江西省吉安一中下学期高二年级第二次段考数学试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。

1. 若PQ 是圆的弦，PQ 中点是（1，2），则直线PQ 方程是（ ）A. B.C.D.2. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′=C ′O ′=1，A ′O ′=，那么原△ABC 中∠ABC 的大小是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 过点（2，-2）且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（ ）A.B.C.D.4. 设圆的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）A. B. C.D.5. “方程表示焦点在轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ ）A.B.C.D.6. 若，则和所表示的曲线只可能是（ ）7. 设是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，n m n m ∥则,,βα⊂⊂C. 若βαβα⊥⊂⊂⊥则,,,n m n mD. 若βαβα⊥⊥则∥∥,,n n ，m m8. 过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交轴于E ，若M 为EF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C. 3D.9. 如图，在正方形中，E ，F 分别是，的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点G ，这样，下列五个结论：（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF 。

正确的是（ ）A. （1）和（3）B. （2）和（5）C. （1）和（4）D. （2）和（4）10. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.B.C.D.11. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为，若点A ，B 关于原点对称，则的值为（ ）A.B.C.D.12. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点（-2，0），（2，0），椭圆的一个短轴端点为B ，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则取值范围为（ ） A.B.C.D.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉安一中2015-2016学年度上学期第二次段考高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.“p q ∨”为真命题是“p q ∧”为真命题的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2.设x z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） A ．非:,2p x A x B ∀∈∉ B ．非:,2p x A x B ∀∉∉ C ．非00:,2p x A x B ∃∉∉ D ．非00:,2p x A x B ∃∈∉3.下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内 4.曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率等于（ ）A ．2e B.e C ．2 D ．15.设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既充分也不必要条件7. 若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（ ）A. (0,)+∞B. (1,0)(2,)-⋃+∞C. (2,)+∞D. (1,0)- 8.如果实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是（ ）A.3 B. 2 D. 129.方程22141x y t t +=--的图象表示曲线C ，则以下命题中（ ） 甲：曲线C 为椭圆，则14t <<；乙：若曲线C 为双曲线，则41t t ><或； 丙：曲线C 不可能是圆；丁：曲线C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则512t <<．正确个数 为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内容高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是（ ）A. 214h h h >>B. 123h h h >>C. 324h h h >>D. 241h h h >>11.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2122,//l PF l PF ⊥，则双曲线的离心率是（ ）12.如图，在体积为2的三棱锥A BCD -侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G 使:::2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（ ）A.19 B. 29 C. 17 D. 27二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若8AB =，则线段AB 中点的横坐标为________.14.图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则b =______cm ，该几何体的外接球半径为________cm .15.若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则1()2S a b c r =++，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V =________. 16.在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.以上结论其中正确的是________(写出所有正确结论的编号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(10分)（1）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．（2）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，求实数m 的取值范围．18.（12）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点(2,1)P 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若AB 的中点恰好为点P ，求直线l 的方程．19.（满分12分）如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地，为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m ．（1）求x 取1.4）；（2）若中间草地的造价为2/a m 元，四个花坛的造价为24/33ax m 元，其余区域造价为212/11aax m 元，当x 取何值时，“环岛”的整体造价最低？ 20.（12）等边三角形ABC 的边长为3，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1）.将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --为直二面角，连结1A B 、1A C （如图2）． （1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．21.（12）已知函数2()2ln f x x x ax =--，21()ln 3,g x a x x ax a R x=-+++∈． （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）令()()()h x f x g x =+，求函数()h x 的单调减区间；（3）如果12,x x 是函数()f x 的两个零点，且1214x x x <<，()f x '是()f x 的导函数，证明：122()03x x f +'>.22.（12）已知数列{}n a 的前n 项和11()2()2n n n S a n N -+=--+∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明.参考答案13. 3 14. 4,2 15. 12341()3R S S S S +++ 16.①②③④ 11.解：∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上， ∴12(,0)(,0),(,)F c F c P x y -， 渐近线1l 的直线方程为b y x a =，渐近线2l 的直线方程为by x a=-，∴bx bc bx =-即2c x =，∴(,)22c bc P a， ∵21l PF ⊥，∴2()132bcb ac a -=-，即223a b =， 因为222a b c +=，所以224a c =，即2c a =，所以离心率2ce a==. 故选B. 12.解：AA '为正三棱锥A BCD -的高；OO '为正三棱锥O BCD -有高， 因为底面BCD ∆相同，则它们的体积比为高之比， 已知三棱锥A BCD -的体积为1. 所以三棱锥O BCD -的体积为：OO AA ''…………（1） 由前面知，//FG CD 且23FG CD =， 所以由平行得到，23FG GN CD NC ==所以，25GN GC =【面BCG 所在的平面图如左上角简图】 同理，25GP GB =，则GN GPGC GB=，所以//PN BC ， 那么，25PN GN BC GC ==亦即，25GT GN GQ GC ==，设GQ x =， 那么，25GT x =， 则，2355x QT GQ GT x x =-=-=而，25TO TN GN OQ BQ GC ===所以：27TO TQ =， 则，223677535xTO QT x ==⨯=， 所以：2645357x GO GT TO x x =+=+=，所以：4377x xOQ GQ GO x =-=-=又，OQ OO GQ GG'='所以，3377xOO GG x '==' (2)且，DG GG DA AA '='， 所以：13GG AA '='．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3） 由（2）×（3）得到：311737OO AA '=⨯='代入到（1）得到：三棱锥O BCD -的体积就是17OO AA '='，15.考点：球的体积和表面积：简单空间图形的三视图；球内接多面体. 专题：计算题：空间位置关系与距离：球.分析：由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据体积公式求解可得h ，可将垂直的三条棱补成长方体，则长方体的外接球的直径2r 为长方体的对角线，由长方体的对角线性质，计算即可得到. 解答：解：根据三视图可知，几何体的体积为：115632V h =⨯⨯⨯， 又由20V =，则4h =； 可将垂直的三条棱补成长方体，则长方体的外接球的直径2r 为长方体的对角线，2r =，即有r =故答案为：4,2．16．考点：棱柱的结构特征． 专题：计算题：压轴题．分析：找出正方体中的四面体的各种图形，例如正四面体，即可判断①②的正误；侧棱垂直底面直角三角形的锐角，四面体即可判断③的正误；画出图形如图即可判断④的正误，推出选项．解答：解：在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；②每个面都是等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；③每个面都是直角三角形的四面体，侧棱垂直底面直角三角形的锐角，四面体即可，正确； ④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如图中ABCD 即可，正确，故答案为：①②③④ 17．（10分）解析：（1）由题意得，方程20x x m --=在(1,1)-上有解，所以m 的取值集合就是函数2y x x =-在(1,1)-上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以M N ⊆， 当1a =时，解集N 为空集、不满足题意；当1a >时，2a a >-，此时集合{}|2N x a x a =-<<，则1242a a ⎧-<-⎪⎨⎪≥⎩，所以94a >；18．解：（1）由题意得222312c a a b=+=，又222a b c =+， 解得228,4a b ==．∴椭圆方程为：22184x y +=． （2）设直线的斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，∴2211+184x y =，2222+184x y =， 两式相减得12121212()2()0y y x x y y x x -+++=-，∵P 是AB 中点，∴121212124,2,y y x x y y k x x -+=+==-，代入上式得：440k +=，解得1k =-， ∴直线:30l x y +-=． 19．（12）解析：（1）由题意，得291002601222105x x x x ⎧⎪≥⎪-≥⎨⎪⎪-⨯≥⨯⎩， 解得：9202015x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩，即915x ≤≤．（2）记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得2224222432414121()(10())53311514(12)121011253a y a x ax x x x a x x x πππππ=⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⎡⎤=-+-+⨯⎢⎥⎣⎦，令43214()12253f x x x x =-+-，则32241()4244(6)2525f x x x x x x x '=-+-=--+，由()0f x '=，解得1015x x ==或， 列表如下：所以当10x =时，y 取最小值，即当x 取10时，“环岛”的整体造价最低． 