据折线图,下列结论正确的有()A.该超市这8个月中,线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中,每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费11.对于△ABC,有如下命题,其中正确的有()A.若sin2A=sin2B,则△ABC 是等腰三角形B.若△ABC 是锐角三角形,则不等式sinA>cosB 恒成立C.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC 为钝角三角形D.若A B =AC=1,B=30°,则△ABC12.关于函数()si n ,(,x f x e a x x p =+Î-+¥),下列结论正确的有()A.当a=1时,f(x)在(O,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时,f(x)存在惟一极小值点0x C.对任意a>0,f(x)在(-π,+∞).上均存在零点D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点三､填空题:本大题共4小题,每小题分,共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.13.若1tan 2020,1tan aa +=-则1tan 2cos2a a +=_____.14.已知函数21()l n 2f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____.15.函数2()||f x x x =-,若31(l og )(2)1f f m <+,则实数m 的取值范围是____.16.己知函数2122()1l n ,2x x f x x x x x ìïï£ïï=íïï-->ïïïî，若函数F(x)=f(x)+a 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是_____.四、解答题:本大题共6小题,共计70分17.已知函数2()l n ,f x a x bx =-曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为1.2y =-(1)求实数a,b 的值;(2)求函数f(x)在1[,]e e 上的最大值.18.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,c=2.有以下3个条件:①2ccosA=b;②2b-a=2ccosA;③a+b=2c.请在以上3个条件中选择一个,求△ABC 面积的最大值.19.已知函数2() 6.f x x x =--(1)求不等式f(x)<0的解集;(2)若对于一切x>1,均有f(x)≥(m+3)x-m-10成立,求实数m 的取值范围.20.设函数()22()x x f x a a R -=×-Î(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数3()()2g x f x =+的零点0x ；(2)若函数()()42x x h x f x -=++在x ∈[0,1]的最大值为-2,求实数a 的值.21.如图,A ､B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点,且,45,1A O B O E °Ð==，E F =设∠AOE=α.(1)写出△AOB 的面积关于α的函数关系式f(α);(2)求(1)中函数f(α)的值域.22.已知函数21()(1)l (1)2n f x x a x a x a =-++>.(I)求函数f(x)的单调区间;(II)设12,x x 为函数f(x)的两个极值点,求证127()()32f x f x a ++<.。

2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= ．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是．3．（5分）函数y=的定义域为．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么= （用和表示）7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= {3} ．【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B⊆A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B⊆A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，分析可得a=2，即B={2，4}，则∁A B={3}，故答案为：{3}．【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0 ．【分析】根据特称命题的否定规则：将量词改为任意，结论否定，即可得到其否定．【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是掌握特称命题的否定规则，属基础题．3．（5分）函数y=的定义域为（0，1] ．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log0.2x≥0，解得：0＜x≤1，故函数的定义域是（0，1]，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，【解答】解：由于a＜0，角α的终边经过点P（a，2a），则x=a，y=2a，r=|OP|=﹣a，∴cosα==．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是 2 ．【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简==，代入即可求解．【解答】解：∵a3+2a6=0，∴=﹣，即q3=﹣，∴====2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么=（用和表示）【分析】根据条件即可得出，这样代入即可用表示出．【解答】解：根据条件：==．故答案为：．【点评】考查三等分点的概念，向量数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，以及向量加法的几何意义．7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是[﹣2，5] ．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，求出a的范围即可．【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+4，得p：a﹣4＜x＜a+4；由（x﹣1）（2﹣x）＞0，解得：1＜x＜2，故q：1＜x＜2，若p是q的必要不充分条件，即（1，2）⊆（a﹣4，a+4），故，解得：a∈[﹣2，5]，故答案为：[﹣2，5]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为﹣2 ．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣a的图象上又在直线x﹣y+1=0上，即可求出a的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切点（1，n）在直线x﹣y+1=0上∴n=2，而切点（1，2）又在曲线y=lnx﹣a上∴a=﹣2故答案为﹣2．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．【分析】有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长．【解答】解：因为S△ABC===，∴|AB|=4，由余弦定理得：|AC|===．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是（1，3] ．【分析】根据函数f（x）是奇函数，求出m，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，满足f（﹣x）=﹣f（x），即x2﹣mx=﹣（﹣x2+2x）=﹣x2﹣2x，解得m=2．∴f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤1，即1＜a≤3．故答案为：（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是x=﹣．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z ）时，，因此，当k=﹣1 时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为32【分析】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设出C的坐标（x，y），由已知可得x2+y2=36，把用含有x的代数式表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y），∵O为为△ABC的重心，∴O（），，，∵OA⊥OB，∴，化简得：x2+y2=36．∵，∴=x2+y2﹣4=32．故答案为：32．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为[1，）．【分析】由2S n=（n+1）a n，n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，则2a n=2（S n﹣S n﹣1），整理得：=，则=═…===1，可得：a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．【解答】解：∵a1=1，2S n=（n+1）a n，∴n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，∴2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得：=，∴=═…===1，∴a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案为：[1，）．【点评】本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3] ．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；（2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求．【解答】解：（1）f（x）=（+）•（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由题意得：周期，故；（2）∵图象过点M（1，），∴﹣cos（2φ）=，即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）．当﹣1≤x≤1时，，∴．∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．【分析】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n=（﹣），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得，即有或（舍去），故数列{a n}的通项公式为a n=7+2（n﹣1）即a n=2n+5；（2）证明：由（1）a n=2n+5，得，则=．故原不等式成立．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）∴cosB=sinB，即tanB=1．…（5分）又∵B∈（0，π），∴．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…（7分）又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴，…（9分）又∵，…（10分）∴．…（11分）∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于在[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1时，，…（2分），…（3分）所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）…（2分）当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增当a＞2时，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）单调递增区间为，单调减区间为．…（4分）（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，则．令g′（x）=0，则…（2分）若，即a=1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；…（3分）若，即a＜1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为，因为g（1）=0，所以不合题意．…（4分），即a＞1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…（5分）【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．两式相减可得可得b n+1=，即b n=，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得b n+1a1=﹣=，∴b n+1=，∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．【点评】本题考查a n=，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式，注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．【分析】由逆矩阵的公式A﹣1=×A*，求得其伴随矩阵和|A|，即可求得 A﹣1，由AB=×=，列二元一次方程组，求得a和b的值，即可求得矩阵B．【解答】解：|A|=ad﹣bc=﹣7+6=﹣1，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=，设B=AB=×=，，解得：，∴B=．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，矩阵与矩阵的乘法的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【分析】由矩阵A，求得丨A丨及A*，A﹣1=×A*，求得A﹣1，由特征多项式f（λ）=0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量．【解答】解：丨A丨==1﹣4=﹣3，A*=，A的逆矩阵为A﹣1=×A*=，则特征多项式为f（λ）=（λ+）2﹣=λ2+λ﹣，令f（λ）=0，解得：λ1=﹣1，λ2=，设特征向量为，则=﹣，可知特征值λ1=﹣1，对应的一个特征向量为，同理可得特征值λ2=，对应的一个特征向量为．…（10分）【点评】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．【分析】由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，转化成化为直角坐标方程为x2+y2=2x，转化成标准方程，即可求得圆心与半径，将直线l的方程转化成标准方程：x+y﹣2m，由题意可知：=1，求得m=﹣或m=．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=2x．即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆．…3分直线l的极坐标方程是ρ in（θ+）=m，即ρcosθ+ρsinθ=m，化为直角坐标方程为x+y﹣2m=0．…6分由直线l与曲线C有且只一个公共点，∴=1，解得m=﹣或m=．∴所求实数m的值为﹣或．…10分．【点评】本题考圆的参数方程转化成标准方程，直线的极坐标转化成直角坐标，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【分析】根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：将直线l的参数方程（t为参数，t∈R），化为普通方程为x﹣y﹣6=0．因为点P在曲线C：（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．点P到直线l的距离d==，其中tanφ=，φ是锐角．所以当cos（θ+φ）=1时，d min=．所以点P到直线l的距离的最小值为．…10分．【点评】本题考查的知识点是直线与椭圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，三角函数的最值，难度中档．。

