热传导方程傅里解

傅里叶热传导定律导热微分方程傅里叶热传导定律导热微分方程：探索热传导的奥秘1、引言：了解傅里叶热传导定律热传导是我们日常生活中重要的现象之一，在多个领域都有广泛应用，包括工程、物理、化学和生物等。

傅里叶热传导定律是描述物体内部温度分布的重要方程，通过导热微分方程可以更深入地理解温度传导现象。

2、基础知识：热传导和傅里叶热传导定律热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。

傅里叶热传导定律则是一组描述热传导的微分方程，最常用的是一维传热情况下的傅里叶热传导定律。

3、傅里叶热传导定律的一维形式在一维情况下，傅里叶热传导定律可以表示为：(1) ∂T/∂t = α ∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是传热系数。

这个方程描述了温度随时间和空间变化的关系，可以帮助我们理解物体内部的温度分布情况。

4、解析解和数值解：探索温度变化的方法傅里叶热传导定律的导热微分方程是一个偏微分方程，可以通过解析解或数值解来获取温度的变化情况。

解析解适用于简单的几何形状和边界条件，而数值解则可以应用于更为复杂的情况。

5、实际应用：傅里叶热传导定律的物理意义傅里叶热传导定律的物理意义是描述热量如何在物体内部传递和分布的过程。

通过研究傅里叶热传导定律，我们可以探索不同物质和结构的热传导行为，进而优化材料的热性能、设计更高效的散热系统。

6、个人观点和理解：热传导与现代科技的关系热传导作为能量传递的重要方式之一，在现代科技发展中扮演着重要角色。

通过研究傅里叶热传导定律，我们可以更好地理解材料的热传导行为，从而开发出更高效的散热材料和散热系统，提高设备的效能，推动科技的发展。

7、总结回顾：深入理解热传导的奥秘在本文中，我们深入探讨了傅里叶热传导定律导热微分方程，从基础知识到实际应用，对热传导现象进行了全面评估。

傅里叶热传导定律导热微分方程可以帮助我们理解温度传导的机制和规律，为现代科技的发展提供了重要的理论支持，同时也为我们研究和优化热传导过程提供了有效工具。

0 x l, t 0,
t 0 : u ( x),
0 x l,
x
0
:
u 0;
x l : ux hu 0,
t 0.
上述定解问题可分解为下面两个混合问题：
ut
a 2 uxx
0,
(I ) t 0 : u ( x),
0 x l, t 0, 0 x l,
x
0
:
u 0,
其中:
u( x, t) Tk (t)sin k x; k 1
f ( x, t) fk (t)sin k x; k 1
( x) k sin k x; k 1
fk (t)
1 Mk
l
f (, t)sin
0
k d;
1l
k Mk
() sin
0
k d;
l
h
Mk 2 2(h2 k ) .
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶
定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u k n dSdt k1 (u u1 )dSdt,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
| ( x, y,z )
g( x,
y, z, t).
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2

傅里叶导热定律表达式
傅里叶导热定律是热学领域中的一条重要规律，用于描述物体内部的热传导过程。

该定律的表达式如下：
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$
其中，$u$ 表示物体内部的温度分布，$t$ 表示时间，$\alpha$ 表示热扩散系数，$\nabla^2$ 表示拉普拉斯算子，其在直角坐标系下的表达式为：
$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$
该式描述了温度场的变化与时间和空间的关系，即温度场的时间变化率与温度场在空间中的曲率有关，这也是导热系数的数学表达式。

在具体的应用中，傅里叶导热定律可以用于解决许多热传导问题，如热传导方程、热平衡方程、热传导计
算等。

傅里叶导热定律是研究物质内部热传导规律的基础，它在工程、地球物理、材料科学、生物医学等领域有广泛的应用。

除了上述的表达式外，该定律还有许多其他的形式和推论，如斯特恩-凯鲁曼-塞亚特定理、傅里叶传热定律等。

在实际应用中，人们也会根据不同的热传导问题，选择不同的傅里叶导热定律的形式和推论，来解决具体的问题。

一维热传导傅里叶方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一维热传导是热传导理论中最基础的概念之一，它描述了在一维情况下热量是如何通过物体的能量传递的。

