分式运算的常用技巧与方法

数学

篇分式求值运算是初中代数的重要内容之一.由于分式的形式多样，分式求值问题也存在着多种不同的解法.下面介绍“引入参数”“拆项变形”“整体代入”“巧取倒数”这四种分式求值的方法，供同学们学习与参考.一、借助参数求分式的值在分式求值问题中，如果出现等比例式，就可以引入参数，将等比设成参数，将所有未知量都转换成含有参数的式子，再将之代入分式求得分式的值，这样求解过程将变得非常简单.例1若c4=b5=a6≠0，则b+ca的值为_____.分析：题中“c4=b5=a6”是一个等比例式，可以设公共比为“t”，这样可以得到c=4t，b=5t，a=6t，然后将a、b、c的值代入b+ca即可求出值.解：∵c4=b5=a6≠0，∴设c4=b5=a6=t（t≠0），∴有a=6t，b=5t，c=4t.将a=6t，b=5t，c=4t代入b+ca有：b+ca=5t+4t6t=96=32，∴b+ca的值为32.评注：该题中是一个等比例式，可以通过“引入参数”的方法将比值具体化，将a、b、c都替换成含有t的参数，然后代入到b+ca中，最后通过约分就能得到具体的数值.二、通过拆项求分式的值在求解比较复杂的分式时，我们可以根据具体的题目特征，对部分分式进行拆分，再配凑出较为容易计算的项来求解.结合题目的结论和条件往中间项配凑，往往能化繁为简，变难为易.例2若1a+1b=5a+b，则b2a2+a2b2=_____.分析：待求分式“b2a2+a2b2”中的“b2a2”和“a2b2”互为倒数，如果能求出其中一个或知道“ab+ba”，就可以对其进行平方后求得结果.再细看题目条件“1a+1b=5a+b”，需要配凑出“ba”或“ab”，我们可以考虑通分并整理得到“a2+b2=3ab”.再将“a2+b2=3ab”两边同除“ab”，可得到“ab+ba=3”.解：∵1a+1b=5a+b，通分并整理可得，a2+b2=3ab，两边同除ab可得，ab+ba=3，两边平方并整理可得，b2a2+a2b2=7.解答分式求值问题常用的小妙招江苏省盐城市新洋初级中学王

分式运算方法(总9页)

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【精练】计算：

【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.

【解】=

=

=

【知识大串联】

1．分式的有关概念

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简

2、分式的基本性质

（M为不等于零的整式）

3．分式的运算

(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．

(异分母相加，先通分)； 4 4．零指数 5．负整数指数

注意正整数幂的运算性质

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．

分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．

1．顺次相加法

例1：计算：

【分析】本题的解法与例1完全一样.

【解】=

=

=

2．整体通分法

【例2】计算：

【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.

【解】==.

3．化简后通分 5

分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多． 5

4．巧用拆项法

例4计算：.

分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.

解：原式=

指数运算中常用的方法与技巧

河南 陈长松

在进行指数运算时，注意变式、变形，以及平方差、立方和、立方差公式的运用，适当地进行整体代换，则可化繁为简、化难为易．下面举例说明：

一、活用乘法公式

例１

化简：132111333311111xxxxxxxx

解：原式＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)111xxxxxxxxxxxxx

＝121211333333311xxxxxxx

评注：要观察式中各项的结构，发现1,1xx分别是“立方差”和“立方和”，于是各个击破，达到化简之目的．计算过程中利用乘法公式进行因式分解，往往是计算简便．

二、化根式为分数指数幂

例２ 化简下列各式

（１）3333abbaab ； （２）2113()xyxyxyxy

分析：将根式化为指数幂的形式，再利用有利数指数幂的运算性质进行化简．

解：（１）原式＝1111111032236363ababa

（２）原式＝111113312133222222()()()()()xyxyxyxyxyxy

＝11022()()()1xyxyxy

评注：化简根式，尤其是根式中又有分数指数幂的代数式，通常化根式为分数指数幂，然后根据运算法则运算，同时要注意结果形式的统一．

三、整体代入

例１ 若2121xx＝３ ．求 23222323xxxx的值．

分析：从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法不可取，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入． 解：∵ 2121xx＝３，两边平方得11222()9xx， ∴1xx＝７

∴2212()249247xxxx

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内容

基本要求

略高要求

较高要求

分式的概念

了解分式的概念,能确定分式有意义的条件

能确定使分式的值为零的条件

分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分

分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题

一、比例的性质：

⑴ 比例的基本性质:acadbcbd,比例的两外项之积等于两内项之积.

⑵ 更比性(交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )abcdacdcbdbadbca交换内项

交换外项

同时交换内外项

⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）:acbdbdac

⑷ 合比性：acabcdbdbd，推广：acakbckdbdbd(k为任意实数)

⑸ 等比性：如果....acmbdn，那么......acmabdnb（...0bdn）

二、基本运算

分式的乘法:acacbdbd

分式的除法:acadadbdbcbc

乘方:()nnnnnaaaaaaaabbbbbbbb个个n个＝(n为正整数）

整数指数幂运算性质:

⑴mnmnaaa(m、n为整数)

⑵()mnmnaa(m、n为整数) 知识点睛 中考要求

分式的运算技巧 --

-- ⑶()nnnabab（n为整数）

⑷mnmnaaa（0a，m、n为整数)

负整指数幂:一般地，当n是正整数时,1nnaa(0a),即na(0a)是na的倒数

分式的加减法法则：

同分母分式相加减,分母不变，把分子相加减,ababccc

异分母分式相加减,先通分，变为同分母的分式再加减,acadbcadbcbdbdbdbd

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方,再算乘除,后算加减，如有括号,括号内先算．