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成人高考高升专数学常用知识点及公式第1章集合和简易逻辑知识点1：交集、并集、补集1、交集：集合A与集合B的交集记作A∩B，取A、B两集合的公共元素2、并集：集合A与集合B的并集记作A∪B，取A、B两集合的全部元素,取U中所有不属于A的元素3、补集：已知全集U，集合A的补集记作ACu解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现知识点2：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。
若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。
题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发：①充分条件看甲是否能推出乙②必要条件看乙是否能推出甲A、若甲=乙但乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件）B、若甲=乙但乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件C、若甲≠乙但乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件D、若甲≠乙但乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况第2章不等式和不等式组知识点1：不等式的性质1.不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变2.不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面知识点2：一元一次不等式1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。
2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。
3. 如：6x+8>9x-4，求x ？ 把x 的项移到左边，把常数项移到右边，变成6x-9x>-4-8，合并同类项之后得-3x>-12,两边同除-3得x<4（记得改变符号）。
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数 一、主要内容㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。
成人自考高升专数学知识点一、知识概述《成人自考高升专数学知识点》①基本定义：成人自考高升专数学就是为那些想要通过自学考试从高中起点升专科，在数学科目上需要掌握的知识。
这里面包括好多方面，像代数、几何这些东西。
代数简单理解就是用字母代表数去计算各种关系，比如方程式；几何呢，就是研究图形的形状、大小、位置关系等的学问。
②重要程度：在这个自考里头，数学可是相当重要的。
它能决定你能不能顺利通过考试拿到学历，而且就生活中说，以后要是碰到有关计算、理财、工程尺寸这些事，都得用到数学知识。
③前置知识：得有初中数学的基础，比如基本的四则运算得熟练，一元一次方程得会解，简单的平面几何图形认识得清楚，像三角形、四边形这些的性质啥的得有点了解。
④应用价值：比如说你在装修房子算面积的时候，或者是去市场买东西算优惠的时候，以及规划行程算时间和距离的时候，都能用得上数学知识。
二、知识体系①知识图谱：在高升专的整个知识体系里，数学就像一座大厦里的重要支柱。
它和其他科目联系也紧密着呢，比如物理可能用到数学公式去计算，经济类专业也得用数学做统计分析。
②关联知识：和语文对比，语文是表达理解，数学是准确计算和逻辑推理。
跟物理化学联系也多，那些科学原理的计算很多就得靠数学。
③重难点分析：像函数部分就挺难的，它涉及到很多抽象的概念和复杂的计算，关系也错综复杂。
而几何里的证明题也不简单，得找到合适的定理来推理。
关键在于得理解概念再去计算和推理。
④考点分析：在考试里占的比例不小，选择题、填空题、解答题都有。
选择题可能考基础概念，填空题就考计算的准确性，解答题就综合看能力了。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：比如说函数这个概念，它就是一种关系，给定一个数x，通过一定的规则，就能得到唯一的一个数y，就好像一个加工厂，x是原料，y是产品。
②特征分析：函数的特点呢，它有单调性，就是随着x的变化，y是一直变大或者一直变小这样。
还有奇偶性，有的函数图像关于y轴对称就是偶函数，关于原点对称那就是奇函数。
成⼈⾼考专升本《⾼等数学》必背资料相关推荐2016年成⼈⾼考专升本《⾼等数学》必背资料 幂级数 1、知识范围 (1)幂级数的概念 收敛半径、收敛区间 (2)幂级数的基本性质 (3)将简单的初等函数展开为幂级数 2、要求 (1)了解幂级数的概念。
(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。
(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的⽅法。
(4)会运⽤麦克劳林(Maclaurin)公式，将⼀些简单的初等函数展开为幂级数。
常微分⽅程 (⼀)⼀阶微分⽅程 1、知识范围 (1)微分⽅程的概念 微分⽅程的定义、阶、解、通解、初始条件特解 (2)可分离变量的⽅程 (3)⼀阶线性⽅程 2、要求 (1)理解微分⽅程的定义，理解微分⽅程的阶、解、通解、初始条件和特解。
(2)掌握可分离变量⽅程的解法。
(3)掌握⼀阶线性⽅程的.解法。
(⼆)可降价⽅程 1、知识范围 (1)型⽅程 (2)型⽅程 2、要求 (1)会⽤降阶法解型⽅程。
(2)会⽤降阶法解型⽅程。
(三)⼆阶线性微分⽅程 1、知识范围 (1)⼆阶线性微分⽅程解的结构。
(2)⼆阶常系数齐次线性微分⽅程。
(3)⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程。
2、要求 (1)了解⼆阶线性微分⽅程解的结构。
(2)掌握⼆阶常系数齐次线性微分⽅程的解法。
(3)掌握⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程的解法。
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第一章极限与连续第一节初高中基本计算公式1.幂函数基本公式（1）mnm nx x x +⋅=（2）mm nn x x x-=（3mn x =（4）1mmxx -=2.三角函数公式（1）三角函数恒等式①22sin cos 1x x +=②22tan sec 1x x =-③22cot csc 1x x =-④tan cot 1x x ⋅=⑤sec cos 1x x ⋅=⑥csc sin 1x x ⋅=⑦sin tan cos x x x =⑧cos cot sin xx x=（2）倍角公式与半角公式①sin 22sin cos x x x=⋅②2222cos2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-③22tan tan 21tan x x x=-④2cot 1cot 22cot x x x -=⑤21cos cos22x x +=⑥21cos sin 22x x -=⑦21cos tan21cos x x x-=+3.反三角函数基本关系式成考专升本《高等数学Ⅰ》-考点汇编①arcsin()arcsin (11)x x x -=--≤≤②arccos()arccos (11)x x x π-=--≤≤③arctan()arctan x x -=-④arc cot()arc cot x xπ-=-⑤arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤⑥arctan arc cot 2x x π+=⑦1arctan arc cot (0)x x x=>4.常见角度三角函数表第二节函数1.函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定数集，如果当x 在D 中任意取定一个值时，通过一定的对应法则f ，变量y 总有确定的数值与x 对应，则称y 是x 的函数。
