连续变量动态规划例子

5 5 13 5
k=2
f 2 s 2 max g 2 u 2 f 3 s3
0u 2 s 2
工厂 1 投资额 1 2 3 4.5 7 9
2 2 4.5 7.5
3 5 7 8
sk+1 = sk -uk
s3
u3
f 3 ( s3 )
u3
*
0 0 0
0
1 1 5 1
2 2 7 2
i k n
U k {uk | 0 uk sk }
最优值函数 f k sk ：第k阶段可分配的资金数为sk时， 第k至第n个项目的最大总收益 求f1 a
最优值函数 f k sk ：在第k阶段分配的资金数为sk时， 第k至第n个项目的最大总收益
建立递推公式：
f k s k
fk（ sk ） =在工厂k，可供分配的资金数为sk时， 投资工厂k至工厂3所得的最大总收益 求f1（ 5 ） 基本方程： f k s k max g k u k f k 1 s k 1 0u k sk k 3,2,1 f 4 s4 0 f 3 s3 max g 3 u3 k=3 0 u 3 s3 s3 0 4 1 2 3
0
0 0 0
0
4 5 2 3 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 5 2 7 7 4.5 8 9 9.5 7.5 10 10 11.512.511 13 12 12.514.5 16 15 12.5 16 5 7 9.5 3 2 4 0 0或1 1 5 3 4 5
解：设A---整个系统正常工作，Ai—部件i正常工作 A A1 A2 An ,
则P A P A1 P A2 P An pi xi

例 某工厂要安排一年四个季度的生产，已知产品的生产成本=0.005元 ×(本季度产量)2，每件存贮费为每季度1元。每季度的销售量如表所示。 假定初始存贮量为0，问应如何安排每季度的生产量和存贮量，才能在满 足销售量的情况下，使总费用为最小？
季度
1
2
3
4
销售量qk
600
700
500
1200
季度
1
2
3
每年年初完好机器数和最优策略如下:
S1 = 1000,
x1* = 0
S2 = 900,
x2* = 0
S3 = 810,
x3* = 0
S4 = 729,
x4* = 0
S5 = 656,
x5* = 4.5S5 - 2500 =452
S5 - x5* = 656 - 452 =204
◆ 生产与存贮问题
安排不同时期的生产量(采购量)与库存量，达到既满足用户需求，又使生 产成本和库存费用之和最少.
x1 = 600
x2 = 700 - 1/3S2 = 700
x
3
=
800
-
0.5S3
=
800
x
4
= 1200
- S4
=
900
500=0.7x5+0.9(S5-X5)
x* 5
=4.5S5-2500
k=5时，有f5 (S5 )
=
max{8 x5
x5
+ 5(S5
−
x5 ) +
f6 (S6 )}
= max{8(4.5S5 − 2500) + 5(S5 − 4.5S5 + 2500)}
= 18.5S5 − 7500

16.323讲课4 HJB 方程- 连续时间动态规划 - HJB 方程 - 连续LQR仿真描述：对于对称的Ru u2u uT T R R ∂=∂ uuR R ∂=∂连续时间DPz 已经分析了几个最小化的经典控制问题近似解：min (())((),(),)ft f t J h t g t t t dt =+∫x x u受约束于a(,,)t =xx u 0()t =x 给定值((),)0f f m t t =x()t ∈u U可能约束的集合z 前述方法在时间，状态和控制行为上是离散的- 易于在计算机上实现，但是现在考虑连续时间的精确解- 结果会是非线性偏微分方程叫作Hamilton-Jacobi-Bellman 方程（HJB ）- 一个重要的结果。

z 第一步：考虑区间[,]f t t 上的代价，有f tt ≤，其中对任何控制序列()τu ，f t t τ≤≤((),())((),)((),(),)ft f f tJ t h t t g d τττττ=+∫x u x x u- 显然目标就是挑选()τu ，f tt τ≤≤最小化代价。

