北京市东城区2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
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北京市东城区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（ ）
A．M＝∅ B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M
2．（5分）下列函数为偶函数的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝x3
3．（5分）已知函数y＝sinx在区间M上单调递增，那么区间M可以是（ ）
A．（0，2π） B．（0，π） C． D．
4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（ ）
A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B
5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．2a＞2b C．a D．
6．（5分）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
A．8100 B．900 C．81 D．9
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）关于函数f（x）＝1+cosx，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当t＜0或t≥2时，有0个交点
B．当t＝0或时，有1个交点
C．当时，有2个交点
D．当0＜t＜2时，有2个交点
10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（ ）
A．对于任意实数a，f（x）为偶函数
B．对于任意实数a，f（x）＞0
C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减
D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是
．
12．（5分）sin的值为 ．
13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为 ．（写出符合条件的一个函数即可）
14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：
①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为 ；
②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝ ；若f（t）＝1，则实数t＝ ．
16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米； ②第8个月浮草的面积超过60平方米；
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．
其中正确命题的序号有 ．（注：请写出所有正确结论的序号）
四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．
（1）求∁UA；
（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁UA，求m的取值范围．
18．（13分）已知函数，f（0）＝．
（1）求f（x）的解析式和最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．
19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．
（1）求tanβ的值；
（2）求的值．
20．（16分）已知函数f（x）＝．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性并说明理由；
（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．
21．（15分）对于集合A，定义函数fA（x）＝ 对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|fA（x）•fB（x）＝﹣1}．
（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出fA（1）与fB（1）的值，并求出A*B；
（2）证明：fA*B（x）＝fA（x）•fB（x）；
（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．
2019-2020学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（ ）
A．M＝∅ B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M
【分析】利用集合与集合的关系直接求解．
【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，
∴M⫋N．
故选：C．
【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）下列函数为偶函数的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝x3
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；
对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于C，y＝ex，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．
3．（5分）已知函数y＝sinx在区间M上单调递增，那么区间M可以是（ ）
A．（0，2π） B．（0，π） C． D．
【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．
【解答】解：根据函数y＝sinx的单调递增区间：[]（k∈Z），
当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，
故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（ ）
A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，
故选：A．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．2a＞2b C．a D．
【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．
【解答】解：由于a＞b，且a和b 的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．
对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6．（5分）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．
【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；
在B中，＜cos，故B正确；
在C中，＞，故C错误；
在D中，＞cos＝sin，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】可以取特殊值讨论充要性．
【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；
若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；
则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．
8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
A．8100 B．900 C．81 D．9
【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．
【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，
即，即o＝8100，
鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，
故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，
故选：C．
【点评】本题考查对数求值，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）关于函数f（x）＝1+cosx，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当t＜0或t≥2时，有0个交点
