高中数学基础知识手册(理科)

高三必修一数学理科知识点数学作为一门理科学科，广泛应用于各个领域，是高中阶段的必修科目之一。

而高三是学生们重要的决胜阶段，因此复习高三必修一数学理科知识点尤为重要。

本文将从几个重要的数学理论与应用角度讨论高三必修一数学理科知识点。

一、集合论与数列集合论作为数学的基础知识，是高中数学中非常重要的一部分。

集合论是对事物的分类与归纳，而集合中的元素是具有共同特征的事物。

高三必修一数学理科知识点中，集合的基本运算、集合的表示方法、集合的关系等内容都是需要掌握的。

而数列是集合中的一种特殊形式，是指由若干项按照一定规律排列而成的序列。

数列可以用公式或递推关系表示，对于高三必修一数学理科知识点而言，数列的求和公式、通项公式都是需要重点关注的内容。

掌握了集合论与数列的知识，能够更好地理解数学中的抽象符号与公式，从而解决实际问题。

二、函数与方程函数与方程也是高三必修一数学理科知识点中的重要内容。

函数是自变量与因变量之间的关系，是对输入与输出之间的映射描述。

而方程则是描述了等式左右两边相等的关系。

掌握了函数与方程的知识，可以更好地理解数学中的变量与约束条件，帮助解决实际问题。

在高三必修一数学理科知识点中，函数的性质、函数的增减性、函数的奇偶性等是需要重点掌握的内容。

而方程的解的概念、解的性质以及方程的应用也是必不可少的。

函数与方程的知识点在高考中占有一定比重，因此对于高三学生来说，深入理解与掌握这部分内容是至关重要的。

三、几何与三角函数几何是数学中具有形象性与直观性的一部分。

在高三必修一数学理科知识点中，几何知识是涉及到图形的性质与关系，包括平面几何与立体几何。

平面几何涉及到线段、角、圆等图形的性质，而立体几何则涉及到多面体、球等图形的性质。

三角函数则是几何知识中的一部分，它将角度与长度的关系进行了数学上的描述。

三角函数包括正弦、余弦、正切等，这些函数与三角形的边长和角度之间存在着密切的关系。

高三必修一数学理科知识点中，几何与三角函数是需要重点关注的内容，掌握了这部分知识，可以帮助学生更好地理解几何图形的性质，并运用到实际问题的求解中。

高中数学知识点归纳(理科)高中数学知识点归纳（理科）一、代数与函数1. 多项式函数- 定义与性质- 常见多项式函数类型（一次函数、二次函数、三次函数等） - 图像特征与变化规律2. 指数函数与对数函数- 指数函数与对数函数的基本概念- 常见指数函数与对数函数的性质- 指数函数与对数函数的应用举例3. 三角函数- 弧度与角度的转换- 常见三角函数的定义与性质- 三角函数的图像与变化规律4. 数列与数列极限- 数列与通项公式的关系- 常见数列类型（等差数列、等比数列等） - 数列极限的概念与性质二、平面几何1. 平面几何基本概念- 点、线、面的定义与性质- 垂直、平行线与角的关系2. 三角形的性质与判定- 三角形的分类与性质- 三角形的判定方法与应用3. 圆的性质与判定- 圆的基本性质与术语- 圆的判定方法与应用4. 二次曲线方程- 抛物线、椭圆、双曲线的定义与性质- 二次曲线的标准方程与图像特征三、立体几何1. 空间几何基本概念- 空间中的点、线、面与体的性质- 空间几何基本定理与推论2. 空间图形的性质- 空间中常见几何体的性质（立方体、正四面体等） - 空间图形的计算与应用3. 空间向量- 向量的定义与性质- 向量的运算与应用- 平面与直线的向量表示与方程四、数学推理与证明1. 数学归纳法- 数学归纳法的基本原理与应用- 数学归纳法在数列、不等式证明中的应用2. 数学推理与等价命题- 命题、命题连接词与命题的真值- 数学推理法则与常用的等价命题3. 数学证明方法- 直接证明法与间接证明法- 数学证明中的常见方法与技巧五、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的计算方法与应用2. 排列与组合- 排列与组合的基本概念与性质- 排列与组合的计算公式与应用3. 统计与统计图- 数据的收集与整理- 基本统计量与统计图的绘制与分析以上是高中数学理科知识点的归纳总结。

