二阶系统性能的改善

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二阶系统性能改善的Matlab仿真分析
作者：刘洋杨薇张付杰
来源：《现代电子技术》2012年第12期
摘要：掌握系统性能随参数变化的规律性，对于分析和设计系统是十分重要的。

在二阶系统中，一般采用比例-微分控制和测速反馈控制改善其性能。

这里利用Matlab对校正前后的系统进行仿真，分析两种方法对二阶系统性能改善的效果。

同时通过实例计算，得出比例-微分控制和测速反馈控制均可使系统快速性和稳定性提高。

仿真结果表明，两种方法均可显著改善二阶系统的性能。

关键词：二阶系统；比例-微分控制；测速反馈控制；Matlab。

实验二典型系统瞬态响应及性能的改善1.实验目的1.学习瞬态性能指标的测试技能。

2.掌握参数对系统瞬态指标的测试技能。

3.了解和观测校正装置对系统稳定性及瞬态特性的影响。

2.实验设备PC 机一台，TD -ACC +实验系统一套3.实验内容1.观测开环传递函数G s 0.5(0.51)Ks s +（）=的典型二阶系统，在不同参数（K=4,5,10）下的阶跃响应。

2.观测开环传递函数10G s 0.5(0.51)s s +（）=的典型二阶系统，加入校正装置后系统动态性能的改善，并测试性能指标。

4.实验原理1.典型二阶系统瞬态响应典型二阶系统的传递函数为2B 2G ()21nn s s s ϖξϖ=++，ξ和n ϖ是决定二阶系统动态性能的两个重要参数，这两个参数的变化会引起系统节约响应的超调量、调节时间等动态性能指标的变化，图2-1是典型二阶模拟系统原理方框图，系统中其他参数不变的情况下，系统放大倍数K 的改变决定了参数ξ和n ϖ的变化，从而对系统研究动态性能产生影响。

系统的开环传递函数为01()(1)K G s T s T s =+闭环传递函数为2012222010101/()()1()2n n n K T T C s Ks K R s T T s T s K s s s s T T T ϖξϖϖΦ====++++++无阻尼自然频率n ϖ阻尼比ξ可以看出T 0、T 1一定时，改变K 值就可以改变ξ。

当=1ξ时，系统为临界阻尼，1ξ<为欠阻尼，1ξ>为过阻尼，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，过阻尼系统反应迟钝，所以一般系统大都设计成欠阻尼系统。

当0<ξ<1,即欠阻尼情况时，典型二阶系统的单位阶跃响应为衰减震荡()10) (t 0)n t d C t ξϖϖ-=+≥峰值时间：t p d πϖ==超调量：p %100%e σ-=⨯调节时间：4(=2)s nt ξϖ=∆时图2-2是图2-1的模拟电路图。

SHANGHAI UNIVERSITY课程项目MATLAB的模拟仿真实验专业课：自动控制原理学院机自学院专业（大类）电气工程及其自动化姓名学号分工：蒋景超负责MATLAB仿真部分顾玮负责分析结论其它共同讨论二阶系统性能改善一、要求（1）比例-微分控制与测速反馈控制的传递函数求解（2）性能分析与对比（3）举出具体实例，结合matlab分析二、原理在改善二阶系统性能的方法中，比例-微分控制和测速反馈控制是两种常用的方法。

（1）比例-微分控制：比例-微分控制是一种早期控制，可在出现位置误差前，提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。

图1 比例微分控制系统（2）测速反馈控制：测速反馈控制是通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例微分-控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统性能。

图2测速反馈控制系统(3)经典二阶控制系统图3经典二阶控制系统三、实例分析1、标准传递函数 )2()(G 2n n s s s ζωω+= 22)2()(nn n s s s ωζωω++=Φ 00.2n =ω 15.0=ζMATLAB 代码：num=[4];den=[1,0.6,4];G=tf(num,den);t=0:0.1:10;step(G ,t);图4标准传递函数仿真2、比例微分控制系统与经典二阶系统比较22)2()1()(n n d n d s s s T s ωωζω+++=Φ 2n d d T ωζζ+= 设置d T =0.15 d ξ=0.30 00.2=n ω ξ=0.15MATLAB 代码：num1=[4];num2=[0.6 4];den1=[1 0.6 4];den2=[1 1.20 4];[y1,x,t]=step(num1,den1,t);[y2,x,t]=step(num2,den2,t);plot(t,y1,t,y2)grid ;xl abel('t');yl abel('h(t)')t=0:0.1:30;图5比例微分控制系统与经典二阶系统比较仿真3、测速反馈控制系统与经典控制二阶系统比较22)2()(nn d n s s s ωωζω++=Φ 2n d τωζζ+= τ=0.50 d ξ=0.65 00.2=n ω ξ=0.15MATLAB 代码：num1=[4];num2=[4];den1=[1,0.60,4];den2=[1,2.60,4];[y1,x,t]=step(num1,den1,t);[y2,x,t]=step(num2,den2,t);plot(t,y1,t,y2)grid ;xlabel('t');ylabel('h(t)')t=0:0.1:30;图6测速反馈控制系统与经典控制二阶系统比较四、分析与结论1、经典二阶控制系统%σ=62% 选取误差带△=0.05时调节时间s t =11.67s2、比例微分控制系统%σ= 37% 选取误差带△=0.05时调节时间s t =5.83s分析：通过比较系统改善前与改善后性能指标的变化和系统在单位阶跃响应下仿真曲线的对比可以得出，比例微分控制能够使系统振荡减小，同时超调量减小，改善系统的稳定性。

