二次函数的图像1．掌握几种特殊的二次函数的图像及其性质，学会用描点法画出其大致图像；2．掌握顶点式2()(0)y a x m k a =++≠、一般式)0(2≠++=a c bx ax y 的图像和性质； 3．掌握二次函数解析式的求法，提高运算能力；4．在运用图像研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分 析、归纳和概括的能力．建议2分钟设置问题：xx 同学，上节课我们学习了二次函数的概念，你能举出生活中几个类似的关于二次函数的情形吗？答：花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥，投篮或掷铅球时球在空中经过的路线等．情境引入：投篮或掷铅球（教师现场抛橡皮）时球在空中经过的路线都会形成一条曲线，我们称之为抛物线．这些抛物线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？这些都将在新的一章--二次函数中学习。
采用课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的基本知识点。
建议8分钟建议20分钟题型Ⅰ特殊的二次函数的图像和性质例1： 二次函数211y x =-的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______;抛物线2132y x =-+的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______； 二次函数23(2)y x =+的开口______，对称轴是______，顶点坐标是_____．（★） ．【答案】向下、y 轴、（0,0）；向下、y 轴、（0,3）；向上、直线2x =-、（-2,0）．变式：二次函数252y x =-+的开口_____，对称轴是______,顶点坐标是_______；当120x x <<时，则1y ____ 2y （填“>”、“=”或“<”）．（★ ★） ．【答案】向下、y 轴、（0,2）、> ．例2：关于抛物线22y x =与抛物线223y x =--，下列说法正确的是( ) （★★） ．① 它们的对称轴都是y 轴 ② 它们的顶点坐标相同③ 它们的形状相同，开口方向不同 ④ 它们可通过平移得到函数解析式 A.①② B ．②③ C ．①③ D ．③④【分析】两函数解析式中的0b =，对称轴为y 轴. a 的绝对值相同．符号相反，所以它们的 图象形状大小相同，开口方向相反．顶点坐标一为(0，0)，一为(0，－3) ．所以只 有①、③正确．【答案】C ．变式：已知二次函数2y ax c =-，下列结论中正确的个数有( ) （★★） ． ① 图象的顶点在原点 ② 图象的对称轴是y 轴 ③ 图象与x 轴必有交点 ④ y ＝－c 一定是它的最小值 A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A ． 例3：要将二次函数21(2)3y x =-的图像平移成213y x =的图像，只需将图像( ) （★★） ．A . 向上平移2个单位B . 向下平移2个单位C . 向右平移2个单位D . 向左平移2个单位 【答案】 D ．变式：把函数22(1)y x =--的图像旋转180°后，再向_____平移_____个单位就能得到顶点为原点的抛物线__________．（★★） ． 【答案】 左、1、22y x = ．例4：如图所示，若0a <，则函数21(1)y a x =+与221y ax =-+在同一坐标平面中的大致图像是( ) （★★） ．A B C D 【答案】 C ． 变式：反比例函数k y x=和二次函数2()y k x k =+在同一坐标系中的大致图像是( ) （★★） ．【答案】 B ．例5：已知二次函数268y x =-．求（1）这个二次函数的图像与x 轴的两个交点A 、B 之间的距离； （2）若图像上另有一点21(,)3M m -，求△ABM 的面积．（★★） ． 【答案】（1） 设2680x -=，则 233x =±∴ 点A 2(3,0)3 点B 2(3,0)3- AB ＝433 （2）△ABM 的底边为AB 时高为点M 纵坐标的绝对值∴14323ABM S m ∆=⋅⋅ ∵ M 在二次函数图象上∴2216()863m =⋅--= ∴14364323ABM S ∆=⋅⋅=． 变式：抛物线21(1)2y x =-+经过点A (－3，a )． （1）求A 点关于抛物线对称轴的对称点B 的坐标；（2）若此抛物线的顶点为C .，求ΔABC 的面积．（★★） ．【答案】（1）21(1)2y x =-+过点A (－3，a ) 则a ＝－12(－3＋1)2 ＝－2点A (－3，－2) 对称轴为直线x ＝－1 ∴ 点B 为(1，－2)（2）点C (－1，0) 点A (－3，－2) B (1，－2)∴ AB ＝4 14242ABC S ∆=⋅⋅-=． 题型Ⅱ二次函数2()(0)y a x m k a =++≠的图像和性质例1：若二次函数2()(0)y a x m k a =++≠中，0,0m k <<．则它的图像顶点落在()（★★） ．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【分析】 二次函数2()(0)y a x m k a =++≠的顶点坐标为(,)m k -，现0m <，则0m ->，又0k >. ∴ 顶点的横坐标和纵坐标均大于零，则点在第一象限．【答案】 A ．变式：在同一直角坐标平面内，二次函数21(3)12y x =+-，21(3)12y x =-++，22(3)1y x =+-图像的共同特点是( ) （★★） ．A. 抛物线的形状相同B. 抛物线的对称轴相同C. 抛物线的顶点坐标相同D. 抛物线的开口方向相同 【答案】 B ．