*()((),)min ((),,())fu t t J t t J t t τττ∈≤≤=u x x uz 方法：- 把时间区间[,]f t t 拆分为[,]t t t +Δ和[,]f t t t +Δ，而且特别感兴趣的情况是0tΔ→- 确定最优的代价函数*((),)J t t t t +Δ+Δx- 确定时间[,]t t t +Δ内的“阶段代价” - 从t 开始找到最佳的策略 - 在HJB 方程里处理{}*()((),)min ((),)((),(),)fft f f tu t t J t t h t t g d ττττττ∈≤≤=+∫u x x x u{}()min ((),)(,,)(,,)fft tt f f tt tu t t h t t g d g d ττττττ+Δ+Δ∈≤≤=++∫∫u x x u x uz 潜在的含义是在时刻t t +Δ，系统将在状态()t t +Δx 。

动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。

本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。

二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。

其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。

具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。

这种分解可以通过递归的方式进行。

2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。

状态具有明确的定义和可计算的表达式。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。

这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。

4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。

三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。

假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。

目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。

这个问题可以通过动态规划算法来求解。

具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。

（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。

（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。

2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。

u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：

动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。

在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。

一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。

例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。

使用动态规划方法来解决LCS问题。

首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。

然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。

2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。

3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。

最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。

二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。

在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。

具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。

一种解决方案是使用动态规划方法。

定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。

然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。

2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。

最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。

三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。

它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。

对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。

即 f4 (7) = 4, f4 (8) = 3 。 第二步 k=3，状态变量 s3 可取三个值④、⑤、⑥，这是经过一个中途点到达终点 E 的
两级决策问题，从城市④到 E 有两条路线，需加以比较，取其中最短的，即
f3 (4)
=
min
⎧d ⎩⎨d
(4, 7) + (4,8) +
f
4
(7)⎫ ⎬
f4 (8) ⎭
表 7-1
i月
1
2
3
4
yi （需求）
2
3
2
4
这也是一个 4 阶段决策问题。 例 3 投资决策问题
某公司现有资金 Q 万元，在今后 5 年内考虑给 A、B、C、D 四个项目投资，这些项目 的投资期限、回报率均不相同，问应如何确定这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有资
金的本利总额最大。 这是一个 5 阶段决策问题。
c(
j)
=
⎧ ⎨⎩a
0 + bj
( j = 0) ( j = 1, 2,3,L , m)
（千元）
其中 a 为生产的固定费用， b 为可变生产费率， m 为生产能力。供应需求所剩余产品应存 入仓库，每月库存 j 单位产品的费用为
E( j) = c * j （千元）
计划开始和计划期末库存量都是 0。试制定 4 个月的生产计划，在满足用户需求的条件下使 总费用最小。
现在我们利用动态规划最优性原理，由最后一段路线开始，向最初阶段递推求解，逐
步求出各段各点到终点 E 的最短路线，最后求得 A 点到 E 点的最短路线。 上面我们已经规定了本例的阶段数、状态变量、决策变量，给出了转移方程、指标函数
等。再用 d (sk , uk ) 表示由状态 s k 点出发，采用决策 uk 到达下一阶段 sk+1 点时的两点间距离。 第一步从 k=4 开始，状态变量 s4 可取两种状态⑦、⑧，它们到 E 点的路长分别为 4，3。

max
3x1 4 x2 5 x3
max 3 x1 max 4 x2 5 x3 5 x2 6 x3 10 4 x1 10 0 x1 max 3 x1 f 2 10 4 x1
10 0 x1 4 4
，则有：
N 1 J x0 max L xk , u k u 0 ,u 1,,u N 1 k 0
* N N 1 max L x0 , u 0 L xk , u k u 0 ,u 1,,u N 1 k 1


（5）
（5）式表明，多阶段决策的最优策略只依赖于系统的初始状态 x 0 。
Байду номын сангаас
多阶段决策问题的最优性原理 多阶段决策问题的最优性原理可表述为： 如果 u * 0, u * 1,, u * N 1 是最优 策略序列，那么它的一部分 u * 1, u * 2,, u * N 1 也是一个最优策略序列。其反 证法的证明是无须赘述的[8,9]。 简单说， “最优策略的子策略必为最优子策略”
4 x2 5 x3
max 4 x2 max 5 x3 6 x3 2 5 x2 2 0 x2 max 4 x2 f 3 2 5 x2
2 0 x2 5 5
max 4 x2 max 5 x3 6 x3 105 x2 10 0 x2 max 4 x2 f 3 10 5 x2
k 1:
f1 10
4 x1 5 x2 6 x3 10
max
3 x1 4 x2 5 x3
Max z 3 x1 4 x2 5 x3 s.t. 3 x1 4 x2 5 x3 10 var iable positive, I