记作)(x f y =。
数集D 称为函数)(x f y =的定义域。
2.常见函数的定义域（1）1,:0y D x x=≠（2）:0y D x =≥（3）log ,:0a y x D x =>（4）tan ,:2y x D x k ππ=≠+（5）cot ,:y x D x k π=≠（6）[]arcsin ,:1,1arccos y xD x y x=⎧∈-⎨=⎩3.反函数（1）定义：一般地，给定y 是x 的函数)(x f y =，如果把y 当做自变量，x 当做函数，则由关系式)(x f y =所确定的函数)(1y fx -=叫做)(x f 的反函数.习惯上记为)(1x fy -=。
成考高等数学专升本知识点成考高等数学专升本的知识点那可不少呢。
函数可是超级重要的一部分呀。
像函数的定义域、值域、单调性、奇偶性这些，就像函数的小脾气一样，得好好摸清楚。
比如说函数y = 1/x，它的定义域就是x不等于0呢，值域也是除了0以外的所有实数，这个函数在定义域内就是单调递减的，而且是奇函数哦。
导数也是个重点内容。
导数就像是函数变化的速度。
求导公式可得记好啦，像(x^n)' = nx^(n - 1)，这个公式超级常用呢。
比如说求y = x²的导数，那根据公式就是y' = 2x啦。
积分也不能忽视呀。
不定积分和定积分都很关键。
不定积分就是求原函数的过程，定积分呢就像是求函数在某个区间上的面积。
像∫x²dx = (1/3)x³+ C（C为常数），这就是不定积分的结果。
还有数列极限也在考试范围内哦。
像lim(n→∞)(1 + 1/n)^n = e，这个极限可是很有名的呢。
数列极限的计算方法有很多种，比如利用四则运算法则，还有夹逼准则等等。
另外，多元函数也是个考点。
多元函数的偏导数、全微分这些概念要理解透彻。
比如说对于二元函数z = f(x,y)，它的偏导数∂z/∂x就是把y看成常数对x求导。
再说说空间解析几何吧。
平面方程、直线方程这些都要掌握。
像平面的点法式方程A(x - x₀)+B(y - y₀)+C(z - z₀)=0，这里面的(x₀,y₀,z₀)是平面上的一个点，(A,B,C)是平面的法向量。
在成考高等数学专升本里，这些知识点都是需要我们去认真学习和掌握的，就像我们要认识好多好多小伙伴一样，每个知识点都有它独特的魅力和用处呢。
成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式（2）对数的运算法则：①②③④3、对数换底公式：由换底公式推出一些常用的结论：（1）（2）（3）（4）三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，数列极限的四则运算法则如果那么推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。
例如，若，，有极限，则：特别地，如果C是常数，那么函数极限的四算运则如果那么推论设都存在，为常数，为正整数，则有：无穷小量的比较：某与n同时趋向+¥由夹挤准则第二章节公式1.导数的定义：函数y＝f(某)在某＝某0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(某)在某＝某0处的导数，记作f′(某0)或y′|某＝某0即f′(某0)＝.2．导数的几何意义函数f(某)在某＝某0处的导数就是切线的斜率k，即k＝＝f′(某0)．3．导函数(导数)当某变化时，f′(某)便是某的一个函数，我们称它为f(某)的导函数(简称导数)，y＝f(某)的导函数有时也记作y′，即f′(某)＝y′＝.4．几种常见函数的导数(1)c′＝0(c为常数)，(2)(某n)′＝n某n－1(n∈Z)，(3)(a某)′＝a某lna(a＞0,a1),(e某)′＝e某(4)(ln某)′＝，(loga某)′＝logae=(a＞0,a1)(5)(in某)′＝co某，(6)(co某)′＝－in某(7),(8)(9),(10)(11),(12)5．函数的和、差、积、商的导数(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′′＝，(ku)′＝cu′(k为常数)．(uvw)′＝u′vw＋uv′w+uvw′微分公式：（1）(7),(8)(9),(10)(11),(12)6．微分的四算运则d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝vdu＋udvd(ku)＝kdu(k为常数)．洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
2016年成人高等学校专升本招生全国统一考试真题高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分）1. limx→03sin x 2x =（ ） A.23 B.1 C. 32 D. 32. 若函数y =2x +sin x ,则y′=（ ）A.1−cos xB.1+cos xC. 2−cos xD.2+cos x3.设函数y =e x−2,则dy =（ ）A.e x−3dxB.e x−2dxC.e x−1dxD.e x dx4.设函数y =(2+x)3,则y′=（ ）A.(2+x)2B.3(2+x)2C. (2+x)4D.3 (2+x)45.设函数y =3x +1,则y′′=（ ）A.0B.1C.2D.36.d dx ∫e t dt x 0=( ).A.e xB. e x −1C.e x−1D.e x+17. ∫xdx =( ).A 、2x 2+CB 、x 2+C C 、12x 2+CD 、x +C 8. ∫2sin x dx =π20（ ）A. 12B. 1C.2D.39.设函数 z =3x 2y ，则ðz ðy =（ ）A.6yB.6xyC.3xD.3x 210.幂级数∑1n x n ∞n=1的收敛半径为（ ） A.0 B.1 C.2 D.+∞二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分）11. lim x→0(1+x )2x=12.设函数y =x 3，则y ′=13.设函数y =(x −3)4，则dy =14.设函数y =sin(x −2)，则y ′′=15.∫12x dx =16. ∫x 71−1dx =17. 过坐标原点与直线x−13=y+12=z−3−2 垂直的平面方程为 .18.设函数z =3x +y 2，则dz =19.微分方程y′=3x 2的通解为y =20.设区域D =*(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1+，则∬2dxdy = .三、解答题（21-28题，共70分）21.若函数f (x )= 在x =0处连续，求a .22. lim x→01−e x sin x23.求曲线y =x 3−3x +5的拐点24.计算∫(x −e x )dxsin xx ,x ≠0a ,x =025.设函数z=x2sin y+ye x，求∂z.∂x26.设D为曲线y=x2与直线y=x所围成的有界平面图形，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vdxdy,其中D为由曲线y=x2与直线y=1所围成的有界平面区27.求∬(x3+y)D域.28.求微分方程y′′−y′−2y=e x的通解。