掌握这些知识点有助于提高数学学科的理解与应用能力，为进一步的学习打下坚实的基础。

高一数学知识总结一、集合集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。

AA②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B③如果 AB, BC ,那么 AC④ 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题——一题多解&指数函数y=a^xa^a*a^b=a^（a+b） (a>0,a、b属于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)指数函数对称规律：1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称幂函数y=x^a(a属于R)1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

高三数学理科知识点大全数学作为理科的核心科目，在高三学习中起着至关重要的作用。

为了帮助高三学生全面理解和掌握数学理科知识点，本文将为大家详细介绍高三数学理科知识点大全。

一、数与运算1. 自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数的概念和性质2. 运算性质：交换律、结合律、分配律等3. 绝对值的概念和性质二、代数与函数1. 一次函数的性质与图像2. 二次函数的性质与图像3. 指数与对数的概念和运算4. 幂函数与反函数的性质5. 四则运算与乘法公式三、几何与三角1. 直线与曲线的方程2. 平面图形的性质与判定3. 空间图形的性质与判定4. 三角函数的概念和性质5. 三角形的性质与判定6. 三角恒等式的运用四、概率与统计1. 随机事件与概率的计算2. 统计图表的表示与分析3. 抽样与估计的方法4. 正态分布与标准差五、数学思维与方法1. 数学证明的方法与步骤2. 同余定理与模运算的应用3. 数列与数列的性质4. 排列组合与概率计算5. 向量与向量运算六、试题技巧与题型分析1. 高考数学试题的特点分析2. 解题方法与技巧的运用3. 常见题型的解题思路4. 模拟与真题的练习与分析通过对以上数学理科知识点的全面学习，高三学生可以更好地应对数学考试，提高自己的数学成绩。