2021年江苏南通中学高三上期中数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B = ．2．命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是 ． 3．函数0.2log y x =的定义域为 ．4．若角α的终边经过点P （a ，2a ）（a<0），则cos α= ． 5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ． 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝ ．（用AB 和AD 表示）7．已知命题:4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．8．已知直线10x y -+=与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为___________． 9．在ABC ∆中，已知1,3BC B π==，ABC ∆3AC 的长为__________________. 10．函数y ＝2sin (2)6x π-与y 轴最近的对称轴方程是 ．11．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ．12．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ．13．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．二、解答题14．已知函数f (x )＝222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 15．已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16．设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为55，且249a a -成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(6)(4)n n n b a a =--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <.17．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+．ABCO（Ⅰ）求ABC ∠； （Ⅱ）若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．18．如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Scm ．设AOC xrad ∠=．（1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围； （2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值． 19．已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．20．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N*（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +（0>C 且1≠C ），是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列．D21．矩阵1237A -⎛⎫=⎪-⎝⎭的逆矩阵为1A -，矩阵B 满足31AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A -，B . 22．设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量． 23．已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin （θ＋6π）＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R），直线l：33x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数，t∈R），求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．参考答案1．{}3【解析】 试题分析：2,242{3}U AB B B A a a aC B =⇒⊂⇒=+=⇒=⇒=考点：集合包含关系，集合运算 【方法点睛】集合的基本运算的关注点（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2．2,10x R x x ∀∈-+> 【解析】试题分析：命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是2,10x R x x ∀∈-+>考点：命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 3．(0,1] 【解析】试题分析：由题意得0.2log 001x x ≥⇒<≤，定义域为(0,1]考点：函数定义域4．【解析】试题分析：cos5α==-考点：三角函数定义5．2【解析】试题分析：3620a a+=3631122aqa⇒=-⇒=-，因此313366611111122111141qaS qqqS qaq-⋅+--====---⋅-考点：等比数列公比与求和6．1223AB AD-【解析】试题分析：1123ED DA AB BF CD DA AB BC=+++=+++ 11122323AB AD AB AD AB AD=--++=-考点：向量表示7．[－2，5]【解析】试题分析：:44p a x a-<<+，:12q x<<，因为p是q的必要不充分条件，所以q是p 的真子集，即41,2425a a a-≤≤+⇒-≤≤考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 8．2 【详解】试题分析：设切点00(,)P x y ，则,001|1x x y x a===+'，0001,0,1,2x a y x a ∴+=∴==-∴=．考点：导数的几何意义． 9【解析】1,,3BC B ABC π==∆11sin 22BC AB B AB =⋅⋅=⨯，4AB ∴=，由余弦定理可得AC ===，10．6x π=-【解析】试题分析：由题意得2()()6232k x k k Z x k Z πππππ-=+∈⇒=+∈，因此与y 轴最近的对称轴方程是6x π=-考点：三角函数对称轴 11．32 【解析】试题分析：设AB 中点为M,则22()()()2AC BC AO OC BO OC AO BO OC OC MO OC OC ⋅=+⋅+=+⋅+=⋅+22222432OC OC OC OC =⋅+==⨯=考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12．3(1,)2【解析】试题分析：2(1)n n S n a =+，11112(2)2(1),(1)(2)n n n n n n n S na n a n a na n a na n ----=≥∴=+--=≥，因此112121n n n a a n n n -=⋅⋅⋅=--，由222n n a ta t -≤得2222n tn t t n t -≤⇒-≤≤，因为关于正整数n 的解集中的整数解有两个，因此322312t t ≤<⇒≤<考点：叠乘法求数列通项 13．(]2,3 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．（1）2；（2）(1，3]. 【分析】（1）根据函数是奇函数求得0x <的解析式，比照系数，即可求得参数m 的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数a 的范围. 【详解】（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.（2）要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知2121a a ->-⎧⎨-⎩所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]. 【点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题. 15．（1） 2πω=（2）max 1()2f x =【解析】试题分析：（1） 先根据向量数量积、二倍角余弦公式得2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+ ，再根据余弦函数周期性质得24T πω== ，解得2πω=（2）根据图像过点1(1,)2M 解得1cos(2)22πϕ-+=，1sin 22ϕ=，再根据04πϕ<<，解得26πϕ=，从而由11x -≤≤得23263x ππππ-≤+≤，再根据余弦函数性质得026x ππ+=时()f x 取最大值；2263x πππ+=时()f x 取最小值试题解析：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+由题意得：周期24T πω==，故2πω=（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． 考点：三角函数解析式与性质【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式（1）max min maxmin,22y y y y A B -+==. （2）由函数的周期T 求2,.T πωω=（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 16．(1)25n a n =+;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)由题意求得数列的公差为2，则数列的通项公式为25n a n =+; (2)结合(1)的结论可得：11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，裂项求和可得：11112212n S n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()121254555239a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪=++-⎩，解得172a d =⎧⎨=⎩，或111a d =⎧⎨=⎩（舍去），故数列{}n a 的通项公式为()71225n a n n =+-⨯=+. （2）由25n a n =+， 得()()()()1111164212122121n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，所以11111111111233521212212n S n nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 17．（1） 4B π=（2） 54【解析】试题分析：（1） 由正弦定理将边化为角： sin sin (sin cos )A B C C =+ ，再根据三角形内角关系及诱导公式得sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+ ，结合两角和正弦公式展开化简得cos sin sin sin B C B C = ，最后根据三角形内角范围得tan 1B = ，4B π=（2） 四边形ABDC 面积由两个三角形面积和组成，其中由于ABC ∆为等腰直角三角形，所以2111224ABC SBC BC BC ∆=⨯⨯⨯=，利用余弦定理可得222=12212cos BC D+-⨯⨯⨯54cos D =-，又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯⨯=，因此55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=-四边形，最后根据正弦函数性质可得最值试题解析：（Ⅰ）在ABC ∆中，∵(sin cos )a b C C =+， ∴sin sin (sin cos )A B C C =+， ∴sin()sin (sin cos )B C B C C π--=+， ∴sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+，∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，∴cos sin sin sin B C B C =， 又∵(0,)C ∈π，故sin 0C ≠， ∴cos sin B B =，即tan 1B =． 又(0,)B ∈π，∴4B π=．（Ⅱ）在BCD ∆中，2DB =，1DC =， 222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D =-．