2016年成人高考专升本考试真题及答案高等数学（一）1.(单选题)（）(本题4分)A 2/3B 1C 3/2D 3标准答案： C2.(单选题)设函数y=2x+sin x，则y´=（）(本题4分)A 1-cos xB 1+cos xC 2-cos xD 2+cos x标准答案： D3.(单选题)（）(本题4分)ABCD标准答案： B4.(单选题)（）(本题4分)ABCD标准答案： B5.(单选题)（）(本题4分)A 0B 1C 2D 3标准答案： A6.(单选题)（）(本题4分)ABCD标准答案： A7.(单选题)（）(本题4分)ABCD标准答案： C8.(单选题)（）(本题4分)A 1/2B 1C 2D 3标准答案： C9.(单选题)（）(本题4分)A 6yB 6xyC 3xD 3x2标准答案： D10.(单选题)（）(本题4分)A 0B 1C 2D +∞标准答案： B11.(填空题)(本题4分)标准答案： e212.(填空题)设函数y=x3，则y´=__________．(本题4分)标准答案：3x213.(填空题)设函数y=(x-3)4，则dy=__________．(本题4分) 标准答案： 4(x-3)3dx14.(填空题)(本题4分)标准答案： -sin(x-2)15.(填空题)(本题4分)标准答案：16.(填空题)(本题4分)标准答案： 017.(填空题)(本题4分)标准答案： 3x+2y-2z=018.(填空题)设函数x=3x+y2，则dz=__________．(本题4分)标准答案： 3dx+2ydy19.(填空题)微分方程y´=3x2的通解为y=__________．(本题4分)标准答案： x3+C20.(填空题)(本题4分)标准答案： 221.(问答题)(本题8分)标准答案：22.(问答题)(本题8分)标准答案：23.(问答题)求曲线y=x3-3x+5的拐点．(本题9分)标准答案：24.(问答题)(本题9分)标准答案：25.(问答题)(本题9分)标准答案：26.(问答题)设D为曲线y=x2与直线y=x所围成的有界平面图形，求D 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.(本题9分)标准答案：27.(问答题)(本题9分)标准答案：28.(问答题)(本题9分)标准答案：解：对应齐次微分方程的特征方程为。
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
[主要知识内容]（一）数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作{x n}，数列中每一个数称为数列的项，第n项x n为数列的一般项或通项，例如（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列）（2）（等比数列）（3）（递增数列）（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列）都是数列。
它们的一般项分别为（2n-1）,。
对于每一个正整数n，都有一个x n与之对应，所以说数列{x n}可看作自变量n的函数x n=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。
在几何上，数列{x n}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...x n,…。
2.数列的极限定义对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{x n}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作比如：无限的趋向0，无限的趋向1否则，对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。
比如：1，3，5，…，（2n-1），…1，0，1，0，…数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{x n}以A 为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x n可以无限靠近点A，即点x n与点A之间的距离|x n-A|趋于0。
比如：无限的趋向0无限的趋向1（二）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1（惟一性）若数列{x n}收敛，则其极限值必定惟一。
定理1.2（有界性）若数列{x n}收敛，则它必定有界。
注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。
比如：1，0，1，0，…有界：0，12.数列极限的存在准则定理1.3（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：（1），（2），则定理1.4若数列{x n}单调有界，则它必有极限。
3.数列极限的四则运算定理。
定理1.5（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念1.当x→x0时函数f（x）的极限（1）当x→x0时f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作或f（x）→A（当x→x0时）例y=f（x）=2x+1x→1,f（x）→?x<1x→1x>1x→1（2）左极限当x→x0时f（x）的左极限定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作或f（x0-0）=A（3）右极限当x→x0时，f（x）的右极限定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作或f（x0+0）=A例子：分段函数，求，解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。
我们称当x→0时，f （x）的左极限是1，即有当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。
我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A，则必有。
x→1时f(x)→?x≠1x→1f(x)→2对于函数，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。
2.当x→∞时，函数f（x）的极限（1）当x→∞时，函数f（x）的极限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+→1定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作或f（x）→A（当x→∞时）（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。