而傅里叶方程则是描述空间中不同温度分布如何随时间演变的数学方程。

结合一维热传导和傅里叶方程，我们可以更好地理解热传导过程，并研究如何在不同情况下控制热量的传递。

本文将介绍一维热传导以及傅里叶方程的基本概念，并探讨它们在热传导领域的应用。

让我们来看一维热传导的基本概念。

一维热传导是指热量在一个维度上传递的过程。

在这种情况下，我们假设物体在垂直于传热方向的平面内是均匀的，也就是说物体的性质在这个方向上是不变的。

然后，我们可以利用热传导方程来描述热量是如何随时间和空间的变化而变化的。

热传导方程是描述热量传递的基本方程，在一维热传导中，它可以写成如下形式：\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}u(x, t)表示温度分布，x是空间坐标，t是时间坐标，\alpha是热扩散系数。

这个方程描述了温度分布随时间变化的规律，利用这个方程，我们可以研究热量是如何在物体内部传递的。

接下来，让我们来介绍傅里叶方程。

傅里叶方程描述了不同温度分布如何随时间演变的数学方程。

在一维热传导中，傅里叶方程可以写成如下形式：这个方程的解可以用傅里叶级数表示，即：u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} [A_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + B_n \sin(\frac{n\pi x}{L})]e^{-\alpha(\frac{n\pi}{L})^2t}A_n和B_n是系数，L是物体的长度。

这个方程告诉我们，任意温度分布都可以表示为一组正弦和余弦函数的线性组合，利用傅里叶级数，我们可以将任意的温度分布表示为一组基函数的线性组合。

一维热传导傅里叶方程的应用非常广泛。

文章标题：深度解析matlab傅里叶谱方法求解热传导方程在工程学和科学领域中，热传导方程是一个非常重要的偏微分方程，描述了物体内部温度分布随时间的变化。

而傅里叶谱方法是一种常用的数值求解方法，能够高效地对热传导方程进行求解。

本文将深入探讨matlab傅里叶谱方法在求解热传导方程中的应用，以及该方法在实际工程中的意义。

1. 热传导方程的基本概念热传导方程是描述物体内部温度分布随时间演化的方程。

一维情况下，热传导方程可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u(x,t)$是位置$x$和时间$t$的温度分布函数，$\alpha$是热扩散系数。

对于二维、三维情况，热传导方程的形式也可以相应拓展。

2. matlab傅里叶谱方法的基本原理傅里叶谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值求解方法。

它的基本思想是将热传导方程通过傅里叶变换转化为频域上的方程，再通过离散化的方式进行求解。

在matlab中，可以利用快速傅里叶变换（FFT）来高效地实现傅里叶谱方法。

该方法的优点是高精度、高效率，并且适用于多维情况。

3. matlab傅里叶谱方法的具体实现在matlab中，可以通过编写相应的程序来实现对热传导方程的求解。

首先需要将热传导方程进行离散化，得到一个离散的时间和空间网格。

然后利用傅里叶变换将热传导方程转化为频域上的方程，通过FFT算法高效地求解。

最后再利用逆傅里叶变换将频域上的解转化为时域的解。

通过这一系列步骤，就可以在matlab中实现对热传导方程的高效求解。

4. 实际工程中的应用与意义matlab傅里叶谱方法在实际工程中有着广泛的应用与意义。

例如在材料科学中，可以利用该方法对材料的热传导特性进行建模和仿真。

在电子工程领域，也可以利用该方法对电路元件的热特性进行分析和优化。

另外，在生物医学工程中，对人体组织的热传导特性进行研究也可以借助matlab傅里叶谱方法来实现。

热传导在三‎维的等方向均匀介质里的传‎播可用以下‎方程表达：其中：∙u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变‎量 t与空间变量(x,y,z) 的函数。