同时，数学知识的掌握也有助于学生提高逻辑思维和问题解决的能力，对将来的学习和工作都有积极的影响。

总结：本文全面介绍了高三数学理科知识点大全，涵盖了数与运算、代数与函数、几何与三角、概率与统计、数学思维与方法等方面的内容。

通过对这些知识点的学习与掌握，高三学生可以在数学考试中取得优异成绩，并培养出良好的数学思维与解题能力。

希望本文对高三学生的数学学习能起到一定的帮助与指导作用。

高考理科数学158个知识点高考是每个学生都会经历的一次考试，对于理科生来说，数学是必考科目之一。

数学作为一门学科，内容庞大且涵盖广泛。

下面简单罗列了高考理科数学的158个知识点，供同学们参考学习。

1. 数列与数列的概念2. 等差数列的性质与求和公式3. 等比数列的性质与求和公式4. 联立方程与应用5. 一次函数与函数的概念6. 函数与函数的图像7. 二次函数与一元二次方程8. 三角函数与基本变换9. 同角三角函数与变换10. 平面向量的概念与性质11. 向量的运算与应用12. 空间几何基本概念13. 点、直线和平面的相交性质14. 解析几何基本概念与方程15. 立体几何的基本概念与性质16. 立体几何的平行性质与判定17. 空间向量运算的应用18. 几何推理与证明19. 几何画图与证明20. 三角比的性质与公式21. 三角函数的图像与变换22. 三角函数的基本性质与方程23. 三角函数的综合运用24. 三角恒等式的证明与应用25. 三角函数的图像与变换26. 三角函数的基本性质与方程27. 三角函数的综合运用28. 平面向量的基本概念与线性运算29. 平面向量的数量积与运算性质30. 平面向量的投影与夹角31. 平面向量的位置关系与证明32. 空间向量的基本概念与线性运算33. 平面向量的数量积与运算性质34. 空间向量的投影与夹角35. 空间向量的位置关系与证明36. 数学归纳法与递推关系37. 数列极限的定义与性质38. 数列极限的判断与计算39. 数列极限的应用与证明40. 函数的极限基本概念41. 函数的极限运算法则42. 函数极限的应用与证明43. 一元函数与一元函数的概念44. 函数与函数的图像45. 函数的奇偶性与周期性46. 函数的复合与反函数47. 一元函数的极值与最值48. 一元函数的单调性与变化率49. 一元函数的应用与证明50. 二次函数与一元二次方程51. 幂函数与指数函数52. 对数函数与指数方程53. 三角函数与三角方程54. 反比例函数与反比例方程55. 一元函数的综合应用与证明56. 求解与运算57. 解直线方程与运算58. 解一元一次方程组59. 解二元一次方程组60. 解非线性方程与运算61. 解代数方程与应用62. 二次函数与二次方程63. 几何方程与应用64. 复数的基本概念与运算法则65. 复数的几何意义与性质66. 复数方程与应用67. 导数的定义与性质68. 导数的基本运算法则69. 导数与函数的图像70. 导数与函数的极值与最值71. 导数与函数的单调性与变化率72. 高阶导数与高阶导数运算73. 函数的求导法与运算74. 隐函数与参数方程求导75. 函数的导数与应用76. 积分的概念与性质77. 不定积分与不定积分的计算78. 定积分的概念与性质79. 定积分的计算与应用80. 积分中值定理与不等式81. 微积分定理与应用82. 典型函数的导函数与原函数83. 可导函数的应用与证明84. 函数的导数与微分方程85. 曲线与弧长的计算与应用86. 空间的坐标与方向余弦87. 直线方程与直线的基本性质88. 平面方程与平面的基本性质89. 平面与平面的位置关系与相交性质90. 空间向量的基本概念与性质91. 空间向量的坐标运算与数量积92. 空间向量的垂直运算与夹角93. 空间向量的投影与线性运算94. 空间基本图形的性质与等距变换95. 空间坐标定位与证明96. 空间向量与线距离的应用97. 空间向量与面积体积的计算98. 空间向量与曲线方程的关系99. 空间立体图形与方程100. 空间几何的证明与应用101. 三角比的概念与性质102. 三角函数的诱导公式103. 三角函数的图像与变换104. 三角函数的奇偶性与周期性105. 三角函数的单调性与变化率106. 三角函数的综合运用与证明107. 三角恒等式的证明与应用108. 三角函数的和角、差角与倍角109. 三角函数在第一、二象限的值110. 三角函数在第三、四象限的值111. 三角函数与方程的综合运用112. 平面数形结构的性质与判断113. 几何推理与证明基本方法114. 几何图形的相似性质与判定115. 几何图形的全等性质与判定116. 几何图形的对称性质与判定117. 几何图的合成、拆分等应用118. 几何平面图形的坐标运算119. 几何平面图形与不等式证明120. 几何平面图形与证明综合运用121. 平面向量的坐标运算与数量积122. 三角函数与向量的夹角123. 向量的投影与垂直运算124. 平面向量的位置关系与证明125. 平面向量与线距离的应用126. 平面向量与面积的运算与应用127. 平面向量与曲线方程的应用128. 立体图形的视图与展开图129. 立体图形的线、面与实物的关系130. 立体图形的表面积与体积计算131. 立体图形的旋转与相似变换132. 立体几何的位置关系与证明133. 几何证明与几何构造134. 不等式的性质与解法135. 一元二次不等式与方程组136. 绝对值与不等式的应用137. 分式函数的基本性质与应用138. 开方与不等式的综合运用139. 数列与数列的概念与性质140. 等差数列的性质与求和公式141. 平面几何图形的统计与分析142. 凸多边形的定义与性质143. 多面体的定义与性质144. 三角形的定义与性质145. 三角形的三线及特殊点146. 直角三角形的定义与性质147. 平行四边形的定义与性质148. 等腰三角形的定义与性质149. 等边三角形的定义与性质150. 二次函数的定义及性质151. 二次函数的图像与变换152. 二次函数的解析式与作图方法153. 二次函数的最值与单调性154. 二次函数的根与零点问题155. 二次函数的平移与旋转156. 二次函数的求解与方程组157. 二次函数与实际问题的应用158. 数学知识的积累与运用通过了解高考理科数学的158个知识点，可以帮助同学们清晰地掌握数学学科的核心概念和考点，更好地进行学习和备考。

