第3讲 解析几何中的定点、定值与最值、范围问题高考定位 解析几何中的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.真 题 感 悟(2017·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.解 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1，0)，F 2(1，0).设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点，故x 0>0，y 0>0.当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符.当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0， 直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程：y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程：y ＝－x 0－1y 0(x －1).② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377；⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1无解. 因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫477，377. 考 点 整 合1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等.(1)椭圆中的最值F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有①OP ∈[b ，a ]；②PF 1∈[a －c ，a ＋c ]；③PF 1·PF 2∈[b 2，a 2]；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①OP ≥a ；②PF 1≥c －a .3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一 定点与定值问题[考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2017·南京、盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆Ω：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点，过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求出λ值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q .(1)解 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2，0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14. (2)解 存在.设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝k 1（x －2），x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0， 解得x P ＝2（k 21－1）1＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －2），x 24＋y 2＝1得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝2（4k 21－1）1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21， 所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212（k 21－1）1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)证明 设直线AC 方程为y ＝k 2(x －2)，当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0，1)，C (0，－1)， 所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎨⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－2（16k 21－1）16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 212（1－4k 21）1＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2（16k 21－1）16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 探究提高 如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点F (－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A，B 的点.(1)求椭圆E 的方程；(2)若M (－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程；(3)设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC ·OD 为定值.解 (1)因为e ＝c a ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (s ，t )，则B (－s ，t )，且s 2＋2t 2＝8.①。
