第7章_小波变换和多分辨率处理

傅里叶展开函数是频率变化及持续时间无限的正
弦波；小波变换的展开函数是持续时间有限及频
率变化的小波。
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主要内容
背景 多分辨率展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换
小波包
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7.1背景
Background 从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像边界 和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产生统计值 的局部变化。如图7.1所示。
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
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7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
传递由3个连续步骤组成：
2.由步骤1产生的降低分辨率近似创建第j级输入图像的 一个估计。这通过对产生的近似与第j级图像进行上采 样和滤波来完成。得到的预测图像与第j级输入图像的 维数相同
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
j ( x),k ( x) 0
计算 k ，有：
jk
(7.2.6)
基函数及其对偶称为双正交。使用式(7.2.3)
0 j k ~ j ( x),k ( x) jk 1 j k
(7.2.7)
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7.2.1 级数展开
情况3：如果展开集合对V来说不是函数基，但 支持式(7.2.1)中定义的展开，那么它是一个跨度
L2 ( R) V1 W1 W2
(7.2.24)
(7.2.25)
L2 ( R) W2 W1 W0 W2 (7.2.26)
(7.2.10)
对于j,k Z和 ( x) L (R)都成立。
2
由于 j,k ( x)的形状随j发生变化，故 ( x) 称作尺度函数。
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7.2.2 尺度函数
设j=j0，展开集合 { j0 ,k ( x)} 将是 j ,k ( x) 的子集
该子空间定义为：
V j0 Sp k an{ j0 ,k ( x)}
7.2.2 尺度函数
考虑单位高度、 单位宽度的尺 度函数
0 x 1 1 ( x) 0 otherwise
(7.2.14)
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7.2.2 尺度函数
简单的尺度函数遵循了多分辨率分析的4 个基本要求：
MRA要求1：尺度函数对其积分变换是正交的
在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要尺 度函数的值是1，其积分变换就是0，所以二者的 乘积是0。哈尔函数是紧支撑的，即，除被称为支 撑区的有限区间外，函数值都为0。事实上，其支 撑区是1，半开区间[0,1)外的支撑区的值是0。必 须注意，当尺度函数的支撑区大于1时。积分变换 正交的要求将很难满足。
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7.1.2 子带编码
例7.2 图7.1中花瓶的4频段子带编码 图7.9显示图7.1中花瓶的512×512图像基于图7.6滤波器的4频段分离
（a）近似子带（b）水平细节子带（c）垂直细节子带（d）对角线细节子带
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7.1.3 哈尔变换
哈尔变换(Haar)是与多分辨率分析有关的图 像处理手段之一。 哈尔变换可以用下述矩阵形式表达： T=HFHT
k
(7.2.1)
展开集合的闭合跨度，表示为：
V Sp k an{k ( x)}
(7.2.2)
* ~ ~ k k ( x), f ( x) k ( x) f ( x)dx (7.2.3) 25
7.2.1 级数展开
由于展开集合的正交性，该计算可以是3种可能 形式中的一种。
(7.1.19)
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1.3 哈尔变换
2×2哈尔变换矩阵H4
1 H2 2
1 1 1 1
(7.1.18)
它的基函数仅定义了2抽头完美重建滤波器组的
分析滤波器h0(n)和h1(n)。
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7.1.3 哈尔变换
例7.3 离散小波变换的哈尔函数
（a）用H2哈尔基函数的离散小波变换 （b）~（d）由（a）得到的几种不同 的近似（64*64,128*128,256*256）
图7.6 （a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，（b）频谱分离特性
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7.1.2 子带编码
目的：选择滤波器，以便子带编码和解码系统的 输入和输出是相同的。最终采用了完美重建滤波 器。
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7.1.2 子带编码
一维滤波器也可用于图像处理的二维可分离
滤波器。如图7.7所示。可分离滤波器首先应 用于某一维(如垂直向)，再应用于另一维(如 水平向)。
V {L (R)}
2
(7.2.17)
在这些条件下，子空间Vj的展开函数可以被表 述为子空间Vj+1的展开函数的加权和。
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7.2.2 尺度函数
使用式(7.2.12)，令
j ,k ( x) n j 1,n ( x)
n
j ,k ( x) h (n)2
n