∙/是空间中一‎点的温度对‎时间的变化‎率。

∙, 与温度对三个‎空间座标轴‎的二次导数‎。

∙k决定于材料‎的热传导率、密度与热容。

热方程是傅‎里叶冷却律‎的一个推论‎（详见条目热传导）。

如果考虑的‎介质不是整‎个空间，则为了得到‎方程的唯一‎解，必须指定u 的边界条件。

如果介质是‎整个空间，为了得到唯‎一性，必须假定解‎的增长速度‎有个指数型‎的上界，此假定吻合‎实验结果。

热方程的解‎具有将初始‎温度平滑化‎的特质，这代表热从‎高温处向低‎温处传播。

一般而言，许多不同的‎初始状态会‎趋向同一个‎稳态（热平衡）。

因此我们很‎难从现存的‎热分布反解‎初始状态，即使对极短‎的时间间隔‎也一样。

热方程也是‎抛物线偏微‎分方程最简单的例‎子。

利用拉普拉斯算‎子，热方程可推‎广为下述形‎式其中的是对空间变‎量的拉普拉‎斯算子。

热方程支配‎热传导及其‎它扩散过程‎，诸如粒子扩‎散或神经细‎胞的动作电位。

热方程也可‎以作为某些‎金融现象的‎模型，诸如布莱克-斯科尔斯模‎型与 Ornst‎e in-Uhlen‎b eck 过程。

热方程及其‎非线性的推‎广型式也被‎应用于影像‎分析。

量子力学中‎的薛定谔方程‎虽然有类似‎热方程的数‎学式（但时间参数‎为纯虚数），本质却不是‎扩散问题，解的定性行‎为也完全不‎同。

就技术上来‎说，热方程违背‎狭义相对论‎，因为它的解‎表达了一个‎扰动可以在‎瞬间传播至‎空间各处。

扰动在前方‎光锥外的影响通‎常可忽略不‎计，但是若要为‎热传导推出‎一个合理的‎速度，则须转而考‎虑一个双曲‎线型偏微分‎方程。

以傅里叶级‎数解热方程‎[编辑]以下解法首‎先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年‎出版的著作‎T héor‎i e analy‎t ique‎de la chale‎u r（中译：解析热学）给出。

质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
高等传热学
热的波动性wave of the heat

产生，u( x, t)
t
( x, t; )d
0
Tn (t ) sin
n1
n
l
x
,
Tn(t)
t 0
d
fn (
) e xp[
n2
l2
2
a2(t
)]
a)2
(2)
本征问题
X X (0)
X X
(l
0 )
0
Xn( x) cos(kn x) (n 0)
(3) 按本征函数展开 ( x, t) Tn(t)cos(kn x) n1
( x,0) ~( x)
~n
2 l
l 0
cos(kn
x)~(
x
)
dx
t a2 x x
~f Tn nTn
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆

4.2.1 傅立叶定律Fourier’s Law法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。

曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。

后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。

1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律23n t A Q ∂∂λd d −=式中d Q ──热传导速率，W 或J/s ；dA ──导热面积，m 2；∂t/∂n ──温度梯度，℃/m 或K/m ；λ─导热系数,W/(m·℃)或W/(m·K)。

傅里叶定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度成正比而方向相反gradtq λ−= x y z t t t q q i q j q k i j k x y zλλλ∂∂∂=++=−−−∂∂∂r u r u u r u u r u r u u r u u r4负号表示传热方向与温度梯度方向相反q Q A t n ==−d d λ∂∂λ表征材料导热性能的物性参数λ越大，导热性能越好用热通量来表示对一维稳态热传导dxdt A Q d d λ−=注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的5(2) λ是分子微观运动的宏观表现,反映了物质微观粒子传递热量的特性。

4.2.2 导热系数thermal conductivityλ∂∂=−q t n/(1) λ在数值上等于单位温度梯度下的热通量。

λ= f(物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等）导热系数与物质几何形状无关,实验测定。

6λ金属固体> λ非金属固体> λ液体> λ气体0˚C 时：C m w °•=/22.2冰λCm w °•=/551.0水λCm w °•=/0183.0蒸汽λ(3) 各种物质的导热系数; λλλ>>固相液相气相不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同Jack 的死因7)1(0at +=λλ在一定温度范围内：式中λ0, λ──0℃, t ℃时的导热系数，W/(m·K)；a ──温度系数。

