专题29 方程思想

专题29 方程思想

阅读与思考

所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量

关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.

应用方程思想解决问题的常见途径有：

1．引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；

2．突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；

3．构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关

问题；

4．列方程、方程组解应用题；

5．通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化．

17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题 化归数学问题化归

代数问题化归方程问题．

虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程思想的重要性． 构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用．常用的构造方法有： ①用根的定义构造； ②用韦达定理的逆定理构造； ③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.

例题与求解

【例1】 已知：a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，

那么(a十c) (b＋c)的值是___ ____________． （江苏省竞赛试题）

解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入

手. 仔细观察已知两个等式特点，a，b可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的两根，利用方程思想揭示题

设条件与结论的内在规律．

【例2】化简5353的结果是( )

A．10 B．2 C．5 D．2

（武汉市选拔赛试题）

解题思路：设5353＝x，将二次根式的化简问题转化为解方程.

【例3】已知实数x，y满足32424xx，324yy，则444yx的值为( )

A. 7 B．2131 C．2137 D．5

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系——韦达定理解决.

【例4】 已知2yxxy，3zxxz，4zyyz，求zyx257的值．

（“《数学周报》杯”天津竞赛试题）

解题思路：要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三个字母相同，所以可以将

已知的三个等式组成二元二次方程组，求出这些未知数的值．

本例已知的三个等式中含的三个字母相同，结构相同，排列位置循环转，根据这些特点可构造二次方程求解，这也是解决这类问题的常见方法. 【例5】 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P

从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ.点E，D分别是点A，B以Q，P为对

称中心的对称点，HQ⊥AB，垂足为点Q，交AC于点H，当点E到达顶点B时，P，Q同时停止运动，

当BP长为何值时，△HDE为等腰三角形？

（台州市中考试题改编）

解题思路：本题可结合图形，从几何知识中找等量关系列方程．

利用方程思想解几何题，通常是对某几何量进行合理设元，根据几何性质正确列出方程、方程组，然后化归为解方程、方程组的有关问题． 著名数学家波利亚曾说：“为了使问题的概念完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素”通过引入辅助元素，有利于各知识领域之间的横向过渡，有利于转化问题．解决间题．引入辅助元素的常见形式有： ①引入参数； ②引入辅助方程； ③引入辅助函数； ④引入辅助配对代数式； ⑤恰当作辅助线； ⑥引入辅助命题．

【例6】周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明

有几个． （全国初中数学联赛试题）

解题思路：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，面积为s．由题设条件及几何知识可得

到关于以a，b，c，s的方程组，这样，符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解

的讨论．

能力训练

1．设512a，则5432322aaaaaaa＝_____________. （全国初中数学联赛试题）

2．一个读书小组有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这个读书小组有六本书，书名分别是A，

B，C，D，E，F．每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，

5本书，而书A，B，C，D，E分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过，那么，吴姓同学读过____

本书，书F被小组中__________位同学读过．

3．设0222kxx，0222kyy，且2yx，那么k＝__________.

（河南省竞赛试题）

4．x，y，z 是实数，并且满足0zyx，2xyz，则xyz的最小值是________．

（北京市竞赛试题）

5．如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的平分线，若AA'＝BB'＝AB，则∠BAC＝________．

（全国初中数学联赛试题）

6．已知 21270xyxy，则2223yxyx的值为( )

A．0 B．4 C．6 D. 12

7．某单位一次在快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为

8元、5元、3元，那么可能的不同订餐方案有( ) （山东省竞赛试题）

A.1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．已知a，b都是负实数，且1110abab，那么ba的值为( ) （江苏省竞赛试题）

A．152 B．152 C. 152 D．152

9．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )

A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁

（全国初中数学竞赛试题）

10．已知133224bbaa，且12ba，则6331abb的值是( ) （山东省竞赛试题）

A．35 B．36 C．－35 D．－36

11．已知222yxyx，求22yxyx的取值范围． （黄冈市竞赛试题）

12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点. 以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于

E、F，交AB于D. 若E是DF的中点，且AE：EF＝3：1，FC＝4，求∠CBF的正弦值及BC的长．

（北京市海淀区中考试题）

第12题图FE

ODAC

B

13.如图，在四边形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠DCB＝90°，BC，AD的延长线交于P，求

AB·S△ABP的最小值. （四川省竞赛试题）

第13题图C

DP

AB

14.设a1，a2，b1，b2都为实数，a1≠a2，满足（a1＋b1）（a1＋b2）＝（a2＋b1）(a2＋b2)＝ 1．求证：

（a1＋b1）（a2＋b1）＝（a1＋b2）(a2＋b2)＝ －1. （“祖冲之杯”邀请赛试题）

15.已知a，b，c都是正整数，且抛物线cbxaxy2与x轴有两个不同交点A，B．若A，B到

原点的距离都小于1，求cba的最小值．

（全国初中数学联赛试题）

16.在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点”. 求

二次函数4907902xy的图象上所有“好点”的坐标．

（《数学周报》杯全国竞赛试题）

17．已知a，b，c为正数，满足以32cba①，14bcacababcbccaab②．证明：以a，b，c为三边长可构成一个直角三角形．

（全国初中数学联赛试题）

18. 一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则

自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自

行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km?

（全国初中数学竞赛试题）

19.如图，AB为半圆⊙O的直径，动点C在半圆上，CD⊥AB于D，⊙O1与AC内切且与AB，CD

相切，⊙O2与CB内切且与AB，CD相切，E，F是AB上的两个切点，求证：∠ECF＝45°.

FEDOABC

O1O2