3－4 二阶系统用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。

它在控制系统中应用极为广泛。

例如，R L C --网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。

此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。

因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。

以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。

这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。

图中i K K K K m 21=，系统闭环传递函数为Ks s T K s R s C m ++=2)()( （3-9） 为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式或 2222)()(nn n s s s R s C ωξωω++= （3-10）图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。

式中K T T m n ==ω1；K T 12=ξ；mKT 21=ξ 可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比ξ和自然频率n ω (或时间常数T )两个参数确定。

一般形式的闭环特征方程为方程的特征根(系统闭环极点)为当阻尼比较小，即10<<ξ时，方程有一对实部为负的共轭复根系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。

当1=ξ时，系统有一对相等的负实根系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。

当阻尼比较大，即1>ξ时，系统有两个不相等的负实根这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。

当0=ξ时，系统有一对纯虚根，即n j s ω±=2,1，称为无阻尼状态。

系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。

上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。

下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。

一、 二阶系统的阶跃响应1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。

由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。

自动控制原理_卢京潮_二阶系统的时间响应及动态性能3.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-,所示其中，为环节参数。

系统闭环传递函数为 KT K ,s, ()2Ts，s，K1化成标准形式2,n (首1型) (3-5) ,(s),22s，2,,s，,nn1,(s), (尾1型) (3-6) 22Ts，2T,s，111T1K1式中，，，。

,,,,,,Tn2KTTTK11、分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。

二阶系统的首,,n1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。

二阶系统闭环特征方程为22 D(s),s，2,,s，,,0nn其特征特征根为2,,,,,,,,,1 nn1,2若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见,表3-3。

表3-3 二阶系统(按阻尼比)分类表 ,分类特征根特征根分布模态,t1e ,,12,,,,,,,,,1 nn 1,2,t2e过阻尼,,tn ,,1e,,,, 1,2n,,tnte临界阻尼,,t,2n,,esin1,t0,,,1 n2,,,,,,j,1,, nn1,2t,,,2necos1,,,t欠阻尼 n57,sint ,,0n ,,,j, 1,2ncos,tn零阻尼数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。

通解由微分方程的特征根决定，,t,t,tn12代表自由响应运动。

如果微分方程的特征根是，，且无重根，则把函数，，eee,,,？,？,12n称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。

,t2,t,如果特征根中有多重根，则模态是具有，形式的函数。

tete,？(,，j,)t(,,j,)t如果特征根中有共轭复根，则其共轭复模态与可写成实函数模态ee,,,,j,,t,t与。

esin,tecos,t每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。

自动控制原理二阶系统动态指标在自动控制原理中，二阶系统的动态特性对整个控制系统的性能至关重要。

以下是对二阶系统动态指标的详细阐述，主要包含稳定性、快速性、准确性、鲁棒性、抗干扰性、调节时间、超调量、阻尼比和频率响应等方面。

一、系统的稳定性稳定性是评估控制系统性能的重要指标。

对于二阶系统，稳定性通常通过观察系统的极点位置来判断。

如果系统的极点位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。

此外，系统的稳定性还与阻尼比有关，阻尼比在0到1之间时，系统是稳定的。

二、系统的快速性快速性表示系统响应速度的快慢。

在二阶系统中，快速性通常通过极点的位置来决定。

极点越接近虚轴，系统的响应速度越快。

但需要注意的是，过快的响应速度可能导致系统超调量增大，因此需要综合考虑快速性和稳定性。

三、系统的准确性准确性表示系统输出与期望输出的接近程度。

对于二阶系统，可以通过调整系统的极点和零点位置来提高准确性。

一般来说，增加阻尼比可以提高准确性。

四、系统的鲁棒性鲁棒性表示系统在参数变化或干扰下保持稳定的能力。

对于二阶系统，鲁棒性可以通过调整系统的极点和零点位置来改善。

一般来说，使极点和零点距离越远，系统的鲁棒性越好。

五、系统的抗干扰性抗干扰性表示系统抵抗外部干扰的能力。

对于二阶系统，可以通过增加阻尼比来提高抗干扰性。

阻尼比增大时，系统对外部干扰的抑制能力增强。

六、系统的调节时间调节时间表示系统从受到干扰到恢复稳态所需的时间。

对于二阶系统，调节时间与阻尼比和系统增益有关。

适当增加阻尼比和系统增益可以缩短调节时间。

七、系统的超调量超调量表示系统响应超过稳态值的最大偏差量。

对于二阶系统，超调量与阻尼比有关。

阻尼比越小，超调量越大。

为了减小超调量，可以适当增加阻尼比。

八、系统的阻尼比阻尼比是衡量系统阻尼程度的参数，其值介于0和1之间。

适当的阻尼比可以保证系统具有良好的稳定性和快速性。

对于二阶系统，阻尼比与调节时间和超调量密切相关。

根据实际需求选择合适的阻尼比是关键。