20．（12分）试题解析：证明：（1）因为等边ABC ∆的边长为3，且12AD CE DB EA ==， 所以1,2AD AE ==，在ADE ∆中，DAE ∠=60°， 由余弦定理得：DE ==222AD DB AB +=，所以AD DE ⊥，折叠后有AD DE ⊥，因为二面角1A DE B --是直二面角， 所以平面1A DE ⊥平面BCED ，又平面1B DE ⋂平面BCED DE =，111,A D A DE A D DE ⊂⊥平面，所以1A D ⊥平面BCED ，（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，则直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60°， 如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ，由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ， 所以1A D PH ⊥，又1A D BD D ⋂=，所以PH ⊥平面1A BD ， 所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角， 设(03)PB x x =≤≤，则,22x BH PH x ==，在1Rt PA H ∆中，0160PA H ∠=，所以112A H x =，在1Rt A DH ∆中，111,22A D DH x ==-，由22211A D DH A H +-，得222111(2)()22x x +-=，解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意，所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60°， 此时52PB =； 解法2：由（1）的证明，可知1,ED DB A D ⊥⊥平面BCED ，以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图，设2,023PB a a =≤≤则,,2BH a PH DH a ===-，所以1(0,0,1),(2,0),A P a E -，所以{}12,,1PA a =-，因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD 的一法向量为3,0)DE =因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60°，所以102sin 6024PA DE PA DE ===，解得54a =，即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意，所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角60°，此时52PB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21．解：（1）当0a =时，2()2ln f x x x =-，故(1)(1)()2(0)x x f x x x+-'=>当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减； 故当1x =时，()f x 取极大值(1)1f =-，（2）2222(2)1(21)(1)()ax a x x ax h x x x +---+'==，令()0h x '=得1211,2x x a =-=， 若0a ≥，由()0h x '<得102x <<，∴()h x 的单调减区间为1(0,)2； 若0a <，①当2a <-时，112a -<，由()0h x '<得10x a <<-，或12x >，所以()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a -+∞；②当2a =-时，总有22(21)()0x h x x-'=-≤，故()h x 的单调减区间为(0,)+∞； ③当20a -<<时，112a ->，由()0h x '<得102x <<，或1x a>-， 所以()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a-+∞；综上所述，当2a <-，()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a -+∞；当2a =-时，()h x 的单调减区间为(0,)+∞； 当20a -<<时，()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a-+∞； 当0a ≥时，()h x 的单调减区间为1(0,)2（3）由题意知，2211112222()2ln 0,()2ln 0f x x x ax f x x x ax =--==--=两式相减，整理得所以2121212ln()x x a x x x x =-+-又因为12()2f x x ax'=--，所以22122121221221113326221()(2)ln ()32332x x x x x f x x a x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+'⎢⎥=-+-=----+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，令2133(1,4),()ln ,2x t t t t x t ϕ-=∈=-+则2(1)(4)()0(2)t t t t t ϕ--'=<+， 所以()t ϕ在(1,4)上单调递减，故()(1)0t ϕϕ<= 又1221210,()03x x x x -<-->-，所以122()03x xf +'>．22．（I ）在11()22n n n S a -=--+中，令1n =，可得1112n S a a =-+=，即112a =， 当2n ≥时，2111()22n n n S a ---=--+，∴1111()2n n n n n n a S S a a ---=-=-++，∴1112()2n n n a a --=+，即11221n n n n a a --=+，设2nn n b a =，则11n n b b -=+，即当2n ≥时，11n n b b --=，又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列．于是1(1)12nn n b n n a =+-==，∴2n n n a =（II ）由（I ）得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以 23111123()4()(1)()2222n n T K n =⨯+⨯+⨯+++2341111112()3()4()(1)()22222n n T K n +=⨯+⨯+⨯+++ 由①-②得231111111111()()()(1)()22222111()133421(1)()122212n n n n n n T K n n n +-++=++++-+⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦=+-+=--， ∴332n nn T +=-， 535(3)(221)3212212(21)n n n nn n n n n T n n n ++---=--=+++ 于是只要比较2n与21n +的大小即可， （1）当1,2n =时，221nn <+，此时5021n n T n -<+，即521n nT n <+， （2）猜想：当3n ≥时，221nn >+，下面用数学归纳法证明：①当3n =时，不等式221n n >+成立；②假设3n k =≥时，不等式成立，即221kk >+； 则当1n k =+时，12222(21)422(22)282(1)1k k k k k k k k +>>+=+=++≥+>++，所以当1n k =+时，不等式221nn >+成立， 由①和②可知，当3n ≥时，221nn >+成立， 于是，当3n ≥时，5021n n T n ->+，即521n nT n >+． 另证：要证221(3)nn n >+≥，只要证：212n n ->，只要证：12112222n L n -++++>，由均值不等式得：1311211212212221222222n n n n n n n n ----++++>=≥=，所以221nn >+，于是当3n ≥时，5021n n T n ->+，即521n nT n >+．。

吉安一中2019学年度下学期期中考试高二年级数学试卷（理科） 2019、4说明：1.考试时间：120分钟，试卷满分：150分；2.有些题目有A 、B 题之分，A 班做A 卷,B 班做B 卷；3.要求将所有答案填写在答题卷上，考试结束时只交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）1.1(i z i i z ⋅=+已知为虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )3．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n·1·3·…·(2n －1)”，当“n 从k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋14．二项式()2nx +的展开式的第四项是52， 第三项的二项式系数是15，则x 的值为（ ） A ．12 B ． 14 CD ． 18 5． 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 等于( ) A ．1 B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋226．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又有黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，则所有不同的放法的种数为 （ ）A ．12B ．10C ．6D ．187．在区间 []π,0上随机取一个数x ，则事件“1x cos 3x sin ≤+”发生的概率为（ ） A ．14 B ． 13C ． 12D ． 23 8．（A 卷）设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一直角坐标系中，不．可能正确的是( )（B 卷）曲线3113y x =+在点4(1,)3处切线的倾斜角为 （ ）A ．6π B ． 56π C ． 34π D ． 4π9．设()f x 是定义在R 上的可导函数，则0'()0f x =是0x 为函数()f x 的极值点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．(A 卷)已知可导函数f （x ）的导函数为g （x ），且满足： ①[()1](2)0g x x -->②(2)()22,f x f x x --=-记()3,()1,()+2a f b f e e c f =-=-+=-41，则a ，b ，c 的大小顺序为 （ ） A ．a>b>c B ．b>a>c C ．b>c>a D ．a>c>b (B 卷)若函数33y x ax a =-+在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．12a << B ．14a << C ．24a << D ．41a a ><或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分。

普通班高二（下）第二次段考数学试卷（文科）一、单选题1．（3分）已知集合M={x|x＜2}，N={y|y=3x﹣1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}2．（3分）如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3 B．2 C．3 D．23．（3分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．4．（3分）当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元 C．4.3亿元 D．4.2亿元6．（3分）执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”8．（3分）已知A=[1，+∞），，若A∩B≠∅，则实数a 的取值范围是（）A．[1，+∞）B． C．D．（1，+∞）9．（3分）已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（n）=3，则m+n的最小值为（）A．5 B．7 C．4+4 D．910．（3分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（3分）设集合A={x|x≥﹣1}，B={x|y=ln（x﹣2}，则A∩∁R B=（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．[﹣1，2]D．[﹣1，+∞）12．（3分）若关于x的方程9x+（a+4）•3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）C．[﹣8，﹣4）D．（﹣∞，﹣8]二、填空题13．（3分）函数y=的定义域是．14．（3分）已知正实数x，y满足2x+y=2，则+的最小值为．15．（3分）若函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．16．（3分）下列四个结论，正确的是．（填序号）①a＞b，c＜d⇒a﹣c＞b﹣d；②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd；③a＞b＞0⇒；④a＞b＞0⇒．三、解答题17．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．18．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2=．19．设函数f（x）=（Ⅰ）当时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}．（Ⅰ）求实数a的值：（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．22．若二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（2）=f（﹣2），且函数的f（x）的一个零点为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意的，4m2f（x）+f（x﹣1）≥4﹣4m2恒成立，求实数m的取值范围．