又=2A π，由（Ⅰ）可知4ABC π∠=，∴ABC ∆为等腰直角三角形，21115cos 2244ABC S BC BC BC D∆=⨯⨯⨯==-，又1sin sin 2BDC S BD DC D D∆=⨯⨯⨯=，∴55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=+-四边形．∴当=4D 3π时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54．考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．（1）()8001600sin 0S x x x π=+<<；（2）23π. 【分析】（1）求出扇形区域AOC 、三角形区域COD 的面积，即可求出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论． 【详解】（1）由题意，()()1140404080sin 8001600sin 022S x x x x x ππ=⋅⋅+⋅⋅⋅-=+<<； （2）()8001600cos 80012cos S x x '=+=+，0x <<π，令()0S x '=，得23x π=. 当203x π≤<时，0S '>；当23x ππ<<时，0S '<.所以，当23x π=时，S 取得最大值)216003m π+. 【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题． 19．（1）5440x y --=（2） 详见解析（3）[1,)+∞ 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得(2)f '为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数：2222(2)()(0)a ax a f x a a x x-+-=->'=，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：当02a <≤时，()0f x '≥，因此()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增；当2a >时，导函数有两个零点12x x ==，因此()f x 先增再减再增（3）本题不宜变量分离，故直接研究函数2()222ln a g x ax a x x-=++--，先求导数22222222(1)[(2)]()a ax x a x ax a g x a x x x x ---'+-+-=--==，导函数有两个零点1221,a x x a-==-，再根据两个零点大小分类讨论：1a =时，()0g x '≥，min ()=g x (1)0g =；1a <时，min ()=g x 2()a g a--(1)0g <=；1a >时，min ()=g x (1)0g = 试题解析：：（1）当1a =时，1()f x x x =-，21()1f x x=+'3(2),2f =5(2)4f '=所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为35(2)24y x -=-即：5440x y --=（Ⅱ）函数的定义域为：{|0}x x ≠2222(2)()(0)a ax a f x a a x x -+-=->'=当02a <≤时，()0f x '≥恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增当2a >时，令()0f x '=，即：220ax a +-=，12x x ==()0,f x '>21;x x x x ><或()0,f x '<1200x x x x <<<<或，所以，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞和，单调减区间为(和． （Ⅲ）因为()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，有2222ln 0(0)a ax a x a x-++--≥> 在[1,)+∞上恒成立． 所以，令2()222ln a g x ax a x x-=++--， 则22222222(1)[(2)]()a ax x a x ax a g x a x x x x---'+-+-=--==． 令()0,g x '=则1221,a x x a-==- 若21a a--=，即1a =时，()0g x '≥，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0g = 所以，()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立；若21a a -->，即1a <时，当2(0,1),(,)a x a-∈-+∞时，()0,()g x g x >'单调递增； 当2(1,)a x a-∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为2()a g a--， 因为(1)0,=g 所以2()0a g a--<不合题意． 21,a a --<即1a >时，当2(0,),(1,)a x a-∈-+∞时，()0,()g x g x >'单调递增，当2(,1)a x a-∈-时，()0,()g x g x <'单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g又因为(1)0g =，所以()2ln f x x ≥恒成立 综上知，a 的取值范围是[1,)+∞考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解. 20．（1） nn a -=22 （2） 2=C （3）详见解析【解析】试题分析：（1） 由和项求通项，注意分类求解: 由2≥n 时，411=+--n n a S ，相减得，12-=n n a a ，再根据等比数列定义得nn a -=22 （2）先化简nd =nC n a c log +2log )2(32C n n -++= ，由于常数列与n 无关，所以2log 2=-C ，解得2=C （3）当2≥n 时，2121111332211+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++-----n a b a b a b a b n n n n n两边同时乘以21得，41212123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++---n a b a b a b a b nn n n n ，两式相减得，431--=n a b n ，838--=n b n ，最后根据等差数列定义证明试题解析：（1）114a a -=，所以21=a 由4=+n n a S 得2≥n 时，411=+--n n a S两式相减得，12-=n n a a ，211=-n n a a数列}{n a 是以2为首项，公比为21的等比数列，所以nn a -=22（*N n ∈）（2）由于数列}{n d 是常数列n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++==2log 2log 232C C n n -++2log 23)2log 2(C C n ++-=为常数，只有02log 2=-C ；解得2=C ，此时7=n d（3）2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n ……① 1=n ，1232111-=-=a b ，其中21=a ，所以211-=b 当2≥n 时，2121111332211+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++-----n a b a b a b a b n n n n n ②②式两边同时乘以21得，41212123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++---n a b a b a b a b nn n n n ③ ①式减去③得，431--=n a b n ，所以838--=n b n且811-=-+n n b b 所以数列}{n b 是以21-为首项，公差为81-的等差数列．考点：等差与等比数列定义，由和项求通项 【方法点睛】证明{a n }为等差数列的方法：（1）用定义证明：a n －a n －1＝d （d 为常数，n≥2）⇔{a n }为等差数列； （2）用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； （3）通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； （4）前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn21．7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 198⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵公式d b AA c a AA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦可得1A -，再根据矩阵运算得B ＝A －1AB试题解析：因为A ＝1237-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以|A|＝1237--＝－7＋6＝-1． 由逆矩阵公式得，A －1＝7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． …5分因为AB ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B ＝A －1AB ＝7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 31⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝198⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：矩阵逆矩阵22．特征值11λ=-对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，特征值213λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先根据逆矩阵公式得12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，再根据特征多项式得123302133λλ+-=-+，解得1211,3λλ=-=，最后根据对应向量关系求对应特征向量试题解析：矩阵A 的逆矩阵为12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则特征多项式为221421()()3933f λλλλ=+-=+-令()0f λ=，解得1211,3λλ=-=，设特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12332133x x y y ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，易算得特征值11λ=-对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，同理可得特征值213λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：特征值及特征向量23．-12或32【解析】试题分析：根据222cos sin x y x y ρθρθρ==+=，，将极坐标方程化为直角坐标方程（x －1）2＋y2＝1及20x m +-=，再根据直线与圆位置关系列|12|12m -=，解得实数m 的值试题解析：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ， 化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x ．即（x －1）2＋y2＝1，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆．直线l 的极坐标方程是 ρ sin （θ＋6π）＝m ，即12ρcosθ＋ρsinθ＝m ，化为直角坐标方程为20x m -=． 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|12|2m -＝1，解得m ＝－12或m ＝32． 所以，所求实数m 的值为－12或32．考点：极坐标方程化为直角坐标方程24．2【解析】试题分析：利用代入消元法将参数方程化为普通方程x －y －6＝0．再根据点到直线距离公试题解析：将直线l的参数方程332xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩化为普通方程为x－y－6＝0．因为点P在曲线C：4cos3sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．点P到直线l的距离d，其中tanφ＝34，φ是锐角．所以当cos（θ＋φ）＝1时，dmin＝．所以点P到直线l的距离的最小值为2．考点：参数方程化为普通方程，点到直线距离公式。