动态规划与随机控制1953年，R . Bellman 等人，根据某类多阶段序贯决策问题的特点，提出了著名的“最优性原理”。

在这个原理的指导下，他将此类多阶段决策问题转变为一系列的互相联系的单阶段决策问题，然后，逐个阶段予以解决，最后再形成总体解决。

从而创建了求解优化问题的新方法——动态规划。

1957年，他的名著《动态规划》出版。

1.离散型动态规划离散型确定性动态规划在解决美式期权问题时，我们通常采用倒向递推的方法来比较即时执行价格与继续持有价格。

这是利用动态规划原理的一个典型例子。

Richard Bellman在1953年首次提出动态规划原理.最优化原理：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策侧所形成的的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略.求解最短路径问题：来看下面一个具体的例子：我们要求从Q点到T点的最短路径其基本思想是分阶段求出各段到T点的最短路径：•Ⅳ：C1—T 3•Ⅲ --Ⅳ : B1—C1—T 4•Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ：A2—B1—C1—T 7•Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：•Q—A2—B1—C1—T 11•Q--A3—B1—C1—T 11•Q--A3—B2—C2—T 11从以上分析可以看出最短路径不唯一。

最短路径解的特点•1、可以将全过程求解分为若干阶段求解；------多阶段决策问题•2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路径；-----递推性•3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；-----无后效性•3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程最优路径。

-----动态规划离散型不确定性动态规划离散型不确定性动态规划的特点就是每一阶段的决策不是确定的，是一个随机变量，带有一定的随机性，因此处理起来就相对复杂些。

一个动态规划的经典问题：你打算与一个你遇到的最富有的人结婚，你的最优策略是什么？这里做几点基本的假设：1、如果碰到满足你要求的人，他无条件接受；2、有个人供你选择；N 3、每个备选对象的财富值都服从[0, 1].区间上的均匀分布;那么你要找具有最大期望财富值的结婚对象的最优策略是什么?这是一个看似简单但是很难解决的问题.通常的方法是顺序递推法，如果首先考虑碰到第一个人的财富，接着考虑碰到下一个人的财富值与第一个人的财富值进行比较，依次进行下去，但是你期望下一个对象的财富值的确定是一个很复杂的问题，并且很难进行比较.因此这里我们考虑倒向递推的方法进行计算，我们首先逆向考虑一个简单的问题就是假如你只面对2个人的情况，当你只碰到倒数第一个人时，我们认为他的财富期望值为0.5，我们知道，你将选择与倒数第二个对象结婚时只有在他的财富值大于0.5的情况下，否则你将与倒数第一个对象结婚。

第10章05动态规划的应用——设备负荷问题同学们，大家好，今天我们继续来学习动态规划的应用，下面我们通过例10-6来看资源分配问题，它是一个典型的连续型的多阶段决策问题。

例10-6某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产，设机器在高负荷下生产的产量函数为u h 8=，其中u 为投入生产的机器数量，年终机器的完好率为7.0=α；在低负荷下生产的产量为v l 5=，其中v 为投入生产的机器数量，年终机器的完好率为9.0=β，假定开始生产时完好的机器数量为1000=s 台，试问每年年初应如何安排机器在高、低两种负荷下生产，使在第5年年末完好的机器数量5006=s 台，并且5年内生产的总产量最高。

某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产，高负荷时的产量高，但年终的机器完好率就低；低负荷时的产量低，但是年终的机器完好率就高。