普通班高二（下）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）已知集合M={x|x＜2}，N={y|y=3x﹣1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}【分析】求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．【解答】解：由N中的y=3x﹣1＞0，得到N={y|y＞0}，又M={x|x＜2}，则M∩N={x|0＜x＜2}故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（3分）如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部相等求得b，得到z，代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵z==的实部和虚部相等，∴6﹣b=﹣3﹣2b，解得b=﹣9，∴z=3+3i，则|z|=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（3分）下列命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题D．若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．【分析】根据逆否命题判断A，根据充分必要条件判断B，根据三角函数的性质判断C，根据复合命题判断D．【解答】解：根据原命题与逆否命题的定义即可知道A正确；方程x2﹣3x+2=0的根为x=1，或2，∴x=1能得到x2﹣3x+2=0，而x2﹣3x+2=0得不到x=1，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，即B是错误的；“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”，故命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题，故C正确；若￢（p∧q）为真命题，则p∧q是假命题，则p，q至少1个是假命题；故D正确，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断以及三角函数的性质，是一道基础题．4．（3分）当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．即可得出．【解答】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点（3m﹣2，m﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（3分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元 C．4.3亿元 D．4.2亿元【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．6．（3分）执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值．【解答】解：由题意，y=，x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．【点评】本题考查程序框图，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．（3分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【分析】利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误；【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，充要条件的判定，基本知识的考查．8．（3分）已知A=[1，+∞），，若A∩B≠∅，则实数a 的取值范围是（）A．[1，+∞）B． C．D．（1，+∞）【分析】根据A与B的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：A=[1，+∞），，且A∩B≠∅，∴2a﹣1≥1，∴a≥1，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9．（3分）已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（n）=3，则m+n的最小值为（）A．5 B．7 C．4+4 D．9【分析】根据f（m）+f（n）=3，利用对数的运算结合基本不等式的性质可得m+n的最小值【解答】解：由题意，f（m）+f（n）=3，即log2（m﹣2）+log2（n﹣2）=3（m、n＞2），得（m﹣2）（n﹣2）=8，可得（m﹣2）（n﹣2）≤，当且仅当m=n=时取等号．即32≤（n+m﹣4）2．可得：m+n．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算和基本不等式的应用，属于基础题．10．（3分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．11．（3分）设集合A={x|x≥﹣1}，B={x|y=ln（x﹣2}，则A∩∁R B=（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．[﹣1，2]D．[﹣1，+∞）【分析】求定义域得集合B，根据交集与补集的定义写出运算结果．【解答】解：集合A={x|x≥﹣1}，B={x|y=ln（x﹣2}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，∴∁R B={x|x≤2}，∴A∩∁R B={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]．故选：C．【点评】本题考查了求定义域以及交集与补集的运算问题，是基础题．12．（3分）若关于x的方程9x+（a+4）•3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）C．[﹣8，﹣4）D．（﹣∞，﹣8]【分析】令3x=t＞0，由条件可得a=，利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．【解答】解：令3x=t＞0，则关于x的方程9x+（4+a）•3x+4=0 即t2+（4+a）t+4=0 有正实数解．故a=，由基本不等式可得：t+≥4，当且仅当t=时，等号成立，∴﹣（t+）≤﹣4，即﹣4﹣（t+）≤﹣8，∴a≤﹣8，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣8]．故选：D．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法，属中档题．二、填空题13．（3分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．14．（3分）已知正实数x，y满足2x+y=2，则+的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=2，则+==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（3分）若函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值为5，则实数a=4或﹣6．【分析】函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的几何意义是点x与点﹣1的距离及点x与点a的距离之和，从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的几何意义是：点x与点﹣1的距离及点x与点a的距离之和，故函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值为|1+a|=5，故a=4或﹣6，故答案为：4或﹣6．【点评】本题考查了学生对于绝对值的理解掌握情况，同时考查了数形结合的思想应用．16．（3分）下列四个结论，正确的是①③．（填序号）①a＞b，c＜d⇒a﹣c＞b﹣d；②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd；③a＞b＞0⇒；④a＞b＞0⇒．【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：①a＞b，c＜d⇒a+d＞b+c⇒a﹣c＞b﹣d，正确；②a＞b＞0，c＜d＜0⇒﹣ac＞﹣bd⇒ac＜bd，错误；③a＞b＞0⇒，正确；④a＞b＞0⇒a2＞b2⇒＜，错误；故答案为：①③．【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．三、解答题17．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【分析】至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）（5分）解之得：＜a＜﹣1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．【点评】本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用．18．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2=．【分析】（Ⅰ）是一古典概型问题，把基本事件的总数与满足要求的个数找出来，代入古典概率的计算公式即可．（Ⅱ）由题中的数据，计算出k2与临界值比较即可得出结论【解答】解：（Ⅰ）积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为=；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为．（Ⅱ）k2=≈11.5，∵K2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．【点评】本题把独立性检验，概率的求法，列联表等知识联系在一起，是道综合性题，难度不大．19．设函数f（x）=（Ⅰ）当时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）a=时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，可求此时函数f（x）的值域；同理可求得当x≥1时，减函数f（x）=的值域；（Ⅱ）函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，三个条件需同时成立，①≥1，②0＜a＜1，③12﹣（4a+1）•1﹣8a+4≥0，从而可解得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，所以f（x）＞f（1）=﹣2，即x＜1时，f （x）的值域是（﹣2，+∞）．（3分）当x≥1时，f（x）=是减函数，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1时，f（x）的值域是（﹣∞，0]．（5分）于是函数f（x）的值域是（﹣∞，0]∪（﹣2，+∞）=R．（6分）（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：①当x＜1，f（x）=x2﹣（4a+1）x﹣8a+4是减函数，于是≥1，则a≥．（8分）②x≥1时，f（x）=是减函数，则0＜a＜1．（10分）③12﹣（4a+1）•1﹣8a+4≥0，则a≤．于是实数a的取值范围是[，]．（12分）【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数单调性的性质，着重考查分类讨论思想在求函数值域与确定参数a的取值范围中的应用，属于中档题．20．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）在坐标系中，作出f（x）=的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．（Ⅰ）∵函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|，∴不等式f（x）≥﹣2即【解答】解：①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得﹣≤x＜1，解③求得1≤x≤6，综上，不等式的解集为M={x|﹣≤x≤6}．（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，函数f（x）=的图象如图所示：令y=x﹣a，则此直线斜率为1，﹣a表示直线的纵截距，故函数f（x）的图象在直线y=x﹣a的下方或在直线上．当直线过（1，3）点时，﹣a=2，即a=﹣2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时，条件成立；当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时，条件成立，综上a≤﹣2或a≥4．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．21．已知函数f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}．（Ⅰ）求实数a的值：（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．得a﹣3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}．所以，解得a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），求出函数g （x）的最小值，m≤g（x）的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．解得a﹣3≤x≤a+3．又不等式f （x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}．所以，解得a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），则所以函数g（x）的最小值为．由不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，得．于是实数m的取值范围为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题．22．若二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（2）=f（﹣2），且函数的f（x）的一个零点为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意的，4m2f（x）+f（x﹣1）≥4﹣4m2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数图象的对称轴为x=0，求得b=0，再由f（1）=0求得c=﹣1，从而得到函数的解析式．（Ⅱ）由题意知，得在上恒成立．令g（x）=，求得g（x）的最大值，从而得到，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（2）=f（﹣2）且f（1）=0，故函数图象的对称轴为x=0，∴b=0，c=﹣1，∴f（x）=x2﹣1．…（4分）（Ⅱ）由题意知：4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0，在上恒成立，整理得在上恒成立．…（6分）令g（x）=，∵，∴，…（8分）当时，函数g（x）的最大值，…（10分）所以，解得或．…（12分）【点评】本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题．。

