新人教版八年级数学下册18.2.3 第1课时 正方形的性质(优秀教学设计)

18.2.3 正方形第1课时 正方形的性质1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且互相垂直平分C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等 解析：选项A 不正确，菱形的对角线不相等；选项B 不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C 正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC 是对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 于点F .(1)求证：BE ＝CF ； (2)求BE 的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF ，再证明△CEF 为等腰直角三角形，即可证BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE .由BC ＝1，可列出方程，即可求得BE .(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°.∵EF ⊥AC ，∴∠EFA ＝90°.∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF .又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ；(2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，CE ＝1－x .在Rt △CEF 中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数． 解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用 【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ； (2)OF ＝12CE .解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识证明，有时也利用全等三角形解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题如图，正方形AFCE 中，D 是边CE上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED和Rt △AFB中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S 四边形ABCD ＝24cm 2，∴S正方形AFCE＝24cm 2，∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、板书设计1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．。

学生通过自己亲自动手操作，能得到最直观的体验，并能通过操作结合矩形和菱形分析得出正方形的定义。
4.类比推理，得到新知。
教师展示课件，学生根据课件提示，分析得出正方形的性质和判定方法，并通过课件动画展示清晰地了解由矩形以及菱形变化得到正方形的过程。
通过动画演示，直观地让学生清楚由矩形和菱形变化得到正方形的过程，进而得出正方形的性质和判定方法。
回顾本节课所学正方形的知识，与前面的平行四边形和矩形、菱形对比，形成知识的迁移。
5.归纳总结，巩固新知。
教师布置任务，学生分组讨论，系统总结出正方形的性质和判定方法。
学生通过小组合作，得出正方形系统的性质和判定方法，巩固知识。
6.随堂练习，学以致用。
教师展示随堂练习，学生做题以检验知识的掌握情况。
巩固知识，检验知识掌握情况。
7.课堂小结，升华知识。
师生一起回顾本节课所学的知识点。
2.让学生体会到数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识。
教学重点
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
教学难点
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用。
教学过程
教学设计
师生行为
设计意图
1.复习旧知，导入新课。
教师提出问题，学生尝试回忆并说出平行四边形、矩形、菱形的性质。
通过回忆复习前面学习的平行四边形、矩形、菱形的性质，引出本节课正方形的性质。
2.欣赏图片，思考问题。
教师总结学习过的一般和特殊的平行四边形，并提问学生生活中还有哪些常见的平行四边形，接着展示课件图片，学生得出答案。
通过学生思考并展示图片，让学生明白正方形在生活Байду номын сангаас是十分常见并被广泛应用的，知道数学与生活的密切联系。

18.2.3 正方形性质与判定（1）一、教材分析《正方形性质》这节课是九年义务教育人教版数学教材八年级下册第十八章第二节的内容。

纵观整个初中教材，《正方形》是在学生掌握了平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和轴对称等平面几何知识并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。

既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。

本节课的重点是正方形的概念和性质难点是理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系及性质的灵活运用。

根据大纲要求，本节课制定了知识、能力、情感三方面的目标。

二、教学目的1、知识与技能:（1）掌握正方形的概念、性质并会用它们进行有关的论证和计算（2）理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.2、过程与方法:经历探索归纳正方形有关性质的过程，培养学生在观察中寻求新知，在探索归纳总结过程中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。

3、情感态度与价值观:通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力三、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形的性质，正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系2．教学难点：厘清正方形、平行四边形、矩形、菱形的内在联系及正方形性质的灵活运用．四、教学准备多媒体课件五、教学流程引入——演示观察——探究、对比、归纳、总结——运用——-反思——巩固提高六、教学过程(一) 创设情境，新课引入师：假设我用同样长度的一条绳子围城一个四边形，那么围成什么样的四边形面积最大？多媒体播放生活中的正方形，师：正方形在生活中随处可见，应用广泛，在小学我们学过一些关于正方形的初步知识，今天，我们将进一步系统学习正方形的相关知识。

写出课题正方形（二）新知探索学生活动一、叙述平行四边形、矩形、菱形的定义，教师活动：通过前面的学习，我们知道了两组对边分别_____的四边形叫做平行四边形，那么什么叫矩形，什么叫菱形呢？学生说定义，教师多媒体演示平行四边形如何演变为矩形、菱形（加深定义的理解与巩固）演示完矩形、菱形定义后，（过度语：事实上，正方形比矩形、菱形更加特殊，请看演示：）（1）矩形怎样变化后就成了正方形呢?(2).菱形怎样变化后就成了正方形呢?教师引导学生观察，设问：什么样的平行四边形是正方形？类比矩形、菱形定义得出正方形定义1、正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．学生活动：请学生用矩形纸折叠一个正方形（可请一个学生上台折叠）结论：有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形。

人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质，通过前面的学习，学生已经掌握了矩形、菱形的基本性质，为本节课的学习奠定了基础。然而，正方形作为矩形和菱形的特殊形式，其性质更为丰富和独特，需要学生进行深入探究。
在实际教学中，我发现学生在学习正方形性质时，容易与矩形和菱形的性质混淆，难以理解正方形与其他平行四边形的关系。因此，在设计本节课的教学案例时，我力求突出正方形的特殊性，通过对比分析、动手操作、小组合作等环节，让学生在实践中掌握正方形的性质，提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设与正方形相关的情景，如正方形地砖的铺设、正方形图案的设计等，激发学生的学习兴趣。
2.利用多媒体展示正方形在生活中的应用，如建筑设计、电路板布局等，让学生感受正方形在实际生活中的重要性。
3.设计具有挑战性的问题，引导学生思考正方形与其他平行四边形的区别，激发学生的探究欲望。
2.设计小组合作任务，如共同绘制正方形及相关图形，让学生在实践中掌握正方形的性质。
3.鼓励小组成员相互评价、提出改进意见，促进学生的相互学习和共同进步。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己在课堂上的学习进行反思，总结正方形性质的理解和运用情况。
2.组织学生进行自我评价和同伴评价，让学生了解自己在学习过程中的优点和不足，提高自我调控能力。
3.运用多媒体教学手段，展示正方形与其他平行四边形的动态变化，帮助学生直观地理解正方形的性质。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，使学生在探究正方形性质的过程中，体验到数学的乐趣。
2.培养学生勇于尝试、主动探究的精神，鼓励学生在面对困难时，保持积极向上的态度。