傅里叶变换法求解二维热传导方程【引言】傅里叶变换法是一种十分重要而又广泛应用的数学分析方法，它在科学与工程领域中有着诸多应用。

其中，利用傅里叶变换来解决二维热传导方程是一项重要的应用之一。

热传导方程描述了热量在空间中的传播和分布规律，而傅里叶变换法能够提供一种有效的途径来求解这一方程，对于理解热传导问题提供了重要的数学工具和方法。

【1.热传导方程的物理意义】热传导方程描述了物质内部温度的变化规律，它在自然界和工程技术中有着广泛的应用。

热传导方程可以描述在不同温度条件下热量是如何在空间中传播和分布的，对于分析和预测热传导过程是十分重要的。

在实际工程问题中，了解热传导方程的解析解，可以帮助我们更好地设计和优化热传导系统。

【2.傅里叶变换法求解热传导方程的基本思路】傅里叶变换法是一种将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的级数的方法，它可以将一个在时域上的函数转化为在频域上的函数。

而对于二维热传导方程，我们可以利用傅里叶变换来将其转化为频域上的方程，然后通过求解频域上的方程，再通过逆变换将得到的解转化回时域上，从而得到二维热传导方程的解析解。

【3.傅里叶变换法与二维热传导方程的应用】在工程领域中，热传导问题是一个经常遇到的实际问题。

在电子元件的散热设计中，需要分析元件内部温度分布情况，而傅里叶变换法求解二维热传导方程可以帮助我们更好地理解和优化散热系统。

在材料加工过程中，也需要考虑材料内部温度变化情况，从而确保加工质量，而利用傅里叶变换法求解二维热传导方程可以为我们提供更准确的温度分布信息。

【4.总结与展望】傅里叶变换法求解二维热传导方程是一个重要的数学工具，在工程领域中有着广泛的应用。

通过本文的介绍，我们了解了傅里叶变换法的基本思路和应用，以及它在解决二维热传导方程中的重要作用。

未来，在工程实践中，我们可以进一步深入应用傅里叶变换法来解决更加复杂的热传导问题，从而为工程设计和优化提供更有力的支持。

【个人观点】傅里叶变换法作为一种重要的数学分析方法，不仅在热传导问题中有着重要的应用，同时也在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

即
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。

.

物体内部通过 dS 流入小柱体的热量为 小柱体内温度升高 u 所需要的热量
dS dS'
n
( cdS u ) 随着柱高 趋于零而趋近于零
图 9.3 图9.10 11.2.2
所以当 0
由热平衡方程给出:
u k dS dt (, t )dSdt 0 n
第十章 热传导方程的付氏解
第一节 数学物理方程――热传导类型方程的建立
1.1热传导物理建模 (1)物质是热量传递的媒质,热量可以在媒质中传递, 可以从高温媒质传到低温媒质,或从媒质的高温部分传 到媒质的低温部分. (2)媒质被看成是连续的(两种媒质分界面除外),故 媒质的物理性质可用连续函数来表示,如:质量密度,热 传导系数,等. (3)热量在传递的过程中遵守热力学第一定律,第零 定律,以及第二定律. (4)热量传导遵守傳里叶定律和牛顿散热定律.
k 2a 2 t
（称为自然边界条件。也 构成一类特征值问题）
K不能是复数，否则温度会随时间作振荡，这与能 量守恒不符，固k只能是实数，且可只取大于零的 实数，因k是以平方的形式引入方程的。这时
x xk a( k )cos kx b( k )sin kx
得到一系列特解：
uk e
k 2a 2 t
[a( k )cos kx b( k )sin kx ], ( k 0)
很显然这些特解一般地并不满足初始条件，取这些解 的线性叠加作为问题的半通解，并要求其满足所给初 始条件，即
u( x , t ) e
0 k 2a 2 t
[a ( k )cos kx b( k )sin kx ]dk
例: ut a 2 uxx , (0 x l , t 0) u(0, t ) 0, u( l , t ) 0, ( t 0) u( x ,0) ( x ), (0 x l ) 分离变数解法与第九章相同