江苏省南通市如东县2021届高三数学上学期期中调研考试试题注意事项：1。

本试卷共150分,考试时间120分钟.2。

答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内。

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=｛1,2，m2},B={1，m}.若B⊆A，则m等于(）A. 0B. 2C。

0或2 D. 1或22。

设x∈R,则“log2(x-2）〈1”是“x>2"的()条件（)A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D。

既不充分也不必要3.已知cos(75°+α)=，则cos（30°—2α）等于(）A。

B。

C. D.4。

把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e=（A,B）是直线l的一个方向向量，那么n=（-B，A）就是直线l的一个法向量.借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P是直线l外一点,n是直线l的一个法向量,在直线l上任取一点Q,那么在法向量n上的投影向量为(||cosθ)·（θ为向量n与的夹角)，其模就是点P到直线l的距离d，即d=。

据此，请解决下面的问题：已知点A（—4，0）,B(2，-1），C(-1，3），则点A到直线BC的距离是（)A。

B。

7 C. D. 85.在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2，∠BAD=，若·=2·，则·等于()A. 12B. 16C。

20D。

246。

已知函数f(x）=mx2-（3-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数x，f（x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（)A. (1，9）B. （3，+∞）C. （-∞，9)D. (0,9)7.设点M（x0，1）,若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A. ［0,1]B。