江西省吉安一中2013－2014学年下学期高二年级第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 化简224(1)+ii +的结果是（ ）A. 2i +B. 2i -+C. 2i -D. 2i --2. 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点（1，(1)g ）处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处切线的斜率为（ ） A. 4 B. 14-C. 2D. 12- 3. 变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2）（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ） A. 2r ＜1r ＜0 B. 0＜2r ＜1r C. 2r ＜0＜1r D. 2r ＝1r4. 某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。

如果A 、B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则有不同的游览路线（ ）A. 120种B. 240种C. 480种D. 600种5. 某同学在电脑上进行数学测试，共10道题，答完第n 题（n ＝1,2,3,…,10）电脑都会自动显示前n 题的正确率()f n ，则下列关系不可能成立的是（ ）A. (5)2(10)f f =B. (8)(9)(9)(10)f f f f <=且C. (1)(2)(3)(10)f f f f ====D. (1)(2)(3)(10)f f f f <<<<6. 610(1(1++展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 46 C.4245 D. 42467. 若,,0()4a b c a a b c bc >+++=-且2a b c ++的最小值为（ ）A.1 B. 1 C.2 D. 28. 定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1,(0)4f x f x f +>=，则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A. (0,)+∞ B. (,0)(3,)-∞+∞ C. (,0)(0,)-∞+∞ D. (3,)+∞9. 如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（ ）A. 66B. 153C. 295D. 36110. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动（说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

2017-2018学年江西省吉安一中高二（下）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）A．（1，2]B．[1，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．[1，2）2．“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x 3．已知，则f（f（1﹣i））=（）A．2﹣i B．1 C．3 D．3+i4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）5．如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.46．已知p：存在a∈R，曲线x2+ay2=1为双曲线；q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①“p且q”是真；②“p且（¬q）”是真；③“（¬p）或q”为真；④“（¬p）或（¬q）”是真．A．1个B．2个C．3个D．4个7．从1，2，3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（）A．B．C．D．8．现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（）A．30 B．50 C．60 D．709．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．810．定义在[0，+∞）的函数f（x），对任意x≥0，恒有f（x）＞f′（x），a=，b=，则a与b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定11．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．（0，）C．（0，）D．[，）12．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD 的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点（4，5），则回归直线的方程为．14．已知f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，若f（x）+g（x）=log2（1+2x），则f（1）=．15．已知a＞0，若（x2+1）（ax+1）6的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中x2项的系数为．16．已知函数y=f（x）（x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）），在其图象上任取一点P（x，y）都满足方程x2﹣4y2=4．①函数y=f（x）一定具有奇偶性；②函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）是单调函数；③∃x0∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），使x＜2f（x）；④∀x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），使|x|＞2f（x）；以上说法正确的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．5&#215;12+10=70分）17．设函数f（x）=lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x）=，x∈（0，m）的值域为B．（Ⅰ）当m=2时，求A∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．为了促进学生的全面发展，贵州某中学重视学生社团文化建设，2014年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”．已知该同学通过考核选拨进入两个社团成功与否相互独立，根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的概率．（1）求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率p1和进入“话剧社”的概率p2；（2）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“海济社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“话剧社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修加分分数的分布列和数学期望．19．如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，EA=ED，AE⊥平面CDE．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）设M是线段BE上一点，当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为时，试确定点M的位置．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．21．已知x=1是函数f（x）=1+（1﹣x）ln（kx）的极值点，e自然对数底数．（Ⅰ）求k值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在m∈（1，+∞），使得当a＞m时，不等式（a+x）ln（a+x）＜ae x lna对任意正实数x都成立？请说明理由．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在曲线C上，求x+y的最大值和最小值．【选修4-5：不等式选讲】2015•哈尔滨校级一模）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2014-2015学年江西省吉安一中高二（下）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）A．（1，2]B．[1，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．[1，2）考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：利用不等式的解法求出集合P，函数的定义域求出集合Q，然后求解交集即可．解答：解：集合P={x|＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，Q={x|y=}={x|﹣2≤x≤2}，P∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：A．点评：本题考查集合的交集的求法，分式不等式的解法，考查计算能力．2．“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称的否定是特称，利用特称写出的否定．解答：解：根据全称的否定是特称，∴的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．点评：本题考查了全称的否定，要注意的否定与的否是两个完全不同的，全称的否定是特称．3．已知，则f（f（1﹣i））=（）A．2﹣i B．1 C．3 D．3+i考点：复数代数形式的混合运算；函数的值．专题：数系的扩充和复数．分析：根据分段函数f（x）的解析式，先求出f（1﹣i）的值，再求f（f（1﹣i））的值．解答：解：∵，∴f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2．∴则f（f（1﹣i））=f（2）=1+2=3．故选：C．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，是基础题．4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．解答：解：①y=﹣|x﹣1|=∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y=e x，在（﹣∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y=﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题．5．如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为Y轴，P（﹣2≤ξ≤2）=2P（﹣2＜ξ≤0），又P（ξ＞2）=[1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]，再由P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，可得答案．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，∴P（﹣2≤ξ≤2）=0.8∴P（ξ＞2）=[1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]=[1﹣0.8]=0.1．故选A．点评：本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题．6．已知p：存在a∈R，曲线x2+ay2=1为双曲线；q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①“p且q”是真；②“p且（¬q）”是真；③“（¬p）或q”为真；④“（¬p）或（¬q）”是真．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：根据双曲线的标准方程可判断p，解分式不等式可判断q，进而根据复合真假判断的真值表逐一判断四个的真假，可得答案．解答：解：当a＜0时，曲线x2+ay2=1为双曲线，故p：“存在a∈R，曲线x2+ay2=1为双曲线”为真；≤0的解集是{x|1≤x＜2}故q：“≤0的解集是{x|1＜x＜2}”为假；“p且q”是假，即①错误；“p且（¬q）”是真，即②正确；“（¬p）或q”为假，即③错误；“（¬p）或（¬q）”是真，即④正确．故选：B．点评：本题以的真假判断为载体考查了复合的真假，双曲线的标准方程，解分式不等式等知识点，难度不大，属于基础题．7．