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：∙u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。

∙/是空间中一点的温度对时间的变化率。

∙, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。

∙k决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。

如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。

一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。

因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。

热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。

量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。

扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。

先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。

方程如下：其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。

假设下述初始条件
在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。
其中函数 f 是给定的。再配合下述边界条件 .
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。现在将 u 代回方程 (1)，
由于等式右边只依赖 x，而左边只依赖 t，两边都等于某个常数 − λ，于是：
汉 漢▼ [编辑]
其中：
u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。
/ 是空间中一点的温度对时间的变化率。
,
与
温度对三个空间座标轴的二次导数。
k 决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
一维热方程图解 (观看动画版)
热传导方程 - 维基百科，自由的百科全书
以傅里叶级数解热方程
以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个 空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：
[编辑]
其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。 x 是空间变量，所以 x ∈ [0,L]，其中 L 表示棍子长度。 t 是时间变量，所以 t ≥ 0。
最后，序列 {en}n ∈ N 张出 L2(0, L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ 对角化。
非均匀不等向介质中的热传导
[编辑]
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一 块区域的热量。
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量 qt(V) 给出。假设 q 有个密度 Q(t,x)，于是

热传导和导热系数的计算方法热传导是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程，其本质是物体内部粒子（如电子、原子、分子）的振动和碰撞引起的能量传递。

热传导的计算方法主要包括傅里叶定律、导热系数的概念及其计算方法。

1.傅里叶定律傅里叶定律是热传导的基本定律，表述为：物体内部的热流密度q与温度梯度dT/dx之间存在以下关系：[ q = -k ]其中，q表示热流密度，单位为瓦特每平方米（W/m^2）；k表示导热系数，单位为瓦特每米·开尔文（W/m·K）；dT/dx表示温度梯度，单位为开尔文每米（K/m）。

2.导热系数导热系数是描述材料导热性能的一个物理量，定义为：在稳态热传导条件下，1米厚的物体，在两侧表面温差为1开尔文时，单位时间内通过单位面积的热量。

导热系数用符号k表示，其单位为瓦特每米·开尔文（W/m·K）。

导热系数的计算方法主要有：（1）实验测定：通过实验方法，如热线法、热板法等，测定材料的导热系数。

（2）理论计算：根据材料的微观结构和组成，运用热力学和物理学原理，计算导热系数。

例如，对于均匀多晶材料，导热系数可通过以下公式计算：[ k = ( k_1 + k_2 + k_3 ) ]其中，k1、k2、k3分别为材料三个方向上的导热系数。

3.热传导的计算方法热传导的计算方法主要包括以下步骤：（1）建立热传导模型：根据实际问题，假设物体为均匀、各向同性或各向异性，简化模型以便于计算。

（2）确定边界条件和初始条件：如物体表面的温度、热流密度等。

（3）选择合适的数学方法求解：如有限差分法、有限元法、解析法等。

（4）分析结果：根据计算得到的温度分布、热流密度等，分析问题的热传导特性。

总之，热传导和导热系数的计算方法是热力学和物理学中的重要知识点，掌握这些方法有助于我们更好地理解和解决实际中的热传导问题。

习题及方法：1.习题：一长方体铜块的尺寸为2m×1m×0.5m，左表面温度为100℃，右表面温度为0℃。

热传导公式[整理版]第二节传导传热传导传热也称热传导，简称导热。

导热是依靠物质微粒的热振动而实现的。

产生导热的必要条件是物体的内部存在温度差，因而热量由高温部分向低温部分传递。

热量的传递过程通称热流。

发生导热时，沿热流方向上物体各点的温度是不相同的，呈现出一种温度场，对于稳定导热，温度场是稳定温度场，也就是各点的温度不随时间的变化而变化。

本课程所讨论的导热，都是在稳定温度场的情况下进行的。

一、传导传热的基本方程式----傅立叶定律在一质量均匀的平板内，当t > t热量以导热方式通过物体,从t向t方向传递,如图3-7所1212示。

图3-7 导热基本关系取热流方向微分长度dn，在dt的瞬时传递的热量为Q，实验证明，单位时间内通过平板传导的热量与温度梯度和传热面积成正比，即:dQ?dA?dt/dn写成等式为:dQ=-λdA?dt/dn (3-2)式中 Q-----导热速率，w;2 A------导热面积，m;dt/dn-----温度梯度，K/m;λ------比例系数，称为导热系数，w/m?K;由于温度梯度的方向指向温度升高的方向，而热流方向与之相反，故在式(3-2)乘一负号。