高三年级数学考前热身练答案精析1．B 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7．C [当n ≥2时,a n ＋2S n －1＝n ,① 故a n ＋1＋2S n ＝n ＋1,②由②－①得,a n ＋1－a n ＋2(S n －S n －1)＝1, 即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2),所以S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝1 010.] 8．B [设P (x 0,y 0),由于点P 为切点,则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ,又点P 的切线相同,则f ′(x 0)＝g ′(x 0), 即x 0＋2a ＝3a 2x 0,即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0,又a >0,x 0>0,∴x 0＝a , 于是,b ＝52a 2－3a 2ln a (a >0),设h (x )＝52x 2－3x 2ln x (x >0),则h ′(x )＝2x (1－3ln x )(x >0),所以h (x )在(0,e 13)上单调递增,在(13e ,＋∞)上单调递减,b 的最大值为h (13e )＝3223e .]9．ABC [由于0<b <a <1,c >1,根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ,故选项A 错误； 根据指数函数的图象与性质有c b <c a ,故选项B 错误； 根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ,故选项C 错误； 因为a b >b a ,c >1,则log c a b >log c b a ,即b log c a >a log c b ,故选项D 正确．] 10．ACD [A 项,函数y ＝a x (a >0且a ≠1), y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域都是R ,故A 正确； B 项,函数y ＝x 值域为[0,＋∞), 函数y ＝3x 的值域为(0,＋∞),故B 错误；C,当x ∈[0,＋∞)时,函数y ＝|x ＋1|＝x ＋1是增函数, 函数y ＝2x＋1是增函数,故C 正确；D 项,y ＝lg 1＋x 1－x 的定义域是(－1,1),令f (x )＝lg 1＋x1－x,f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x ),故函数y ＝lg 1＋x 1－x是奇函数,故D 正确．]11．AD [A 正确,B 中直线l 可能平行于α也可能在α内,故B 错；C 中直线l ,m ,n 可能平行也可能相交于一点,故C 错；D 正确．]12．BCD [把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短为原来的12得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象,再将图象向右平移π4个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 若x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6,则2x －π6∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6, ∴g (x )⎝⎛⎭⎫－π6，π6上单调递增,故A 正确； 由g ⎝⎛⎭⎫π6＝12≠0知,g (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称,故B 错误； g (x )的最小正周期为π,故C 错误； ∵g (0)＝－12≠±1,∴g (x )的图象不关于y 轴对称,故D 错误．] 13．9解析 由事件A ,B 互为对立事件,其概率分别P (A )＝1y ,P (B )＝4x ,且x >0,y >0,所以P (A )＋P (B )＝1y ＋4x ＝1,所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1y ＋4x ＝5＋4y x ＋xy ≥5＋24y x ·xy＝9, 当且仅当x ＝6,y ＝3时取等号,所以x ＋y 的最小值为9. 14．－4解析 由题意,以A 为坐标原点,AB 方向为x 轴,AD 方向为y 轴,建立平面直角坐标系, 因为正方形ABCD 的边长为2,所以可得A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2), 设P (x ,y ),则P A →＝(－x ,－y ), PB →＝(2－x ,－y ),PC →＝(2－x,2－y ),PD →＝(－x,2－y ),所以P A →＋PB →＝(2－2x ,－2y ),PC →＋PD →＝(2－2x,4－2y ),因此(P A →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝4(1－x )2－4y (2－y )＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4, 当且仅当x ＝y ＝1时,取得最小值－4. 15．10n －2 216解析 T n 为数列{b n }的前n 项的和,T n ＝5n 2＋3n ,b n ＝T n －T n －1＝(5n 2＋3n )－[5(n －1)2＋3(n －1)]＝10n －2(n ≥2), 验证n ＝1时,b 1＝T 1＝8也符合,故b n ＝10n －2, a 1 024＝b 11＝108,a 1 025＝2a 1 024＝216. 16.⎝⎛⎭⎫2e ＋1e ，e 2＋2 解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e的图象(如图所示)．不妨令a <b <c ,则由已知和图象,得0<a <1<b <e<c <e 2, 且－ln a ＝ln b ＝2－ln c ,则ab ＝1,bc ＝e 2, 则a ＋b ＋c ＝1b ＋b ＋e 2b ＝b ＋1＋e 2b ,令g (x )＝x ＋1＋e 2x,因为g ′(x )＝1－1＋e 2x 2<0在x ∈(1,e)时恒成立,所以g (x )在(1,e)上单调递减, 所以2e ＋1e <b ＋1＋e 2b<2＋e 2.17．解 (1)由题意得⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝49，24<5a 1＋5×42d <26，∵a 1∈Z ,d ∈Z ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1,∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 18．解 (1)在△ABC 中,由正弦定理得 sin B cos A ＋33sin A ＝sin C , 又C ＝π－(A ＋B ), 所以sin B cos A ＋33sin A ＝sin (A ＋B ), 故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B , 所以sin A cos B ＝33sin A , 又A ∈(0,π),所以sin A ≠0,故cos B ＝33. (2)因为D ＝2B ,所以cos D ＝2cos 2B －1＝－13,又在△ACD 中,AD ＝1,CD ＝3,所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12, 所以AC ＝23,在△ABC 中,BC ＝6,AC ＝23,cos B ＝33, 所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B , 即12＝AB 2＋6－2·AB ×6×33,化简得AB 2－22AB －6＝0, 解得AB ＝3 2. 