二重积分极坐标

重积分

§9.1 二重积分的概念与性质

教学目的：在深刻理解的基础上熟练掌握二重积分的概念、性质

教学重点：二重积分的概念

教学难点：二重积分概念的理解

教学内容：

一、二重积分的概念

1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面zfxy(,)。

当(,)xyD时,fxy(,)在D上连续且fxy(,)0,以后称这种立体为曲顶柱体。

曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

(1)、用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 12,,,n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成n个小曲顶柱体

12,,,n。

（假设i所对应的小曲顶柱体为i,这里i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

从而 Viin1 (将化整为零)

(2)、由于fxy(,)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

iiiiiiif()()()

(以不变之高代替变高, 求i的近似值)

(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为

Vfiiiin()1

(积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值)

(4)、为得到V的精值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。

设n个小区域直径中的最大者为, 则

Vfniiiilim(),01 (取极限让近似值向精确值转化)

2、平面薄片的质量

设有一平面薄片占有 xoy 面上的区域D, 它在(,)xy处的面密度为(,)xy,这里(,)xy0,而且(,)xy在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。

将D分成n个小区域 n,,,21用i记i的直径,i既代表第i个小区域又代表它的面积。

当max{}1ini很小时, 由于(,)xy连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,

那么第小i块区域的近似质量可取为

(,)(,)iiiiii

于是 Miiiin(,)1

Miiiinlim(,)01

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念___ 二重积分。

3、二重积分的定义

设fxy(,)是闭区域D上的有界函数, 将区域D分成个小区域

12,,,n, 其中:i既表示第i个小区域, 也表示它的面积,i表示它的直径。

max{}1ini

(,)iii

作乘积 finiii(,),,,()12

作和式 fiiiin(,)1

若极限 lim(,)01fiiiin 存在,则称此极限值为函数fxy(,)在区域D上的二重积分,记作 fxydD(,)。

即 fxydfDiiiin(,)lim(,)01

其中: fxy(,)称之为被积函数,

fxyd(,)称之为被积表达式,d称之为面积元素,

xy,称之为积分变量,D称之为积分区域,

fiiiin(,)1称之为积分和式。

4、几个注意事项

(1)、二重积分的存在定理

若fxy(,)在闭区域D上连续, 则fxy(,)在D上的二重积分存在。

声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。

(2)、fxydD(,)中的面积元素d象征着积分和式中的i。

由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d记作dxdy(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 fxydxdyD(,)。

(3)、若fxy(,)0,二重积分表示以fxy(,)为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积。

二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质

1、【线性性质】

[(,)(,)](,)(,)]fxygxydfxydgxydDDD

其中:,是常数。

2、【对区域的有限可加性】

若区域D分为两个部分区域DD12,,则

fxydfxydfxydDDD(,)(,)(,)21

3、若在D上,fxy(,)1,为区域D的面积,则

1ddDD

几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 4、若在D上,fxyxy(,)(,),则有不等式

DDdyxdyxf),(),(

特别地,由于),(),(),(yxfyxfyxf，有

dyxfdyxfDD),(),(

5、【估值不等式】

设M与m分别是fxy(,)在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积,则

DMdyxfm),(

6、【二重积分的中值定理】

设函数fxy(,)在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点(,),使得

Dfdyxf),(),(

【例1】估计二重积分 DdyxI)94(22 的值,D是圆域xy224。

解: 求被积函数 94),(22yxyxf 在区域D上可能的最值

0802yyfxxf

(,)00是驻点,且 f(,)009；

在边界上,)22(3259)4(4),(222xxxxyxf

25),(13yxf

25maxf,9minf,

于是有

1004254936I

[例2]比较积分DdyxI)ln(1，DDdyxIdyxI)(,)(322的大小，

其中D是由直线21,0,0yxyx和1yx所围成的。

解：因为积分域D在直线1yx的下方，所以对任意点Dyx),(，均有

121yx，从而有0)(2yxyx，而0)ln(yx，故由二重积分的

性质得 321III。

小结 二重积分的定义（和式的极限）

二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）

二重积分的性质

§9.2 二重积分的计算法

教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法

教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分

教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题

教学内容：

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。

一、利用直角坐标计算二重积分

我们用几何观点来讨论二重积分fxydD(,)的计算问题。

讨论中,我们假定 fxy(,)0；

假定积分区域D可用不等式 axbxyx12()()表示,

其中1()x, 2()x在[,]ab上连续。

据二重积分的几何意义可知,fxydD(,)的值等于以D为底,以曲面zfxy(,)为顶的曲顶柱体的体积。

在区间[,]ab上任意取定一个点x0,作平行于yoz面的平面xx0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]1020xx为底,曲线zfxy(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为

Axfxydyxx()(,)()()001020

一般地,过区间[,]ab上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

Axfxydyxx()(,)()()12

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

VAxadxfxydydxbxxab()(,)()()12

从而有

dxdyyxfdyxfbaxxD)(2)(1),(),( (1)

上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(1x到)(2x的定积分,然后把所得的结果( 它是x的函数 )再对x从a到b计算定积分。

这个先对y, 后对x的二次积分也常记作

fxyddxfxydyDabxx(,)(,)()()12

在上述讨论中,假定了0),(yxf，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(yxf(在D上连续),公式(1)总是成立的。

例如:计算 IxdDxyxyD(){(,)|,}111022

解: dxyxdyxdxI2011220211)1()1(

38322)1(2113112xxdxx

类似地,如果积分区域D可以用下述不等式

cydyxy,()()12

表示,且函数1()y,2()y在[,]cd上连续,fxy(,)在D上连续,则

fxydfxydxdydyfxydxDyycdcdyy(,)(,)(,)()()()()1212 (2)