式(3-2)称为导热基本方程式，也称为傅立叶定律，对于稳定导热和不稳定导热均适用。

二、导热系数λ导热系数是物质导热性能的标志，是物质的物理性质之一。

导热系数λ的值越大，表示其导热性能越好。

物质的导热性能，也就是λ数值的大小与物质的组成、结构、密度、温度以及压力2等有关。

λ的物理意义为:当温度梯度为1K/m时，每秒钟通过1m的导热面积而传导的热量，其单位为W/m?K或W/m??。

各种物质的λ可用实验的方法测定。

一般来说，金属的λ值最大，固体非金属的λ值较小，液体更小，而气体的λ值最小。

各种物质的导热系数的大致范围如下:金属 2.3,420 w/m?K建筑材料 0.25,3 w/m?K绝缘材料 0.025,0.25 w/m?K液体 0.09,0.6 w/m?K气体 0.006,0.4 w/m?K固体的导热在导热问题中显得十分重要，本章有关导热的问题大多数都是固体的导热问题。

第八章热传导方程的付氏解本章讨论一维热传导方程和扩散方程，首先介绍热传导方程的导出，并给出定解条件，然后介绍无界空间的分离变量法，最后讨论一端有界的热传导问题。

大纲要求：1. 掌握热传导方程(扩散方程)的导出2. 掌握付里叶积分的概念3. 掌握无界空间的分离变量法4. 能处理一维半无界问题重点难点：1. 付里叶积分2. 无界空间的分离变量法3. 半无界问题的处理第一节热传方程和扩散方程的建立一、热传导方程的建立由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫作热传导.热传导的强弱可用“单位时间里通过单位横截面积的热量”表示，这叫做热流强度，记作．热传导起源是温度不均匀，温度不均匀可用温度梯度表示．根据实验结果，热传导定律，K-热传导系数下面我们以一根均匀细杆内热量传播为例，建立热传导方程．设细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，我们可以近似的认为，在任何时刻，横截面上的温度视为相同．这样就是一维情况．如图所示，建立坐标系，以表示X点在时刻得t的温度，问题就是要确定函数．为此把细杆加以细分，拿这段为代表加以研究。

在到时间内，自A流入B的热量为：,自B通过C流出的热量为：那么热量的净流入量为：由于：,所以上述净流入的热量使区间内的物质温度升高，设物质的比热为，细杆的密度为．则：，所以有：令，取极限得：若K为常数，则：——热传导方程如果细杆内存在热源(发出热或吸收热)，设热源的密度为，(单位时间内和单位长度上所放出的热量)，那么在时间t到内，微元段，热源所产生的热量为：那么有：方程变为：若k常数，则：其中二、扩散方程的建立由于浓度(单位体积内的分子数或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现象叫做扩散。

扩散运动的强弱可用“单位时间里通过单位横截面积的原子或分子数”表示，这叫做扩散强度，记作．扩散运动的起源是浓度不均匀，浓度不均匀的程度可用浓度梯度表示，根据实验结果，扩散定律为：(负号表示扩散转移的方向(浓度减少的方向))，D为扩散系数．对于一维情况(沿轴方向扩散)在扩散问题中研究的是浓度在空间中的分布及在时间中的变化，即：仿照热传导问题，可导出没有源的一维扩散方程如下：若D常数，记则扩散方程可写成：与热传导方程完全相似，如果有源或汇(如物质由于链式反应而增殖，或由于放射线而减少)，设浓度的增殖的时间变化率为，那么：由于扩散问题与热传导问题相似，我们可统称为输运问题。