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(完整版)行列式的计算方法总结

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行列式的计算方法总结:

1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.

2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理).

几个特别的行列式:

BABCABCA0021,BABADDBAmn)1(0021,其中BA,分别是nm,阶的方阵.

例子:

nnabababbababaD22,

利用Laplace定理,按第1,nn行展开,除2级子式abba外其余由第1,nn行所得的2级子式均为零.

故222222112)()1(nnnnnnnDbaDabbaD,此为递推公式,应用可得

nnnnbaDbaDbaD)()()(224222222222.

3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.

例:nnnnnnnaxxaaxxaaxxaaaaxxaaaaxaaaaxaaaax0000001133112211321321321321321 -----(倍加到其余各行第一行的1)

100101010011)(3332221111nnnniiiaxaaxaaxaaxxax --------(每一列提出相应的公因子iiax)

100001000010)(33322221111nnnniiiiniiiaxaaxaaxaaxaaxxax --------(将第n,,3,2列加到第一列)

niiiniiiiaxaxa11)()1(. 其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.

nxaaaaaxaaaaaxaaaaaxa321,nnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaax321321321321.

4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零.

5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).

例子:nnnnnnnnnnnnnnbababaabababaabababaabbbbababababababababa10101010000011112122212212111121212221212111

niiniiiniinniiniiiniinnbbanabbbbbanaaaabbb11121111212111100000100000100111111001010100111011101

njnjiijijniiniiniiiniiniiaabbabanba1111111)(1)1)(1(.

例子:nnxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxa00001321321

).1(00000000000000001000100010001000111213211321niinnniinxaxxxxxxxaaaaxaxxxxaaaa

6. 利用范德蒙德行列式.

计算行列式:

nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxD321223222122322213211111

解: 令:

nnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxD211112112222212222212111111,这是一个1n级范德蒙德行列式.

一方面,由范德蒙德行列式得)())(()(2111nnijjixyxyxyxxD.可看做是关于y的一个n次多项式.

另一方面,将1D按最后一列展开,可得一个关于y的多项式01111pypypypDnnnn,其中1ny的系数1np与所求行列式D的关系为1npD.

由)())(()(2111nnijjixyxyxyxxD来计算1ny的系数1np得:niinijjinxxxp111)(,

故有niinijjinxxxpD111)(

其它的例子:

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbababaabbababaabbababaa111121211111212222222122111121211111 ……每一行提公因子nia,

nnnnnnnnnnnnnnnnnnababababababababababababaaa)()()()(1)()()()(1)()()()(1111112111122122222221111121111121).(1121nijjjiinnnnababaaa

7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)

证明当时,,1000000001000100011nnnD

证明时,将nD按第一行(或第一列)展开得21)(nnnDDD,利用归纳假设可得.

8. 利用递推公式.

例子: 计算行列式,10000000010001000nD

解: 按第一行展开得: 21)(nnnDDD,将此式化为:

(1) )(211nnnnDDDD或 (2) )(211nnnnDDDD

利用递推公式(1)得:

nnnnnnnnDDDDDDDD)()()(122322211,即nnnDD1. (3)

利用递推公式(2)得:

nnnnnnnnDDDDDDDD)()()(122322211,即nnnDD1. (4)

由(3)(4) 解得: ,,)1(,11nnnnnD

其它的例子

nnacbaacbacbaD00000000000000,按第一行展开可得

21nnnbcDaDD,此时令,,bca则21)(nnnDDD,

变形为211)(nnnnDDDD,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果.

这里,,bca即,是方程02bcaxx的两个根.

9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和. 例子:accccbacccbbaccbbbacbbbbcacaccccbacccbbaccbbbacbbbbaDn

210000VVacccbaccbbacbbbabbbbcaaccccbacccbbaccbbbacbbbbc

1V: 除第一行外,其余各行加上第一行的1倍,所得行列式按第一列展开,2V按第一列展开.

11)(00000000nbacbabcbcbcbabcbcbbbabcbabbbbcV

12)(nDcaV, 故11)()(nnnDcabacD,

由cb,的对称性质,亦可得11)()(nnnDbacabD,这两个式子中削去1nD,可得结论,

bccabbacDnnn)()(.

注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法.

(2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,

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行列式的计算技巧和方法总结

行列式的计算技巧和方法总结

行列式的计算技巧和方法总结

行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。下面将总结行列式的计算技巧和方法。

一、行列式的定义和性质：

行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：

det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +

a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann

其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。

行列式具有以下性质:

1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。

2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。

3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。

4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)

* det(B)。

5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。

二、行列式计算的基本方法： 1.二阶行列式：

对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a21

2.三阶行列式：

对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +

a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -

a11*a23*a32

3.高阶行列式：

对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) =

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的计算技巧与方法总结

1

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计

算量大，有一定的局限性.