从1，2，3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意知，5个数的中位数是5，说明5之前4个数中取2个，5之后4个数中取2个，根据概率公式计算即可．解答：解：5之前4个数中取2个，5之后4个数中取2个，P==．故选：C．点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题．8．现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（）A．30 B．50 C．60 D．70考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论，1、每辆乘坐3人，2、一辆车4人，一辆车2人，分别计算每种情况下的乘车种数，再由分类加法原理求和即可．解答：解：根据题意，由于6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则分2种情况讨论：1、每辆乘坐3人，先将6人平均分成2组，有C63=10种分组方法，再将这2组对应2辆出租车，有A22=2种情况，则此时的乘车方法种数为10×2=20种，2、一辆车4人，一辆车2人，先将6人分成2组，一组4人，另一组2人，有C62C44=15种分组方法，再将这2组对应2辆出租车，有A22=2种情况，则此时的乘车方法种数为15×2=30种，共有20+30=50种故选：B．点评：本题考查排列、组合的应用，本题要先分组，再对应2辆出租车，注意分组时平均分组公式与不平均分组公式的不同．9．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x）成立，且f（1）=8，则f（2012）+f（2013）+f（2014）的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，然后根据函数的周期性和奇偶性进行求值转化即可．解答：解：∵奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，且f（0）=0，f（2）=﹣f（0）=0．则f（2012）=f（0）=0，f（2013）=f（1）=8，f（2014）=f（2）=0，∴f（2012）+f（2013）+f（2014）=8，故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，根据条件得到函数是周期性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．10．定义在[0，+∞）的函数f（x），对任意x≥0，恒有f（x）＞f′（x），a=，b=，则a与b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：构造新函数，研究其单调性即可．解答：解：令，则g′（x）==，∵对任意x≥0，恒有f（x）＞f′（x），e x＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）是在定义域上是减函数，所以g（2）＞g（3），即a＞b，故选：A．点评：本题考查函数的单调性，构造新函数是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．（0，）C．（0，）D．[，）考点：函数的图象；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．解答：解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．由于函数f（x）=，则其图象如图所示，从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，又（t，s）满足：，解得t=e，∴斜率k=a==，故选：A．点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，画出函数f（x）的图象是解题的关键，这里运用了数形结合的思想．12．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD 的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A． B．C．D．考点：棱柱的结构特征；函数的图象．专题：图表型．分析：先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为f（x）=BD×PO，再在△PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f（x）的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．解答：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f（x）=BD×PO，在三角形PAO中，PO==，∴f（x）=××=，画出其图象，如图所示，对照选项，A正确．故选A．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点（4，5），则回归直线的方程为=2x﹣3．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：根据回归直线斜率的估计值为2，样本的中心点为（4，5），借助点斜式方程，可求得回归直线方程．解答：解：回归直线斜率的估计值为2，样本的中心点为（4，5），根据回归直线方程恒过样本的中心点，可得回归直线方程=2x﹣3．故答案为：=2x﹣3．点评：本题的考点是线性回归方程，主要考查回归直线方程的求解，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本的中心点．14．已知f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，若f（x）+g（x）=log2（1+2x），则f（1）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据函数的奇偶性，利用赋值法直接建立方程组就可求出结果．解答：解：f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，则：f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）令x=1时，f（1）+g（1）=log23，①令x=﹣1时，，，②①﹣②得：2f（1）=1，则：f（1）=．故答案为：．点评：本题考查的知识要点：奇函数和偶函数的性质的应用，赋值法的应用，及相关的运算问题．15．已知a＞0，若（x2+1）（ax+1）6的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中x2项的系数为61．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：根据展开式中各项系数的和求出a的值，再由通项公式T r+1求出展开式中x2项的系数．解答：解：根据题意，展开式中各项系数的和是（12+1）（a+1）6=1458，∴a=2，（2x+1）6的通项公式是T r+1=•（2x）r，∴展开式中x2项的系数是1+×4=61．故答案为：61．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应弄清二项式系数、展开式中各项的系数是什么，是基础题．16．已知函数y=f（x）（x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）），在其图象上任取一点P（x，y）都满足方程x2﹣4y2=4．①函数y=f（x）一定具有奇偶性；②函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）是单调函数；③∃x0∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），使x＜2f（x）；④∀x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），使|x|＞2f（x）；以上说法正确的序号是①②③④．考点：的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据条件作出满足条件的函数图象，同时作出渐近线方程y=±x，通过图象观察可得函数的奇偶性和单调性即可判断①，②；再由双曲线的性质和图象，即可判断③，④．解答：解：满足方程x2﹣4y2=4的函数图象为双曲线的一部分，如图，函数y=f（x）对应的图象为2，4象限部分的图象，则此时f（x）为奇函数，则①正确；对于②，由图象可得函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）是减函数，则②正确；对于③，由图可知③正确；对于④，由于图象上任一点P（x，y）满足方程x2﹣4y2=4，则∀x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），由图象可得|x|＞2f（x），则④正确．故答案为：①②③④．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，图象和渐近线的关系，利用双曲线的图象是解决本题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．5&#215;12+10=70分）17．设函数f（x）=lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x）=，x∈（0，m）的值域为B．（Ⅰ）当m=2时，求A∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．专题：集合．分析：（Ⅰ）当m=2时，求出集合A，B，即可求A∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，建立集合关系即可求实数m的取值范围解答：解：（Ⅰ）由﹣x2+5x﹣6＞0，即x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3，即A=（2，3），当m=2时，g（x）=，x∈（0，2）上为减函数，∴＜g（x）＜，即B=（，），则A∩B=（2，）；（Ⅱ）∵g（x）=，x∈（0，m）上为减函数，∴＜g（x）＜，即B=（，）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊊A，即，则，即0＜m≤，故实数m的取值范围是（0，]．点评：本题主要考查函数的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键．18．为了促进学生的全面发展，贵州某中学重视学生社团文化建设，2014年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”．已知该同学通过考核选拨进入两个社团成功与否相互独立，根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的概率．（1）求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率p1和进入“话剧社”的概率p2；（2）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“海济社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“话剧社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修加分分数的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）仔细阅读题意得出有求解即可．（2）得出不等式，确定a＞0的取值有0、0.5、1、1.5．分别求解相应的概率即可．解答：解：（1）据题意，有解得（2）令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为，则a＞0的取值有0、0.5、1、1.5．P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，a|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3﹣2x+1+x﹣1≤3，x≥﹣3 0 0.5 1 1.5p 2x﹣1+x﹣1≤3所以x≥1的数学期望为：2x﹣1﹣x+1≤3．点评：本题考查了综合运用离散型的概率分布知识求解问题，关键是准确求解概率，列出分布列，得出相应的数学期望，也可以转化为不等式求解，综合性较强19．如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，EA=ED，AE⊥平面CDE．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）设M是线段BE上一点，当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为时，试确定点M的位置．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明AE⊥CD，推出CD⊥平面ADE．利用直线与平面垂直的判定定理证明AB⊥平面ADE．（2）由取AD中点O，取BC中点F，连接EO、OF．以OA、OF、OE分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，推出，设AM与平面EAD所成角为θ，利用平面EAD的一法向量，直线AM与平面EAD所成角的正弦值为，求解即可．解答：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD．（2分）在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．（4分）（2）解：由（1）得平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，取BC中点F，连接EO、OF．∵EA=ED，∴EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD．（5分）以OA、OF、OE分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，1）．（6分）设M（x，y，z）．∴=（x﹣1，y﹣2，z），=（﹣1，﹣2，1）∵B，M，E三点共线，设=λ，∴M（1﹣λ，2﹣2λ，λ），∴=（﹣λ，2﹣2λ，λ）．（8分）设AM与平面EAD所成角为θ，∵平面EAD的一法向量为=（0，1，0），（9分）∴sinθ=，∵直线AM与平面EAD所成角的正弦值为，可得：，解得λ=或λ=﹣1（舍去），（11分）∴点M为线段BE上靠近B的三等分点．