开始时有1000台机器，问应如何安排机器在高、低两种负荷下生产，使得第5年年末完好的机器数量为500的条件下，5年内生产的总产量最高。

我们用动态规划来解决这个问题，即我们先建立动态规划的数学模型，然后进行求解。

（1）划分阶段。

这个问题中有5年，所以我们划分为五个阶段，即k=1,2,3,4,5，其中，第k 个阶段决策第k 年进行高、低负荷生产的机器的数量。

（2）定义状态变量s k ：第k 年初完好的机器数。

显然s 1=1000，即刚开始时有1000台机器，s 6=500，即第5年末有500台完好的机器。

（3）定义决策变量u k ：第k 年进行高负荷生产的机器的数量；所以，第k 年进行低负荷生产的机器的数量v k =s k −u k 。

（4）状态转移方程。

有了状态变量和决策变量后，我们可以写出状态转移方程。

第k+1年初完好的机器数s k+1=0.7u k +0.9v k =0.7u k +0.9(s k −u k )。

1160.70.90.70.9(),1,2,3,4,51000500++ k k k k k k s u v u s u k s s +==-=⎧⎪=⎨⎪=⎩（5）定义阶段指标函数g k (s k ,u k )：第k 年初完好的机器数为s k 且进行高负荷生产的机器数为u k 时，第k 年的收益。

动态规划应用案例动态规划是一种解决复杂问题的优化算法。

它通过将问题拆分成多个子问题，并记录每个子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。

在实际应用中，动态规划被广泛用于解决各种问题，包括最优化问题、路径搜索问题、序列问题等。

本文将介绍几个动态规划的应用案例，以展示其在实际问题中的强大能力。

案例一：背包问题背包问题是动态规划中经典的一个例子。

假设有一个背包，容量为V，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。

要求在不超过背包容量的前提下，选取一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。

这个问题可以用动态规划来解决。

首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)最后，根据状态转移方程，可以循环计算出dp[n][V]的值，即背包中物品总价值的最大值，从而解决了背包问题。

案例二：最长递增子序列最长递增子序列是指在一个序列中，选取一些数字，使得这些数字按照顺序排列，且长度最长。

动态规划也可以应用于解决最长递增子序列问题。

假设有一个序列nums，长度为n。

定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。

案例三：最大子数组和最大子数组和问题是指在一个数组中，选取一段连续的子数组，使得子数组的和最大。

动态规划也可以用于解决最大子数组和问题。

假设有一个数组nums，长度为n。

定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和。

然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最大子数组的和。

40+13=53
4 0 51
51+0=51
最优解为:
(s1 4) x1* 1, ( s2 s1 x1* 4 1 3) x2* 0, ( s3 s2 x2* 3 0 3) x3* 3
即项目A投资1万元，项目B投资0万元，项目C投资3万元， 最大效益为60万吨。
生产库存问题
442 18s2
对应 x2 13 s2
k 1时
f1 s1 min c1x1 f2 s1 x1` d1
及 x1 9 s1
min 8s1 x1 9s1
7x1 18s1 442
379 11s1
因 s1 2 所以 f1 s1 357 并且 x1 7
与上述运算顺序反推，结合状态转移方程，可得最优策略为:
表4.6
月份（k) 购买单价Ck 销售单价 pk
1
10
12
2
9
8
3
11
13
4
15
17
解 按月份划分为4个阶段， k 1, 2,3, 4
状态变量 Sk 为第 k 月初时仓库中的存货量（含上月订货）； 决策变量 xk 为第 k 月卖出的货物数量；决策变量 yk 为第 k 月订购；的货物数量．
状态转移方程为 sk1 sk yk xk 第k段的指标为第k段的盈利： vk pk xk Ck yk
x1 xi
x2 x3 10 0 (i 1, 2,3)
1. 阶段k：每投资一个项目作为一个阶段(k=1,2,3)
2. 状态变量sk：投资第k个项目前的资金数；
3. 决策变量xk：第k个项目的投资额；
4. 决策允许集合：0≤xk≤sk (k=1,2), x3=s3
5. 状态转移方程：sk+1=sk-xk ( k=1,2)

动态规划算法的应用
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.