故AB 的长为3 2.19．(1)证明 连结BD 交AC 于O ,连结SO , 由题意得,SO ⊥AC .在正方形ABCD 中,AC ⊥BD , 又SO ∩BD ＝O ,SO ,BD ⊂平面SBD , 所以AC ⊥平面SBD ,所以AC ⊥SD .(2)解 由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示．设底面边长为a ,则高SO ＝62a . 则S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ,D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0, C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0,B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0, 又SD ⊥平面P AC ,则平面P AC 的一个法向量DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ,平面SAC 的一个法向量OD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0,则cos 〈DS →,OD →〉＝DS →·OD →|DS →||OD →|＝－12,又二面角P －AC －S 为锐二面角,则二面角P －AC －S 为60°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 由(2)知DS →是平面P AC 的一个法向量,且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ,CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ,BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →,t ∈[0,1],则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at , 又BE ∥平面P AC ,所以BE →·DS →＝0,解得t ＝13.即当SC ∶SE ＝3∶2时,BE →⊥DS →,而BE 不在平面P AC 内,故BE ∥平面P AC . 所以侧棱SC 上存在点E ,当SC ∶CE ＝3∶2时,有BE ∥平面P AC .20．解 (1)因为A ,B ,C 三镇分别有基层干部60人,60人,80人,共200人,利用分层抽样的方法选40人,则C 镇应选取80×40200＝16(人),所以这40人中有16人来自C 镇, 因为x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5, 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户．(2)由直方图得,从三镇的所有基层干部中随机选出1人,其工作出色的概率为35,显然X 可取0,1,2,3,且X ～B ⎝⎛⎭⎫3，35,则 P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125,P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫351⎝⎛⎭⎫252＝36125, P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫251＝54125, P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125, 所以X 的概率分布为所以均值E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝95.21．解 (1)由题设条件可得c a ＝12,a ＋c ＝3,解得a ＝2,c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当矩形ABCD 的一组对边所在直线的斜率不存在时,得矩形ABCD 的面积S ＝83, 当矩形ABCD 四边所在直线的斜率都存在时,不防设AB ,CD 所在直线的斜率为k ,则BC ,AD 所在直线的斜率为－1k,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,与椭圆联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，可得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0, 由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0,得m 2＝4k 2＋3, 显然直线CD 的直线方程为y ＝kx －m , 直线AB ,CD 间的距离 d 1＝2|m |k 2＋1＝2m 2k 2＋1＝24k 2＋3k 2＋1, 同理可求得BC ,AD 间的距离为d 2＝24k 2＋31k 2＋1＝24＋3k 2k 2＋1, 所以四边形ABCD 的面积为 S ABCD ＝d 1d 2＝43＋4k 2k 2＋14＋3k 2k 2＋1＝412k 4＋25k 2＋12k 4＋2k 2＋1＝412＋k 2k 4＋2k 2＋1＝412＋1k 2＋1k2＋2≤412＋14＝14.(当且仅当k ＝±1时等号成立),又S ABCD >412＝83, 综上可得外切矩形面积的取值范围是[83,14]． 22．(1)解 因为f (x )＝e x －ax －a ,所以f ′(x )＝e x －a , ①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )在区间R 上单调递增； ②当a >0时,令f ′(x )>0,x >ln a ,令f ′(x )<0,x <ln a ,所以f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增． (2)解 因为对任意的x ∈(0,2],不等式f (x )>x －a 恒成立, 即不等式(a ＋1)x <e x 恒成立． 即当x ∈(0,2]时,a <e xx－1恒成立．令g (x )＝e xx －1(x ∈(0,2]),则g ′(x )＝(x －1)e x x 2.令g ′(x )>0,1<x ≤2,g ′(x )<0,,0<x <1,所以g (x )在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增． ∴x ＝1时,g (x )取最小值e －1.所以实数a 的取值范围是(－∞,e －1)．(3)证明 在(1)中,令a ＝1可知对任意实数x 都有e x －x －1≥0, 即x ＋1≤e x (当且仅当x ＝0时等号成立)． 令x ＋1＝kn (k ＝1,2,3,…,n ),则k n <-1e kn ,即⎝⎛⎭⎫k n n <e k －n ＝e k en , 故⎝⎛⎭⎫1n n ＋⎝⎛⎭⎫2n n ＋⎝⎛⎭⎫3n n＋…＋⎝⎛⎭⎫n n n <1e n (e 1＋e 2＋e 3＋…＋e n )＝e (e n－1)(e －1)e n <e (e －1).。