（12分）点评：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）利用椭圆的定义及其性质即可得出；（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间的距离公式与，可得，再利用切线的性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切的性质可得，得到，利用两点之间的距离公式可得，同理可得，即可证明．解答：（I）解：根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，∵在椭圆上，∴，∴a=3，b2=a2﹣c2=8，椭圆的方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===，∵PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵，∵0＜x1＜3，∴，同理，∴，因此△PF2Q的周长是定值6．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知x=1是函数f（x）=1+（1﹣x）ln（kx）的极值点，e自然对数底数．（Ⅰ）求k值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在m∈（1，+∞），使得当a＞m时，不等式（a+x）ln（a+x）＜ae x lna对任意正实数x都成立？请说明理由．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）求导，从而令f′（1）=0解得k=1；从而由导数的正负确定函数的单调性；（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜ae x lna可以化为，设，则h（a+x）＜h（a），即判断是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是减函数，从而求导，由导数的正负确定函数的单调性．从而说明m值存在．解答：解：（I），由题意f′（1）=0，得k=1；此时f（x）=1+（1﹣x）lnx，定义域是（0，+∞），令，，∵g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）是减函数，且g（1）=0，因此当x∈（0，1）时，f′（x）=g（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）=g（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜ae x lna可以化为，设，则h（a+x）＜h（a），即判断是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是减函数，∵，∵，f（1）=1＞0，f（e）=2﹣e＜0，∴h′（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，分别设为x1和x2，列表：x （0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）h'（x）﹣0 + 0 ﹣h（x）↓极小↑极大↓∴h（x）在（x1，x2）是增函数，在（x2，+∞）是减函数，∵x2∈（1，+∞），∴存在这样的m值，且m=x2．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，注意“当a＞m时，不等式h（a+x）＜h （a）对任意正实数x都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，证明h（x）在（m，+∞）是减函数即可，属于中档题．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在曲线C上，求x+y的最大值和最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）直接根据极坐标和直角坐标方程互化公式求解得到其直角坐标方程，然后，再将其化为参数方程即可，（Ⅱ）依据曲线C的参数方程，可以设该点P的三角形式，然后，借助于三角函数的最值求解．解答：解：（I）C的极坐标方程化为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，∴C的直角坐标方程是x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，C的参数方程是，φ是参数；…（5分）（II）∵点P（x，y）在曲线C上，由（φ是参数）得到，∴x+y的最大值是6，最小值是2．…（10分）点评：本题重点考查极坐标方程和直角坐标方程、参数方程的互化、三角函数的最值等知识，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】2015•哈尔滨校级一模）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。

2022-2023学年江西省吉安市高二下学期第二次阶段性测试（6月）数学试题一、单选题1．直线350x y ++=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线350x y ++=可化为35333y x =--，则斜率3tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1238a a a =，516a =，则7S 的值为（）A ．127B ．128C ．63D ．64【答案】A【分析】根据条件求出1,a q ，然后可算出答案.【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1238a a a =，516a =，∴33141816a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,2a q ==，则771212712S -==-，故选：A ．3．若等差数列满足8790a a a ++>，7100a a +<，则当{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】利用等差数列的性质可得87898971030,0a a a a a a a a =+++=+><，分析即得解【详解】∵等差数列{}n a 满足78971000a a a a a +++><，，87898971030,0a a a a a a a a ∴=+++=+><890,0a a ∴><980d a a ∴=-<∴等差数列{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{}n a 的前n 项和最大时n 的值为8故选：B4．已知函数()()211e x f x x ax -=+-在(),2x ∈-∞-单调递增，在()2,1x ∈-单调递减，则函数()f x 在[]2,2x ∈-的值域是（）A ．[]1,e -B ．31,5e -⎡⎤-⎣⎦C ．11,e ---⎡⎤⎣⎦D ．35,e e -⎡⎤⎣⎦【答案】A【解析】根据题意可得()20f '-=，解得1a =-，再利用导数判断[]2,1x ∈-时单调递减；当(]1,2x ∈单调递增，从而求出最值.【详解】由()()2121x x a x a e f x -⎡⎤=+++-⎣⎦'，由已知可得()201f a '-=⇒=-，则()()211x f x x x e -=--，()()212x f x x x e -'=+-，当[]2,1x ∈-，()()0f x f x '<⇒单调递减，当(]1,2x ∈，()()0f x f x '>⇒单调递增，则()()min 11f x f ==-，()325f e --=，()2f e =，()()max 2f x f e ==，综上：()[]1,f x e ∈-.故选：A【点睛】本题考查了根据极值点求参数值、利用导数求函数的最值，属于基础题.5．已知函数()213ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求导21232()x a x f x x'⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=，令21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，由函数21()3ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值，则21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有零点，则必需(1)0(3)0g g >⎧⎨<⎩，解出即可得出.【详解】解：2123312()22x a x f x x a x x '⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=-+-=.令21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理可得若函数()g x 有零点，则必有一个负零点和一个正零点，又由函数21()3ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值，则21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有零点，由零点存在性定理可得1(1)23023(3)183302g a g a ⎧=-+-+>⎪⎪⎨⎪=-+-+<⎪⎩，解得11122a -<<.∴实数a 的取值范围是111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，关键是零点存在性定理的应用，属于中档题.6．对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，已知正项数列{}n a 满足：11a =，112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中n S 为数列{}n a 前n 项和，则12100111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦（）A ．20B ．19C ．18D ．17【答案】C【解析】由题意已知正数数列{}n a 满足：11a =，112n n nS a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求出12100111S S S S =++⋅⋅⋅+，利用不等式的性质简单放缩即可．【详解】由题意已知正数数列{}n a 满足：()11111111,22n n n n nn n a S a S S a S S --⎛⎫==+=-+ ⎪-⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221111,1n n n n n n S S S S S S ---∴=∴+=+-,因为111,S a ==所以，2n S n =，由于各项为正项，所以=n S n ，故：121,n n n n n +-<<++1111=1121n n n n n n n n n =+-<<--+++-，令12100111S S S S =+++ ，则1011918,2S S >->⇒>又因为111,S a ==所以12100111100192222S S S S -=++<-= ,即129+=192S ⎛⎫< ⎪⎝⎭,从而[]18.S =故选:C.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，椭圆C 上存在点P ，使得PF OP ⊥，则椭圆C的离心率取值范围是（）A ．30,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】不妨设(),0F c -，设(),P x y ，表示出PF ，OP，依题意可得0PF OP ⋅= 有解，根据数量积的坐标表示得到方程()2222220a b x a cx a b -++=在(),0c -上有解，根据0∆≥得到关于e 的不等式，解得即可.【详解】解：依题意不妨设F 为椭圆的左焦点，则(),0F c -，设(),P x y ，则().PF c x y =--- ，(),OP x y =uuu r ，22221x y a b +=，则22222b x y b a =-，若存在点P 使得PF OP ⊥，则存在点P 使得220PF OP x cx y ⋅=---=，即222220b x x cx b a ⎛⎫----= ⎪⎝⎭在(),0c -上有解，即()2222220a b x a cx a b -++=在(),0c -上有解，令()()222222f x a b x a cx a b =-++，显然()2200f a b =>，()()()22222222220f c a b c a c a b a c b -=--+=->，所以()()422222222Δ4002a c a b a b a cc a b ⎧=--≥⎪⎪⎨-<-<⎪-⎪⎩，即4222240a c a b c -≥且222a c <，由()22240a a c --≥，即2430e -≥，解得32e ≥或32e ≤-，由222a c <，即212e <，解得22e ≥或22e ≤-，又01e <<，所以312e >≥，即3,12⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭e .故选：B8．已知函数f (x )＝kx 2－ln x ，若f (x )＞0在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是()A ．1(,)e eB ．11(,)2e eC ．1(,)2e-∞D ．1(,)2e+∞【答案】D【分析】求出原函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，可求出k 的范围．【详解】因为()2f x kx lnx＝－所以()21212kx f x kx x x='--＝，当0k ≤时，()'0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，又当x →+∞时，()f x →-∞，不满足()0f x >在定义域(0,)+∞内恒成立；当0k >时，由()'0f x =，解得12x k=±，当1(0,)2x k∈时，()'0f x <，当1(,)2x k ∈+∞时，()'0f x >，所以当1(0,)2x k∈时，函数()f x 为减函数，当1(,)2x k ∈+∞时，函数()f x 为增函数．()min 1[]2f x f k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝=211()22k ln k k－＝1122ln k-由11022ln k ->，得1122ln k <，即12k e >所以k 的取值范围是1(,)2e+∞，答案选D ．