变式：将二次函数23y x =-的图像先向下平移1个单位，再向右平移2个单位后，得到的图像解析式是( ) （★★） ．A. 23(1)2y x =--+ B. 23(2)1y x =---C. 23(1)2y x =-+-D. 23(2)1y x =--+【分析】二次函数图像平移，其开口方向，大小形状均不变，唯一改变的只是顶点位置23y x =-的顶点坐标为(0，0)，向下平移1个单位，再向右平移2个单位为(2，－1)，即－m ＝2，m ＝－2，k ＝－1. 解析式为23(2)1y x =---.【答案】B ．变式：已知抛物线的顶点为(－3，1)，它是由函数21313y x x =-+-的图像平移所得，那么此抛物线的解析式为( ) （★★） ．A. 21(3)13y x =-++ B. 21(3)13y x =++C. 21(3)13y x =--+D. 21(3)13y x =-+【答案】 A ．例3：用配方法将2223y x x =-++化为2()(0)y a x m k a =++≠的形式，并求出它们图像的顶点坐标和对称轴．（★★） ．【答案】 222232()3y x x x x =-++=--+ 2112()342x x =--+++2172()22x =--+ ∴ 图象的顶点坐标为(12，72)对称轴为直线 12x =． 变式：用配方法将2112y x x =-+-化为2()y a x m k =++的形式是________．（★★） ． 【答案】211(1)22y x =--- ．例4：二次函数的图像与x 轴相交于(2，0)、(－3，0)两点，与y 轴交于点(0，－3). 那么这个二次函数的解析式为( ) （★★） ． A. 223y x x =+- B. 26y x x =+-C. 211322y x x =+- D. 211322y x x =-- 【答案】 C ．变式：如果抛物线2y ax bx c =++的图像经过(0，3)、(－1，5)两点，那么代数式a b c --的值为_______．（★★） ．【答案】 -1 ．例5：若0a <，则抛物线237y x ax =+-的顶点在( ) （★★） ． A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D ．变式：已知二次函数223y x mx m =--图像的顶点在第三象限，那么m 的取值范围__________．（★★） ． 【答案】3m <- ．例6：已知抛物线22y x bx =++的顶点恰好在x 轴上，那么b 的取值可以是( ) （★★） ．A. 0B. ±2C. 22±D. ±4 【答案】C ．变式：抛物线222y x x m =+-+的顶点恰好在直线2y x =上，那么顶点坐标是________，m 的值为__________．（★★） ．【答案】（-1，-2）、 1 ．例7：若a >0，b <0．则二次函数2y ax bx c =++的大致图像是( ) （★★） ．A B C D 【答案】 A ．变式：二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四个代数式中，值为正数的有( ) （★★） ．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】 B ．例8：:（1）若抛物线m mx x y 22++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范围；（★★） ．【答案】0m < ．（2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值；（★★） ． 【答案】 3或-5 ．（3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值；（★★） ． 【答案】 -1 ．变式：已知二次函数24y ax x b =++的图像的最高点为（2，4），求a 和b 的值．（★★） ．【答案】1,4a b =-=- ．已知抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点在第三象限，求m 的取值范围． （★★） ． 【答案】0m < ．题型Ⅲ 灵活题型例1：请你写出一个抛物线的表达式，此抛物线满足对称轴是y 轴，且在y 轴的左侧部分是上:升的，那么这个抛物线表达式可以是 ．（★★） ． 【答案】形如2(0)y ax a =>，如2y x =．变式：已知一个二次函数的图像具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线1=x 左侧的部分，图像下降，在直线1=x 右侧的部分，图像上升．试写出一个符合要求的二次函数解析式：____________ ．（★★） ．【答案】 答案不唯一，满足题意即可，如2(1)1y x =-- ．例2：已知抛物线x x y 62+=，点A （2，m ）与点B （n ，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m n +的值等于 ．（★★） ． 【答案】 -4 ．变式：抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．（★★） ． 【答案】（3,4）．例3：根据下表中关于二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ）（★★） ．（A ）只有一个交点； （B ）有两个交点，且它们分别在y 轴两侧； （C ）有两个交点，且它们均在y 轴同侧； （D ）无交点． 【答案】 B ．变式：已知c bx ax x f ++=2)(（其中c b a 、、为常数，且0≠a ），小明在用描点法画)(x f y =的图像时，列出如下表格.