全国青少年信息学奥林匹克联赛动态规划实例分析及程序实现一、数字三角形（图３.１－１）示出了一个数字三角形。

请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大。

●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；●1＜三角形行数≤100；●三角形中的数字为整数0，1，…99；输入数据：由INPUT.TXT文件中首先读到的是三角形的行数。

在例子中INPUT.TXT表示如下：573 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5输出数据：把最大总和（整数）写入OUTPUT.TXT文件。

上例为：30７３８８１０２７４４４５２６５（图３.１－１）二、算法分析只要对该题稍加分析，就可以得出一个结论：如果得到一条由顶至底的某处的一条最佳路径，那么对于该路径上的每一个中间点来说，由顶至该中间点的路径所经过的数字和也为最大。

因此该题是一个典型的多阶段决策最优化的问题。

我们采用动态规划中的顺推解法。

按三角形的行划分阶段。

若行数为n, 则可把问题看作一个n-1个阶段的决策问题。

从始点出发，依顺向求出第一阶段、第二阶段，……，第n-1阶段中各决策点至始点的最佳路径，最终求出始点到终点的最佳路径。

设：ｆk（Ｕk）━━从第ｋ阶段中的点Ｕk至三角形顶点有一条最佳路径，该路径所经过的数字的总和最大，ｆk（Ｕk）表示为这个数字和；由于每一次决策有两个选择，或沿左斜线向下，或沿右斜线向下，因此设Ｕk1━━ｋ－１阶段中某点Ｕk沿左斜线向下的点；Ｕk2━━ｋ－１阶段中某点Ｕk沿右斜线向下的点；ｄk（Ｕk1）━━ｋ阶段中Ｕk1的数字；ｄk（Ｕk2）━━ｋ阶段中Ｕk2的数字；因而可写出顺推关系式ｆk（Ｕk）＝ｍａｘ｛ｆk-1（Ｕk）＋ｄk（Ｕk1），ｆk-1（Ｕk）＋ｄk（Ｕk2）｝ｆ0（Ｕ0）＝０；Ｋ＝１，２，３，４，……ｎ经过一次顺推，便可分别求出由顶至底Ｎ个数的Ｎ条路径，在这Ｎ条路径所经过的Ｎ个数字和中，最大值即为正确答案。

三、程序分析根据上述顺推关系，我们编写程序如下：Program ID1P1;ConstMaxn = 100;TypeNode = RecordVal, Tot : Integer{ 当前格数字; 从[1,1]到当前格的路径所经过的数字和 }End;VarList : Array [1..Maxn, 1..Maxn] of Node; { 计算表 }N, Max, { 行数, 最大总和 }I, J : Integer; { 辅助变量 }Fi : Text; { 文件变量 }Procedure Init;BeginAssign(Fi, 'INPUT.TXT'); { 文件名和文件变量连接 }Reset(Fi); { 文件读准备 }Readln(Fi, N); { 读三角形行数 }For i := 1 to N Do { 读入三角形各格的数字 }For j := 1 to i DoRead(Fi, List[i, j].Val);Close(Fi)End; {init}Procedure Main;BeginList[1, 1].Tot := List[1, 1].Val; { 从[1,1]位置开始往下顺推 }For i := 2 to N DoFor j := 1 to i Do BeginList[i, j].Tot := -1; { 从[1,1]至[i,j]的数字和初始化 }If (j <> 1) And(List[i - 1, j - 1].Tot + List[i, j].Val > List[i, j].Tot) ThenList[i, j].Tot := List[i - 1, j - 1].Tot + List[i, j].Val;{ 若从[i-1,j-1]选择右斜线向下会使[1,1]至[i,j]的数字和最大,则决策该步 }If (j <> i) And(List[i - 1, j].Tot + List[i, j].Val > List[i, j].Tot) ThenList[i, j].Tot := List[i - 1, j].Tot + List[i, j].Val{ 若从[i-1,j]选择左斜线向下会使[1,1]至[i,j]的数字和最大,则决策该步 } End; {for}Max := 1;{ [1,1]至底行各点的N条路径所经过的数字和中,选择最大的一个输出 }For i := 2 to N DoIf List[N, i].Tot > List[N, Max].Tot ThenMax := i;Writeln(List[N, Max].Tot) { 输出最大总和 }End; {main}BeginInit; { 读入数字三角形 }Main { 求最大总和 }End.{main}二、Problem : 打鼹鼠Contents: 有个n*n个格子，在m个时间点上的不定格子里有数量不等的鼹鼠出现，机器人每次只能向前后左右移动一个格子，问最多机器人能打多少鼹鼠？(n<=1000, m<=10000)Type: 动态规划Difficulty: 2Source: HNOI2004_day_*_*Solution :a)记得学OI不到几个月，高一刚上来就做的这道题..着实郁闷了半天,有一个思路是开1000*1000 的数组乱搞…忘了可以过几个来着..b)又翻到这道题的时候是2月份了..发现 f[i]表示：如果机器人最后打死的老鼠是第i只，这种情况下机器人最多可以打死多少老鼠。