高中数学理科知识点数学作为一门理科学科，在高中阶段是必修课程。

它不仅培养了我们的逻辑思维能力，还为我们日后的学习和工作奠定了坚实的基础。

下面，我们将探讨一些高中数学理科的重要知识点。

一、代数与函数代数与函数是数学的重要分支，它涉及到方程、不等式、函数等概念和应用。

在代数学中，我们学习如何解方程和不等式，并应用它们解决实际问题。

同时，我们还引入了函数的概念，掌握了函数的性质、图像和应用，例如一次函数、二次函数、指数函数等。

二、数列与数列极限数列是有序的数的排列，数列极限是数列的重要概念之一。

我们研究数列的性质，如等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

通过数列极限的研究，我们能够找到数列的发展趋势，推断数列的通项公式。

三、立体几何与空间向量立体几何是研究空间中的图形与体的性质和关系的学科。

在立体几何中，我们学习了平面与空间的交点、点、线和面的性质，并应用这些性质解决问题。

此外，我们还学习了平行四边形、正方体、圆锥体等图形的性质，并能够计算它们的面积和体积。

空间向量是研究空间中有方向和大小的量的学科。

在空间向量中，我们学习了向量的概念、性质和运算，并应用空间向量解决平面几何和立体几何问题。

四、导数与微分导数是微积分学的基本概念，它是描述函数变化率的工具。

我们学习了函数的导数定义、导数的性质和计算方法，并应用导数解决实际问题。

微分是导数的运算，通过微分，我们能够求出函数在某个点的切线方程和切线斜率。

五、概率与统计概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。

我们学习了随机事件的定义、概率的计算方法，并应用概率解决实际问题。

统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。

在统计学中，我们学习了数据的整理、图表的绘制和参数的估计。

在学习高中数学理科知识点的过程中，我们要注重理论与实践相结合。

通过大量的练习，我们可以巩固知识点，提高解题能力。

此外，在遇到难题时，我们要培养良好的分析和思考能力，灵活运用已有知识解决问题。

高中数学理科知识点的掌握不仅对我们的高中阶段学习有重要的影响，更为我们日后的学习和工作打下坚实的基础。

高中数学知识点归纳理科高中数学是理科生必修的一门学科，它包含了许多重要的知识点，对于学生的学习和未来发展都具有重要的作用。

本文将对高中数学的主要知识点进行归纳，以帮助学生更好地理解和掌握该学科。

1. 代数与函数代数是数学的基础，它包括了各种数学符号和运算规则。

在高中数学中，我们学习了代数式的展开与因式分解、方程与不等式的解法、函数与图像的性质等内容。

通过学习这些内容，我们可以解决各种实际问题，并且能够更好地理解数学之美和逻辑思维的重要性。

2. 几何与三角学几何是研究空间形状、大小和相互关系的学科，而三角学则是几何中重要的一部分。

在高中数学中，我们学习了平面几何和立体几何的基本概念、性质和推理方法。

同时，我们也学习了三角函数、三角恒等式以及三角函数的应用等内容。

通过这些学习，我们能够更好地理解和运用几何和三角学的知识，解决各种与空间相关的问题。

3. 数列与数学归纳法数列是由一系列按照某种规律排列的数所组成的表达形式。

高中数学中，我们学习了数列的概念、性质和求解问题的方法。

同时，我们也学习了数学归纳法，它是一种证明数学命题成立的重要方法。

数列与数学归纳法的学习可以帮助我们更好地理解数学的发展规律和思维方法，同时也能够在实际问题中应用。

4. 概率与统计概率与统计是数学中的一门重要应用学科，它主要研究随机事件的发生规律和数据的收集与分析方法。

在高中数学中，我们学习了概率的基本概念、概率计算的方法，以及统计的基本方法和数据的分析与解读。

通过学习这些内容，我们能够更好地理解和应用概率与统计，在实际问题中进行数据的收集、分析和判断。

综上所述，高中数学的知识点包括了代数与函数、几何与三角学、数列与数学归纳法以及概率与统计等内容。

这些知识点涵盖了数学的基本原理和应用方法，对于理科生的学习和未来发展都具有重要的意义。

希望通过本文的归纳，学生们能够更好地理解和掌握高中数学，为未来的学习和发展打下坚实的基础。

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节 集合1．集合的含义与表示方法 (1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记号：自然数集N ，正整数集N *或N ＋，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R.(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U.1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.q⇒q1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A B)两者的不同．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q2．1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“⌝p或⌝q”；p且q的否定易误写成“⌝p且⌝q”．第二章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第一节 函数及其表示(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成．第二节 函数的单调性与最值1．函数的单调性如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x .3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．第三节 函数的奇偶性及周期性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．第四节 函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象―――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． (2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象,a a−−−−−−−−−−−−−→11a>1，横坐标缩短为原来的纵坐标不变0<a<1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变 y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．1．函数图象的每次变换都针对自变量“x ”而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x 变成x －12.2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．第五节 二次函数与幂函数(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 31．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．第六节 指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：n m nm a a = (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：nmnm nm a aa11==-(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.第七节 对数与对数函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围．第八节 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．21．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．