【点睛】本题考查恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，是中档题．二、多选题9．下列命题为真命题的是（）A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+∞上是增函数B ．函数221()99f x x x =+++的最小值为2C ．“2x =”是“22x x -=-”的充要条件D ．1,1x R x x∃∈<+【答案】CD【分析】根据函数的奇偶性，基本不等式，算术平方根的性质，取特值，即可得出结论.【详解】1y x =-当1x =时，0y =，当=1x -时，2y =，所以1y x =-不是偶函数，选项A 错误；令219[3,),()t x g t t t =+∈+∞=+根据对勾函数的单调性可得，()g t 在[3,)+∞是增函数，()g t 的最小值为103，即()f x 的最小值为103，选项B 错误；220,20,2x x x x -=-≥-≥∴=，选项C 正确；当1x =时，11x x<+成立，选项D 正确.故选:CD.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数的性质、对勾函数、以及特称命题的判断，属于中档题.10．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=，则（）A ．2l 始终过定点12(,)33B ．若2l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则1a =C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．若12l l //，则1a =或3-【答案】AC【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】2:(23)20l ax a y a --+-=化为(21)320a x y y -++-=，由210x y -+=且320y -=解得12,33x y ==，即直线2l 恒过定点12(,)33，故A 正确；若2l 在x 轴和y 轴上截距相等，则2l 过原点或其斜率为1-，则2a =或()1123aa a -=-⇒=--，故B错误；若12l l ⊥，则1(32)0a a a ⨯+⨯-=解得0a =或2，故C 正确；若12l l //，则先由1(32)a a a ⨯-=⨯解得1a =或3-，再检验当1a =时12,l l 重合，故D 错误.故选：AC11．已知数列{}{},n n a b 满足：函数()2x f x =的图象经过点(),n n a b ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题中的真命题是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n b 是等比数列B ．若{}n b 是等比数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n S 是单增数列，则{}n b 是单增数列D ．若{}n b 是单增数列，则{}n S 是单增数列【答案】AB【分析】根据等差数列，等比数列的定义可判断AB ，利用特值可判断CD.【详解】若{}n a 为等差数列，则有1n n a a d +-=，则有11122202n n n n a a a d n a n b b ++-+===>，故{}n b 为等比数列，所以A 正确；若{}n b 为等比数列，因为2n an b =，所以0n b >，则有10n n b q b +=>，则有11222n n n n a a a a q ++-==，则有12log n n a a q +-=，故{}n a 为等差数列，所以B 正确；设1n a =，则有1,22n n S n b ===，可知{}n S 单增，但{}n b 不单增，故C 错误；设3n a n =-，则有32n n b -=，则{}n b 为单增数列，但1121212,3S a S a a a ==-=+=-<，所以{}n S 是单增数列不成立，故D 错误.故选：AB.12．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 的长轴长为517+【答案】ACD【解析】利用椭圆定义1QF 替换为22a QF -后易得最小值，判断A ；假设短轴长为2，得椭圆方程，确定P 点在椭圆外，判断B ；由P 在椭圆内得111a b+<，求出a 的范围，从而可得离心率的范围，判断C ；由11PF FQ =得Q 点坐标，利用代入椭圆方程求得a ，判断D ．【详解】A.因为12||2F F =，所以22(1,0),||1F PF =，所以122||||2||||2||21QF QP a QF QP a PF a +=-+≥-=-，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B ．若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C ．因为点(1,1)P 在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得235625(15)244a +++>==，所以152+>a ，所以1512-=<e a ，所以椭圆C 的离心率的取值范围为51(0,)2-，故正确；D ．若11PF FQ = ，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得2118522285(517)244a +++===，所以5172+=a ，所以椭圆C 的长轴长为517+，故正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，本题还用到了两个知识点：设椭圆方程为22221x y a b+=（(0)a b >>，00(,)P x y （1）P 在椭圆内部2200221x y a b ⇔+<，P 在椭圆上2200221x y a b ⇔+=，P 在椭圆外部2200221x y a b⇔+>；（2）求椭圆上点到椭圆内定点和一个焦点的距离之的最小值问题，一般把椭圆上运动到一个焦点的距离利用椭圆定义转化为到另一焦点的距离，然后易得最小值．三、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为396,5n S a a a +=+，则11S =.【答案】55【分析】根据等差数列性质可求得65a =，化简11611S a =，即可求得答案.【详解】由题意知数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，3965a a a +=+，则39615,55a a a a d -+∴+==，即65a =，所以11111611()11115552a a S a +===⨯=，故答案为：5514．若函数f (x )＝2x x ae+在x ＝3处取得极值，则a ＝.【答案】－3【分析】先对函数求导，再解方程f′(3)＝0即得a 的值，再检验即得解.【详解】f′(x)＝2222(+)()()2x x x xx a e x a e x x ae e -+-+-=''，x ∈R ，由题意f′(3)＝0，即－32＋2×3－a ＝0，∴a ＝－3.检验知a ＝－3符合题意．故答案为－3【点睛】(1)本题主要考查函数的极值的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)0()0f x '=是函数在0x x =存在极值的必要非充分条件，所以本题需要检验.15．若圆224x y +=与圆()221x a y -+=（0a >）相内切，则=a ．【答案】1【分析】由两圆相内切知圆心距等于半径差的绝对值，列方程求解即可.【详解】解：圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆()221x a y -+=的圆心为(),0a ，半径为1．所以两圆圆心间的距离为d a =，由两圆相内切得211d a ==-=，解得：1a =±．由于0a >，所以1a =.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于基础题.16．已知函数()1ln f x x m x x=--有三个零点，则实数m 的取值范围是．【答案】()2,+∞【分析】求导得到导函数，构造21y x mx =-+，确定0∆>，排除2m <-的情况，确定函数的单调性，确定()10f =，()10f x >，()20f x <，根据零点存在定理得到答案.【详解】()1ln f x x m x x=--，()0,x ∈+∞，()222111m x mx f x x x x -+'=+-=，设21y x mx =-+，24m ∆=-，当0∆≤时，210y x mx =-+≥恒成立，即()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不满足；故0∆>，即m>2或2m <-，当2m <-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，()f x 单调递增，不满足，故m>2，现证明m>2时满足条件：设方程的两个解为1x ，2x ，不妨取12x x <，12121x x x x m=⎧⎨+=⎩，1201x x <<<，当()10,x x ∈和()2,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数单调递增；当()12,x x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减；()10f =，故()10f x >，()20f x <，当x 趋近0时，()f x 趋近-∞，当x 趋近+∞时，()f x 趋近+∞，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上分别有一个零点，满足条件.综上所述：实数m 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据∆的大小分类讨论m 的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*2,n S n n n N =-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()22,211na n n nb a a +⎧⎪=⎨⎪--⎩()()()*212n k k N n k =-∈=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）1n a n =-；（2）1141163422n n ⎛⎫-⋅- ⎪+⎝⎭【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，当2n ≥时，122222n n n a S S n -=-=-，()12n a n n =-≥，，再检验1n =时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由()()()222111122n n a a n n n n +==---++可得()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++ ，分组求和即可．试题解析：(1)当2n ≥时，()()2212221122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，()12n a n n =-≥，当1n =时，由21211S =-得10a =，显然当1n =时上式也适合，∴1n a n=-(2)∵()()()222111122n n a a n n n n +==---++，∴()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++ ()02221111112222446222n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11114122214nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭+-+-1141163422n n ⎛⎫=-⋅- ⎪+⎝⎭.18．如图，设在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒，E ，F 依次为1,C C BC 的中点．(1)求异面直线1A B 、EF 所成角的余弦值；(2)求点1B 到平面AEF 的距离．【答案】(1)63；(2)6．【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦作答.（2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,0)A A B B E F ，1(2,0,2),(1,1,1)A B EF =-=-- ，11121(2)(1)6cos ,3223A B EF A B EF A B EF⋅⨯+-⨯-〈〉===⨯ ，所以异面直线1,A B EF 所成角的余弦值为63．（2）设平面AEF 的一个法向量为(,,)n a b c = ，而(0,2,1),(1,1,0)AE AF == ，则200n AE b c n AF a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1a =，得(1,1,2)n =- ，又1(2,0,2)AB = ，于是1122266AB n d n ⋅⨯+⨯=== ．所以点1B 到平面AEF 的距离为6．19．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】(1)22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程.(2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可．【详解】（1）因为圆心C 在直线l 上，所以圆心C 可设为(a ，2a -4)，由题意可得22|34(24)12||1128|1534a a a +---==+，即|1128|5a -=，所以11285a -=±，解得3a =或2311a =，所以圆心C 的坐标为(3，2)或232,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以圆C 的标准方程为22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=(2)由2=MA MO ,得2222(3)2,x y x y +-=+化简得：22230x y y ++-=，即22(1)4x y ++=，所以动点M 的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆，若点M 同时在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点，则21||21CD -≤≤+，即221(23) 3.a a ≤+-≤整理得：2251280,5120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩解得1205a ≤≤，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125].