一、填空题： . 1. 若会集 A 0,1 ，会集 B 0, 1 ，则A B▲.2．命题 “若 ab , 则 2a 2b ”的否命题为▲.3．若幂函数 f ( x) x( Q) 的图象过点 (2, 2 ) ，则= ▲．24．若 a , b 均为单位向量，且 a (a 2b ) ，则 a , b 的夹角大小为▲.5．若函数 f (x)2x 1m是奇函数，则 m▲.2x16．已知点 P 是函数 f ( x)cos x(0 x) 图象上一点，则曲线 y f ( x) 在点 P 处的切3线斜率的最小值为 ▲ .7．在等差数列 { a n } 中， S n 是其前 n 项和，若 S 7 =S 5 +4 ，则 S 9 S 3 = ▲.8．在 ABC 中， a,b, c 分别为角 A, B, C 的对边，若 a4 ， b 3 ， A 2B ，则 sin B =▲.9 y sin ωx( ω 0) [0, ] 上为增函数，且图象关于点 (3 π 0) 对称，则ω 的 在区间 ，．已知函数 ＝ ＞ 2取值会集为▲．DC10. 如图：梯形 ABCD 中， AB//CD ，AB ＝6， AD ＝ DC ＝ 2，若 AC BD12，则 AD BC ＝．AAB11．如图， 在等腰ABC 中， AB=AC ，M 为 BC 中点，点 D 、DE 分别在边 AB 、 AC 上，且 AD=1DB ， AE=3EC， 若E2DME90 ，则 cosA =▲.BMCx 2第 11 题12．若函数 f ( x) a x 2 在 (0,) 上单调递加，则实数 a 的取值范围是▲.13. 在四边形 ABCD1BA 1 3中， AB = DC =（ 1， 1）， BC BD ，则四边形BA BC BDABCD 的面积是 ▲ ．14．已知函数f ( x) | x3 2x2 x | (x 1)R ，且 t 0 ，使得 f (t) kt”ln x (x，若命题“ t1)是假命题，则实数k 的取值范围是▲.二、解答题：15.(本小题满分 14 分 )已知函数 f ( x) sin x a cos x(0) 满足 f (0) 3 ，且 f (x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为.（ 1）求a与的值；（ 2）若f ( ) 1，(2 , ) ，求 cos(5)的值.2 1216.(本小题满分 14 分 )设函数 y lg( x24x 3) 的定义域为 A ，函数y2, x(0, m) 的值域为B. x 1（1）当m 2时，求A B；（2）若“x A”是“x B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围 .17.(本小题满分 14 分 )设△ABC 的面积为 S，且2S 3 AB AC0 .（ 1）求角A的大小；（ 2）若| BC | 3 ，且角B不是最小角，求S的取值范围．18. (本小题满分 16 分 )如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ，其中 AB,CD,DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点 B 是该抛物线的极点， BA 所在直线是该抛物线的对称轴.经测量， AB 2 米， AD 3米， ABAD ，点 C 到 AD,AB 的距 离 CH, CRAEFGF的长均为 1 米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段BC 或 线 段 CD 上，点 E 在线段 AD 上，点G 在线段 AB 上） 设BG.的 长 为 x 米 ， 矩 形 AEFG 的 面 积 为 S 平 方 米 . （1）将 S 表 示 为 x 的 函 数 ；（2）当 x 为 多 少 米 时 ， S 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 是 多 少 ？DCHFEB G RA第18题19. (本小题满分 16 分)x已知奇函数f x 的定义域为1,1 ,当 x1,0 时 , f x1.2(1) 求函数 f x 在 0,1 上的值域；(2) 若 x0,1 ,y= 1f 2 xf x 1的最小值为 2 ,求实数的值 .4220. (本小题满分 16 分 ) 已知函数 fxe x ， g xx m ， mR .（ 1）若曲线yf x 与直线yg x 相切，求实数m 的值；（ 2）记 h xfxg x ，求 h x 在0，1 上的最大值；（ 3）当 m0 时，试比较 e f x 2 与 g x 的大小 .期中模拟试卷 1 数学参照答案一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，计 70 分.1.0,1, 12. 若 a b , 则 2a2b 3.4.15. 276. 37. 228.39. 1210. 511.112. [ 4,0]13.7 14. (1,1]2357 e二、解答题： 本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地域内.15．