0 0 0 1

例1计算行列式 0 0 2 0

0 3 0 0

4 0 0 0

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4!二24项，但由

于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开 式中的项的一般形式是a1jl a2j2 a3j3a4j4 .显然，如果人=4，那么a^二0， 从而这个项就等于零•因此只须考虑 的项，同理只须考虑

j2 =3,j3 =2, j4 =1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

a14a23a32a41，而.4321 =6，所以此项取正号•故

2.2利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该

方法适用于低阶行列式.

2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下： 0 0

0 0

0 3

4 0 0

2

0

0 1

0

0

0 =(—1 )耳4321 »14&23&32玄41 二 24. 2

解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对 应相同，故用第一行的：［-1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元

素全部变为零•即：化为上三角形.

可得

2.2.2连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列） 后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算•这类计算行列式的方法称为连加法.

1 ai a2 … an

0 bi 0 0 0

Dn4i = I- a + a

0 0 0 … bn =bib2…bn . aii

0

0 ai2

a22

0 ai3

a23

a33 ain

a2n

a3n -aiia22…ann ,

a nn

ai1

a21

a31 a22

a32 a33 —a a 丄・n a

a11a22 ann ・

行列式的多种计算方法

行列式的多种计算方法

1 例文一：行列式的计算方法

介绍7种常用方法

1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.

例1 计算n+1阶行列式

xaaaaaxaaaaxDnnn32121211

2 把某一行（列）尽可能化为零

例2 计算：

yyxxD22222222222222224

3 递归法（数学归纳法）：设法找出Dn和低级行列式间的关系，然后进行递归.

2

例4 证明：

1110000010001000nnnD

例5 证明范德蒙行列式（n2）

njijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV111312112232221321)(1111

4 加边法：对行列式Dn添上一适当行和列，构成行列式Dn+1，且Dn+1=Dn

例6 证明：

)11(11111111111111111111121321niinnnaaaaaaaaD 3

5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和

例7 设abcd=1,求证：

011111111111122222222ddddccccbbbbaaaa

6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D的值，有时可再乘上一个适当的行列式；或把D拆分为两个行列式的积.

例8（1）

1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121nnnnnnD 4 （2）设Sk=1k+2k++nk(k=1,2…),求证：

行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结

行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵计算和向量空间的研究中起着关键作用。本文将总结一些行列式的计算方法，帮助读者更好地掌握这一概念。

一、定义与性质

行列式是一个与方阵相对应的数值。对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。行列式有以下几个重要性质：

1. 互换行列式的两行（两列）会改变行列式的符号；

2. 行列式的任意两行（两列）互换，行列式的值不变；

3. 行列式的某一行（某一列）元素乘以一个非零数，等于用这个非零数乘以行列式；

4. 行列式有可加性，即若将某一行（某一列）的各元素分成两部分，则行列式等于这两部分行列式的和。

二、按行展开法

按行展开法是计算行列式的一种常用方法。对于一个n阶方阵A，按第i行展开，即将第i行元素与其代数余子式相乘再求和，可得行列式的值。

假设A是一个3阶方阵，可以按第1行展开计算：

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 其中，A11、A12、A13分别为元素a11、a12、a13对应的代数余子式，它们的计算方法是去掉对应元素所在的行列后，计算剩余矩阵的行列式。

按行展开法适用于任意阶数的方阵，但随着方阵阶数的增加，计算工作量也呈指数级增长。因此，在实际应用中，需要在节约计算资源和时间之间进行权衡。

三、性质运算法则

根据行列式的性质，可以借助一些特殊的运算法则来简化计算过程。

1. 方阵的转置：对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。即方阵的转置不影响行列式的值。

2. 方阵的上下三角形式：行列式的值等于对角线上元素的乘积。如果一个方阵的上（下）三角元素都是零，那么它的行列式值为零。

3. 方阵的倍增法则：将方阵的某一行（某一列）的所有元素乘以一个常数k，它的行列式也乘以k。这个法则可以用来简化计算，通过线性变换将某一行（某一列）的数值变为整数。

四、克莱姆法则

克莱姆法则是一种计算方程组的的方法，它利用了方阵的行列式的性质。对于一个n元线性方程组Ax=b，其中方阵A的行列式不为零，解x的分量xi可以通过以下公式计算：