根据该表格，下列判断中，不．正确的是（ ）（★★） ．（A ）抛物线)(x f y =开口向下； （B ） 抛物线)(x f y =的对称轴是直线1=x ； （C ）2)3(-=f ； （D ）)8()7(f f <． 【答案】 D ．例4：已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M 、N 两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2． 求：(1) M 、N 两点的坐标；(2) 直线和抛物线的解析式；(3) 若坐标原点是O ，求△MON 的面积．（★★★） ．【答案】(1) 抛物线22y x mx =-+-和直线2y x b =-+相交于点M ，N ，且点M ，N 的横坐标分别是7和－2∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－14＋b ＝－49＋7m －24＋b ＝－4－2m －2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－16m ＝3x … －1 0 1 2 … y … －1 47- －2 47- …x … 1- 0 1 2 … y…2-5.1 45.1…y ＝－2x －16当x ＝7时，y ＝－30；当x ＝－2时，y ＝－12 ∴ 点M (7，－30) 点N (－2，－12) (2) ∵ m ＝3 b ＝－16∴ 直线解析式为y ＝－2x －16 抛物线解析式为y ＝－x 2＋3x －2(3) MON S ∆＝12(12＋30)×9－12×2×12－12×7×30＝189－12－105＝72．变式：已知抛物线2y ax bx c =++经过(1，2)、(3，0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6． 求此抛物线的函数解析式．（★★★） ．【答案】2y ax bx c =++过点(3，0)且在x 轴上截得线段长为6(1) 交点在点(3，0)的右侧，则交点为(9，0)设解析式为y ＝a (x －3)(x －9)过点(1，2) 2＝a ·16 a ＝18∴ y ＝18(x －3)(x －9)＝18x 2－32x ＋278(2) 交点在(3，0)的左侧，则交点为(－3，0)设解析式为y ＝a (x ＋3)(x －3)过点(1，2)2＝－8a a ＝－14∴ y ＝－14(x ＋3)(x －3)＝－14x 2＋94∴ 所求抛物线解析式为y ＝－14x 2＋94或y ＝18x 2－32x ＋278．总结：1．准确区分几种特殊的二次函数的图像和性质，掌握它们之间是如何进行平移变化的； 2．多动手画图，结合图形分析函数的特点，即数形结合； 3．认真审题和计算，保证基础部分不出错．课后作业：1．二次函数2(1)1y x =--的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） (A) 向上、直线1x =-、(1，1)； (B) 向上、直线1x =、(1，-1)； (C) 向下、直线1x =-、(-1，1)； (D) 向下、直线1x =、(-1，-1)． 【答案】B ．2．关于抛物线x x y 22-=，下列说法正确的是（ ）（A ）顶点是坐标原点；（B ）对称轴是直线2=x ；（C ）有最高点； （D ）经过坐标原点．【答案】 D ．3．抛物线y ＝－12(x ＋a )2的顶点坐标为(－5，0)，则图像向_____平移_____个单位就能得到解析式为y ＝－12x 2的图像． 【答案】 右、5 ．4．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()0,0A 、()4,0B ，则抛物线的对称轴为直线 ．【答案】2x = ．5．已知抛物线122-+-=x x y ，它的图像在对称轴 （填“左侧”或“右侧”）的部分 是下降的．【答案】 右侧 ．6．如果抛物线2)1(22+-++=k x x k y 与y 轴的交点为)1,0(，那么k 的值是 ．【答案】 1 ．7．一个二次函数具有下列性质：（1）图像经过点)3,0(A ；（2）当0<x 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大，当0>x 时，函数值y 随自变量x 的增大而减小. 试写出 一个满足上述两条性质的函数解析式. ．【答案】答案不唯一，如23y x =-+ ．8．二次函数2y ax bx c =++的图像，如图所示，它的对称轴是直线x ＝－1，那么下列结论中正确的个数有( )① a >0，b <0 ② a －b ＋c <0 ③ 2a －b ＝0 ④ b 2－4ac >0A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 C ．9．在同一直角坐标平面内，直线y ax b =+和抛物线2y ax bx c =++的大致图像，只可能是( )【答案】 B ．10．已知二次函数2231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧)与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．【答案】 y ＝2x 2＋3x ＋1＝2(x 2＋32x )＋1＝2(x 2＋32x ＋916)－98＋1＝2(x ＋34)2－18∴ A (－34，－18) 2x 2＋3x ＋1＝0 (x ＋1)(2x ＋1)＝0x ＝－1，x ＝－12∴ B (－1，0)C (－12，0) 又点D (0，1)∴ S ABCD ＝S △ABC ＋S △DBC ＝12·12·18＋12·12·1＝132＋14＝932即四边形ABCD 的面积为932．。