【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21CD -≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题.20．设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且12n a +、n S 、2a -成等差数列，其中n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足：12(18)(18)n n n n a b a a ++=--，其中n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 及数列{}n T 的最大项.【答案】（1）12n n a -=；（2）1111()216218n n T +=---，{}n T 的的最大项是3732T =．【分析】(1)由题意结合递推关系可证得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，据此即可求得数列的通项公式.（2）由题意可得11112218218n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，据此可得数列的前n 项和为1111216218n n T +⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，由()()1111229218n n n n n T T -+++-=--讨论数列{}nT 的最大项即可.【详解】(1)由12n a +、n S 、2a -成等差数列知，1222n n S a a +=-当2n ≥时，1222n n S a a -=-，所以112222n n n n S S a a -+-=-，12n na a +=当1n =时，由12222a a a =-得212a a =，综上对任何*n N ∈,都有12n n a a +=,又11a =，所以0n a ≠，12n na a +=所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=．（2）()()()()11!221818218218n n n n n n n a b a a -+++==----11112218218n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭∴1223111111112218218218218218218n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭ 111112218218n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭1111216218n +⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，()()1112111112221821829218n n n n n n n T T -+++++⎛⎫-=-= ⎪----⎝⎭，当2n ≤时，1n n T T +>，即1230T T T <<<；当4n ≥时，也有1n n T T +>，但0n T <；当3n =时，10n n T T +-<，1n n T T +<，即43T T <.所以数列{}n T 的的最大项是3732T =．【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．21．已知点F 1为椭圆2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的左焦点，212P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆上，PF 1⊥x 轴.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m 与椭圆交于（1，2），B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）是定值，定值为63【分析】（1）由PF 1⊥x 轴可得c ＝1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a 的值，由a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）将直线l 与椭圆的方程联立求出两根之积，由OA ⊥OB ，可得OA OB ⋅= 0，可得k ，m 的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值.【详解】（1）令焦距为2c ，依题意可得F 1（﹣1，0），右焦点F 2（1，0），1223222222PF PF a +=+==，所以222211a c b a c ===-=，，，所以椭圆方程为2212x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理可得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0，21212224222121km m x x x x k k -+=-=++，.所以y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝k 2222212m k -⋅++km 2412km k -⋅++m 2222212m k k -=+，由2222212122222223220212121m m k m k OA OB x x y y k k k ----⋅=+=+==+++ ，得3m 2＝2（k 2+1），所以原点O 到直线l 的距离为2263312m mk m ==+，为定值.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题.22．已知函数()()()311ln 13f x x ax x =---．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）2y =（2）(],0-∞【分析】（1）当2a =时，求得切点的坐标和在该点的导数也即是切线的斜率，由此求得切线方程.（2）对函数求一阶导数后，再次求导得到二阶导数，对a 分成0,0a a ≤>两类，通过研究二阶导数零点的分布，结合一阶导数恒为非负数，求得a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()3112ln 13f x x x x =---.，所以()()212ln f x x x '=--，则()()10,12k f f '===，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为2y =．（2）因为函数()y f x =当[)1,x ∈+∞时单调递增，所以当[)1,x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立，()()21ln ,f x x a x '=--令()()21ln ,x x a x ϕ=--则()()222'21a x x a x x x x ϕ--=--=．令()221122222h x x x a x a ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，则()h x 在[)1,+∞上单调递增，（i ）当()10h a =-≥，即0a ≤时，当[)1,x ∈+∞时，由()'0x ϕ≥，所以()f x '在[)1,+∞上单调递增，则()()10f x f ''≥=恒成立，所以0a ≤满足条件．（ii ）当()10h a =-<，即0a >时，()h x 在()1,+∞上存在一个零点，不妨设为0x ，当()01,x x ∈时，()'0x ϕ<，当()0,x x ∈+∞时，()'0x ϕ>；所以()f x '在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．则()()010f x f ''<=，不合题意．综上，a 的取值范围是(],0-∞．【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解恒成立问题，属于难题.。

江西省吉安市高二下理数学期 6 月阶段性测试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知全集 U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（ ）A . {x|0＜x＜1}B . {x|0≤x≤1}C . {x|x≤1}D . {x|x≥0}2. （2 分） 已知，则 =（ ）A.B.C. D.3. （2 分） (2016 高二下·黑龙江开学考) 设 的值为（ ）A. B. C. D.（其中 e 为自然对数的底数），则第 1 页 共 15 页4. （2 分） (2018·株洲模拟) 设函数函数的图象一部分可以是（ ）的图象在点处切线的斜率为 ，则A.B.C.D. 5. （2 分） 已知函数 f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A . （－1,2） B . （－∞，－3）∪（6，＋∞） C . （－3,6） D . （－∞，－1）∪（2，＋∞）6. （2 分） (2019 高二下·蕉岭月考) 已知函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围（ ）第 2 页 共 15 页，若函数A. B.C.D. 7. （2 分） (2016 高二下·晋中期中) 已知对任意 x∈R，恒有 f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当 x ＞0 时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当 x＜0 时有（ ） A . f′（x）＞0，g′（x）＞0 B . f′（x）＞0，g′（x）＜0 C . f′（x）＜0，g′（x）＞0 D . f′（x）＜0，g′（x）＜0 8. （2 分） (2017·孝义模拟) 若关于 x 的不等式 x（1+lnx）+2k＞kx 的解集为 A，且（2，+∞）⊆ A，则整 数 k 的最大值是（ ） A.3 B.4 C.5 D.69. （2 分） (2018·商丘模拟) 将函数 为偶函数，则 的最小值为（ ） A.1 B.2的图象向右平移 个单位后，得到，C.第 3 页 共 15 页D.10. （2 分） (2019 高三上·广东月考) 若 cos（ -α）= ，则 cos（ +2α）的值为（ ）A.B.C.D. 11. （2 分） (2020 高三上·泸县期末) 函数的大致图象为（ ）A.B.C.D.12. （2 分） (2020·汨罗模拟) 关于函数，下列说法正确的是（ ）第 4 页 共 15 页（1）是设函数的极小值点；（2）函数 ，若存在区间有且只有 1 个零点；（3），使在上的值域是恒成立；（4） ，则.A . (1) (2)B . (2)(4)C . (1) (2) (4)D . (1)(2)(3)(4)二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·攀枝花模拟) 如图,在直四棱柱是的中点, 为 的中点且,则中,底面是菱形,面积的最大值为________．分别14. （1 分） (2019 高二下·临川月考) 15. （1 分） (2018 高二下·赣榆期末) 已知函数第 5 页 共 15 页________.在处取得极小值，则实数 的取值范围是________.16. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 当时，设关于 的方程根的个数为 ，那么 的取值构成的集合为________（用列举法表示）三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)（）17. （10 分） (2016 高三上·金山期中) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1） 求圆 C 的极坐标方程；（φ 为参数），（2） 直线 l 的极坐标方程是 2ρsin（θ+ 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．）=3，射线 OM：θ= 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l18. （10 分） (2017 高三上·山西月考) 已知函数.（1） 若不等式的解集为，求实数 的值；（2） 在（1）的条件下，若存在实数 使成立，求实数 的取值范围.19. （10 分） (2019 高三上·双鸭山月考) 已知.（1） 当时，①在处的切线方程；②当时，求证：.（2） 若存在，使得成立，求实数 的取值范围.20. （10 分） (2019 高三上·汕头期末) 已知函数（1） 当 a=0 时，求函数 f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2） 令求函数的极值.（3） 若，正实数满足，证明：.第 6 页 共 15 页21. （10 分） (2017 高二下·溧水期末) 定义在区间[﹣2，t]（t＞﹣2）上的函数 f（x）=（x2﹣3x+3）ex （其中 e 为自然对数的底）．（1） 当 t＞1 时，求函数 y=f（x）的单调区间；（2） 设 m=f（﹣2），n=f（t），求证：m＜n；（3） 设 g（x）=f（x）+（x﹣2）ex，当 x＞1 时，试判断方程 g（x）=x 的根的个数．22. （10 分） (2019 高三上·广东月考) 已知函数．（1） 若，求的最小值；（2） 若在上单调递增，求 的取值范围；（3） 若，求证：．第 7 页 共 15 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 15 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、第 9 页 共 15 页19-2、第 10 页 共 15 页20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。