0x5 s5
5
(
x5
)
f6 (s6 )}
（注意到此时 f6 (s6 ) =0）
0mx5axs5{g5 (x5 )} 0mx5axs5{16s5 9x5}
f5 (s5 ) 0mx5axs5{16s5 9x5}
16s5 9s5 25s5
此时
x5* s5
f5 16 s5
o
s5
x5
2） k=4 时
所对应的最优策略分别为：
x1 0 时，由状态转移方程 sk1 0.9sk 0.2xk s2 0.9s1 0.2x1 0.9500 450 由 x2* 0, 且 s3 0.9s2 0.2x2 0.9 450 405 再由 x3* s3 且 s4 0.9s3 0.2x3 0.9 405 0.2 405 283 .5 x4* s4 s5 0.9s4 0.2x4 0.9 283 .5 0.2 283 .5 198 .45 x5* s5 s6 0.9s5 0.2x5 0.9198 .45 0.2198 .45 138 .15
g4 (x4 )
投 x5 辆 超 负荷车
s5 第5年
s5 0.9s4 0.2x4 g5 (x5 )
状态 s6 500
逆序递推式为：
fk (sk )
max
0xk sk
gk (xk )
f k 1 ( sk 1 )
k 5,4,3,2,1
f6 (s6 ) 0
投 x1 辆 超
负荷车
s1 1000 第1年
x3* s3
f3 (s3 ) 54.75s3
f3 (s3 ) 54.75s3
4） k=2 时
f2
65.275 s2
f2 (s2 )

u k , ,u n
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。

物流配送路线规划中的连续变量考虑物流配送路线规划中的连续变量考虑物流配送路线规划中的连续变量是指在考虑各种因素的基础上，通过连续的变化来确定最佳的配送路线。

下面将逐步介绍连续变量在物流配送路线规划中的应用。

第一步，确定目标函数。

在物流配送路线规划中，目标函数通常是最小化总成本或最大化效益。

这可以是包括运输成本、货物时效、能源消耗等因素的综合考虑。

通过选择合适的目标函数，可以在连续变量的基础上确定最佳的配送路线。

第二步，建立模型。

在确定目标函数后，需要建立数学模型来描述物流配送问题。

模型可以包括各个配送点之间的距离、货物的数量和体积、车辆的运载能力等信息。

通过将这些信息转化为数学表达式，可以将物流配送问题转化为一个优化问题。

第三步，引入连续变量。

在建立模型后，需要引入连续变量来描述物流配送路线的连续性。

连续变量可以是表示车辆从一个配送点到另一个配送点的路径距离，也可以是表示货物在配送过程中的运输时间。

通过引入连续变量，可以将物流配送问题转化为一个连续的优化问题。

第四步，确定约束条件。

在物流配送路线规划中，通常有一些限制条件需要满足，如车辆的运载能力、配送点的时间窗等。

这些限制条件可以通过引入约束条件来描述。

连续变量可以在这些约束条件中发挥作用，如通过限制车辆的行驶距离来控制配送时间。

第五步，求解最优解。

在确定目标函数、建立模型、引入连续变量和确定约束条件后，可以利用数学优化方法来求解最优解。

这些方法包括线性规划、整数规划、动态规划等。

通过对模型进行求解，可以得到最佳的物流配送路线。

总结起来，物流配送路线规划中的连续变量是通过引入连续的变化来确定最佳的配送路线。

通过逐步考虑目标函数、建立模型、引入连续变量和确定约束条件，可以实现物流配送路线规划的优化。

这种方法不仅可以提高物流配送的效率，还可以降低成本，提升服务质量。