第九节 函数模型及其应用(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图表示如下：1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．第十节 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yx x→→+-=为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即)(0x f '＝0000()()lim limx x f x x f x yx x→→+-= (2)导数的几何意义 ：函数f (x )在点x 0处的导数)(0x f '的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-．(3)函数f (x )的导函数： 称函数)(x f '＝0()()limx f x x f x x→+-为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，(a x )′＝a x ln a ，(e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a，(ln x )′＝1x .3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．第十一节 导数的应用1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，)(x f '在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. )(x f '≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．)(x f '≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，)(a f '＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，)(b f '＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．1．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好)(x f ＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．第十二节 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念 在∫b a f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式．2．定积分的性质(1)∫b a kf (x )dx ＝k ∫ba f (x )dx (k 为常数)；(2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝∫b a f 1(x )dx ±∫b a f 2(x )dx ；(3)∫b a f (x )dx ＝∫c a f (x )dx ＋∫bc f (x )dx (其中a ＜c ＜b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )dx ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．第三章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx .第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系:tan α＝sin αcos α.1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．第三节 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 4．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β.1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．第六节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．第四章⎪⎪⎪平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节 平面向量的概念及其线性运算平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0. a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a ，b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a . (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在运用向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方．第四节 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ . 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．第五章⎪⎪⎪数 列第一节 数列的概念与简单表示法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．第二节 等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 3．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．第三节 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k ，…为等比数列，公比为q k.1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．第四节数列求和1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n 项和：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．常用的裂项公式有：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．第六章⎪⎪⎪不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a <b . 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a > nb (n ∈N ，n ≥2)．1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．第二节 一元二次不等式及其解法21．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．第四节 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q24(简记：和定积最大)．1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．第五节 合情推理与演绎推理。

陕西高中数学知识点全总结理科陕西高中数学知识点全总结（理科）一、集合与函数概念1. 集合的含义、表示方法以及集合与集合之间的关系；2. 集合的运算，包括交集、并集、补集；3. 函数的概念、函数的定义域与值域；4. 函数的表示方法，如解析式、图象和表格；5. 函数的单调性、奇偶性及其判断方法；6. 反函数的概念以及与原函数的关系；7. 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的图像与性质；8. 函数的应用问题，如实际问题建模、函数的最值问题等。