y=f(x)x→+∞f(x)x→？x→+∞，f(x)=2+→2例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2所以（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作x→-∞f(x)→？则f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞f(x)=2+→2例：函数，当x→-∞时，f（x）→？解：当x→-∞时，-x→+∞→2，即有由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。
例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时的极限是1，记作其几何意义如图3所示。
f(x)=1+y=arctanx不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。
x)=1+y=arctanx不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。
（四）函数极限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2）则有。
注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。
下面我们给出函数极限的四则运算定理定理1.9如果则（1）（2）（3）当时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：（1）（2）（3）用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。
另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。
（五）无穷小量和无穷大量1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作常用希腊字母，…来表示无穷小量。
定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。
注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。
（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。
在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。
例如：振荡型发散（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。
2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。
记作。
注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。
3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。
定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。
当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4.无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
5.无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。
（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；（2）如果则称与为同阶的无穷小量；（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；（4）如果则称是比较低价的无穷小量。
当等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。
均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。
但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。
常用的等价无穷小量代换有：当时，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;（六）两个重要极限1.重要极限Ⅰ重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式令这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。
其结构式为：2.重要极限Ⅱ重要极限Ⅱ是指下面的公式：其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045……其结构式为：重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。
（七）求极限的方法：1.利用极限的四则运算法则求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法则求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。
基本极限公式（2）（3）（4）例1.无穷小量的有关概念（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是A. B.C. D. [答]CA.发散D.（2）[0202]当时，与x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量[答]B解:当,与x是极限的运算：[0611]解：[答案]-1例2.型因式分解约分求极限（1）[0208] [答]解:（2）[0621]计算[答]解:例3.型有理化约分求极限（1）[0316]计算 [答]解:（2）[9516] [答]解:例4.当时求型的极限 [答]（1）[0308]一般地，有例5.用重要极限Ⅰ求极限（1）[9603]下列极限中，成立的是A. B.C. D. [答]B （2）[0006] [答]解:例6.用重要极限Ⅱ求极限（1）[0416]计算 [答][解析]解一：令解二：[0306][0601]（2）[0118]计算 [答]解:例7.用函数的连续性求极限[0407] [答]0解:，例8.用等价无穷小代换定理求极限[0317] [答]0解:当例9.求分段函数在分段点处的极限（1）[0307]设则在的左极限[答]1[解析]（2）[0406]设,则 [答]1 [解析]例10.求极限的反问题（1）已知则常数[解析]解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必达法则）即，得.（2）若求a,b的值.[解析]型未定式.当时，.令于是，得.即，所以.[0402][0017]，则k=_____.（答:ln2）[解析]前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。