解：（ 1）f (0) 3 ， sin 0 a cos 0 3 ， 解 得 a3 ， 2 分f ( x) s i n x3 c o sx2 s i xn ( ，4 分f (x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为 3，T 2 2| | 1 ，又0 ，所以 1 .6 分| ，|（ 2）f ( )1， sin()1， 8 分3 2(, ) ，( ,5)， 3 6 ，即 ， 10分2 236 66cos(5) cos 7 7 cos()12 12 cos123 4cos(5 ) cos 3 cos sin sin 26 .1412 4 3 44x 24x 3 01 x 3 A(1,3) 216 1y2 1 (0, m)y ( 2 ,2)B( 2 ,2) 4x(2,2)Am 1m 1m2BB(1,2). 632m 0 8“x A ” “xB ”B ? A2 ,2)? (1,3)10(2m1112m 1m 1.14171ABC A, B,Ca, b, c 2S 3 ABAC 021bc sin A 3bc cos A 0 s in A 3 cosA0 22tan A 3 4A(0, )2 . 6A32BC3a33bc2sin Bsin Csinb 2sin B,c2sin C 8 3S1bcsin A3sin B sinC3 sin B sin(B) 10233sin B(313(31 cos2 B 3)3 cosB sin B)sin 2B4 ) sin(2B12224264B( ,), 2B ( ,5)S (0,33 ).1466 2 64181BBA x.2BCy 22px ( p 0)C (1,1)2 p1yBC yx (0 x 1) . 4C (1,1),D (2,3)CDy 2x 1(1 x 2) .6C GA2 xFx (2 x), 0 x1,S8 (2 x 1)(2 x),1 x 2.13BG R20 x 1Sx (2x) 2x 2x 2DHEA x所以 S13 1 2 3x 0 ，得 x2x22 x 22 ，由 S，10分x3当 x (0, 2) 时， S0 ，所以 S 递加；3当 x (2,1) 时， S0 ，所以 S 递减，所以当 x2 时， S max4 6 ；12分33 9②当 1x 2 时，因为 S (2 x 1)(2 x)2( x5) 2 9 ，59 4 8所以当 xS max时，；14分48综上，因为 9 46，所以当 x5 米时， S max 9平方米 .16分8 9 4 8AD 所在直线为 x 轴，建立 （说明 ：本题也可以按其他方式建系，如以点A 为坐标原点，平面直角坐标系，仿此给分）1 x19、解 :(1) 设 x0,1 ,则 x1,0 时,所以 fx2 x2又因为 f x 为奇函数 ,所以有 f xf x 所以当 x 0,1 时, f xf x 2x,所以 f x1,2 ,又 f 0 0 所以 ,当 x0,1 时函数 f x 的值域为 1,2 { 0} . 7分(2) 由 (1)知当 x0,1 时 f x1,2 ,所以 1 f x1,122令 t 1 f x ,则 1t,22 11 f2 t 222g txf x 1 t 1 t219 分4 24①当1 ,即1 时 , g t12 2g ,无最小值 ,2②当121 即12 时, g t ming12 ,2 2,24解得 2 3 舍去③当2 1 ,即 2 时 , g t ming 12 ,解得415分综上所述,416分20．解：（ 1）设曲线f xe x 与 g xx m 相切于点 P x 0 , y 0 ，由 f x e x ，知e x 0 =1，解得x 00 ， 2 分又可求得点 P 为 0，1 ，所以代入 g xx m ，得 m 1. 4分（2）因为 h xx m e x ，所以 h x e xx m e xx ( m 1) e x , x [0,1] .①当 m 1 0 ，即 m 1 时， h x0，此时 h x 在 0，1 上单调递加，所以h x maxh 1 1 m e ； 6 分②当 0 m 1 1即1 m 2 时，当 x 0， m 1 时， h x 0 ， h x 单调递减， 当 xm 1,1 时， h x0 ， h x 单调递加， h 0m ， h 11 m e .(i) 当 m1 m e ，即em 2 时， h x maxh 0m ；e 1(ii) 当 m1 m e1 me时，h xmaxh 1 1 m e； 8分，即e 1③ 当 m 1 1 ， 即 m 2 时 ， h x 0 ， 此 时 h x 在 0，1 上单调递 减，所以h xminh 0m .综上，当 me1 时，h x max1 m e ；当 me时，h x maxm . 10分ee 1(3)当 m 0时， efx 2=e e x2， g x x ，①当 x 0 时，显然 e f x 2g x ；②当 x 0 时， ln e fx 2=ln e e x2e x 2 ， ln g xln x ，记函数x =e x 2 ln x1 e x ln x ，12分e 2则x =12 ex1 e x21 ，可知 x 在 0,+上单调递加， 又由10 ，exx2 0 知 ，x 在 0,+上有唯一实 根 x 0 ， 且 1 x 0 2 ， 则x 0 =e x 0 21 0 ，即 e x 02 1 （ ），x 0x 0当 x0, x 0 时， x 0 ， x 单调递减； 当 x x 0，+ 时， x 0 ， x 单调递加，所以x x0 =e x0 2 ln x0，14分结合（）式 e x0 2 1 ，知 x0 2 ln x0，x01 x02 2x0 1 x0 2所以x x0 x0 1 x 2ln x 0 ，= 2=x0 0 ，则x =ex0 x0即 e x 2 ln x，所以 e e x 2 x .综上， e f x 2 g x . 16分（说明：若学生找出两个函数y e f x 2 与 y g x 图象的一条分开线，如y x 1，然后去证 e f x 2 x 1与 x 1 g x ，且取等号的条件不一致，同样给分）。