二、数列与数学归纳法1. 数列的概念、表示方法；2. 等差数列和等比数列的通项公式、求和公式；3. 数列的极限概念及其计算；4. 数学归纳法的原理和应用；5. 递推数列的解法；6. 数列与级数的基本概念，如等差级数和等比级数的求和。

三、三角函数与三角恒等变换1. 三角函数的定义和基本性质；2. 三角函数的图像和周期性；3. 三角函数的基本关系式和恒等变换；4. 三角函数的和差化积、积化和差公式；5. 三角函数的倍角公式、半角公式和和差化简；6. 三角函数在解三角形中的应用。

四、平面向量与解析几何1. 向量的概念、线性运算及其几何意义；2. 向量的坐标表示和数量积；3. 向量的叉积及其在平面中的应用；4. 直线的方程及其与直线间的位置关系；5. 圆的方程及其性质；6. 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程和性质；7. 曲线与方程的对应关系，如轨迹问题。

五、立体几何1. 空间几何体的基本概念和性质；2. 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系；3. 空间向量及其运算；4. 立体几何中的距离和角的计算；5. 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球的体积与表面积公式；6. 立体几何中的空间想象能力和空间图形的绘制。

六、概率与统计1. 随机事件的概率定义和计算；2. 条件概率、独立事件的概率；3. 随机变量及其分布列、期望值和方差；4. 二项分布、泊松分布、正态分布的概念和应用；5. 抽样方法、样本容量的确定；6. 总体分布的估计和假设检验；7. 线性回归分析的基本概念和方法。

高中数学知识点归纳(理科)数学在高中阶段是一门非常重要的学科，涵盖了各种各样的知识点。

正确的理解和掌握这些知识点对于学生的学习成绩和学科发展至关重要。

本文将对高中数学知识点进行归纳和总结，帮助学生在学习过程中更好地理解和掌握数学知识。

一、代数与函数代数与函数是高中数学的基础，包括多项式、函数与方程、不等式、数列等知识点。

在学习代数与函数时，学生需要掌握多项式的展开与因式分解、函数的基本性质、方程与不等式的求解方法等。

此外，还应了解数列的概念、常见数列的通项公式和前n项和公式等。

二、平面几何平面几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面内点、线、面的性质和定理。

在学习平面几何时，学生需要了解点、线、面的基本概念以及与之相关的性质，例如线段、角、圆等。

此外，还应了解平行线与垂直线的判定条件、相交线的性质、三角形的性质与判定、相似三角形与勾股定理等重要知识点。

三、立体几何立体几何是平面几何的延伸，研究空间内点、线、面的性质和定理。

在学习立体几何时，学生需要了解立体的基本概念，如多面体、棱柱、棱锥、圆锥、圆台等，以及它们的性质和计算公式。

此外，还应了解球的性质与计算、空间坐标系与空间向量等内容。

四、概率与统计概率与统计是数学的实际应用领域，主要包括基本统计量的计算、概率的概念与计算、事件的关系与运算法则等。

在学习概率与统计时，学生需要了解随机试验的概念与性质、事件的概念与运算、概率的计算方法以及统计推断等内容。

此外，还应掌握图表的绘制与分析、抽样调查与统计规律等重要知识点。

五、解析几何解析几何是数学中的一门重要学科，将数学与几何相结合，通过坐标系进行研究。

在学习解析几何时，学生需要了解平面直角坐标系、直线的方程与性质、曲线的方程与性质等内容。

此外，还应应用解析几何方法研究点、直线、圆的相关性质，解决几何问题。

六、数学思维的培养在学习高中数学的过程中，除了具体的知识点，还需要培养数学思维和解决问题的能力。

数学思维包括逻辑思维、抽象思维、创造性思维等方面。