n
( j 1) / 2
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7.1.1 图像金字塔
传递由3个连续步骤组成：
3.计算步骤2的预测图像和步骤1的输入之间的 差异。把得到的结果放在预测残差金字塔的第j 级。
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
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7.1.1 图像金字塔
例7.1 高斯和拉普拉斯金字塔
图7.3 两种图像金字塔及直方图（a）近似金字塔（b）预测残差金字塔
(2 x n)
j 1
( x) h (n) 2 (2 x n)
(7.2.18)
任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍 分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨率的空间 36 中得到。参考子空间V0的选择是任意的。
7.2.3 小波函数
给定满足上述MRA要求的尺度函数，能够定 义小波函数 (与它的积分变换及其二值尺度)， 跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差。图7.13 说明了这种情况。
图7.2 (a) 一个金字塔图像结构
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7.1.1 图像金字塔
近似金字塔和预测残差金字塔 如图7.2(b) 框图所表明的，近似值和预测残差金 字塔都是以一种迭代的方式进行计算。
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
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7.1.1 图像金字塔
传递由3个连续步骤组成：
1.计算第j级输入图像降低的分辨率近似值。通 过对输入进行滤波并以2为因数进行下采样实 现。
情况1：如果该展开函数构成了V的一个正交基，
即：
0 j ( x),k ( x) jk 1
jk (7.2.4) jk ~ ( x) 基与它的对偶相等。即：k ( x) k
k k ( x), f ( x)
(7.2.5)
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7.2.1 级数展开
情况2：如果该展开函数本身不正交，而是V的 正交基，则：
由尺度函数跨越的嵌套函数
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7.2.2 尺度函数
MRA要求3：惟一包含在所有Vj中的函数是 f(x)=0。 如果考虑可能的最粗糙的展开函数(即j=-∞)，惟
一可表达的函数就是没有信息的函数，即，
V {0}
(7.2.16)
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7.2.2 尺度函数
MRA要求4：任何函数都可以以任意精度表示。 虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定f(x) 是 几乎不可能的，像图7.11(e)中所示的函数一样， 但所有可度量的、平方可积函数都可以用极限 j→∞表示，即，
可得哈尔基函数为：
1 h0 ( z ) h00 ( z ) N
z [0,1]
(7.1.16)
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7.1.3 哈尔变换
且
2 p 2 (q-1)/2 p z (q 0.5) / 2 p 1 p2 p p hk ( z ) h pq ( z ) 2 ( q0 . 5 )/2 z q / 2 N otherwise, z [0,1] 0
k
(7.2.21)
尺度和图7.13中的小波函数子空间由下式相关 联： (7.2.22) V V W
j 1 j j
j.k ( x), j ,l ( x) 0
(7.2.23) 38
7.2.3 小波函数
将所有可度量的、平方可积函数空间表示如下：
L2 ( R) V0 W0 W1
1 f ( x) k ( x), f ( x) k ( x) A k
(7.2.9)
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7.2.2 尺度函数
由整数平移和实数二值尺度、平方可积 ( x) 函数组成的展开函数集合，即集合 { j ,k ( x)} 其中，
j ,k ( x) 2 (2 x k )
j/2 j
图7.13 尺度函数与小波函数空间之间的关系
j ,k ( x) 2 j / 2 (2 j x k )
(7.2.19)
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7.2.3 小波函数
使用尺度函数，可得：
W j Sp k an{ j ,k ( x)}
如果f(x)∈Wj，
(7.2.20)
f ( x) k j ,k ( x)
即V j0 是 j0 ,k ( x)在k上的一个跨度。
(7.2.11)
如果f ( x) V j0，则 f ( x) k j0 ,k ( x) (7.2.12)
k
更一般的情况下，定义下式代表对任何j,k上 的跨度子空间：
V j Sp k an{ j ,k ( x)} (7.2.13) 30
图7.1 一幅自然图像和它的局部直方图变化
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7.1.1 图像金字塔
图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有效 但概念简单的结构。
图7.2 (a) 一个金字塔图像结构
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7.1.1 图像金字塔
金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低 分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率 就降低。